精品解析：江西上饶市信州区上饶市第四中学2025-2026学年八年级数学下册综合作业

八年级数学综合作业 说明：1.作业满分120分，完成时间120分钟 2.范围：第19章－第21.2.3 一．选择题（共6小题，每题3分，共18分） 1. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数，据此列出不等式求解x的取值范围． 【详解】解：要使有意义， ∴，解得， ∴x的取值范围是． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算及性质，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 根据同类二次根式的加减法则、二次根式的乘法法则和算术平方根的性质逐一判断选项． 【详解】解：∵与不是同类二次根式，不能合并 ∴A选项错误； ∵ ， ∴B选项错误； ∵ ， ∴C选项错误； ∵ ， ∴D选项正确； 故选：D． 3. 若的三个内角分别为、、，三条边分别为、、，那么，根据下面的条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A． ∵，，∴，得，∴是直角三角形，此项不符合题意； B． ∵，，总份数为，∴，，，∴没有直角，不是直角三角形，此项符合题意； C． ∵，∴，，∴，是直角三角形，此项不符合题意； D． ∵，∴，∴是直角三角形，此项不符合题意． 4. 如图，在数轴上方作一个的方格（每一方格的边长为1个单位），依次连接四边的中点A，B，C，D得到一个正方形，点落在数轴上，用圆规在点的左侧的数轴上取点，使，若点在原点右侧且到原点的距离为1个单位，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查数轴，算术平方根的应用，利用面积法求出的长并熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题关键． 根据A、B、C、D为的方格各边中点可得正方形的面积等于的方格面积的一半，即可求出的长，点在原点右侧且到原点的距离为1个单位可得点A表示的数，根据数轴上两点间距离公式即可求出点E表示的数． 【详解】解：∵A、B、C、D为的方格各边中点， ∴正方形的面积等于的方格面积的一半， ∴， ∴， ∵点在原点右侧且到原点的距离为1个单位， ∴点A表示的数为1， ∵， ∴， ∵点E在点A左侧， ∴点E表示的数为， 故选：B． 5. 如图，小明从点出发前进到达，然后向右转；再前进到达，然后又向右转，一直这样走下去，他第一次回到出发点时，一共走了（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形外角和问题，有理数乘法的应用，掌握正多边形的外角和为是解题关键．由题意可知，当小明第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形，再根据正多边形的外角和，得出小明所走过的图形是正十八边形，即可求解． 【详解】解：由题意可知，当小明第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形， 正多边形的外角和为，且每个外角都为， 正多边形的边数为，即小明所走过的图形是正十八边形， 路程为， 故选：A． 6. 如图，平行四边形中，对角线、相交于O，过点O作交于点E，若，，，则的长为（ ） A. B. 6 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据已知条件证明是直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 平行四边形中，， 垂直平分，，，， ，， ，， ， 是直角三角形，是等腰直角三角形， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，证明是直角三角形是解题的关键． 二．填空题（共6小题，每题3分，共18分） 7. 若为实数，且，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入原式求出的值，最后代入计算即可得到结果． 【详解】解：由题意得， 解得， 把代入， 得， 将，代入，得． 8. 若能与最简二次根式合并同类项，则x的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．由题意得，与最简二次根式是同类二次根式，据此即可求出x的值． 【详解】解：能与最简二次根式合并同类项，， ， 解得：． 故答案为：4． 9. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，解题的关键是根据勾股定理得到． 由勾股定理得，再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， 如图所示， ∴， ∵阴影部分的面积为，与正方形等底等高， 阴影部分的面积为， 故答案为：． 10. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和．熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， 由多边形内角和、外角和定理可知，， ∵， ∴． ∵，， ∴． 故答案为． 11. 在中，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为的中点，则的最小值是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的面积、勾股定理、三角形的中位线等知识点，掌握三角形的中位线等于第三边的一半成为解题的关键． 如图：连接，根据三角形的中位线可得，当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出，根据三角形的面积求出即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵点D、E分别为的中点， ∴， 当时，的值最小，此时的值也最小， 由勾股定理得： ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在梯形中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点，的运动时间为，在此运动过程中当四边形为平行四边形时，的值为___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定是解题的关键．设点，的运动时间为，根据题意，得，，，然后分类计算即可． 【详解】解：设点，的运动时间为，根据题意，得，，， 当点P到达点D时所用时间为， 根据题意，得， 当时，四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第一次越过点B返回向点C运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第一次越过点C返回向点B运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得； 当Q第二次越过点B返回向点C运动时，此时， 根据四边形为平行四边形，此时， 解得，大于，舍去， 故答案为：或或． 三．解答题（共5小题，每题6分，共30分） 13. 计算： （1）     （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算、二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法、再用有理数乘方、绝对值化简，最后计算加减法即可； （2）先运用完全平方公式、平方差公式化简，然后再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 14. 如图，在中，，垂足为，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 在中，由勾股定理得到，，据此得到方程，求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴． 15. 已知：如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE． （1）求证：△AFD≌△CEB． （2）求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】（1）证明：∵DF∥BE， ∴∠DFE=∠BEF． 又∵AF=CE，DF=BE， ∴△AFD≌△CEB（SAS）． （2）证明：由（1）知△AFD≌△CEB， ∴∠DAC=∠BCA，AD=BC， ∴AD∥BC． ∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 【解析】 【分析】（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△CEB． （2）由△AFD≌△CEB，容易证明AD=BC且AD//BC，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键． 16. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）． （1）在图1中画一条线段，使它平分四边形的面积； （2）在图2的边上画点E，使． 【答案】（1） 解：由题意知，，，， ∴四边形是平行四边形； 则连接，交于O，做一条过O的线段即可； （2） 解：如图，取格点M，连接交于E，点即为所求； 证明：由勾股定理可知：，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质． （1）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形作图即可； （2）如图，点向右4个格点，向下3个格点为，连接，则是等腰直角三角形，则，与的交点即为所求； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 实数、、在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据数轴判断出、、的大小并正确运用二次根式和绝对值的性质是解题关键．根据、、在数轴上的位置，判断出、、的正负情况以及绝对值的大小，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可解答． 【详解】解：由数轴得，，， ，，， ． 四．解答题（共3小题，每题8分，共24分） 18. 如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响. （1）请通过计算说明海港C会受台风影响； （2）台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，货轮能否完成卸货？请说明理由． 【答案】（1） 解：如图，过点C作，垂足为D， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴海港C会受影响． （2） 解：货轮能在海港C受台风影响之前完成卸货，理由： 如图，设此时台风中心在上的位置为E， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∵点D在上，，， ∴， 由台风中心移动速度是可得，从A到E的时间为：（小时）， ∵， ∴货轮能在海港C受台风影响之前完成卸货． 【解析】 【分析】2本题考查了勾股定理的应用及逆定理． （1）过点C作，垂足为D，根据已知条件利用勾股定理的逆定理证得，再利用三角形面积公式求得的值，即可判断海港C的影响情况； （2）设此时台风中心在上的位置为E，得出，利用勾股定理求得和的值，进而求得的值，再根据台风中心的移动速度计算出时间，与卸货时间进行比较即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）过点作于点，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形； （2）的长为 【解析】 【分析】（1）证，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，再由等腰三角形的性质得，则，进而由勾股定理得，然后由面积法求出的长即可． 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即的长为． 20. 若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． （1）若M与是互为“6相关代数式”，则 ； （2）若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的乘法，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）由题意知，计算求解即可； （2）由题意知，计算求解即可． 【小问1详解】 解：与是互为“6相关代数式”， ， ； 【小问2详解】 解：与是互为“相关代数式”， ， 整理得，， 是有理数， ，， 解得． 五．解答题（共2小题，每题9分，共18分） 21. 小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线（线段）的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离（线段的长）为米． （1）求风筝的垂直高度（线段的长）； （2）如果小望想使风筝沿下降12米到F处，求他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）风筝的垂直高度为米 （2）他应该往回收线8米 【解析】 【分析】（1） 先利用勾股定理求出中的长，再加上的长度得到． （2）先算出的长，再用勾股定理求出的长，最后用得出回收线的长度． 【小问1详解】 解：由题意得：米，米，米． ∴在中，（米）， ∴（米）. 答： 风筝的垂直高度为米． 【小问2详解】 解：由题意得：米，(米) 在中，(米)， (米) 答：他应该往回收线8米． 22. （1）课本再现 已知：如图，是的中位线．求证：，且． 定理证明 证明：如图1，延长至点F，使得，连接．请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线） （2）知识应用 如图2，在四边形中，，，，，点E，F，M分别是，，的中点，求的长． 【答案】 （1）证明：如图1，延长至点，使得，连接， ， 点是的边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 又点是的边的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，，即，； （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理的证明，勾股定理，平行线的性质，正确理解题意通过构造中位线进行求解是解题的关键． （1）如图1，延长至点，使得，连接，利用证明，再证明四边形是平行四边形，即可得证； （2）由（1）可得，，， ，再根据，，由平行线的性质求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：点，，分别是，，的中点，，，，， ，，，， ，， ， ， 在中，． 的长为5． 六．解答题（共1小题，共12分） 23. 问题：已知，求的值． 小明是这样分析与解答的： ，， ，． 请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题： （1）________； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）22 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化． （1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解； （2）将式子中的每一个分式进行分母有理化，问题随之得解； （3）先求出，变形求出，然后将变形求值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学综合作业 说明：1.作业满分120分，完成时间120分钟 2.范围：第19章－第21.2.3 一．选择题（共6小题，每题3分，共18分） 1. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若的三个内角分别为、、，三条边分别为、、，那么，根据下面的条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在数轴上方作一个的方格（每一方格的边长为1个单位），依次连接四边的中点A，B，C，D得到一个正方形，点落在数轴上，用圆规在点的左侧的数轴上取点，使，若点在原点右侧且到原点的距离为1个单位，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小明从点出发前进到达，然后向右转；再前进到达，然后又向右转，一直这样走下去，他第一次回到出发点时，一共走了（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平行四边形中，对角线、相交于O，过点O作交于点E，若，，，则的长为（ ） A. B. 6 C. 8 D. 二．填空题（共6小题，每题3分，共18分） 7. 若为实数，且，则_____． 8. 若能与最简二次根式合并同类项，则x的值为______． 9. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为___________． 10. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则_____． 11. 在中，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为的中点，则的最小值是________________． 12. 如图，在梯形中，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点，的运动时间为，在此运动过程中当四边形为平行四边形时，的值为___________． 三．解答题（共5小题，每题6分，共30分） 13. 计算： （1）     （2） 14. 如图，在中，，垂足为，，，，求的长． 15. 已知：如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE． （1）求证：△AFD≌△CEB． （2）求证：四边形ABCD是平行四边形． 16. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）． （1）在图1中画一条线段，使它平分四边形的面积； （2）在图2的边上画点E，使． 17. 实数、、在数轴上的位置如图所示，化简． 四．解答题（共3小题，每题8分，共24分） 18. 如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响. （1）请通过计算说明海港C会受台风影响； （2）台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，货轮能否完成卸货？请说明理由． 19. 如图，在中，，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）过点作于点，若，，求的长． 20. 若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． （1）若M与是互为“6相关代数式”，则 ； （2）若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值． 五．解答题（共2小题，每题9分，共18分） 21. 小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线（线段）的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离（线段的长）为米． （1）求风筝的垂直高度（线段的长）； （2）如果小望想使风筝沿下降12米到F处，求他应该往回收线多少米？ 22. （1）课本再现 已知：如图，是的中位线．求证：，且． 定理证明 证明：如图1，延长至点F，使得，连接．请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线） （2）知识应用 如图2，在四边形中，，，，，点E，F，M分别是，，的中点，求的长． 六．解答题（共1小题，共12分） 23. 问题：已知，求的值． 小明是这样分析与解答的： ，， ，． 请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题： （1）________； （2）计算：； （3）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $