专题10.3 解二元一次方程组（10大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年苏科版七年级数学下学期培优讲义

本讲义聚焦解二元一次方程组核心知识点，以消元思想为统领，系统梳理代入消元法（含定义、适用条件及变形、代入等五步标准步骤）和加减消元法（含定义、适用条件及变形、加减等五步标准步骤），并通过表格对比两种方法的优缺点与优先选用场景，构建从思想到方法再到应用的完整学习支架。 该资料亮点在于分层题型设计，基础题型强化代入、加减消元规范步骤，如含分数系数方程组化简培养运算能力；培优题型通过已知解求参数、同解问题等发展推理意识；压轴题型结合新定义运算提升应用意识。课中辅助教师实施分层教学，课后助力学生针对性练习，查漏补缺，强化数学思维与语言表达。

专题10.3 解二元一次方程组 知识点1：解二元一次方程组的核心思想 1.消元思想：将“二元”转化为“一元”，把二元一次方程组化为一元一次方程求解。 2.基本思路：消去一个未知数→解一元一次方程→回代求另一个未知数→联立写出解。 知识点2：代入消元法 1.定义：把方程组中一个方程的未知数用含另一未知数的式子表示，代入另一方程，实现消元求解。 2.适用条件：方程组中有未知数系数为±1或常数项为0，变形简便。 3.标准步骤： ①变形：选简单方程，写成或； ②代入：将变形式代入另一方程，严禁代入原方程； ③求解：解一元一次方程； ④回代：代入变形式求另一未知数； ⑤联立：用大括号写出解。 知识点3：加减消元法 1.定义：通过方程两边同乘适当数，使同一未知数系数相等或互为相反数，再相加/相减消元。 2.适用条件：同一未知数系数成整数倍或易化为相同/相反数。 3.标准步骤： ①变形：化某未知数系数相等或相反； ②加减：系数相等相减，相反相加； ③求解：解一元一次方程； ④回代：求另一未知数； ⑤联立：规范写解。 知识点4：两种解法对比（表格） 方法 优点 缺点 优先选用场景 代入法 步骤固定、易掌握 系数复杂时计算繁琐 有系数为±1的方程 加减法 计算快捷、适合整体系数 需统一系数，易符号出错 系数成倍数/易化同 【基础必考题型】 【题型1】代入消元法解二元一次方程组 1.核心知识点 代入消元法的定义与规范步骤；优先选择未知数系数为±1的方程进行变形。 2.解题方法技巧 ①观察系数，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示； ②代入另一个方程消元，严禁循环代入； ③解一元一次方程，再回代求另一个未知数； ④结果用大括号联立，代入原方程组检验。 【例题1】.（25-26七年级下·福建厦门·月考）解二元一次方程组： (1)； (2)． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）解下列方程组． (1) (2) 【变式题1-2】.（24-25七年级下·河北石家庄·月考）用代入法解方程组，下列解法中最简便的是（   ） A．由①，得代入② B．由①，得代入② C．由②，得代入① D．由②，得代入① 【变式题1-3】.（24-25七年级下·全国·随堂练习）用代入消元法解方程组时，较简单的方法是（    ） A．由①得，再代入② B．由①得，再代入② C．由②得，再代入① D．由②得，再代入① 【题型2】加减消元法解二元一次方程组 1.核心知识点 利用未知数系数相等或互为相反数进行加减消元；先统一系数再消元求解。 2.解题方法技巧 ①观察同一未知数系数，选择最小公倍数统一系数； ②系数相反相加、系数相同相减，精准消元； ③解出一个未知数后，回代求另一个未知数； ④联立解并代入原方程组检验正确性。 【例题2】.（24-25七年级下·浙江杭州·月考）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中消元正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中消元正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·山西运城·月考）解关于x，y的方程组，下列消元方法正确的是（    ） 小明 小亮 小华 小林 由②，得，代入①，消去 ，消去 ，消去 由②，得，代入①，消去 A．小明 B．小亮 C．小华 D．小林 【变式题2-3】.（25-26七年级下·江苏南通·月考）解方程组： (1)； (2)． 【题型3】含分数/小数系数方程组化简求解 1.核心知识点 去分母、去括号法则；化繁为简思想。 2.解题方法技巧 ①先去分母、去括号，化为整数标准型； ②再选代入或加减法； ③步骤清晰，不跳步防错； ④最终解代回原方程检验。 【例题3】.（25-26七年级下·山东聊城·月考）解二元一次方程组： (1)； (2)． 【变式题3-1】.（21-22七年级下·浙江温州·期中）解方程组： (1) (2) 【变式题3-2】.（25-26九年级下·广东珠海·开学考试）解下列方程组： (1) (2) 【变式题3-3】.（25-26七年级下·四川宜宾·月考）解下列方程： (1)； (2)． 【培优高频题型】 【题型4】已知方程组的解求参数值 1.核心知识点 方程组的解满足所有方程；转化为参数一元方程。 2.解题方法技巧 ①解全部代入两个方程； ②分别列参数方程，逐一求解； ③参数求出后回代验证； ④多参数时联立求解。 【例题4】.（25-26八年级上·河南郑州·月考）已知是二元一次方程组的解，则（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式题4-1】.（25-26七年级上·山东东营·期末）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（    ） A．4 B．2 C． D．±2 【变式题4-2】.（25-26七年级上·湖南·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求a，b的值． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·福建漳州·月考）已知方程组的解为，则的算术平方根是_________． 【题型5】错解复原问题 1.核心知识点 错解满足未看错的方程；逆向求正确参数。 2.解题方法技巧 ①分清看错与未看错方程； ②错解代入未看错方程求正确参数； ③还原参数，得原方程组； ④可求正确解作验证。 【例题5】.（25-26七年级下·浙江金华·月考）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 【变式题5-1】.（24-25七年级下·山东烟台·月考）在解关于，的方程组时，小明由于将方程①的“”，看成了“”，因而得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式题5-3】.（24-25七年级下·河北石家庄·月考）李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：，则原方程组中的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【题型6】同解方程组问题 1.核心知识点 公共解满足所有方程；联立无参方程先求解。 2.解题方法技巧 ①联立不含参数的方程，求公共解； ②公共解代入含参方程，求参数； ③多参数分步求，不混乱； ④验证公共解有效性。 【例题6】.（25-26九年级上·重庆·期中）若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．5000 【变式题6-1】.（24-25七年级下·全国·期末）若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 【变式题6-2】.（25-26七年级下·福建泉州·月考）已知方程组的解是，则方程组的解为______． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·山东聊城·月考）已知方程组与有相同的解，求、的值及方程组的解． 【题型7】整体代入/换元法解特殊方程组 1.核心知识点 整体思想；换元化繁为简。 2.解题方法技巧 ①识别重复整体，如、； ②设新元替换，简化方程组； ③解新方程组，再回代求原未知数； ④不忘换元要还原。 【例题7】.（25-26七年级下·山东聊城·月考）我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的二元一次方程组的解； (2)请用上面的换元法解方程组． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·河南南阳·月考）阅读探索：解方程组 解：设，，原方程组可以化为解得 即【此种解方程组的方法叫做换元法】 (1)运用上述方法解方程组 (2)已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·河南南阳·月考）解方程组 解：设，，原方程组可变为 解得：．所以，解得，此种解方程组的方法叫换元法． (1)【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： (2)【能力运用】已知关于x，y的方程组：的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为___________． 【变式题7-3】.（2026八年级下·福建泉州·专题练习）阅读下列材料：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得，∴原方程组的解为． (1)学以致用．运用上述方法解下列方程组：． (2)拓展提升．已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m，n的方程组的解是________． (3)已知方程组的解是，求方程组的解（写出过程）． 【压轴素养题型】 【题型8】解满足特殊关系的方程组 1.核心知识点 特殊关系转化为新方程；联立求解。 2.解题方法技巧 ①把、转化为代入式； ②代入原方程组，化为一元方程； ③求解后验证特殊关系； ④规范书写，步骤完整。 【例题8】.（25-26七年级下·重庆·月考）已知关于x、y的方程组的解为整数，则满足条件的整数m的值为______． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·河南南阳·月考）已知关于，的二元一次方程组 (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·河南周口·月考）已知方程组 的解满足，求k的值． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）已知关于、的二元一次方程组，其中是常数． (1)用的代数式表示该方程组的解； (2)若该方程组的解满足，求的值； (3)已知，求的最小值，并求此时的值． 【题型9】新定义运算与方程组结合 1.核心知识点 新定义转化为方程组；常规解法求解。 2.解题方法技巧 ①严格按新定义列方程组； ②选最优解法（代入/加减）； ③求出未知数再算新定义结果； ④紧扣定义，不主观臆断。 【例题9】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）对于任意实数、，定义新运算：，．例如：时，． (1)若，求、的值； (2)若关于、的方程组（为常数）的解也满足方程，求的值． 【变式题9-1】.（24-25八年级上·陕西汉中·期末）定义：若两个实数x、y满足，则称这两个实数x与y具有“友好关系”．已知关于x、y的二元一次方程组的解x与y具有“友好关系”，求a的值． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·河南南阳·月考）对于有理数，定义新运算：，，其中是常数．已知，． (1)求的值； (2)若关于的方程组的解也满足方程，求的值． 【变式题9-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）对于实数x，y，定义新运算：（a，b是常数）．已知． (1)求a，b的值． (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． 易错点 1.代入法循环代入：变形后代回原方程，出现恒等式，无法求解。 2.加减法符号错误：系数相同时相减，后项未全变号，导致结果错误。 3.去分母漏乘常数项：方程两边同乘时，只乘含未知数项，漏乘常数。 4.回代选错方程：代入复杂方程，计算量大易出错。 5.忽略检验：只求不解，不代回原方程组验证。 6.书写不规范：解不用大括号联立，步骤缺失。 7.统一系数不均：方程一边乘系数，另一边不乘，破坏等式。 重点 1.消元思想：二元转一元，是解方程组的核心。 2.代入、加减消元步骤：规范流程，步骤完整不跳步。 3.方法选择：系数±1用代入，系数整倍用加减。 4.含参问题处理：已知解求参、错解复原、同解问题。 5.检验习惯：解代回原方程组，确保正确。 难点 1.复杂系数方程组化简：分数、小数、括号混合，变形易错。 2.错解与同解逻辑：逆向思维，找准满足的方程。 3.整体换元：识别整体结构，换元与还原步骤。 4.含参解的不变性：消参判断代数式定值。 5.情境建模：古文、跨学科提取双等量关系。 【对应练习题】 一、单选题 1．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中不能得到一元一次方程的是（    ） A．①② B．②① C．①② D．①② 2．关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 3．若关于、的方程组的解是，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知方程组的解满足，则的值为______． 5．已知关于的方程组与方程组同解，则_____． 6．若关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则a的值是__________． 三、解答题 7．解方程： (1) (2) 8．已知关于x，y的二元一次方程组 (1)求该方程组的解（用含a的式子表示） (2)若x与y互为相反数，求a的值． 9．我们把关于x，y的两个二元一次方程与叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组叫作共轭二元一次方程组． (1)若关于x，y的二元一次方程组为共轭二元一次方程组，则 ， ； (2)若二元一次方程中x，y的值满足表格：则这个方程的共轭二元一次方程是 ； x 2 0 y 0 1 (3)发现：若共轭二元一次方程组的解是，则m，n之间的数量关系是 ． 10．下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①×3，得，③       第一步 ，得，         第二步 ．         第三步 将代入①，得．        第四步 所以，原方程组的解为，      第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法：以上求解步骤中，第一步的依据是 ． (2)第 步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解： ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.3 解二元一次方程组 知识点1：解二元一次方程组的核心思想 1.消元思想：将“二元”转化为“一元”，把二元一次方程组化为一元一次方程求解。 2.基本思路：消去一个未知数→解一元一次方程→回代求另一个未知数→联立写出解。 知识点2：代入消元法 1.定义：把方程组中一个方程的未知数用含另一未知数的式子表示，代入另一方程，实现消元求解。 2.适用条件：方程组中有未知数系数为±1或常数项为0，变形简便。 3.标准步骤： ①变形：选简单方程，写成或； ②代入：将变形式代入另一方程，严禁代入原方程； ③求解：解一元一次方程； ④回代：代入变形式求另一未知数； ⑤联立：用大括号写出解。 知识点3：加减消元法 1.定义：通过方程两边同乘适当数，使同一未知数系数相等或互为相反数，再相加/相减消元。 2.适用条件：同一未知数系数成整数倍或易化为相同/相反数。 3.标准步骤： ①变形：化某未知数系数相等或相反； ②加减：系数相等相减，相反相加； ③求解：解一元一次方程； ④回代：求另一未知数； ⑤联立：规范写解。 知识点4：两种解法对比（表格） 方法 优点 缺点 优先选用场景 代入法 步骤固定、易掌握 系数复杂时计算繁琐 有系数为±1的方程 加减法 计算快捷、适合整体系数 需统一系数，易符号出错 系数成倍数/易化同 【基础必考题型】 【题型1】代入消元法解二元一次方程组 1.核心知识点 代入消元法的定义与规范步骤；优先选择未知数系数为±1的方程进行变形。 2.解题方法技巧 ①观察系数，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示； ②代入另一个方程消元，严禁循环代入； ③解一元一次方程，再回代求另一个未知数； ④结果用大括号联立，代入原方程组检验。 【例题1】.（25-26七年级下·福建厦门·月考）解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用代入消元法计算即可； （2）运用加减消元法计算即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②得，， 解得，， 把代入①得，， ∴原方程组的解为； （2）解：， 原方程组变形得，， ∴得，， 即， 解得，， 把代入①得，， 解得，， ∴原方程组的解为． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）解下列方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， ∴方程组的解为； （2）解：， ，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴方程组的解为． 【变式题1-2】.（24-25七年级下·河北石家庄·月考）用代入法解方程组，下列解法中最简便的是（   ） A．由①，得代入② B．由①，得代入② C．由②，得代入① D．由②，得代入① 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，关键是掌握代入消元法解方程组的特点； 利用代入消元法解方程组时，首先从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来； 观察已知的方程组，由于方程②中x的系数为1，故可将方程②经过变形来解方程组较为简单，据此即可解答题目． 【详解】解：观察已知的方程组可发现，方程②中x的系数为1， 所以最简便的是将方程②变形为，再将代入①中即可进行求解， 故选：C． 【变式题1-3】.（24-25七年级下·全国·随堂练习）用代入消元法解方程组时，较简单的方法是（    ） A．由①得，再代入② B．由①得，再代入② C．由②得，再代入① D．由②得，再代入① 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，代入消元法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．观察方程组第一个方程的特点可知，再代入②式，可得到没有分母的方程，最为简便，从而得到答案． 【详解】解：由①得，，再代入②， 得到，这种变形方法最为简便， 故选：B． 【题型2】加减消元法解二元一次方程组 1.核心知识点 利用未知数系数相等或互为相反数进行加减消元；先统一系数再消元求解。 2.解题方法技巧 ①观察同一未知数系数，选择最小公倍数统一系数； ②系数相反相加、系数相同相减，精准消元； ③解出一个未知数后，回代求另一个未知数； ④联立解并代入原方程组检验正确性。 【例题2】.（24-25七年级下·浙江杭州·月考）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中消元正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将每个选项的方法计算出来即可判断． 【详解】解：A、得，，不符合题意，该选项错误； B、得，，不符合题意，该选项错误； C、得，，符合题意，该选项正确； D、得，，不符合题意，该选项错误． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中消元正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算每个选项操作后的结果，判断是否消去一个未知数即可得到正确答案． 【详解】解：A 、计算可得：， 未消去未知数，该选项错误． B 、计算可得：， 未消去未知数，该选项错误． C 、计算可得：， 已消去未知数，符合消元要求，该选项正确． D 、计算可得：， 未消去未知数，该选项错误． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·山西运城·月考）解关于x，y的方程组，下列消元方法正确的是（    ） 小明 小亮 小华 小林 由②，得，代入①，消去 ，消去 ，消去 由②，得，代入①，消去 A．小明 B．小亮 C．小华 D．小林 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的消元方法. 通过代入或加减消元判断的正确性即可． 【详解】解：小明：由②得代入①，得，方程仍含y，消去的是x，故小明错误； 小亮：将得：，得：，两式相减得：，即，消去x，故小亮正确； 小华：将得：，与①相加后为：，即，消去的是y而非x，故小华错误； 小林：由②得，故小林错误； 故选B． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·江苏南通·月考）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用加减消元法求解，先消去未知数，求出的值，再代入原方程求出的值即可， （2）运用加减消元法求解，先消去未知数，求出的值，再代入原方程求出的值即可． 【详解】（1）解： ，得， 解得， 把代入①，得, 解得， ∴方程组的解为． （2）解： ，得, 解得, 将代入①，得， 解得, ∴原方程组的解是． 【题型3】含分数/小数系数方程组化简求解 1.核心知识点 去分母、去括号法则；化繁为简思想。 2.解题方法技巧 ①先去分母、去括号，化为整数标准型； ②再选代入或加减法； ③步骤清晰，不跳步防错； ④最终解代回原方程检验。 【例题3】.（25-26七年级下·山东聊城·月考）解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法即可求解； （2）先将①两边乘以，得到，然后利用加减消元法即可求解． 【详解】（1）解：， 得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 由得， 得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴原方程组的解为：． 【变式题3-1】.（21-22七年级下·浙江温州·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法求解即可； （2）先将方程组化简，再运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 由①，得③， 将③代入②，得， 解得， 把代入③，解得， 原方程组的解为； （2）解：， ①去分母，整理得③， ，得④， 解得， 把代入②，得， 原方程组的解为． 【变式题3-2】.（25-26九年级下·广东珠海·开学考试）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组， 对于（1），由消去x求出y，再将y值代入求出x，即可得出答案； 对于（2），由消去y求出x，再代入求出y得出答案． 【详解】（1）解：原方程可化为， ，得， 解得； 把代入①得，解得． 所以原方程组的解为； （2）解：， ，得， 解得； 将代入①，得， 解得． 所以原方程组的解是． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·四川宜宾·月考）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： 得：， 解得， 将代入得：， 解得， 因此，原方程组的解为； （2）解： 得：， 解得， 把代入①得：， 解得， 因此，原方程组的解为． 【培优高频题型】 【题型4】已知方程组的解求参数值 1.核心知识点 方程组的解满足所有方程；转化为参数一元方程。 2.解题方法技巧 ①解全部代入两个方程； ②分别列参数方程，逐一求解； ③参数求出后回代验证； ④多参数时联立求解。 【例题4】.（25-26八年级上·河南郑州·月考）已知是二元一次方程组的解，则（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键． 先将代入二元一次方程组，得到关于和的方程，解出和的值，再计算． 【详解】解：∵是二元一次方程组的解， ∴， 将两式相加得到，解得， ∴， 解得， ∴， 故选：． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·山东东营·期末）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（    ） A．4 B．2 C． D．±2 【答案】B 【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及算术平方根，把x与y的值代入方程组，求出的值，即可求解算术平方根． 【详解】解：∵是二元一次方程组的解 ∴， 由①②得， 则的算术平方根为， 故选：B． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·湖南·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求a，b的值． 【答案】a的值为3，b的值为2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，把代入，得出关于a、b的方程，然后解方程组即可. 【详解】解：关于x，y的二元一次方程组的解为， ， 解得， 即a的值为3，b的值为2. 【变式题4-3】.（25-26八年级上·福建漳州·月考）已知方程组的解为，则的算术平方根是_________． 【答案】2 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，已知方程组的解求参数，已知字母的值求代数式的值．将方程组的解代入方程，先求b，再求a，然后计算的值，最后求算术平方根． 【详解】解：依题意，将代入，得， 即， 解得， 故， 将，代入，得， 即， 解得， 则， ∴4的算术平方根为2， 故答案为：2． 【题型5】错解复原问题 1.核心知识点 错解满足未看错的方程；逆向求正确参数。 2.解题方法技巧 ①分清看错与未看错方程； ②错解代入未看错方程求正确参数； ③还原参数，得原方程组； ④可求正确解作验证。 【例题5】.（25-26七年级下·浙江金华·月考）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】甲看错方程①中的，因此甲得到的解满足正确的方程②；乙看错方程②中的，因此乙得到的解满足正确的方程①，先联立求出正确的的值，再设乙看错的为，代入乙的解即可求出的值. 【详解】∵ 甲看错方程①中的a，甲得到的解满足正确的方程②， ∴ 代入②得 ③， ∵ 乙看错方程②中的b，乙得到的解满足正确的方程①， ∴ 代入①得 ④， 联立③④，③+④得 ， 设乙把②中的b看成了，将，代入看错的方程② ， 得 ， 整理得 ， 解得 ， 则乙把②中的b看成的数是． 【变式题5-1】.（24-25七年级下·山东烟台·月考）在解关于，的方程组时，小明由于将方程①的“”，看成了“”，因而得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入中可求出a，b的值，再把a，b的值代入中，解关于x，y的方程组即可解答． 【详解】解：把代入中可得：， 解得， 把代入中可得，， 解得：． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据甲看错a，其解满足不含a的方程，乙看错b，其解满足不含b的方程，分别代入求出的值后计算即可． 【详解】解：∵甲把字母a看错，得到的解，适合方程， ，解得， ∵乙把字母b看错，得到的解，适合方程， ∴，解得， ∴． 故选：A． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·河北石家庄·月考）李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：，则原方程组中的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据题意可得和都是方程的解，据此可得，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵李明、王超两位同学同时解方程组，李明解对了，得：，王超抄错了，得：， ∴， 解得， 故选：B． 【题型6】同解方程组问题 1.核心知识点 公共解满足所有方程；联立无参方程先求解。 2.解题方法技巧 ①联立不含参数的方程，求公共解； ②公共解代入含参方程，求参数； ③多参数分步求，不混乱； ④验证公共解有效性。 【例题6】.（25-26九年级上·重庆·期中）若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．5000 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解问题． 由于两个方程组有相同的解，可先由两个不含参数的方程联立解出公共解和，再代入含参数的方程求出和，进而计算． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴可得方程组：， ， 解得：， 将，代入得：， 解得：， ∴， 故选：B． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·全国·期末）若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（ ） A．0 B． C．1 D．2021 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题． 利用不含参的两个方程联立方程组求解，再代入含参方程列二元一次方程组后两式相加即可． 【详解】解：由题可列方程组， 解得， 把代入得， ①+②得， ， ． 故选：B． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·福建泉州·月考）已知方程组的解是，则方程组的解为______． 【答案】 【分析】令，，则方程组变形为，结合题意可得方程组的解是，从而得出，，由此计算即可得出结果． 【详解】解：令，，则方程组变形为， ∵方程组的解是， ∴方程组的解是， ∴，， ∴，， ∴方程组的解为． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·山东聊城·月考）已知方程组与有相同的解，求、的值及方程组的解． 【答案】，，方程组的解为 【分析】根据两个方程组解相同，将不含、的方程联立求出、的值，再将、的值代入其余两个方程即可求出、的值． 【详解】解：根据题意，得， 由得，， 将代入得，， 解得， 将代入得，， 方程组的解为， 把代入方程组， 可得， 得，， 得，， 解得， 将代入得，， 解得， ，，方程组的解为． 【题型7】整体代入/换元法解特殊方程组 1.核心知识点 整体思想；换元化繁为简。 2.解题方法技巧 ①识别重复整体，如、； ②设新元替换，简化方程组； ③解新方程组，再回代求原未知数； ④不忘换元要还原。 【例题7】.（25-26七年级下·山东聊城·月考）我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的二元一次方程组的解； (2)请用上面的换元法解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，得到，然后解方程组即可； （2）设，得到，然后解方程组即可； 【详解】（1）解：设， 则原方程组可化为， ， 解得：； （2）设， 则原方程组可化为， 化简整理得， 解得：， ， 解得． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·河南南阳·月考）阅读探索：解方程组 解：设，，原方程组可以化为解得 即【此种解方程组的方法叫做换元法】 (1)运用上述方法解方程组 (2)已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照题干方法，利用换元法解方程组即可； （2）根据题意易得方程组的解满足，进行求解即可． 【详解】（1）解：设，原方程组可化为， 解得，即， ∴； （2）解：∵关于，的方程组的解为， ∴关于，的方程组的解满足， 解得. 【变式题7-2】.（25-26七年级下·河南南阳·月考）解方程组 解：设，，原方程组可变为 解得：．所以，解得，此种解方程组的方法叫换元法． (1)【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： (2)【能力运用】已知关于x，y的方程组：的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照题干，设、，原方程组可变为，解方程组，再得到原方程组的解即可； （2）设、，根据题意可得到，解方程即可． 【详解】（1）解：设、， 原方程组可变为， 解得：， 所以， 解得； （2）解：设、， 原方程组可变为， 关于，的方程组的解为， ， 解得， 方程组的解为． 【变式题7-3】.（2026八年级下·福建泉州·专题练习）阅读下列材料：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得，∴原方程组的解为． (1)学以致用．运用上述方法解下列方程组：． (2)拓展提升．已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m，n的方程组的解是________． (3)已知方程组的解是，求方程组的解（写出过程）． 【答案】(1)原方程组的解为 (2)关于m，n的方程组的解为 (3) 【详解】（1）解：， 设， ∴， 得，， 整理得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴， 解得，， ∴原方程组的解为； （2）解：关于x，y的方程组的解为， ∴， ∴， 解得，， ∴关于m，n的方程组的解为； （3）解：∵方程组的解是， ∴， ∴， 由可知， 解得，． 【压轴素养题型】 【题型8】解满足特殊关系的方程组 1.核心知识点 特殊关系转化为新方程；联立求解。 2.解题方法技巧 ①把、转化为代入式； ②代入原方程组，化为一元方程； ③求解后验证特殊关系； ④规范书写，步骤完整。 【例题8】.（25-26七年级下·重庆·月考）已知关于x、y的方程组的解为整数，则满足条件的整数m的值为______． 【答案】 【分析】先用加减消元法消去y，将x表示为含m的分式，再根据x为整数得出分母是22的因数．逐一验证确定m的值，若m的值是整数，则代入检验y是否为整数． 【详解】解： 将②得，③ ①+③，得， ， 为整数， 是22的因数， 22的因数为， 当时，代入②得解得为整数，符合； 当时（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，，代入②得不是整数，舍去； 当时，（舍去）． 故答案为：． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·河南南阳·月考）已知关于，的二元一次方程组 (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）先将方程变形为，再根据、为正整数的条件，确定的取值范围，进而得到对应的值． （2）可将与原方程组中的组成新的方程组，先求出、的值，再将、的值代入含的方程中，求解． 【详解】（1）将方程变形为 ， 因为、是正整数，所以，即， 因为是正整数， ∴或； 当时，； 当时，； 因此所有正整数解为： ，； （2）由题意，方程组的解满足， 联立得： ， 由得， 代入，解得，． 将，代入方程，得 ， 解得． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·河南周口·月考）已知方程组 的解满足，求k的值． 【答案】 【分析】将方程组的两式相加可得，再将整体代入得到关于k的一元一次方程求解即可． 【详解】解：， 得：，即， ∴，即，解得：． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）已知关于、的二元一次方程组，其中是常数． (1)用的代数式表示该方程组的解； (2)若该方程组的解满足，求的值； (3)已知，求的最小值，并求此时的值． 【答案】(1) (2)； (3)时，的最小值为． 【分析】（1）利用加减消元法，将第一个方程两边同乘2后与第二个方程相加，消去未知数，求出关于的代数式，再将代入原方程，求出关于的代数式，从而得到方程组的解。 （2）将（1）中得到的、关于的代数式代入，得到关于的一元一次方程，解方程求出的值。 （3）将、关于的代数式代入，得到关于的二次函数，再通过配方法将二次函数化为顶点式，利用平方的非负性求出的最小值及对应的的值。 【详解】（1）解：， ，得：，解得：， 将代入②，得：，解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：∵该方程组的解满足， ∴，解得：； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴时，的最小值为． 【题型9】新定义运算与方程组结合 1.核心知识点 新定义转化为方程组；常规解法求解。 2.解题方法技巧 ①严格按新定义列方程组； ②选最优解法（代入/加减）； ③求出未知数再算新定义结果； ④紧扣定义，不主观臆断。 【例题9】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）对于任意实数、，定义新运算：，．例如：时，． (1)若，求、的值； (2)若关于、的方程组（为常数）的解也满足方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算以及二元一次方程组，能够根据题意列出二元一次方程组是解题关键； （1）根据定义新运算得出关于x、y的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得； （2）解：∵， ∴， 得到， ∵， ∴，解得． 【变式题9-1】.（24-25八年级上·陕西汉中·期末）定义：若两个实数x、y满足，则称这两个实数x与y具有“友好关系”．已知关于x、y的二元一次方程组的解x与y具有“友好关系”，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键．根据“友好关系”的定义可得这个方程组的解满足，与方程组中的第一个方程联立可得一个关于的方程组，利用加减消元法解方程组求出的值，然后代入方程组中的第二个方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：∵关于、的二元一次方程组的解与具有“友好关系”， ∴， 联立， 解得， 将代入方程得：， 解得：． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·河南南阳·月考）对于有理数，定义新运算：，，其中是常数．已知，． (1)求的值； (2)若关于的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）列方程组，用加减消元法解方程组即可； （2）根据题意得出关于x，y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 得，， 解得，， 把代入②得，， 解得：； （2）解：， ∴ 解得：， ∵， ∴， 解得：． 【变式题9-3】.（2025八年级上·全国·专题练习）对于实数x，y，定义新运算：（a，b是常数）．已知． (1)求a，b的值． (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出方程是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于、的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于、的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得 （2）解：根据题意，得 解得 所以， 解得． 易错点 1.代入法循环代入：变形后代回原方程，出现恒等式，无法求解。 2.加减法符号错误：系数相同时相减，后项未全变号，导致结果错误。 3.去分母漏乘常数项：方程两边同乘时，只乘含未知数项，漏乘常数。 4.回代选错方程：代入复杂方程，计算量大易出错。 5.忽略检验：只求不解，不代回原方程组验证。 6.书写不规范：解不用大括号联立，步骤缺失。 7.统一系数不均：方程一边乘系数，另一边不乘，破坏等式。 重点 1.消元思想：二元转一元，是解方程组的核心。 2.代入、加减消元步骤：规范流程，步骤完整不跳步。 3.方法选择：系数±1用代入，系数整倍用加减。 4.含参问题处理：已知解求参、错解复原、同解问题。 5.检验习惯：解代回原方程组，确保正确。 难点 1.复杂系数方程组化简：分数、小数、括号混合，变形易错。 2.错解与同解逻辑：逆向思维，找准满足的方程。 3.整体换元：识别整体结构，换元与还原步骤。 4.含参解的不变性：消参判断代数式定值。 5.情境建模：古文、跨学科提取双等量关系。 【对应练习题】 一、单选题 1．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中不能得到一元一次方程的是（    ） A．①② B．②① C．①② D．①② 【答案】C 【分析】掌握加减消元法的步骤是求解本题的关键．根据加减消元法依次判断． 【详解】解：A. ①②得，可以得到一元一次方程，故选项不合题意； B. ②①得，可以得到一元一次方程，故选项不合题意； C. ①②得，不可以得到一元一次方程，故选项符合题意； D. ①②得，可以得到一元一次方程，故选项不合题意． 2．关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解原方程组，用含k的式子表示x和y，再将代入方程，即可计算得到k的值. 【详解】解： ∵ ①②得 ， ∴ 解得 ， 把代入②得 ， 解得 ， 把代入， 得 ， 即 ， 解得 . 3．若关于、的方程组的解是，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方程组转化为，结合题意得出，计算即可得出结果． 【详解】解：方程组转化为， ∵关于、的方程组的解是， ∴, ∴． 二、填空题 4．已知方程组的解满足，则的值为______． 【答案】 【详解】解： 得：，即， ∵， ∴， ∴． 5．已知关于的方程组与方程组同解，则_____． 【答案】81 【分析】先联立不含参数的方程和 解出x和y，再代入含参数的方程求a和b，即可． 【详解】解：联立方程 ， 解得 ， 把 代入 得， 解得 ， ∴． 6．若关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则a的值是__________． 【答案】 【分析】根据x与y互为相反数得到，结合方程组中第二个方程求出的值，再代入第一个方程计算得到的值． 【详解】解：由x与y互为相反数，得，即， 将代入方程，得， 移项并合并同类项，得， 系数化为1，得，则， 将代入，得， 整理得， 解得． 三、解答题 7．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据代入法解二元一次方程组的步骤，逐步计算求解即可； （2）根据加减法解二元一次方程组的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】（1）解： 由①，得③ 将③代入②，得 ， 解得， 将代入③，得 ， ∴原方程组的解为； （2）解： ，得 ③， ，得 ， 解得， 将代入③，得 ， 解得， ∴原方程组的解为． 8．已知关于x，y的二元一次方程组 (1)求该方程组的解（用含a的式子表示） (2)若x与y互为相反数，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用加减消元法求解即可； （2）根据互为相反数相加得零列式求解即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， 把代入①，得 解得， ∴； （2）解：∵x与y互为相反数， ∴， ∴， ∴， 解得． 9．我们把关于x，y的两个二元一次方程与叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组叫作共轭二元一次方程组． (1)若关于x，y的二元一次方程组为共轭二元一次方程组，则 ， ； (2)若二元一次方程中x，y的值满足表格：则这个方程的共轭二元一次方程是 ； x 2 0 y 0 1 (3)发现：若共轭二元一次方程组的解是，则m，n之间的数量关系是 ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）由定义得到方程组，再解方程组即可； （）将，； ，，代入方程中，求出这个二元一次方程，即可写出这个方程的共轭二元一次方程； （）将方程组的解代入，再由加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：是共轭二元一次方程组， 则， 解得； （2）解：将，； ，，代入方程中， ，， ∴， ∴二元一次方程是， ∴共轭二元一次方程是； （3）解：∵的解为， ∴， 得， ∴， ∵， ∴， 即． 10．下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①×3，得，③       第一步 ，得，         第二步 ．         第三步 将代入①，得．        第四步 所以，原方程组的解为，      第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法：以上求解步骤中，第一步的依据是 ． (2)第 步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解： ． 【答案】(1) 加减消元；等式的性质 (2) 二 (3) 【分析】（1）根据二元一次方程组的解法即可解题； （2）第二步计算错误； （3）根据消元法继续计算即可． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法；以上求解步骤中，第一步的依据是等式的性质； （2）解：第二步出现错误，应得到； （3）解：将代入①，得， ∴原方程组的解为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $