专题11.4 一元一次不等式组（2大知识点+8大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2025-2026学年苏科版七年级数学下学期

本讲义聚焦一元一次不等式组核心知识点，系统梳理概念（含三个必备条件）、解集（四种基本类型及口诀）和解法三步，从概念理解到解集确定再到规范求解，构建完整学习支架。 资料亮点在于分层题型设计，基础题型巩固概念与解法，培优题型强化参数推理，压轴题型融合方程与新定义，培养抽象能力、推理意识和创新意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用能力。

专题11.4 一元一次不等式组 知识点1：一元一次不等式组的概念 1.定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 2.三个必备条件 每个不等式都是一元一次不等式 所有不等式只含同一个未知数 不等式个数≥2 3.常见形式 知识点2：一元一次不等式组的解集 1.定义：不等式组中所有不等式解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集；无公共部分则无解。 2.四种基本解集（设） 不等式组 数轴表示 解集 口诀 同向右 同大取大 同向左 同小取小 中间重叠 大小小大中间找 无重叠 无解 大大小小找不到 3.解法三步 1.分别解出每个不等式的解集 2.在同一数轴上表示所有解集 3.找公共部分，写出不等式组解集 【基础必考题型】 【题型1】一元一次不等式组的识别判断 1.核心知识点 一元一次不等式组定义；同一未知数、一元一次、≥2个不等式 2.解题方法技巧 一看未知数是否统一→二看每个不等式是否一元一次→三看个数≥2 【例题1】.（24-25九年级下·河北沧州·月考）我们把两个（或两个以上）的_____，就组成了一个一元一次不等式组． 【答案】一元一次不等式合在一起 【分析】本题考查了一元一次不等式组的概念，直接根据一元一次不等式组的定义解答． 【详解】解：把两个（或两个以上）的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 故空中填：一元一次不等式合在一起． 【变式题1-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键. 根据一元一次不等式组的定义逐项判断即可 【详解】解：A、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； B、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； C、 是一元一次不等式组，故该选项符合题意； D、 不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； 故选：C 【变式题1-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式组中，是一元一次不等式组的有________．（填序号） ①    ②    ③   ④    ⑤ 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的定义，熟练掌握定义并灵活运用是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次，对各选项判断后即可得解． 【详解】解：根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组； ③含有两个未知数， ⑤含有一个未知数，但未知数的最高次数是2， 所以③⑤都不是一元一次不等式组． 故答案为：①②④． 【变式题1-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是________（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，主要考查学生的理解能力和判断能力．一元一次不等式组中只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：① 该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ②该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组；    ③该不等式组是一元一次不等式组； ④该不等式组是一元一次不等式组； ⑤该不等式组是一元一次不等式组； ⑥该不等式组中第2个不等式左边不是整式，不是一元一次不等式组； 则是一元一次不等式组的是③④⑤， 故选答案为：③④⑤． 【题型2】直接解一元一次不等式组（无参数） 1.核心知识点 解一元一次不等式；找公共部分；数轴表示 2.解题方法技巧 先逐个解→画数轴→定重叠→写解集；严格用口诀 【例题2】.（2026·安徽阜阳·二模）解不等式组． 【答案】 【分析】先分别求出各不等式的解集，再根据解集的规律“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”取公共部分得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解为：． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·安徽合肥·期中）解不等式组： 【答案】 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·广西贵港·期中）解不等式组． 【答案】不等式组的解集为 【分析】分别求解两个一元一次不等式，再求出其公共解集即可． 【详解】解：， 解不等式①， 去括号得 移项，合并同类项得； 解不等式② 去分母得 移项，合并同类项得 系数化为1得； 不等式组的解集为． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·山东枣庄·期中）解不等式及不等式组 (1)解不等式：，并将其解集表示在数轴上． (2)解不等式组，并求它的所有整数解． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)；，，0，1，2 【详解】（1）解： ， ， ． 在数轴上表示不等式的解集为： （2）解： 解不等式①得； 解不等式②得； 则； 故整数解为，，0，1，2． 【题型3】求不等式组的整数解/非负整数解 1.核心知识点 求解集；在范围内筛选整数；端点取舍 2.解题方法技巧 先解组→画数轴→圈整数→注意包含/不包含端点 【例题3】.（25-26八年级下·宁夏银川·期中）解不等式组，并求出它的所有整数解． 【答案】 ，所有整数解为0，1，2，3 【详解】解：， 由①，得； 由②，得； ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为0，1，2，3. 【变式题3-1】.（2026·广东江门·一模）解不等式组：，并求出它的正整数解． 【答案】不等式组的解集是，不等式组的正整数解为 【分析】先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再求出两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后从解集中筛选出正整数即可． 【详解】解：， 解不等式，得：； 解不等式，得：； 即不等式组的解集为：，其正整数解为． 【变式题3-2】.（25-26九年级下·重庆江津·月考）计算：解不等式组，并写出该不等式组的偶数解． 【答案】 不等式组的解集为，偶数解为 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，从而可得不等式组的偶数解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的偶数解为：，． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·北京·期中）解不等式组：，并写出该不等式组的非负整数解． 【答案】解集为，非负整数解为和 【分析】先分别求出两个不等式的解集，可得到不等式组的解集，即可求解 【详解】解：解不等式，得 ， 解不等式，得 ， 则不等式组的解集为， ∴不等式组的非负整数解为0和1． 【培优高频题型】 【题型4】由不等式组解集求参数值/范围 1.核心知识点 解集逆向运用；同大取大、同小取小反推参数 2.解题方法技巧 用已知解集对照口诀→列等式/不等式→求参数；临界值单独验证 【例题4】.（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若不等式组的解集是，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先求出不等式的解集，再根据不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解：解不等式 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ∵不等式组的解集是， ∴． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·河南南阳·期中）已知不等式组的解集是，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得出答案即可． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 当时，解得；当时，（不符合题意）． ∵不等式组的解集是， ∴， 解得， 所以a的取值范围是． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·宁夏银川·期中）若不等式组的解集是，则______． 【答案】1 【分析】先求出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集列出关于、的方程，求出、的值，继而代入计算即可． 【详解】解：解不等式，得 ， 解不等式，得 ， 不等式组的解集为， ，， 解得，， ． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·河南平顶山·期中）已知关于的不等式组的解集是，则的值是________． 【答案】 【分析】先解不等式组中两个不等式得到各自解集，再根据已知不等式组的解集得到关于和的方程，求出的值，代入代数式计算即可得到结果． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 因此不等式组的解集为， 不等式组的解集是， ，， 解得，， 将代入代数式得：． 【题型5】由整数解个数反推参数范围 1.核心知识点 数形结合；数轴定位；边界临界分析 2.解题方法技巧 标整数解→定参数区间→判断等号是否成立→写范围 【例题5】.（2026·湖南娄底·模拟预测）不等式组恰有3个非负整数解，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得不等式组的解集为，则有该不等式组的3个非负整数解为，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：， 由①可得：； 由②可得：； ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰有3个非负整数解， ∴该不等式组的3个非负整数解为， ∴， 解得：． 在数轴上表示解集如图所示： 【变式题5-1】.（25-26八年级下·河北保定·期中）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数建立关于的不等式，即可求解的取值范围． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， 不等式组的解集为， 不等式组有且仅有4个整数解， 不等式组的个整数解为，，0，1， ． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·四川成都·期中）若不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是__________________． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的整数解问题，先解不等式组，写出不等式组的解集，再根据恰有三个整数解，可求出的范围． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得， ∵不等式组恰有3个整数解， ∴整数解为5，4，3， ∴． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·陕西西安·期中）关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别解出两个不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解，即可确定a的取值范围 【详解】解：解不等式组 解不等式，得 解不等式，移项得，系数化为得 不等式组的解集为 不等式组有且只有三个整数解， 不等式组的三个整数解为，， 【题型6】不等式组有解/无解/有公共解求参数 1.核心知识点 有解⇨有公共部分；无解⇨无公共部分 2.解题方法技巧 画数轴→看是否重叠→列不等式；等号单独检验 【例题6】.（25-26八年级下·江西吉安·期中）如果关于的不等式组无解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据不等式组解集的表示方法“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则可得答案． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， ∴． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）如果关于的不等式组无解，那么的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先化简不等式组，然后再根据不等式组无解确定m的取值范围即可． 【详解】解：关于的不等式组可化为， ∵该不等式组无解， ∴． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·辽宁阜新·期中）若关于的不等式组无解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件得到关于的不等式，即可求出的取值范围. 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得： 不等式组无解， ． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·河南新乡·期中）若关于的不等式组有解，且关于的方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为______． 【答案】 【分析】先解一元一次不等式组，根据不等式组有解确定的取值范围，再解关于的一元一次方程，根据方程有非负整数解找出符合条件的整数，最后计算所有符合条件的整数的和． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∵不等式组有解， ∴， 解得：， 化简方程得， ∵， ∴， ∴方程的解为， ∵方程有非负整数解，且不满足方程， ∴为正整数，即为负整数，且是的因数， ∵， ∴， ∴的可能取值为， ∴对应整数为． ∴符合条件的所有整数的和为． 【压轴素养题型】 【题型7】方程（组）与不等式组综合求参数 1.核心知识点 解方程组；用解满足不等式组；求参数范围 2.解题方法技巧 先解方程组→用表达式代入不等式组→解关于参数的不等式组 【例题7】.（25-26七年级下·安徽合肥·期中）关于的方程组，且满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组，进而用含的式子表示，得到关于的不等式组，求解即可； （2）根据已知等式得到代入，再结合（1）所得的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：将原方程组整理为， 由得，解得：， 由得，解得：， ， ， ， 解得：； （2）解：， ， ， 由（1）可知，， ， 即的取值范围是． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知满足，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】用第②个方程减第①个得，即得，再解不等式组即可求解． 【详解】解：， ②①，得， ∵ ∴， 即， 解得， ∴的取值范围为． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·广西桂林·月考）关于x、y的方程组，且x、y满足，求a的取值范围； 【答案】 【分析】利用代入消元法，得出，再代入不等式求解即可． 【详解】解：， 由得：， ， ， ． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知关于的方程组的解满足条件，，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，利用加减消元法求出方程组的解，进而得到关于的一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：， ①②得，， ∴， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为， ∵，， ∴， 解得 解得， ∴的取值范围为． 【题型8】新定义运算与不等式组 1.核心知识点 新定义翻译；转化为一元一次不等式组；整数解计数 2.解题方法技巧 按规则写不等式→组→解→筛解→计数 【例题8】.（25-26七年级下·河南周口·期中）定义新运算： (1)计算：； (2)若 求x、y的值． 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）根据新定义可得，据此求解即可； （2）根据新定义可得，解方程组即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵ ∴，即， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·山东淄博·期中）我们定义：若整式M与N满足：（k为整数），我们称M与N为关于k的平衡整式，例如，若，我们称M与N为关于1的平衡整式．若与y为关于2的平衡整式，与为关于5的平衡整式，求的值为（   ） A．2 B． C．12 D．26 【答案】A 【分析】根据题中的新定义列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可求出的值． 【详解】解∶根据题意，得， 整理得， ，得， ∴． 【变式题8-2】.（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则______． 【答案】15 【分析】本题考查数字类规律探究，整式加减中不含某一项问题，先根据，令，求出相应的结果，进而推导出当时的结果，利用新定义，求出，再根据新定义求出，根据不含项，得到项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴ ， ∵不含项， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∵均为的整数幂，为偶数， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：15． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·江苏盐城·期中）定义新运算 对于两个数a，b，定义运算“⊙”，满足． 例如：． (1)计算：________；________． 【应用新运算】 (2)①计算：． ②已知a，b满足方程组：，求a，b的值． 【拓展应用】 (3)如图，将边长为a的正方形和边长为b的正方形拼在一起，其中，D、C、G三点在同一直线上，连接、、，若的面积与的面积之和为5，的面积为，则的值为________． 【答案】(1)14； (2)①；②， (3)23 【分析】（1）根据新定义的运算计算即可； （2）①根据新定义的运算计算即可； ②先分别计算和，化简后再根据加减消元法解方程即可； （2）先根据面积条件推导a，b的关系，，根据完全平方公式变形得出，再根据新定义化简后代入求值即可． 【详解】（1）解：； ． （2）解：①； ②∵， 根据题意可得， 化简得， 得， 解得：， 将代入①可得， 解得：； （3）解：根据题意可得面积为，面积为， ∵的面积与的面积之和为5， ∴，即， ∵的面积为， ∴，即， 由完全平方公式：， ∵a，b为正数，故， ， 代入得：原式． 易错点 1.判断不等式组时忽略“同一个未知数”，出现多个未知数。 2.找解集时只看单个不等式，不找公共部分，把“或”当成“且”。 3.数轴虚实点混淆，含等号画空心、不含等号画实心。 4.套用口诀不看前提，如“大小小大”强行用“同大取大”。 5.整数解漏端点、多解或边界等号判断错误。 6.有解无解问题漏验证等号，导致范围多取或少取。 重点 1.一元一次不等式组概念与判断。 2.解不等式组三步法与四种解集口诀。 3.数轴表示解集与找公共部分。 4.求整数解及由解集/整数解求参数。 难点 1.由整数解个数反推参数范围（数形结合+临界分析）。 2.有解、无解、解不在指定区间的参数讨论。 3.新定义、程序框图、情境题中准确列不等式组。 4.方程（组）与不等式组综合求参数。 【对应练习题】 一、单选题 1．如果，那么下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于选项A：不等式两边同时乘以，不等号方向不变，可得，故A正确； 对于选项B：不等式两边同时除以，不等号方向不变，可得，故B正确； 对于选项C：不等式两边同时减去，不等号方向不变，可得，故C正确； 对于选项D：不等式两边同时乘以，不等号方向改变，可得，故D错误． 2．已知实数，满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可知，即，，根据求出b的取值范围，进而根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴，，， 即，，， 可知判断正确的是D． 3．语句“与的的差是非负数”表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：“与的的差是非负数”表示． 4．不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别解出不等式，再把它的解集在数轴上表示即可判断． 【详解】解：解不等式组， 解不等式得 解不等式得, 故不等式组的解集为， 只有选项C符合题意． 二、填空题 5．如图是加工零件的直径的尺寸要求，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据题意可得，化简即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 6．已知关于，的二元一次方程组，且，则写出满足条件的的一个整数_____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】运用整体思想，将，得到，结合，求出的取值范围，再选取一个合适的整数即可． 【详解】解：， 将，得， ∵， ∴， 解得， ∴可取．（答案不唯一） 7．若关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】先将可得，再根据得出不等式，然后求出解集即可． 【详解】解：， ，得， 即． ∵， ∴， 解得． 8．定义：表示不大于的最大整数，如．我们把满足（为常数）的的取值范围叫作的核心范围，如的的核心范围为的的核心范围为． （1）若，则的核心范围是___________． （2）若关于的不等式组有且只有五个整数解，写出的取值范围___________． 【答案】 【分析】（1）根据新定义以及核心范围的定义，即可求出结论； （2）由，可求出，结合原不等式组只有五个整数解，即可找出的取值范围． 【详解】（1）解：表示不大于的最大整数，， ； （2）解：由，得， 有且只有五个整数解， 的五个整数解为：， ． 三、解答题 9．按要求完成各题： (1)解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，所有整数解为、、0、1 【分析】（1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式，再将解集在数轴上表示出来； （2）分别解不等式组中的不等式，取两个解集的公共部分得到不等式组的解集，再找出解集中的整数即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； 解集在数轴上表示如下： （2）解：， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为、、0、1． 10．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“风不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“风不等式”． (1)在不等式：①，②，③中，不等式的“风不等式”是___________（填序号）； (2)若关于x的不等式不是的“风不等式”，求m的取值范围； (3)若，关于x的不等式与不等式互为“风不等式”，求a的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3)或 【分析】（1）分别求出各不等式的解集，根据“风不等式”的定义判断即可； （2）分别求出两不等式的解集，根据“风不等式”的定义列不等式求解即可； （3）分两种情况根据“风不等式”的定义列不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵，解得， ∴与没有公共解， ∴①不是不等式的“风不等式”： ∵不等式和不等式有公共解， ∴②是不等式的“风不等式”； ∵不等式的解集为． ∴和不等式没有公共解， ∴③不是不等式的“风不等式”； （2）解：解不等式， 得， 解不等式， 得， ∵关于x的不等式不是的“风不等式”， ∴， 解得，故m的取值范围是； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴ ①当时，即时， 则， 依题意有， 即， 故； ②当时，即时， 则， 始终符合题意， 故； 综上，a的取值范围为或 11．某市近年来积极探索无人机技术的应用，推动了农业现代化的快速发展．据了解，3架A款无人机和2架B款无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，2架A款无人机和3架B款无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒． (1)求A，B两款无人机每架每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？ (2)若当地高标准农田建设项目总占地面积不超过1501亩，计划使用A，B两款无人机共18架同时进行1小时的农药喷洒，喷洒期间A，B两款无人机的平均农药损耗率为，那么最多能使用多少架A款无人机？ 【答案】(1)每架A款无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒，每架B款无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒 (2)最多能使用7架A款无人机 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据已知条件列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设每架A款无人机每小时可为亩土地进行农药喷洒，每架B款无人机每小时可为亩土地进行农药喷洒，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设使用架A款无人机，则使用架B款无人机，根据题意列出不等式，解不等式，结合是正整数，确定最多能使用A款无人机的数量即可． 【详解】（1）解：设每架A款无人机每小时可为亩土地进行农药喷洒，每架B款无人机每小时可为亩土地进行农药喷洒， 由题意得： 解得 答：每架A款无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒，每架B款无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒； （2）解：设使用架A款无人机，则使用架B款无人机， 由题意得：， 解得：， 是正整数， 最大为7， 答：最多能使用7架A款无人机． 12．某电商平台甲、乙、丙三个直播间的促销活动如下表所示： 直播间 活动方案 甲 全场六折 乙 “满100送100”（如：购买190元商品，赠100元购物券：购买200元商品，赠200元购物券） 丙 “满100减50”（如：购买190元商品，只需付140元：购买200元商品，只需付100元） 请根据上述信息，解答下列问题： (1)甲、乙两个直播间同时出售一款标价为380元的破壁机和标价为300多元的空气炸锅，小明妈妈想买这两件厨房用品，小明通过计算发现在甲直播间同时购买这两件商品与在乙直播间先买破壁机再买空气炸锅所花的钱是相同的，求空气炸锅的标价． (2)在甲、丙两个直播间标价均为元（）的商品，当的取值范围是多少时，到甲直播间购买更合算？ 【答案】(1)370 (2)当或时，到甲直播间购买更合算． 【分析】（1）设这种空气炸锅的标价为y元，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）先求出甲直播间：全场六折，实际花费为元． 丙直播间：“满100减50”，分两种情况：①当时，②当时，逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：设空气炸锅的标价为y元，由题意，得 ， 解得， 答：空气炸锅的标价为370元． （2）解：甲直播间：全场六折，实际花费为元． 丙直播间：“满100减50”，分两种情况： ①当时，不满足满减条件，实际花费为x元，要使甲直播间更合算，即甲的花费<丙的花费， ∴， 解得， ∴， ②当时，满足满减条件，实际花费为元，要使甲直播间更合算，即甲的花费<丙的花费， ∴， 解得 ∴， 综上所述，当或时，到甲直播间购买更合算． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.4 一元一次不等式组 知识点1：一元一次不等式组的概念 1.定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 2.三个必备条件 每个不等式都是一元一次不等式 所有不等式只含同一个未知数 不等式个数≥2 3.常见形式 知识点2：一元一次不等式组的解集 1.定义：不等式组中所有不等式解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集；无公共部分则无解。 2.四种基本解集（设） 不等式组 数轴表示 解集 口诀 同向右 同大取大 同向左 同小取小 中间重叠 大小小大中间找 无重叠 无解 大大小小找不到 3.解法三步 1.分别解出每个不等式的解集 2.在同一数轴上表示所有解集 3.找公共部分，写出不等式组解集 【基础必考题型】 【题型1】一元一次不等式组的识别判断 1.核心知识点 一元一次不等式组定义；同一未知数、一元一次、≥2个不等式 2.解题方法技巧 一看未知数是否统一→二看每个不等式是否一元一次→三看个数≥2 【例题1】.（24-25九年级下·河北沧州·月考）我们把两个（或两个以上）的_____，就组成了一个一元一次不等式组． 【变式题1-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式组中，是一元一次不等式组的有________．（填序号） ①    ②    ③   ④    ⑤ 【变式题1-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是________（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 【题型2】直接解一元一次不等式组（无参数） 1.核心知识点 解一元一次不等式；找公共部分；数轴表示 2.解题方法技巧 先逐个解→画数轴→定重叠→写解集；严格用口诀 【例题2】.（2026·安徽阜阳·二模）解不等式组． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·安徽合肥·期中）解不等式组： 【变式题2-2】.（25-26七年级下·广西贵港·期中）解不等式组． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·山东枣庄·期中）解不等式及不等式组 (1)解不等式：，并将其解集表示在数轴上． (2)解不等式组，并求它的所有整数解． 【题型3】求不等式组的整数解/非负整数解 1.核心知识点 求解集；在范围内筛选整数；端点取舍 2.解题方法技巧 先解组→画数轴→圈整数→注意包含/不包含端点 【例题3】.（25-26八年级下·宁夏银川·期中）解不等式组，并求出它的所有整数解． 【变式题3-1】.（2026·广东江门·一模）解不等式组：，并求出它的正整数解． 【变式题3-2】.（25-26九年级下·重庆江津·月考）计算：解不等式组，并写出该不等式组的偶数解． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·北京·期中）解不等式组：，并写出该不等式组的非负整数解． 【培优高频题型】 【题型4】由不等式组解集求参数值/范围 1.核心知识点 解集逆向运用；同大取大、同小取小反推参数 2.解题方法技巧 用已知解集对照口诀→列等式/不等式→求参数；临界值单独验证 【例题4】.（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若不等式组的解集是，则的取值范围是___________． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·河南南阳·期中）已知不等式组的解集是，则的取值范围是__________． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·宁夏银川·期中）若不等式组的解集是，则______． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·河南平顶山·期中）已知关于的不等式组的解集是，则的值是________． 【题型5】由整数解个数反推参数范围 1.核心知识点 数形结合；数轴定位；边界临界分析 2.解题方法技巧 标整数解→定参数区间→判断等号是否成立→写范围 【例题5】.（2026·湖南娄底·模拟预测）不等式组恰有3个非负整数解，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·河北保定·期中）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则a的取值范围为______． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·四川成都·期中）若不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是__________________． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·陕西西安·期中）关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是______． 【题型6】不等式组有解/无解/有公共解求参数 1.核心知识点 有解⇨有公共部分；无解⇨无公共部分 2.解题方法技巧 画数轴→看是否重叠→列不等式；等号单独检验 【例题6】.（25-26八年级下·江西吉安·期中）如果关于的不等式组无解，则实数的取值范围是__________． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）如果关于的不等式组无解，那么的取值范围是_______． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·辽宁阜新·期中）若关于的不等式组无解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·河南新乡·期中）若关于的不等式组有解，且关于的方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为______． 【压轴素养题型】 【题型7】方程（组）与不等式组综合求参数 1.核心知识点 解方程组；用解满足不等式组；求参数范围 2.解题方法技巧 先解方程组→用表达式代入不等式组→解关于参数的不等式组 【例题7】.（25-26七年级下·安徽合肥·期中）关于的方程组，且满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知满足，则的取值范围为______． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·广西桂林·月考）关于x、y的方程组，且x、y满足，求a的取值范围； 【变式题7-3】.（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知关于的方程组的解满足条件，，求的取值范围． 【题型8】新定义运算与不等式组 1.核心知识点 新定义翻译；转化为一元一次不等式组；整数解计数 2.解题方法技巧 按规则写不等式→组→解→筛解→计数 【例题8】.（25-26七年级下·河南周口·期中）定义新运算： (1)计算：； (2)若 求x、y的值． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·山东淄博·期中）我们定义：若整式M与N满足：（k为整数），我们称M与N为关于k的平衡整式，例如，若，我们称M与N为关于1的平衡整式．若与y为关于2的平衡整式，与为关于5的平衡整式，求的值为（   ） A．2 B． C．12 D．26 【变式题8-2】.（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则______． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·江苏盐城·期中）定义新运算 对于两个数a，b，定义运算“⊙”，满足． 例如：． (1)计算：________；________． 【应用新运算】 (2)①计算：． ②已知a，b满足方程组：，求a，b的值． 【拓展应用】 (3)如图，将边长为a的正方形和边长为b的正方形拼在一起，其中，D、C、G三点在同一直线上，连接、、，若的面积与的面积之和为5，的面积为，则的值为________． 易错点 1.判断不等式组时忽略“同一个未知数”，出现多个未知数。 2.找解集时只看单个不等式，不找公共部分，把“或”当成“且”。 3.数轴虚实点混淆，含等号画空心、不含等号画实心。 4.套用口诀不看前提，如“大小小大”强行用“同大取大”。 5.整数解漏端点、多解或边界等号判断错误。 6.有解无解问题漏验证等号，导致范围多取或少取。 重点 1.一元一次不等式组概念与判断。 2.解不等式组三步法与四种解集口诀。 3.数轴表示解集与找公共部分。 4.求整数解及由解集/整数解求参数。 难点 1.由整数解个数反推参数范围（数形结合+临界分析）。 2.有解、无解、解不在指定区间的参数讨论。 3.新定义、程序框图、情境题中准确列不等式组。 4.方程（组）与不等式组综合求参数。 【对应练习题】 一、单选题 1．如果，那么下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 2．已知实数，满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 3．语句“与的的差是非负数”表示正确的是（    ） A． B． C． D． 4．不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图是加工零件的直径的尺寸要求，则的取值范围是_____． 6．已知关于，的二元一次方程组，且，则写出满足条件的的一个整数_____________． 7．若关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围是______． 8．定义：表示不大于的最大整数，如．我们把满足（为常数）的的取值范围叫作的核心范围，如的的核心范围为的的核心范围为． （1）若，则的核心范围是___________． （2）若关于的不等式组有且只有五个整数解，写出的取值范围___________． 三、解答题 9．按要求完成各题： (1)解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)解不等式组，并写出它的所有整数解． 10．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“风不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“风不等式”． (1)在不等式：①，②，③中，不等式的“风不等式”是___________（填序号）； (2)若关于x的不等式不是的“风不等式”，求m的取值范围； (3)若，关于x的不等式与不等式互为“风不等式”，求a的取值范围． 11．某市近年来积极探索无人机技术的应用，推动了农业现代化的快速发展．据了解，3架A款无人机和2架B款无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，2架A款无人机和3架B款无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒． (1)求A，B两款无人机每架每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？ (2)若当地高标准农田建设项目总占地面积不超过1501亩，计划使用A，B两款无人机共18架同时进行1小时的农药喷洒，喷洒期间A，B两款无人机的平均农药损耗率为，那么最多能使用多少架A款无人机？ 12．某电商平台甲、乙、丙三个直播间的促销活动如下表所示： 直播间 活动方案 甲 全场六折 乙 “满100送100”（如：购买190元商品，赠100元购物券：购买200元商品，赠200元购物券） 丙 “满100减50”（如：购买190元商品，只需付140元：购买200元商品，只需付100元） 请根据上述信息，解答下列问题： (1)甲、乙两个直播间同时出售一款标价为380元的破壁机和标价为300多元的空气炸锅，小明妈妈想买这两件厨房用品，小明通过计算发现在甲直播间同时购买这两件商品与在乙直播间先买破壁机再买空气炸锅所花的钱是相同的，求空气炸锅的标价． (2)在甲、丙两个直播间标价均为元（）的商品，当的取值范围是多少时，到甲直播间购买更合算？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $