8.4.1平面课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.4.1 平面 第八章 立体几何初步 新课导入 前面我们认识了棱柱、棱锥、棱台等多面体，这些多面体由哪些元素构成？ 实际上，立体图形都是由点、线、面等基本元素组成的，要研究立体图形的结构特征，就要研究这些基本元素之间的位置关系，本节课我们先研究平面及其基本性质。 新知探究 问题1 在初中平面几何中，我们对点和直线有了一定的认识，知道它们都是由现实事物抽象得到的。那么什么是平面？平面有怎样的特征？ 平面：几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸,平面是向四周无限延展的. 无限延展 不计厚度 绝对的平 平面的特征 不计大小 (没有边界) (不计面积) (不计质量) 这些物体都给我们一种“平”的直观感受. 新知探究 问题2 如何画一个平面呢？ 与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面．我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面． ①水平放置的平面 ②垂直放置的平面 当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向 图形语言： 当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向 新知探究 平面的表示 ①希腊字母等，将它们写在代表平面的平行四边形的一个角内. 如：平面α、平面β ②表示平面的平行四边形四个顶点字母 如：平面ABCD ③表示平面的平行四边形的相对的两个顶点字母表示 如：平面AC、平面BD A C B D 新知应用 例1 (1)(多选)下列说法正确的是（　AC　） A. 平面是绝对的平滑、无厚度、无限延展的抽象的数学概念 B. 平面的形状是平行四边形 C. 三角形、正六边形、圆也可以表示平面 D. 有一个平面的长是50 cm，宽是20 cm (2)下列说法正确的是（　D　） A. 平行四边形是一个平面 B. 任何一个平面图形都是一个平面 C. 平静的太平洋面就是一个平面 D. 我们通常画出平面的一部分表示平面 AC D 新知探究 问题3 直线上有无数个点，平面内有无数个点，直线、平面都可以看成是点的集合. 那么，点与直线、点与平面之间有哪些位置关系? 图形语言 文字语言 符号语言 A在线l上 A在线l外 A在面上 A在面外 A∈⁠l A⁠∉ A∈ A⁠∉l 新知探究 问题4 直线与直线、直线与平面之间有哪些位置关系? 图形语言 文字语言 符号语言 线l在面α内 线l在面α外 l,m相交于A l∩m=A m n m,n平行 m//n l⊂α l//α l∩α=A 例2 用符号表示下列语句，并画出相应的图形. (1)点A在平面α内，点B在平面α外，直线l与平面α相交于点A； (2)直线l和直线m相交于点P，且都在平面α内. 新知应用 A B α α l m P 新知探究 问题5 我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面？ 生活中经常看到用自行车、三角架支撑照相机等． 由于三个支点在同一个平面上且不共线保证了三角支架的稳定性. 概念生成 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. A C B 简记为：不共线的三点确定一个平面. 符号语言：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 作用：确定一个平面的依据！ 存在性 唯一性 新知探究 问题6 如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在平面α内？如果直线 l 与平面α有两个公共点呢？ 概念生成 符号语言：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α. 作用：①判断直线是否在一个平面内 ②判断点是否在平面内 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. α A • B • l 新知探究 问题7 如图,把三角尺的一个角立在课桌面上,三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点B?为什么? 想象三角尺所在的无限延展的平面，用它去穿越课桌面．可以想象，两个平面相交于一条直线． 概念生成 符号语言：P∈α，且P∈β ⇒ α∩β=l，且P∈l. 作用：①判定两个平面相交的依据 ②判定点在直线上 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一 条过该点的公共直线． • 新知探究 问题8 我们知道两点确定一条直线，结合基本事实1和2，能得到什么结论？ n 新知探究 问题8 我们知道两点确定一条直线，结合基本事实1和2，能得到什么结论？ α m 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. l A • C • B • 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 作用：确定一个平面的依据！ 新知应用 P128练习 1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”． （1）书桌面是平面． （ ） （2）平面α与平面β相交，它们有有限个公共点． （ ） （3）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合.（ ） （1）× 平面是无限延展的； （3）√ 由基本事实1可知正确． （2）× 由基本事实2可知一定有无限个公共点； 新知应用 P128练习 2．下列命题正确的是（ ） （A）三点确定一个平面 （B）一条直线和一个点确定一个平面 （C）圆心和圆上两点可确定一个平面 （D）梯形可确定一个平面 A 错误，因为三点可能共线，也可能不共线； C 错误，因为圆上两点可能是直径的端点，此时三点共线． B 错误，因为可能点在直线上，或不在直线上； 新知应用 P128练习 3．不共面的四点可以确定几个平面？请画出图形说明你的结论． 不共面的四点可以确定4个平面． P A B C 新知应用 P128练习 A B (1) M a a M (2) a (3) 1.平面的概念： 2.平面的性质： (1)平面的特征： (2)平面的表示： ①用希腊字母表示：平面、平面β、平面γ. ②用大写英文字母表示：平面ABCD、平面AC. ①平 ②无限延展的 ③无厚度 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. (2)基本事实2 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 也可以简单说成“不共线的三点确定一个平面”. (1)基本事实1 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 课堂小结 (3)基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. $