精品解析：上海市徐汇区位育初级中学2025--2026学年八年级下学期数学阶学情自测试卷

初二数学 （时间100分钟） 一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列函数中，是一次函数的是（ ） A. B. C. D. （k、b是常数） 2. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 点P（x+1，x－1）不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 在下列判断中正确的是（ ） A. 一组对边平行且有一组邻边相等的四边形是平行四边形 B. 一组对角相等，一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D. 多边形的内角中至多有3个锐角 5. 已知四边形的两条对角线、相交于点，且互相平分．那么下列条件中不能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果四边形对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 如果函数是正比例函数，且其图像经过第二、四象限，那么的值是______． 8. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 9. 直线沿y轴正方向向上平移3个单位后的函数表达式是___． 10. 已知函数，则__． 11. 已知直角坐标平面上点和，则______． 12. 通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是_____度． 13. 在中，如果，那么______． 14. 已知点、分别是的边、的中点，如果，那么______． 15. 如果菱形的两条对角线长分别为和，那么这个菱形的周长是______． 16. 已知：在中，，中线和交于点，，则的长为______． 17. 如图，在中，，，，点P为斜边上一动点，过点P作，，，垂足分别为点E、F，连接，则线段的最小值为_______． 18. 折叠矩形纸片时，发现可以进行如下操作：①把翻折，点落在边上的点处，折痕为，点在边上；②把纸片展开并铺平；③把翻折，点落在线段上的点处，折痕为，点在边上，若，，则__________． 三、（本大题共4题，每题8分，满分32分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点在轴上且坐标可表示为，点的坐标为． （1）______； （2）将点向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到点，点的坐标为______； （3）请在图中画出，并求出它的面积． 20. 如图，已知直线：经过点、，且平行于直线：． （1）求直线的表达式： （2）如果直线经过点，与轴的正半轴相交于点，已知的面积为6，求直线的表达式． 21. 已知：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB＝30°，BC＝4． （1）求证：∠AOD＝120°； （2）求AC的长． 22. 解答： （1）【新定义1】如图1，在凸六边形中，满足，，，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”．其中与，与，与叫做“主对边”：和，和，和叫做“主对角”；，、叫做“主对角线”． 类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 ______ ②平行六边形的三组主对角分别相等 ______ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 ______ （2）【新定义2】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． 如图2，已知平行六边形满足．求证：平行六边形是菱六边形． 四、（本大题共2题，每题10分，满分20分） 23. 如图，在梯形中，，，E为的中点，联结，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，求证：四边形是菱形． 24. 阅读理解并解决问题 【阅读材料】当且时，因为，所以，从而有（当时取等号）． 记函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为． （1）【知识理解】已知函数与函数，则当______时，取得最小值为______； （2）【解决问题】已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用360元；二是燃油费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车运输的路程为千米，求当为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？ 五、（本大题第（1）4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分，满分12分） 25. 已知一次函数的图像经过、，点C是线段的中点，交x轴于点P，点C关于x轴的对称点为，把线段以点C为旋转中心，顺时针旋转，点的对应点为点D． （1）求一次函数的解析式． （2）求点D的坐标． （3）若点C、、D、M为顶点的四边形是平行四边形，且是平行四边形的一条边，直接写出点M的坐标． 六、（本大题第（1）4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分，满分14分） 26. 已知在四边形中，，，． （1）如图1，当时，求证：四边形是正方形； （2）连接，过点作，垂足为，延长交边或边于点． ①如图2，如果点在边上，且，求的度数； ②如果，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学 （时间100分钟） 一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列函数中，是一次函数的是（ ） A. B. C. D. （k、b是常数） 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的概念，熟知形如（k、b是常数，且）叫一次函数是解题的关键．根据一次函数的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A、不是一次函数，故本选项不符合题意； B、不是一次函数，故本选项不符合题意； C、是一次函数，故本选项符合题意； D、（k、b是常数），当时不是一次函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，利用一次函数的图象与性质即可确定直线经过的象限，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴直线经过第一、三、四象限，图象不经过第二象限， 故选：． 3. 点P（x+1，x－1）不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】考点：点的坐标． 分析：根据四个象限点的坐标的特点，列不等式组，求无解的一组并确定象限即可． 解答：解：点所在的象限分为四种情况： 点的第一象限时， x+1＞0, x-1＞0 ，解得x＞-1； 点的第二象限时， x+1＜0 ,x-1＞0 ，解得x无解； 点的第三象限时， x+1＜0 ,x-1＜0 ，解得x＜-1； 点的第四象限时， x+1＞0 ,x-1＜0 ，解得-1＜x＜1． 故点不可能在第二象限． 故选B． 点评：解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负． 4. 在下列判断中正确的是（ ） A. 一组对边平行且有一组邻边相等的四边形是平行四边形 B. 一组对角相等，一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D. 多边形的内角中至多有3个锐角 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于选项A，一组对边平行且有一组邻边相等的四边形可能是腰与上底相等的梯形，不是平行四边形，因此A错误； 对于选项B，存在满足一组对角相等、一组对边相等但不是平行四边形的四边形，因此B错误； 对于选项C，两条对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅垂直相等不满足条件，例如对角线垂直相等但不互相平分的四边形不是正方形，因此C错误； 对于选项D，任意多边形的外角和为，若内角为锐角，则其对应的外角为钝角， 若多边形内角有个锐角，则对应外角有个钝角，则外角和大于，与外角和为矛盾， 多边形内角中至多有3个锐角，D正确. 5. 已知四边形的两条对角线、相交于点，且互相平分．那么下列条件中不能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对角线互相平分可知四边形是平行四边形，再根据矩形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：四边形的对角线、相交且互相平分， 四边形是平行四边形． 选项A，，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可判定四边形为矩形，不符合题意； 选项B，，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判定四边形为矩形，不符合题意； 选项C，时，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不能判定四边形为矩形，符合题意； 选项D，，，平行四边形对角线互相平分，可得，，，可推出平行四边形是矩形，不符合题意． 综上，答案选C． 6. 如果四边形对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形，矩形的判定，三角形的中位线定理等，根据题意作出图形是解题的关键； 利用三角形的中位线定理推出，，，，进一步可证四边形是平行四边形，再利用平行线的性质和推出，可证平行四边形是矩形． 【详解】如图，在四边形中，，则， E，G分别为，的中点， 是的中位线， ， 同理得，，，， ，， ， 同理可求， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 平行四边形是矩形． 故选：B． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 如果函数是正比例函数，且其图像经过第二、四象限，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵是正比例函数，且图像在第二、四象限内， ∴且， ∴． 8. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 【答案】且 【解析】 【详解】根据题意得：x+1≥0且x≠0， 解得：x≥-1且x≠0． 故答案为：x≥-1且x≠0． 【点睛】考点：函数自变量的取值范围． 9. 直线沿y轴正方向向上平移3个单位后的函数表达式是___． 【答案】 【解析】 【分析】根据“上加下减”的平移规律即可求解． 【详解】解：直线沿y轴正方向向上平移3个单位后的函数表达式是，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 10. 已知函数，则__． 【答案】 【解析】 【分析】把代入，然后进行求值，即可． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了函数值的求法，解题的关键是正确代入数值，正确进行实数的计算． 11. 已知直角坐标平面上点和，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两点间距离公式代入坐标计算即可． 【详解】解：和， ． 12. 通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是_____度． 【答案】540 【解析】 【详解】【分析】利根据题意得到2条对角线将多边形分割为3个三角形，然后根据三角形内角和可计算出该多边形的内角和． 【详解】从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形． 所以该多边形的内角和是3×180°=540°， 故答案为540． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与对角线，熟知n边形从一个顶点出发的对角线将n边形分成（n-2）个三角形是关键.这里体现了转化的数学思想. 13. 在中，如果，那么______． 【答案】135 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质． 解题思路是利用平行四边形对边平行的性质，结合平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 14. 已知点、分别是的边、的中点，如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知是的中位线，利用三角形中位线的性质即可求解． 【详解】解：由题意知，是的中位线， ∴， ∵ ∴． 15. 如果菱形的两条对角线长分别为和，那么这个菱形的周长是______． 【答案】52 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，，，，由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，四边形是菱形，， ，，，， ， 菱形的周长． 16. 已知：在中，，中线和交于点，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点为，连接，由题意可知为的重心，则在斜边的中线上，利用直角三角形斜边中线的性质得到的长度，再结合三角形中线将三角形分为面积相等的两部分，推出，即可求得． 【详解】解：如图，取的中点为，连接， 在中，，中线和交于点， 是的重心， 在斜边的中线上， 直角三角形斜边中线等于斜边的一半，， ， ，， ，，， ，， ， ， ． 17. 如图，在中，，，，点P为斜边上一动点，过点P作，，，垂足分别为点E、F，连接，则线段的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，当时，最小，利用三角形面积解答即可． 本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答． 【详解】解：解：连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，也最小， 即当时，最小， ∵，， ∴， ∴的最小值为：． ∴线段长的最小值为， 故答案为：． 18. 折叠矩形纸片时，发现可以进行如下操作：①把翻折，点落在边上的点处，折痕为，点在边上；②把纸片展开并铺平；③把翻折，点落在线段上的点处，折痕为，点在边上，若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质和勾股定理．设，则，利用折叠的性质得，，，则可判断四边形为正方形，所以，再根据折叠的性质得，当，然后根据勾股定理得到，再解方程求出即可． 【详解】解：设，则， 把翻折，点落在边上的点处， ，，， 四边形为正方形， ， 把翻折，点落在直线上的点处，折痕为，点在边上， ， ， 当， 在中，， ， 整理得，解得，（舍去）， 即的长为． 故答案为：． 三、（本大题共4题，每题8分，满分32分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点在轴上且坐标可表示为，点的坐标为． （1）______； （2）将点向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到点，点的坐标为______； （3）请在图中画出，并求出它的面积． 【答案】（1）2 （2） （3）作图见解析，4 【解析】 【分析】（1）根据轴上点的横坐标为0求解即可； （2）根据点的平移规律“上加下减纵坐标，左减右加横坐标”求解即可； （3）由三角形面积公式直接求解． 【小问1详解】 解：∵点在轴上且坐标可表示为 ∴， 解得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴将点向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到点，点的坐标为； 【小问3详解】 解：即为所求， 20. 如图，已知直线：经过点、，且平行于直线：． （1）求直线的表达式： （2）如果直线经过点，与轴的正半轴相交于点，已知的面积为6，求直线的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了两直线平行问题，待定系数法求解析式，能够灵活使用待定系数法是解题的关键． （1）根据函数图像平行的性质可知，，再代入即可求解； （2）设直线的表达式，则，根据三角形面积公式即可列式求出，再利用待定系数法即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 将代入得， ， 则； 【小问2详解】 解：设直线的表达式，则由题意可知，， 将代入得， ， 即， ， ， 解得或（舍） 则， 将，代入得， ，解得， 则直线的表达式． 21. 已知：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB＝30°，BC＝4． （1）求证：∠AOD＝120°； （2）求AC的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD是矩形知BO=CO，据此得∠OBC=∠OCB，再由∠ACB=30°知∠OBC=30°，结合∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°得∠BOC=120°，继而得证； （2）由四边形ABCD是矩形知∠ABC=90°，结合∠ACB=30°得AC=2AB，根据AB2+BC2=AC2，BC=4可求得AB=，从而得出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD， ∴BO＝CO， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵∠ACB＝30°， ∴∠OBC＝30°， ∵∠OBC+∠OCB+∠BOC＝180°， ∴∠BOC＝120°， ∴∠AOD＝∠BOC＝120°； 【小问2详解】 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵∠ACB＝30°， ∴AB＝AC，即AC＝2AB， ∵AB2+BC2＝AC2，BC＝4， 解得AB＝， ∴AC＝． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． 22. 解答： （1）【新定义1】如图1，在凸六边形中，满足，，，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”．其中与，与，与叫做“主对边”：和，和，和叫做“主对角”；，、叫做“主对角线”． 类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 ______ ②平行六边形的三组主对角分别相等 ______ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 ______ （2）【新定义2】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． 如图2，已知平行六边形满足．求证：平行六边形是菱六边形． 【答案】（1）错误；正确；错误 （2）详见解析 【解析】 【分析】（1）连接，根据平行线的性质即可判断； （2）先证明为平行四边形，再证明为平行四边形，即可证明是菱六边形． 【小问1详解】 解：连接，交于点， ①由图可得，平行六边形的三组主对边分别相等是错误的； ②∵ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ 同理可得，， ∴平行六边形的三组主对角分别相等是正确的； ③平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的； 【小问2详解】 证明：过点作平行且等于，连接， ∴平行四边形是平行四边形， ，， ∵在平行六边形中， ∴； ∵在平行六边形中，，， ，， 四边形为平行四边形， ，， ∵ ∴ 四边形为平行四边形， ， ， ， ， 平行六边形是菱六边形． 四、（本大题共2题，每题10分，满分20分） 23. 如图，在梯形中，，，E为的中点，联结，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定，菱形的判定等知识．解题的关键是熟练掌握平行四边形和菱形的判定方法． （1）因为，若要四边形是平行四边形，即证明即可； （2）证明是直角三角形，根据E是的中点，证明，则可得四边形是菱形． 【小问1详解】 ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴是直角三角形， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形是菱形． 24. 阅读理解并解决问题 【阅读材料】当且时，因为，所以，从而有（当时取等号）． 记函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为． （1）【知识理解】已知函数与函数，则当______时，取得最小值为______； （2）【解决问题】已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用360元；二是燃油费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车运输的路程为千米，求当为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？ 【答案】（1）， （2）故千米时，该汽车平均每千米的运输成本y最低，最低成本为元． 【解析】 【分析】（1）根据题干的结论求解即可； （2）设该汽车平均每千米的运输成本为y元，则可得出，然后根据题干的结论求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 当时，取得最小值为； 【小问2详解】 解：设该汽车平均每千米的运输成本为y元， 则 ， 故千米时，该汽车平均每千米的运输成本y最低， 最低成本为（元）． 五、（本大题第（1）4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分，满分12分） 25. 已知一次函数的图像经过、，点C是线段的中点，交x轴于点P，点C关于x轴的对称点为，把线段以点C为旋转中心，顺时针旋转，点的对应点为点D． （1）求一次函数的解析式． （2）求点D的坐标． （3）若点C、、D、M为顶点的四边形是平行四边形，且是平行四边形的一条边，直接写出点M的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与图形结合的综合问题，解题的关键是通过题干作出所对应图形求解． （1）待定系数法求解． （2）作出旋转后的图象，通过勾股定理求解． （3）讨论D所在位置分别求解． 【小问1详解】 由一次函数的图象经过、， ，解得， ∴一次函数的解析式为：． 【小问2详解】 ∵点C是线段的中点， ∴轴，轴， ∴点P坐标为，点C横坐标为1，把代入得， ∴点C坐标为， ∵点C关于x轴的对称点为， ∴坐标为，， 以点C为旋转中心，顺时针旋转，得，， 作于点H，， ∵， ∴， ∴点D的坐标为． 【小问3详解】 ∵是平行四边形的一条边， ∴且， ∵轴， ∴轴， ∴M点的坐标为或． 六、（本大题第（1）4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分，满分14分） 26. 已知在四边形中，，，． （1）如图1，当时，求证：四边形是正方形； （2）连接，过点作，垂足为，延长交边或边于点． ①如图2，如果点在边上，且，求的度数； ②如果，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质求出，证明，得出，然后证明四边形是矩形，最后根据正方形的判定即可得证； （2）过D作，根据平行四边形的判定与性质可得出，进而得出，根据等边对等角得出，，设，根据平行线的性质得出，，，则，结合得出，则，求出，即可求解； ②分两种情况讨论：当E在边上，过A作交于M，根据平行四边形的判定与性质得出，证明，根据勾股定理求出，然后根据等面积法即可求出的长度；当在上，此时，由①知，根据余角的性质得出，根据等角对等边得出，根据三线合一的性质求出，根据勾股定理求出，根据等面积法求出，根据完全平方公式可求出，，则，，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又， ∴矩形是正方形； 【小问2详解】 解：①过D作， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又，， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； ②当E在边上，过A作交的延长线于点M， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， 当在上，此时， ∵， ∴，， 由①知， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $