第10章整式的乘法与除法 单元训练2025-2026学年青岛版七年级数学下册

第10章整式的乘法与除法综合专练 一.单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．若，，则等于（  ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算性质，利用幂的乘方、同底数幂的乘除法法则，将所求式子变形后，代入已知条件计算即可得到结果. 【详解】解：根据幂的运算法则变形得 又， 代入得： 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂的乘除法，积的乘方，幂的乘方运算法则逐一计算即可判断正确选项． 【详解】解：A、，该选项符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意． 3．能用平方差公式计算的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式的结构特征，平方差公式为，要求两个相乘的多项式中，存在一组相同项，另一组项互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：、原式变形为，两组项都完全相同，不能用平方差公式计算，不符合题意； 、原式变形为，两组项都完全相同，不能用平方差公式计算，不符合题意； 、原式变形为，不能用平方差公式计算，不符合题意； 、原式变形为，其中相同项为，相反项为和，符合平方差公式的结构，因此可以用平方差公式计算，符合题意． 4．，，，则的值为．（　　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】B 【分析】根据幂的运算的逆运算，把所求变成同底数幂相乘和除法即可． 【详解】解：， = =1.5 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的运算，解题关键是熟练运用幂的运算的逆运算，把所求式子变形． 5．设，则下列结论：①；②；③；④．正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【详解】解：∵ ， 又∵， ∴，，，， ∴，，， ∴正确的是②③． 6．一道除法运算题：，其中被除式的第二项被墨水弄污染了，商的第一项也被墨水弄污染了，则被墨水弄污染的内容是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用多项式除以单项式法则与乘除互逆关系，即可计算出两处被污染的项. 【详解】解：∵ 被除式的第一项为，除式为， ∴ 商的第一项为 ； 设被除式中被污染的项为， ∵ 商的第二项为，且 ， ∴ ， ∴ ； 因此两处被污染的内容依次为和. 7．已知，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先利用多项式乘多项式法则对进行化简，然后比较即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，． 8．如图，在长方形中放入一个边长为的大正方形和两个边长为的小正方形（正方形和正方形），其中个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算，设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积，根据，可整体求得的值，即长方形的面积，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积是解题的关键． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得： 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的面积为， 故选：． 9．规定用表示有序数对，给出定义：将变为称为一次X变换：将变为称为一次Y变换．下列说法： ①将进行2次X变换后得到的结果为； ②将进行2次Y变换后得到的结果为； ③对随机进行2次变换（每次选X或Y），共有3种不同的结果； ④将对应的有序数对先进行一次X变换，再进行一次Y变换得到，若对任意实数恒成立，则． 其中正确说法的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】按新定义规则依次验证四个说法，最后利用整式恒成立条件求解参数即可． 【详解】解： ①将进行第1次X变换后得到的结果为，进行第2次X变换后得到的结果为；故①正确； ②将进行第1次Y变换得，进行第2次Y变换得，故②错误； ③两次X得； 先X后Y得：； 先Y后X得； 两次Y得，共4种不同结果，故③错误； ④有序数对先进行一次X变换，再进行一次Y变换得：， ∵有序数对先进行一次X变换，再进行一次Y变换得到，， ∴， ， ∴ ， ∵对任意实数x，恒成立， ∴对任意实数x，恒成立， ∴， 解得：，故④正确； 综上，正确的说法共2个． 10．小吉是一个爱好数学的好学生，一天他将三个正方形如图所示相连，然后将数字填入图中的9个顶点处，使得每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，每个正方形顶点上的四个数字的平方和分别记为、、，且．如果将交点处的三个填入的数字分别记作为、、，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据题意可得三个正方形上的数字之和为48，而到这个数字之和为36，据此可得，由，，可得，即可解决问题． 【详解】解：∵每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16， ∴三个正方形顶点上的数字之和为， 到这个数字之和为， ∵、、都加了两次， ∴， ∴， ∴， ∵， 而， ∵三个正方形交点处的三个数字的平方都加了两次， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入得， ∴， ∴． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．若，则可以取的值有______． 【答案】6，4，1 【分析】根据整数指数幂的运算性质，分三种情况讨论幂等于的情形，分别计算验证得到的取值． 【详解】解：①当时，， ，符合题意； ②当时，， ，符合题意； ③当，，解得， 故可以取的值有6，4，1． 12．，求的值_______． 【答案】3 【分析】首先根据单项式乘以单项式法则得到，然后比较指数得到，，求出，，然后代入求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴． 13．若，则代表的整式是___________． 【答案】 【详解】 解：根据题意得代表的整式是 ． 14．若规定符号的意义是：，则当时，的值为_____． 【答案】9 【分析】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．根据定义的新运算的运算法则，得出的值，然后进行化简，最后再整体代入即可求值． 【详解】解：根据题意，可得： ， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：9． 15．如图，两个正方形的边长分别为和，若，，则阴影部分的面积为__________． 【答案】5 【分析】根据阴影部分的面积，结合，可求得的值． 【详解】解：阴影部分的面积． 因为，， 所以． 所以． 当，时， 阴影部分的面积． 16．已知a，b，c满足，，，则代数式的值为________． 【答案】1 【分析】利用同底数幂的运算法则找出的关系，，，再代入求解即可； 【详解】解：∵，，， ∴，， 则， ∴， ∵， ∴，即， ∴ 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．计算： (1) (2) 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）先计算负整数指数幂、零次幂、绝对值和有理数的乘方，再计算加减即可； （2）根据同底数幂的乘法，幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法法则计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算单项式乘以单项式、积的乘方，再合并同类项即可； （2）先计算多项式乘以多项式、多项式除以单项式，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分拼成图2长方形． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）； A．；B． (2)利用你得到的公式，计算下列各式： ①； ②． 【答案】(1)B (2)①1；②5050 【分析】（1）根据图1和图2的①②面积之和相等即可得到等式； （2）利用平方差公式进行计算即可； 【详解】（1）解：图1的①②面积之和为，图2的①②面积之和为， 因此验证的等式是． （2）解：① ； ② ． 20．若规定符号的意义是：，当时，求的值． 【答案】9 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据规定符号的意义可得，然后先去括号，再合并同类项，最后整体代入即可解答． 【详解】解：根据题意，可得 ， ， ． 21．如图，某小区有一块长，宽的长方形绿化用地，物业计划在其中修建一个长方形的健身广场（图中阴影部分），并在广场的北面和东、西两面都留有宽度为的人行道（图中空白部分）． (1)请用含a，b的代数式表示健身广场的面积； (2)物业打算在广场北面和东、西两侧的人行道上铺设防滑地砖，用含a，b的代数式表示铺设地砖的面积； (3)若，，预计每平方米地砖的价格是40元，求购买地砖的总费用． 【答案】(1) (2) (3)2400元 【分析】（1）根据已知条件和长方形的面积公式，列出算式，再根据多项式乘多项式和单项式乘多项式法则进行计算即可； （2）根据多项式乘多项式和单项式乘多项式法则进行计算即可； （3）根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，最后把，代入（2）中化简后的式子进行计算即可． 【详解】（1）解：健身广场的面积 ； （2）解：铺设地砖的面积 ； （3）解：把，代入中，可得：， 购买地砖的总费用为：元． 22．定义新运算 对于两个数a，b，定义运算“⊙”，满足． 例如：． (1)计算：________；________． 【应用新运算】 (2)①计算：． ②已知a，b满足方程组：，求a，b的值． 【拓展应用】 (3)如图，将边长为a的正方形和边长为b的正方形拼在一起，其中，D、C、G三点在同一直线上，连接、、，若的面积与的面积之和为5，的面积为，则的值为________． 【答案】(1)14； (2)①；②， (3)23 【分析】（1）根据新定义的运算计算即可； （2）①根据新定义的运算计算即可； ②先分别计算和，化简后再根据加减消元法解方程即可； （2）先根据面积条件推导a，b的关系，，根据完全平方公式变形得出，再根据新定义化简后代入求值即可． 【详解】（1）解：； ． （2）解：①； ②∵， 根据题意可得， 化简得， 得， 解得：， 将代入①可得， 解得：； （3）解：根据题意可得面积为，面积为， ∵的面积与的面积之和为5， ∴，即， ∵的面积为， ∴，即， 由完全平方公式：， ∵a，b为正数，故， ， 代入得：原式． 23．实践与探究 数学活动课上，老师准备了不同规格的长方形纸片，组织同学们进行数学探究活动． 【动手操作】 小睿将6张如图1的长方形纸片按照图2的方式不重叠放在长方形内，未被覆盖的区域恰好构成两个长方形，面积分别为，，已知小长方形的长为a，宽为b，且． 【初步尝试】 (1)当，，时，请求出长方形的面积； (2)当时，请用含a，b的式子表示的值； 【拓展提升】 (3)小睿换一张新的长方形纸片继续探究，其中长度不变，变长，将这6张小长方形纸片按照同样的方法放在新的长方形内，小睿发现，当a，b满足一定的数量关系时，的值总保持不变，求此时a，b应满足怎样的数量关系． 【答案】(1)160 (2) (3) 【分析】（1）根据求出，再根据长方形面积公式求解即可； （2）易得，，由图可知，，，根据长方形面积公式得出，，即可求解； （3），，，，根据长方形面积公式得出，，则，根据的值总保持不变，得出的值与无关，则． 【详解】（1）解：由图可知，， ∵，， ∴， ∴长方形的面积； （2）解：对图形作字母标记如图， ∵， ∴，， 由图可知，，， ，， ； （3）解：对图形作字母标记如图， 由图可知：，，，， ，， ， 的值总保持不变， 的值与无关， ，即． 24．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)填出展开式中共有___________项，第三项的系数（字母部分是）___________． (2)已知，则___________； (3)若，求的值． 【答案】(1)6，10 (2) (3) 【分析】（1）根据给出的等式，得出规律，故的展开式共有项，观察规律可知，的展开式共有6项，第三项的系数是10； （2）由题意知，据此求解即可得出答案； （3）分别令和，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得展开式中共有项， 第三项的系数（字母部分是）是10； （2）解：∵，， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴当时，， 即：； 当时，，即：， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第10章整式的乘法与除法综合专练 一.单选题（本大题共10小题.每小题3分.共计30分） 1.若3”=2,3”=5，则33m-2+1等于() A号 B c. 6 D.3 2.下列运算正确的是() A.a3.a4=a7 B.(2a2P=8a C.a0÷a2=a D.（-3a2=-9a2 3.能用平方差公式计算的是() A.(a-b-c(a-c-b) B.(a+b+c(a+c+b) C.(a-b+c)(b-a-c) D.(a-b+c(a+b-c) 4.m=2,=3,m=4,则ma*b-c的值为.() A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 5.设(x-2)3=ax3+bx2+cx+d,则下列结论：①a+b+c+d=1;②d=-8;③a+c=13; ④b+d=14.正确的有() A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 6.一道除法运算题：（21xy-口+7x2y2)÷-7x2y)=o+5y-y,其中被除式的第二项被墨水 弄污染了，商的第一项也被墨水弄污染了，则被墨水弄污染的内容是() A.35x2y2,-3x2y2 B.-35x3y2,3x2y2 C.-35x2y2,-3x3y2 D.35x3y2,-3x2y2 7.已知x-5)(x+2)=x2+bx+c,则b,C的值为() A.b=3,c=10 B.b=-3,c=-10 C.b=-3,c=10 D.b=-5,c=10 8.如图，在长方形ABCD中放入一个边长为8的大正方形ALMN和两个边长为6的小正方 形（正方形DEFG和正方形HJK),其中3个阴影部分的面积满足2S,+S,-S,=2,则长方 形ABCD的面积为() 试卷第1页，共3页 E N D H G M S3 B K A.90 B.96 C.100 D.106 9.规定用m,n表示有序数对，给出定义：将m,n)变为m+n,m称为一次X变换：将 (m,n变为m,n-m)称为一次Y变换.下列说法： ①将(3,2)进行2次X变换后得到的结果为(8,5)： ②将5,3)进行2次Y变换后得到的结果为(5，-5)： ③对(m,n随机进行2次变换（每次选X或Y),共有3种不同的结果： ④将A=x-1,B=x+3对应的有序数对(A,B)先进行一次X变换，再进行一次Y变换得到 (B,若对任意实数x,M+B+2=0恒成立，则k= 其中正确说法的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 10.小吉是一个爱好数学的好学生，一天他将三个正方形如图所示相连，然后将数字0-8填 入图中的9个顶点处，使得每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，每个正方形顶点 上的四个数字的平方和分别记为A、B、C,且A+B+C=260,如果将交点处的三个填入 的数字分别记作为x、y、x+y,则y的值为() x+V A.5 B.6 C.7 D.8 二、填空题（本大题共6小题.每小题3分.共计18分） 11.若(t-5)=1,则1可以取的值有 试卷第1页，共3页 12.(x-y）(xmy)=xy,求n"的值 13.若 ×4x2y2=-12x2y3+16x3y2,则 代表的整式是 b b 14. 若规定符号引 的意义是： =ad-bc,则当m3-7m-6=0时， d d m2 m-3 1-2mm-2 的值为 15.如图，两个正方形的边长分别为a和b,若a+b=4,a2+b2=12,则阴影部分的面积 为 16.已知a,b,c满足3=2,3=6,3=18，则代数式2025a-4051b+2026c的值为 三、解答题（本大题共8小题.每题9分.共计72分） 17.计算： a0--2+4- (2)xx+(x2）÷x-（-x2) 18.计算： D-00)-gab)-(o) (2)x+2)(2x-3)+(8x3-12x÷-2x. 19.如图1，从边长为α的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分拼成图2 长方形 ② ① ① ② a 图1 图2 试卷第1页，共3页 ()上述操作能验证的等式是 (填字母)； A.(a-b)2=a2-2ab+b2;B.a2-b2=(a+b)(a-b) (2)利用你得到的公式，计算下列各式： ①20252-2024×2026： ②1002-992+982-972+…+22-12. a b 20.若规定符号 的意义是： d=ad-c,当m-7m-6=0时，求 a b 2m-3 的 c d -2mm-2 值。 21.如图，某小区有一块长3a+2b)m,宽(2a+b)m的长方形绿化用地，物业计划在其中 修建一个长方形的健身广场（图中阴影部分），并在广场的北面和东、西两面都留有宽度为 m的人行道（图中空白部分）. 3a+2b 2a+b (1)请用含a,b的代数式表示健身广场的面积； (2)物业打算在广场北面和东、西两侧的人行道上铺设防滑地砖，用含α，b的代数式表示铺 设地砖的面积； (3)若a=2,b=5,预计每平方米地砖的价格是40元，求购买地砖的总费用. 22,定义新运算 对于两个数a,b,定义运算“⊙”，满足a0b=ab+a+b. 例如：203=2×3+2+3=11. (1)计算：204= ;a02= 【应用新运算】 (2)①计算：(a+b)⊙2. a+b)⊙2=17 ②已知a,b满足方程组： (2a-b)03=7'求a,b的值. 【拓展应用】 (3)如图，将边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形CEFG拼在一起，其中a>b,D、 试卷第1页，共3页 C、G三点在同一直线上，连接AC、CF、BF,若ABC的面积与△CFG的面积之和为5， BCF的面积为了，则a020b的值为 D 23.实践与探究 数学活动课上，老师准备了不同规格的长方形纸片，组织同学们进行数学探究活动， 【动手操作】 小睿将6张如图1的长方形纸片按照图2的方式不重叠放在长方形ABCD内，未被覆盖的区 域恰好构成两个长方形，面积分别为S,S,，已知小长方形的长为a,宽为b,且a>b. A 图1 图2 【初步尝试】 (1)当a=6,b=2,AD=16时，请求出长方形ABCD的面积； (2)当AD=16时，请用含a,b的式子表示S,-S2的值； 【拓展提升】 (③)小睿换一张新的长方形纸片ABCD继续探究，其中AB长度不变，AD变长，将这6张小 长方形纸片按照同样的方法放在新的长方形ABCD内，小睿发现，当4，b满足一定的数量 关系时，S,-S2的值总保持不变，求此时α，b应满足怎样的数量关系， 24.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角就是一例.如图，这个三 角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了 (a+b)”(n为正整数)的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律. 试卷第1页，共3页 (a+b)'=a+b 1 2 (a+b)2=a2+2ab+b2 1 3 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 6 (a+b)4=a+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 (1)填出(a+b)3展开式中共有 项，第三项的系数（字母部分是ab) (2)已知(x+y)3=x3-3×2x2+3×4x-8,则y= (3)若（x-)226=4,x2025+a,x2025+…+a20s2+a206x+ae7,求a1+a,+…+a225+a2026的值. 试卷第1页，共3页