专题06 三角函数与解三角形（7大考点）（江苏专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题06 三角函数与解三角形 7大考点概览 考点01三角函数图像性质 考点02和差角公式与辅助角公式 考点03二倍角与降幂公式 考点04三角函数综合应用 考点05正弦定理解三角形 考点06余弦定理解三角形 考点07三角形的面积与周长 ( 三角函数图像性质 考点1 ) 1．（2026·江苏南京·二模）函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两交点间距离为，则正实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线与函数图象的相邻两交点间距离为，求得最小正周期；根据正切函数的对称性求得，从而求得其最小值. 【详解】因为直线与函数图象的相邻两交点间距离为， 所以函数的最小正周期为，所以，所以. 由函数的图象关于点对称， 得，所以. 所以正实数的最小值为. 2．（2026·江苏苏州·二模）已知是定义在R上的偶函数，且，若3，则（   ） A．0 B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据已知及奇偶性的定义可知当时有，根据已知及周期性的定义可得的周期是8，结合周期性及奇函数性质求函数值即可. 【详解】因为是定义在R上的偶函数， 所以，所以当时有， 由，得，所以， 所以，可得的周期是8． 所以. 3．（2026·江苏盐城·二模）若函数在区间上单调递增，且，则的取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性和特殊值条件可得，求出的取值范围及的表达式，再由结合周期确定出的表达式，确定取值，从而求得． 【详解】因为在上单调递增，， 所以且， 所以， 又，则，故， 所以，解得， 因，则，所以， 又，则当时，. 4．（多选）（2026·江苏·二模）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D．函数的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据周期可得，代入最值点可得，进而根据函数的不等式即可根据周期，单调性以及平移求解ABC，利用换元法，结合二次函数的性质即可求解D. 【详解】由图可得：， 又， ，又， ， 将代入得， 即，， 即，， ， 对于A，最小正周期，故正确； 对于B，令，，解得，， 可得的单调递增区间为，，当时，单调递增区间为，故B正确； 对于C，函数的图象向左平移个单位长度，所得到的函数解析式为：，故C不正确； 对于D，， 令，所以， 故最小值为，D正确， 故选：ABD 5．（2026·江苏镇江·二模）函数，，且的值域为______（用表示）． 【答案】 【详解】函数，，且， 根据三角恒等式， 可得， 令，， 设函数，，且， 求导可得， 令，即，解得， 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 因此在时取到最小值， ，，， 所以函数的值域为，即函数的值域为. 6．（2026·江苏·二模）已知函数，写出满足“曲线关于点对称”的的一个值___________． 【答案】（答案不唯一，形如皆可） 【分析】由题意可得，可得或，计算即可得解. 【详解】若曲线关于点对称， 则， 则恒成立， 即或， 当时，，不符； 当时，； 故，则可为等，只需满足即可. 7．（2026·江苏盐城·二模）已知函数，如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若，则_______. 【答案】 【分析】先根据两个交点和得出，根据点的坐标求出解析式代入即可. 【详解】由可得或， 两个相邻交点的横坐标的差为：， 因为，所以，即. 函数为，由图象过点，且该点在递增区间， 所以，解得，故. . ( 和差角公式与辅助角公式 考点 2 ) 8．（2026·江苏·二模）已知锐角满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】锐角满足，所以,, 则, 因为，所以 9．（2026·江苏南京·二模）已知，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式和同角三角函数基本关系式即可得出. 【详解】依题意，. 因为知，所以，且， 所以，.再由．得， 再代入，得，由，所以. 故选：B． 10．（2026·江苏南京·二模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，根据诱导公式求解. 【详解】因为，所以. 故选：B. ( 二倍角与降幂公式 考点 3 ) 11．（2026·江苏南京·二模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】利用诱导公式 ，得： ， 故利用二倍角公式，得： . 12．（2026·江苏苏州·二模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先借助平方关系、商数关系及倍角公式化为齐次分式，再弦化切代入即可求解. 【详解】 . 13．（2026·江苏南京·二模）若，则（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由降幂公式求出，再结合诱导公式求解即可． 【详解】由已知得，，即， 则， 故选：D． 14．（多选）（2026·江苏盐城·二模）在，已知，则下列说法正确的是（    ） A．可以等于2 B．“”是“为直角三角形”的必要条件 C．若，则 D．若，则的取值范围是 【答案】AB 【分析】利用三角恒等变换，把化成的形式，当为直角三角形时，计算此时的值可判断AB；把代入，解方程可判断C；把代入，求关于的三角函数值域即可. 【详解】在中，， ， ， ， ， ， ， 对于，当时，，故， 此时，正确； 对于，若为直角三角形，不妨设，则， 故， 因此“”是“为直角三角形”的必要条件，正确； 对于，当，时，， ， ， ， ， 所以，所以，错误； 对于，当时，， 由于，故， ， 从而，错误. ( 三角函数综合应用 考点 4 )15．（多选）（2026·江苏天一·二模）类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如下左图，由不共面的三条射线构成的图形称为三面角，记，二面角的大小为，则.在矩形中，为线段上动点，绕翻折至，记二面角的平面角为，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，且为中点，则 C．不存在与，使得 D．当时，则最小值为 【答案】ABD 【分析】A：运用已知公式直接判断即可； B：根据面面垂直的性质定理，结合勾股定理和逆定理进行运算判断即可. C：运用假设法，结合余弦函数的最值性质进行判断即可； D：根据锐角三角函数定义，结合余弦定理、基本不等式进行求解判断即可. 【详解】A：当时，由已知公式，得 ， 所以，所以本选项说法正确； B：当为中点，取的中点，连接， 因为在矩形中，， 所以， 由勾股定理可得，且 ，而， 所以， 所以，于是， 因为，所以平面平面， 又因为平面平面，，且平面， 所以平面，平面， 所以，于是有， 因为， 所以，所以本选项说法正确； C：假设存在与，使得， 因为在矩形中，， 所以， 由已知公式 ， 显然，所以假设成立，因此本选项说法不正确； D：在矩形中，设， 所以， 于是有， 因为， 所以由 ， 由余弦定理可得： ， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 所以有，当且仅当时取等号， 所以由 ，所以本选项说法正确. 故选：ABD 16．（2062·江苏·二模）已知，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为______． 【答案】 【分析】由可对不等式同除，然后求不等式右边的最小值.利用诱导公式和和差角公式化简右边代数式，分析得到右式在时取到最小值，此时再次化简右边等式，利用换元法得到代数式，构造函数，利用导数得到函数的最大值，从而得到右边代数式的最小值，然后得到实数的最大值. 【详解】∵，∴， 原式等价于， 化简得右式 以作为主元可得右式在时取到最小值， 此时右式， 令，则右边， 令，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， ∴，因此． 故答案为：. 17．（2026·江苏南京·二模）设函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对任意，都有，求的最大值； (3)已知数列满足：①；②均大于0，.设，求证：. 附：. 【答案】(1) (2) (3)证明过程见解析 【分析】（1）求出，求导，得到，由导数的几何意义得到切线方程； （2）利用端点效应，得到，再证明时，在上恒成立，得到答案； （3）在，设，所以，，故，故为等差数列，故，故，，由（2）知，，，故，求出，所以. 【详解】（1），， ， 故， 故曲线在处的切线方程为； （2）对任意，都有， 其中，， 令， 则，， 令， 则，其中， 令，即，解得， 下面证明时，在上恒成立， ， 令，，注意到， 则，注意到， 令，则，注意到， 令，则， 其中在上恒成立，令，， 故，故在上单调递减， 其中，故在上恒成立， 故在上恒成立， 故在上恒成立， 故在上单调递增， 故，故在上单调递增， ，故在上单调递增， ，故， 所以，的最大值为； （3）令，则， 均大于0，设， 因为，， 所以，， 显然，，若，，上式不成立， 由于在上单调递增， 故，，， 故为等差数列，首项和公差均为，故，， 故，， ， 由（2）知，， 所以，， ， 因为，所以， 所以，， 所以， 其中， 所以. 18．（2026·江苏南京·二模）已知，， (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值. 【答案】(1)最小正周期，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再根据三角函数的周期性和单调性结合整体思想即可得解； （2）根据求得角，设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，再利用正弦定理求得，再根据三角形的内角关系及三角函数求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）解： ， 所以函数的最小正周期， 令，则， 所以函数单调递增区间为； （2）解：因为， 所以， 又，则， 所以，所以， 设边上的高为， 则，所以， 因为， 所以， ， 则 ， 因为，所以， 故， 所以当，即时，， 所以， 即边上的高的最大值为. ( 正弦定理解三角形 考点 5 )19．（2026·江苏·二模）如图是一把直角三角尺，其中间做了镂空设计，设直角三角尺外轮廓的三角形的三边为，其对应的内角为，被挖去的三角形与直角三角尺的外轮廓三角形相似，且二者外接圆半径之比为1:2． (1)若被挖去的三角形的外接圆面积为16，求：的值； (2)若直角三角尺的外轮廓三角形的外接圆半径为6，求：该直角三角尺做镂空设计前绕其一边旋转一周而成的几何图形体积的最小值的最大值． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）根据外接圆面积求出，再由正弦定理计算即可； （2）根据外接圆半径为6，得出斜边，再由圆锥的体积公式与均值定理计算即可. 【详解】（1）设挖去的三角形的外接圆半径，面积为， 直角三角尺的外轮廓三角形的外接圆半径，面积为， 因为外接圆半径之比为1:2，所以，故， 计算得，又因为，故，根据正弦定理得： ； （2）直角三角尺的外轮廓三角形的外接圆半径为6，斜边， 设直角边为，满足， 若绕旋转：体积； 若绕旋转：体积； 若绕旋转：斜边上的高，体积； 因为，所以， 当且仅当时等号成立，此时， 即几何图形体积的最小值的最大值为. 20．（2026·江苏·二模）在中，内角的对边分别为．已知． (1)求的值； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用降幂公式化简可得，结合余弦定理化简，从而解得，结合正弦定理即可求解； （2）根据利用余弦定理化简可得，结合三角函数的图像与性质即可求解. 【详解】（1）由，得，整理，得. 在中，由余弦定理，得. 把代入上式，得， 因为，所以. 在中，由正弦定理，得 （2）在中，由余弦定理，得 因为，所以. 21．（2026·江苏·二模）在锐角三角形中，设角所对的边分别为，已知且． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理求得，再由余弦定理，求得，即可求解； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，根据为锐角三角形，求得，得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，可得，即， 又由余弦定理，可得， 又因为，所以． （2）由正弦定理，可得， 由（1）知，可得， 得， 因为为锐角三角形，可得 ，即，解得， 所以，可得，所以 即，所以的取值范围为． 22．（2026·江苏·二模）在△ABC中，角的对边分别为，若，且． (1)求角B的值； (2)若，且的面积为，求BC边上的中线AM的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理，边化角，求得，判断角的范围，确定答案; （2）由条件可推得，继而求得边长，再根据余弦定理即可求得答案. 【详解】（1）因为 由正弦定理得 所以，或 又因为，则，故 故答案为： （2）由（1）知，又，所以 ，则，所以. 又，所以， 在中，， 由余弦定理得， 所以. 故答案为： ( 余弦定理解三角形 考点 6 )23．（2062·江苏·二模）在中，角的对边分别为，则“”是“为等边三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由可得，无法判断，由此即可判断. 【详解】由，可得：， 又角为三角形内角，所以，此时无法判断角， 所以无法判断为等边三角形， 由为等边三角形，可得， 即，可得， 所以“”是“为等边三角形”的必要不充分条件， 故选：B 24．（2026·江苏连云港·二模）已知在中，. (1)求的值； (2)若边上的高等于，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入两角和差的正切公式，再进行化简求得，再利用同角三角函数的关系，求得； （2）利用三角形的面积公式得出等量关系，求出边之间的关系，再代入余弦定理进行求解； 【详解】（1）， ， ， 所以 解得， 又因为， 又因为为三角形内角，故 则. （2） 设，高为，则面积. 由面积公式， ， 得. 由，， 得 代入余弦定理：， 得， 代入，得 . 25．（2026·江苏镇江·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求A； (2)若，点D在边上，，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题意利用余弦定理得，利用正弦定理得，进而求解； （2）先计算，由得，进而得，最后利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）由余弦定理有：， 又由有：， 由正弦定理有：， 又，所以， 所以，即， 又， 所以； （2）由（1）有， 由有：， 又由余弦定理有：， 当时，等号成立， 所以， 所以， 所以面积的最大值为. ( 三角形 面积与 周长 考点 7 )26．（2026·江苏苏州·二模）已知中，分别是角的对边，的面积，角的平分线交于点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形的面积公式以及正弦定理的边角互化代入计算可得，由等面积法以及三角形的面积公式代入计算可得，再由余弦定理代入计算，即可得到结果． 【详解】因为，所以， 又，则，化简得， 由正弦定理得， 因为， 所以，整理得， 又，，所以或， 若，即，不满足条件，则，即， 因为为的平分线，所以， 因为，所以， 在中，① 又因为，， 所以， 即， 化简得② ①代入②得，解得，（舍去）， 所以， 在中，由余弦定理， 所以． 27．（2026·江苏南京·二模）在中内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可求得的值，可求； （2）法一：利用两角和的余弦公式，结合已知可求得，进而利用正弦定理可求得，进而可求的面积． 法二：利用两角和的余弦公式，结合已知可求得，利用正弦定理可求得，进而利用可求解. 【详解】（1）由正弦定理知． ∴，∵，∴， ∴，，∴． （2）法一：由（1）知，，∴． ∴，∴，∴． 法二：由（1）知，，∴． 由正弦定理可得． ∴． 28．（2026·江苏·二模）记的内角的对边分别为，面积为，已知 (1)求； (2)若边上的高为1且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形面积公式可得，进而边化角，利用三角恒等变换可求得，可求； （2）由已知结合正弦定理可得，在中，作于点为边上的高，即，设，可得，利用，可求得，从而可求面积. 【详解】（1）且 即 由正弦定理得 ∵在中， ，即． （2），由正弦定理得 在中，作于点为边上的高，即 设 为上的四等分点， 中， 中， 且 ． 29．（2026·江苏·二模）在中，角所对的边分别为. (1)求； (2)点在边上，平分，若，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用正弦定理化简求解，结合角的范围求值； （2）应用角平分线结合得出，最后应用余弦定理计算求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又，所以， 由于，则. （2）因为， 所以， 即， 由余弦定理得， 所以， 解得，或（舍去）， 所以，即的周长为. 30．（2026·江苏宿迁·二模）在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. (1)求B； (2)若四边形内接于圆O，，，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理进行边换角，再结合三角恒等变换即可得到，则得到的大小； （2）法一：利用正弦定理和三角恒等变换得，再利用正弦型函数值性质即可求出最值；法二：利用余弦定理得，再利用基本不等式和三角形面积公式即可得到最值；法三：利用几何法，找到面积最大时得情况，求出高的最大值即可得到面积最大值. 【详解】（1）因为， 所以， 又因为在中，所以，所以， 所以， 所以，即. 因为，所以. （2）法一：在中，，， 所以， 设，则. 所以，，所以， 因为， 所以， 所以 ， 所以当，即时面积的最大值为. 法二：在中，已知， 所以，所以， 所以， 所以，（等号当时取得）. 所以面积的最大值为. 法三：在四边形的外接圆内考虑，因为，，则， 则的外接圆直径为， 是圆上动点，所以面积取最大值时高最大，即点到距离最大， 此时最大距离为圆心到距离加半径2， 在直角三角形中可知，圆心到距离为，所以高的最大值为， 所以面积的最大值为. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 三角函数与解三角形 7大考点概览 考点01三角函数图像性质 考点02和差角公式与辅助角公式 考点03二倍角与降幂公式 考点04三角函数综合应用 考点05正弦定理解三角形 考点06余弦定理解三角形 考点07三角形的面积与周长 ( 三角函数图像性质 考点1 ) 1．（2026·江苏南京·二模）函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两交点间距离为，则正实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏苏州·二模）已知是定义在R上的偶函数，且，若3，则（   ） A．0 B．1 C．3 D． 3．（2026·江苏盐城·二模）若函数在区间上单调递增，且，则的取值是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（2026·江苏·二模）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D．函数的最小值为 5．（2026·江苏镇江·二模）函数，，且的值域为______（用表示）． 6．（2026·江苏·二模）已知函数，写出满足“曲线关于点对称”的的一个值___________． 7．（2026·江苏盐城·二模）已知函数，如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若，则_______. ( 和差角公式与辅助角公式 考点 2 ) 8．（2026·江苏·二模）已知锐角满足，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026·江苏南京·二模）已知，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·江苏南京·二模）若，则（   ） A． B． C． D． ( 二倍角与降幂公式 考点 3 ) 11．（2026·江苏南京·二模）若，则（   ） A． B． C． D． 12．（2026·江苏苏州·二模）若，则（   ） A． B． C． D． 13．（2026·江苏南京·二模）若，则（      ） A． B． C． D． 14．（多选）（2026·江苏盐城·二模）在，已知，则下列说法正确的是（    ） A．可以等于2 B．“”是“为直角三角形”的必要条件 C．若，则 D．若，则的取值范围是 ( 三角函数综合应用 考点 4 )15．（多选）（2026·江苏天一·二模）类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如下左图，由不共面的三条射线构成的图形称为三面角，记，二面角的大小为，则.在矩形中，为线段上动点，绕翻折至，记二面角的平面角为，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，且为中点，则 C．不存在与，使得 D．当时，则最小值为 16．（2062·江苏·二模）已知，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为______． 17．（2026·江苏南京·二模）设函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对任意，都有，求的最大值； (3)已知数列满足：①；②均大于0，.设，求证：. 附：. 18．（2026·江苏南京·二模）已知，， (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值. ( 正弦定理解三角形 考点 5 )19．（2026·江苏·二模）如图是一把直角三角尺，其中间做了镂空设计，设直角三角尺外轮廓的三角形的三边为，其对应的内角为，被挖去的三角形与直角三角尺的外轮廓三角形相似，且二者外接圆半径之比为1:2． (1)若被挖去的三角形的外接圆面积为16，求：的值； (2)若直角三角尺的外轮廓三角形的外接圆半径为6，求：该直角三角尺做镂空设计前绕其一边旋转一周而成的几何图形体积的最小值的最大值． 20．（2026·江苏·二模）在中，内角的对边分别为．已知． (1)求的值； (2)证明：． 21．（2026·江苏·二模）在锐角三角形中，设角所对的边分别为，已知且． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 22．（2026·江苏·二模）在△ABC中，角的对边分别为，若，且． (1)求角B的值； (2)若，且的面积为，求BC边上的中线AM的长． ( 余弦定理解三角形 考点 6 )23．（2062·江苏·二模）在中，角的对边分别为，则“”是“为等边三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 24．（2026·江苏连云港·二模）已知在中，. (1)求的值； (2)若边上的高等于，求. 25．（2026·江苏镇江·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求A； (2)若，点D在边上，，求面积的最大值. ( 三角形 面积与周长 考点 7 )26．（2026·江苏苏州·二模）已知中，分别是角的对边，的面积，角的平分线交于点，且，，则（   ） A． B． C． D． 27．（2026·江苏南京·二模）在中内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，求的面积． 28．（2026·江苏·二模）记的内角的对边分别为，面积为，已知 (1)求； (2)若边上的高为1且，求的面积． 29．（2026·江苏·二模）在中，角所对的边分别为. (1)求； (2)点在边上，平分，若，求的周长. 30．（2026·江苏宿迁·二模）在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. (1)求B； (2)若四边形内接于圆O，，，求面积的最大值. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $