江苏省苏锡常镇2026届高三二模数学选填变式练（6-11题）

**基本信息** 以苏锡常镇高三调研真题为母题，设计基础、巩固、提升三级变式题，覆盖函数、三角、立体几何等模块，通过问题梯度培养数学思维与表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|18题|函数图像与向量（第6题）、解三角形（第7题）、抽象函数性质（第8题）、三角函数性质（第9题）、概率统计（第10题）、立体几何（第11题）|三级变式梯度设计，基础题巩固运算能力，提升题融合跨模块知识（如函数与双曲线离心率），对接真题命题趋势|

江苏苏锡常镇四市2026届高三下学期教学情况调研（一）变式题集（6-11） 真题第6题 已知是函数的图象上的任意一点，过分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】设，，利用向量垂直的坐标表示求出点的坐标，即可求出的值． 【详解】设，，由， 即，解得， 所以， 则， 所以． 变式题 基础 已知点是函数 图象上的任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂足分别为和。则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，利用向量垂直的坐标表示求出点的坐标，然后将的面积，转变为关于t的函数，由基本不等式获得最小值。 【详解】设，，由， 即，解得， 所以， ，于是的面积 故选A 变式题 巩固 已知点是函数图象上的任意一点，过点分别向直线 和轴作垂线，垂足分别为和。则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，利用向量垂直的坐标表示求出点的坐标，然后将转变为关于t的函数，由基本不等式获得最小值。 【详解】设，，由， 即，解得， 所以， = 当且仅当时取“=”。故选C 变式题 提升 已知点是函数 图象上的任意一点，过点分别向直线 和轴作垂线，垂足分别为和B，。，则函数的离心率为 。 【答案】A 【分析】根据向量数量积的公式求得参数a的值，然后根据渐近线夹角求出该函数的离心率 【详解】由题意知，设，，由， 即，解得， 所以， 则， 所以，解得。 由图像可知，该函数为双曲线，且两渐近线夹角为，故,解得或（负根舍去）。离心率 真题第7题 已知的内角的对边分别为，，则的最大值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】利用正弦定理、两角和的正弦公式、两角和的正切公式以及基本不等式求解即可. 【详解】因为，由正弦定理得：， 又，则，所以， 即, 所以， 由，则， 因为为边长，所以，所以， 所以角为钝角，，所以角为锐角即，此时， 所以由， 所以， 即， 因为，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最大值为. 变式题 基础 在中，内角的对边分别为。已知，且。求 面积的最大值。 【答案】12 【分析】利用正弦定理、两角和的正弦公式、两角和的正切公式以及不等式性质求解即可. 【详解】 由三角形面积公式，。 由，则， 因为为边长，所以，所以， 所以角B为钝角，，，所以当时，有最大值12。 变式题 巩固 在中，内角 的对边分别为。已知，且为锐角三角形。求的取值范围。 【答案】(1,) 【分析】利用正弦定理、两角和的正弦公式、两角和的正切公式以及B的范围求解 【详解】因为，由正弦定理得：， 又，则，所以， 即, 所以，∴,∵为锐角三角形 ∴A=C，且必须满足以下不等式于是， 故(1,)。 变式题 提升 在中，内角 的对边分别为。已知，且。求的最大值。 【答案】 【分析】利用正弦定理、两角和的正弦公式、两角和的正切公式以及不等式性质求解即可. 【详解】因为，由正弦定理得：， 又，则，所以， 即, 所以， 由，则， 又∵，解得 即最大值为 真题第8题 已知函数的定义域为R, 为的导函数，．若，则（   ） A．2026 B．1013 C．1 D．-1 【答案】D 【分析】利用抽象函数的周期性、对称性求解 【详解】因为且，所以， 因为，所以关于直线对称， 则原函数关于点对称，所以 所以， 令，则，即， 所以， 所以的周期为， 又，即，所以的周期也为， 由得， 由得，所以， 由得，所以， 又，所以， 所以， 所以， 又， 所以. 变式题 基础 已知定义在上的函数满足，且其导函数满足。求证：函数是周期函数，并求出它的一个周期。 【答案】详见解答，8 【分析】利用抽象函数等式进行代数式变形，利用周期函数定义求解 【详解】可知关于对称。 可知关于对称， ∴关于中心对称。即 又∵，故=，∴为周期函数，且周期为8。 变式题 巩固 已知定义在上的函数满足，且。若，则的值为 。 【答案】 【分析】利用抽象函数的周期性、对称性求解 【详解】∵，故关于对称。 ，故关于对称，则关于（1，0）中心对称。 由对称性与周期性结论可知，的周期为。 因为，故的周期也为4。 ，∴=1，则关于（1，0）中心对称，∴==1，=0。 关于对称，∴。 ∴。 ∴。 变式题 提升 已知定义在上的函数满足，且。若，设。若为偶函数，求实数的值，并求 的值。 【答案】1013 【分析】利用抽象函数的周期性、对称性求解 【详解】∵，故关于对称。 ，故关于对称，则关于（，0）中心对称。 由对称性与周期性结论可知，的周期为。∵，∴不是奇函数。 ∵为偶函数，∴=对任意x均成立，∴=0。 由对称性可知， 1013。 真题第9题 （多选）已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点对称 【答案】BCD 【分析】利用奇偶性的定义，举反例可判断A；利用周期公式可判断B；利用复合函数的单调性法则可判断C；利用三角函数对称中心的求法可判断D. 【详解】函数可化为，据此分析各选项： A：取，则：， ， 由于，因此不是偶函数，A选项错误； B：正弦型函数的最小正周期为，B选项正确； C：当时，令，， 由于在上单调递增， 且在上单调递增，故C选项正确； D：令，解得， 当时，，即的一个对称中心为，故D选项正确. 变式题 基础 已知函数，则下列关于该函数的说法正确的是（ ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线 对称 C．函数在区间上单调递减 D．函数的最大值为 【答案】D 【分析】利用周期性公式可判断A；利用三角函数对称轴求法可判断B；利用复合函数的单调性法则可判断C；利用三角函数最值的求法可判断D 【详解】由辅助角公式，可化为, A:正弦型函数的最小正周期为，故A选项错误 B:函数=2sin,故B选项错误 C:∵，与在区间上单调递减矛盾，,故C选项错误 D:有正弦函数的性质，当=1时，函数有最大值2，故D选项正确。 变式题 巩固 已知函数 ，则下列结论中错误的是（ ） A． 是非奇非偶函数 B． 的最小正周期为 C． 在区间 上单调递增 D．将的图象向左平移个单位长度后，所得函数为偶函数 【答案】D 【分析】利用三角函数对称轴求法可判断A，利用周期性公式可判断B.利用复合函数的单调性法则可判断C,利用三角函数的平移变换可判断D 【详解】函数可化为 A：，故A选项正确 B：正弦型函数的最小正周期为，故B选项正确 C：∵，， 由正弦函数性质，该区间恰为单调增区间，故C选项正确 D：的图象向左平移个单位长度后，得到函数,此函数为奇函数，都D选项错误 变式题 提升 已知函数，若方程在区间 上有两个不相等的实数根，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数值相同的角所具有的性质进行求解 【详解】函数可化为 根据函数图像可知，满足的实根满足 故= ，故选D 真题第10题 甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球．现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球．记从甲袋子里取出红球的个数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分别求出从乙袋子中取出2个红球、2个白球和1个红球和1个白球的概率，分析X的可能取值，求出各个概率，可判断A、B的正误，代入期望和方差公式，可判断C、D的正误. 【详解】设从乙袋子中取出2个红球为事件A，则， 从乙袋子中取出2个白球为事件B，则， 从乙袋子中取出1个红球和1个白球为事件C，则， 由题意，X的可能取值为0和1， 则 ，故A错误，B正确； 所以，则，故C正确，D错误. 变式题 基础 1、 乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球。甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球。现从乙袋子里随机取出1个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球。求最终从甲袋子里取出红球的概率。 【答案】 【分析】分析甲袋子里取出红球与乙袋子里随机取出1个球的颜色以及从甲袋子里随机取出1个球事件的关系，然后求解 【详解】设从甲袋子里最终取出红球为事件A，从乙袋子里随机取出红球为事件B,从甲袋子里随机取出一个球为红球为事件C 故最终从甲袋子里取出红球的概率为 变式题 巩固 甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球。甲袋子里有3个红球和1个白球，乙袋子里有2个红球和3个白球。现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球。记从甲袋子里取出红球的个数为，求随机变量的分布列及其数学期望 。 【答案】 随机变量的分布列为 X 0 1 P(X) = 【分析】按照题中所给条件列出分布列，然后利用定义求数学期望 【详解】设从乙袋子中取出2红为事件A，从乙袋子中取出2白为事件B，从乙袋子中取出1白1红为事件C， X可取0，1 X 0 1 P(X) 变式题 提升 甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球。甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球。现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球。已知最终从甲袋子里取出的是白球，求这2个球中恰好有1个红球的概率 【答案】 【分析】利用全概率公式以及条件概率进行求解 【详解】设最终从甲袋子里取出的是白球为事件A,设从乙袋子中取出2红为事件B，从乙袋子中取出1白1红为事件C，从乙袋子中取出2白为事件D，，这2个球中恰好有1个红球的概率为事件E。 真题第11题 已知异面直线，四点不共面，是线段的中点，，则（   ） A．当时， B．当时，直线所成角为 C．点到直线的距离为 D．三棱锥的体积的最大值为3 【答案】ABC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量一一判定选项即可. 【详解】过B点作，根据题意，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 设，易知，， 若，则，由， 此时，所以； 对于A，易知，故A正确； 对于B，， 所以直线所成角为，故B正确； 对于C，易知， 则点到直线的距离 ，故C正确； 对于D，， 当且仅当时取得等号，故D错误. 变式题 基础 已知异面直线 互相垂直， 是它们的公垂线段，且。点 ，点 ，若， ，则线段的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的基向量运算即可. 【详解】∵ 是异面直线 的公垂线段，故， 又∵异面直线 互相垂直，故。 ∵。∴， 故选A 变式题 巩固 已知异面直线 互相垂直， 是它们的公垂线段，且。点，点，线段 的中点为。若，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量坐标运算以及点到直线距离公式计算即可 【详解】过AB与BQ的交点B，作，以B为坐标原点，，，AB所在直线为x轴，y轴，z轴建立平面直角坐标系。 ∵，∴， 设点到直线的距离为d， 故选B 变式题 提升 已知异面直线 互相垂直， 是它们的公垂线段，且。点，点，且。则三棱锥 的体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量坐标运算，求出体积关于坐标的函数关系后求解最值即可 【详解】过AB与BQ的交点B，作，以B为坐标原点，，，AB所在直线为x轴，y轴，z轴建立平面直角坐标系。 ∵，∴，即=8。 三棱锥 的体积 当且仅当时取“=”。，故选A。 学科网（北京）股份有限公司 $