2026届江苏省苏锡常镇四市高三下学期教学情况调研（二）变式练习卷

2026届江苏省苏锡常镇四市高三下学期教学情况调研（二）变式练习卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，解得，再求交集即可 【详解】， 解得， ． 故选：C． 2．已知复数，若是实数，则实数（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用复数的运算及复数的定义，即可求出结果. 【详解】因为，则， ∴，得到， 故选：C． 3．某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在100-120之间的考生约有（    ）（参考数据：若，则有） A．1360人 B．1570人 C．2720人 D．3410人 【答案】A 【详解】由成绩近似服从正态分布，得， 则 ，则， 所以分数在100-120之间的考生约有1360人. 4．矩形中，点是边上靠近点的三等分点，点是边的中点，连接分别与交于两点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法、减法的几何运算以及向量共线定理求解即可. 【详解】已知点是边上靠近点的三等分点，点是边的中点， 所以， 设，因为，，， 所以，解得. 设， 因为，，， 所以，解得. 则，故. 5．已知，则的值为（   ） A．160 B．243 C．405 D．810 【答案】A 【分析】对两边求导，再令可求得结果 【详解】因为， 所以 即， 令，则. 故选：A 6．设，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题知，，等价于，即原条件可化简为， 对正数，由基本不等式得，若，则，因此，充分性成立； 取满足，但，即不满足，因此必要性不成立. 综上，是的充分而不必要条件. 7．在三棱台中，的面积是的面积的4倍，为的中点，点满足，该棱台被平面分成不同的两部分，记为体积较小的部分的体积，为体积较大的部分的体积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可推得是线段的中点，则平面即平面，计算求得，，，进而可得，即可得解. 【详解】由于三棱台上下底面的三角形相似，所以， 从而， 则是线段的中点，平面即平面.如图，连接. 设三棱台的高为，，则， 三棱台的体积， 而三棱锥的体积， 则剩余部分四棱锥. 在梯形内，由于，为的中点， 所以，所以. 所以，所以. 8．已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得，得到得单调性和，转化为成立，令，求得，令，求得，得到在上单调递减，进而得到在上单调递减，求得，即可求解. 【详解】由函数，可得， 当时，，此时在上单调递增， 所以在上的最小值为， 则，使得恒成立， 即，使得成立，即成立， 令，即， 因为， 令，可得， 所以在上单调递减，所以， 所以，可得在上单调递减，所以， 所以，即实数的取值范围为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．一口袋中有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则下列说法中正确的是（     ） A．事件，为对立事件 B． C．事件B，C为独立事件 D． 【答案】ABD 【分析】根据独立事件和互斥、对立事件的概念，判断事件之间的关系，通过古典概型概率公式和条件概率公式求事件概率. 【详解】对A，事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球，因为一次只取一个球，事件，，不可能同时发生且必有一个发生，所以为对立事件，A正确. 对B，取出的两球同色分为都是红色和都是白色，则，所以B正确. 对C，已知事件C：取出的两球中至少有一个红球，则对立事件为两个球没有红色，则概率，积事件为两个红色球，则,可知，所以C错误 对D，由题意知，积事件为第一次取白球，第二次取红球，则，根据条件概率公式可知，所以D正确. 故选：ABD. 10．已知函数的最大值为1，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最小正周期为π C．在内递减 D．在上的解集是 【答案】AC 【分析】利用正弦的和差角公式及辅助角公式得，结合条件得，即可判断A的正误，对B，利用周期的计算公式，即可判断B的正误；对于C，利用性质，求出的单调递减区间，即可求解；对于D，利用性质，求出的解集，即可求解. 【详解】因为 ， 因为的最大值为1，所以，解得，所以A正确， 对于B，因为最小正周期为，所以B错误， 对于C，由，，得到，， 的单调递减区间为， 令，得到的一个单调递减区间为，所以C正确， 对于D，由，即，整理， 得到，，即， 又，令，得到，令，得到，所以D错误， 故选：AC. 11．双纽线是卡西尼卵形线的一类分支， 在数学曲线领域占有至关重要的地位， 同时也具有特殊的有价值的艺术美. 双纽线的图形轮廓像 “ ”，是许多艺术家设计作品的主要几何元素. 已知在平面直角坐标系中， ，满足 的动点 的轨迹为曲线 . 则下列结论正确的是（   ） A．曲线 既是中心对称又是轴对称图形 B．曲线 上满足 的点 有 2 个 C． D．曲线 上存在四个不同的点，使曲线在该点处切线的斜率为 0 【答案】ACD 【分析】由题意中等式结合两点间距离公式表示出曲线方程可得A正确；由可得这样的 点只有 1 个，即为原点可得B错误；由曲线方程整理出可得C正确；由图象观察可得D正确；也可由导数的意义求出. 【详解】对于A，设 点坐标为则曲线 ，故 正确； 对于 ，若 ，则 ，这样的 点只有 1 个，即为原点， 故 错误； 对于C，由 得， 整理得， ，所以 ，故C正确； 对于D，从双纽线的图形上，可以观察有四个点处切线的斜率为 0， 另外，由 得 ，则 ， 令 或 0，经计算曲线 在原点处的切线方程为 ，故D 正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．设等比数列的前项积为，若 ，则的值为________. 【答案】 【分析】由等比数列通项公式基本量计算，即可求解. 【详解】，可得， 又，所以，所以. 所以公比，则， 故， 所以， 故答案为： 13．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆交轴于两点.若，则圆的半径为__________. 【答案】 【分析】设出点坐标，利用勾股定理解得坐标，求出圆半径. 【详解】由可知，. 设，则由抛物线定义可得，即圆半径为， 而点到轴距离为，，则由勾股定理可得， 解得，所以圆半径为. 14．甲、乙、丙三人进行远程射击，命中目标的概率分别为．现按甲、乙、丙的顺序循环，由甲先射击，规则如下：若当次射击命中，则下一次由接下来的第个人进行射击；若当次射击未命中，则跳过个人，下一次由接下来的第个人进行射击．前次射击结束，丙未进行射击的概率为________．若前次射击中，设丙射击的次数为，则的数学期望为________． 【答案】 /0.25 【分析】第空：要丙前次不射击，甲第次必须命中（否则直接轮到丙），乙第次必须未命中（否则第次轮到丙），故概率为甲命中概率×乙未命中概率：． 第空：先通过递推关系求出第次轮到丙射击的概率，再利用期望的线性性质，对从到求和，经等比数列化简得 ． 【详解】答题空： 要让丙在前次射击中未射击，需要满足： 若第次甲射击未命中，此时跳过乙，下一次由丙射击，不符合“丙未射击”的条件， 所以只能是第次甲射击命中，则第次射击由乙射击， 若第次射击乙命中，则由丙射击，不符合“丙未射击”的条件， 所以只能是第次乙射击不命中，则第次射击由甲射击，符合“丙未射击”的条件， 所以前次射击结束，丙未进行射击的概率为； 答题空： 设第次由甲、乙、丙射击的概率分别为， 由题意得，且， 所以，化简得，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，则， 设变量为第次丙射击，则，， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且AB边上一点P满足. (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换可求得，进而可求得角A的大小； （2）由已知可得是等边三角形，进而可得，在中，利用正弦定理可求得，由余弦定理求得，进而可求得的面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 即， 所以， 所以，因为，所以， 所以，又因为，所以； （2）由（1）知，又，所以是等边三角形，所以， 又，所以， 在中，由正弦定理可得，即， 所以，由余弦定理可得， 所以，解得，故， 所以. 16．如图，在斜三棱柱中，为的中点，且平面. (1)证明：四边形为矩形； (2)若点在线段上（异于点），直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)或. 【分析】（1）以O为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）求出平面的法向量，利用线面角的向量求法列式求解. 【详解】（1）在斜三棱柱中，连接，由为的中点，得， 又，则，而平面，则直线两两垂直， 如图，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 由，得， 又四边形为平行四边形，所以四边形为矩形. （2）由（1）得，， 则， 设， ， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成的角为， 则 ， 即，解得或， 所以的值为或. 17．已知函数，且. (1)求函数的定义域及的值； (2)若曲线在点处的切线方程为，求证：. 【答案】(1)的定义域为； (2)证明见解析 【分析】（1）由对数真数大于0得到定义域，再由列方程解得； （2）求导得切线方程，再构造函数并利用导数判断单调性，结合零点证明不等式成立. 【详解】（1）因为，解得，所以函数的定义域为， 已知，所以，解得， （2），则， 切线斜率， 则切线方程为， 当时，，当时，， 要证，只需证： 当时，，当时，， 设，即， ， 因为，，所以，且， 因此在上单调递增，且， 当时，，即， 当时，，即， 所以得证. 18．已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的方程； (2)过的右焦点的直线交于两点，线段的垂直平分线交于两点． ①证明：四边形的面积为定值，并求出该定值； ②若直线的斜率存在且不为0，设线段的中点为，记，的面积分别为．当时，求的最小值． 【答案】(1) (2)① 证明见解析，定值；② 【分析】（1）根据椭圆中相关量的几何性质列出关于求解即可； （2）（ⅰ）从直线与轴重合这一特殊入手，此时求得．当直线与轴不重合时，设直线方程为，通过几何对称性和椭圆的性质，计算求得，，通过面积公式计算即可证得结论; （ⅱ）由（ⅰ）知，而,继而通过换元法结合基本不等式可求得最小值. 【详解】（1）根据题意，得，解得， 所以椭圆的方程为． （2）（ⅰ）证明：设四边形的面积为， 由（1）得，椭圆的焦点， 因为直线的垂直平分线段，所以， 当直线与轴重合时，此时，， ． 由圆的性质知直线过坐标原点，由椭圆的对称性知． 当直线与轴不重合时，设直线方程为． ，， ． ，则直线的方程为，联立椭圆方程， 得，解得 ． ． ． 综上所述，四边形的面积为定值． （ⅱ）易知，，又， 直线的斜率存在且不为0， ． 由（ⅰ）知， 设，则， ． 当且仅当，即时，等号成立，此时． 故的最小值为． 19．若数列满足，则称数列为下凸数列 (1)证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列； (2)设，其中为公比不相等的正项等比数列，求证：是下凸数列且不是等比数列； (3)已知为正项下凸数列前项和，，证明：． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）根据下凸数列的定义直接作差证明即可； （2）通过下凸数列的定义直接证明为下凸数列，通过反证法，结合等比中项公式证明公比相等，与假设矛盾从而证明不是等比数列； （3）题干等价于证明，令，首先假设先单调递减，再从某项单调递增，结合下凸数列的性质，证明此时必先单调递减后一直单调递增，而这与矛盾，故一定恒单调递减，再依据和迭代法，证明，最后据此结合裂项相消法证明即可． 【详解】（1）设正项等比数列的公比为q， 则， 即，所以任意一个正项等比数列为下凸数列． （2）设的公比分别为，则， 显然， ， 所以正项数列为下凸数列， 下面证明：正项数列不是等比数列，若是等比数列， 则有， 所以， 因为分别为两个正项等比数列，所以， 所以，所以， 因为，所以，也即， 所以，与矛盾，所以不是等比数列． （3）假设存在一个常数，使得， 但，因为，所以， 将中的换成，得， 进一步得，又，由不等式的可加性，得， 同理得，所以， 所以数列从到单调递减，从开始单调递增， 所以，因为该规律是固定的，且， 所以当足够大时，必有， 与题设矛盾，所以不可能从某一项开始单调递增，所以， 令，由，得， 所以 ， 所以，即，进一步得， 所以， ， 累加得，所以． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学·参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C C A D A A C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD AC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 即， 所以， 所以，因为，所以， 所以，又因为，所以；（6分） （2）由（1）知，又，所以是等边三角形，所以， 又，所以， 在中，由正弦定理可得，即，（9分） 所以，由余弦定理可得， 所以，解得，故， 所以.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）在斜三棱柱中，连接，由为的中点，得， 又，则，而平面，则直线两两垂直， 如图，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 由，得， 又四边形为平行四边形，所以四边形为矩形.（7分） （2）由（1）得，， 则，（9分） 设， ， 设平面的法向量为， 则，取，得，（12分） 设直线与平面所成的角为， 则 ， 即，解得或， 所以的值为或.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）因为，解得，所以函数的定义域为， 已知，所以，解得，（4分） （2），则， 切线斜率， 则切线方程为，（7分） 当时，，当时，， 要证，只需证： 当时，，当时，， 设，即，（10分） ， 因为，，所以，且， 因此在上单调递增，且， 当时，，即， 当时，，即， 所以得证.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）根据题意，得，解得， 所以椭圆的方程为．（3分） （2）（ⅰ）证明：设四边形的面积为， 由（1）得，椭圆的焦点， 因为直线的垂直平分线段，所以， 当直线与轴重合时，此时，， ．（5分） 由圆的性质知直线过坐标原点，由椭圆的对称性知． 当直线与轴不重合时，设直线方程为． ，， ．（7分） ，则直线的方程为，联立椭圆方程， 得，解得 ． ． ． 综上所述，四边形的面积为定值．（10分） （ⅱ）易知，，又， 直线的斜率存在且不为0， ．（13分） 由（ⅰ）知， 设，则， ． 当且仅当，即时，等号成立，此时． 故的最小值为．（17分） 19．（17分） 【详解】（1）设正项等比数列的公比为q， 则， 即，所以任意一个正项等比数列为下凸数列．（3分） （2）设的公比分别为，则， 显然， ， 所以正项数列为下凸数列，（6分） 下面证明：正项数列不是等比数列，若是等比数列， 则有， 所以， 因为分别为两个正项等比数列，所以， 所以，所以， 因为，所以，也即， 所以，与矛盾，所以不是等比数列．（9分） （3）假设存在一个常数，使得， 但，因为，所以， 将中的换成，得， 进一步得，又，由不等式的可加性，得， 同理得，所以， 所以数列从到单调递减，从开始单调递增， 所以，因为该规律是固定的，且， 所以当足够大时，必有， 与题设矛盾，所以不可能从某一项开始单调递增，所以，（12分） 令，由，得， 所以 ，（15分） 所以，即，进一步得， 所以， ， 累加得，所以．（17分） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届江苏省苏锡常镇四市高三下学期教学情况调研（二）变式练习卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（        ） A． B． C． D． 2．已知复数，若是实数，则实数（    ） A．3 B． C．6 D． 3．某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在100-120之间的考生约有（    ）（参考数据：若，则有） A．1360人 B．1570人 C．2720人 D．3410人 4．矩形中，点是边上靠近点的三等分点，点是边的中点，连接分别与交于两点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的值为（   ） A．160 B．243 C．405 D．810 6．设，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．在三棱台中，的面积是的面积的4倍，为的中点，点满足，该棱台被平面分成不同的两部分，记为体积较小的部分的体积，为体积较大的部分的体积，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．一口袋中有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则下列说法中正确的是（     ） A．事件，为对立事件 B． C．事件B，C为独立事件 D． 10．已知函数的最大值为1，则下列结论正确的是（   ） A． B．的最小正周期为π C．在内递减 D．在上的解集是 11．双纽线是卡西尼卵形线的一类分支， 在数学曲线领域占有至关重要的地位， 同时也具有特殊的有价值的艺术美. 双纽线的图形轮廓像 “ ”，是许多艺术家设计作品的主要几何元素. 已知在平面直角坐标系中， ，满足 的动点 的轨迹为曲线 . 则下列结论正确的是（   ） A．曲线 既是中心对称又是轴对称图形 B．曲线 上满足 的点 有 2 个 C． D．曲线 上存在四个不同的点，使曲线在该点处切线的斜率为 0 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设等比数列的前项积为，若 ，则的值为________. 13．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆交轴于两点.若，则圆的半径为__________. 14．甲、乙、丙三人进行远程射击，命中目标的概率分别为．现按甲、乙、丙的顺序循环，由甲先射击，规则如下：若当次射击命中，则下一次由接下来的第个人进行射击；若当次射击未命中，则跳过个人，下一次由接下来的第个人进行射击．前次射击结束，丙未进行射击的概率为________．若前次射击中，设丙射击的次数为，则的数学期望为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且AB边上一点P满足. (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积 16．（15分） 如图，在斜三棱柱中，为的中点，且平面. (1)证明：四边形为矩形； (2)若点在线段上（异于点），直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 17．（15分） 已知函数，且. (1)求函数的定义域及的值； (2)若曲线在点处的切线方程为，求证：. 18．（17分） 已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的方程； (2)过的右焦点的直线交于两点，线段的垂直平分线交于两点． ①证明：四边形的面积为定值，并求出该定值； ②若直线的斜率存在且不为0，设线段的中点为，记，的面积分别为．当时，求的最小值． 19．（17分） 若数列满足，则称数列为下凸数列 (1)证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列； (2)设，其中为公比不相等的正项等比数列，求证：是下凸数列且不是等比数列； (3)已知为正项下凸数列前项和，，证明： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $