专题05 导数与函数（7大考点）（江苏专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题05 导数与函数 7大考点概览 考点01导数的几何意义 考点02 导数与单调性 考点03 导数与极值最值 考点04 导数与零点 考点05 导数与不等式 考点06 导数综合应用 考点07 导数研究函数新定义 ( 导数的几何意义 考点 1 ) 1．（2026·江苏南京·二模）设函数，则曲线在点处的切线方程为________． 【答案】 【详解】因为，所以. 求导得，有， 曲线在点处的切线方程为， 即. 2．（2026·江苏盐城·二模）已知. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若在定义域上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，切点为，利用点斜式直线方程求出切线方程即可； （2）转化为在上恒成立，参变分离，令，利用导数法求解的最小值，即可求得a的取值范围. 【详解】（1）当时，，， 则，故，， 所以曲线在处的切线方程为：，即. （2）由题意得， 若函数在上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立，所以， 令，， 当时，，当时，， 故的单调递增区间为，的单调递减区间为， 所以函数的最小值为，所以. 3．（2026·江苏·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方． 【答案】(1)①当时，，则在上单调递增; ②当时，在上单调递增，在上单调递减. (2)证明见解析 【分析】第1问将讨论函数单调性问题，转化为讨论导函数的正负问题即可，第2问将要证明曲线在直线的下方，转化为函数不等式问题即可， 【详解】（1）（1）因为的定义域为， 的导函数. ①当时，，则在上单调递增. ②当时，令，得； 令，得； 所以，在上单调递增，在上单调递减. （2）（2）因为曲线经过点 所以，解得． 所以． 因为，所以的方程为. 要证除切点外，曲线在直线的下方， 即证：， 只需证：. 设，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 所以当时，， 所以原命题得证. 4．（2026·江苏镇江·二模）已知函数，其中，曲线在点处的切线方程为． (1)求a的值； (2)证明：当时，； (3)设，若对任意恒成立，求m的最大值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)2. 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程即可. （2）由（1）求出，多次求导确定函数在的单调性即可得证. （3）令，将不等式等价变形，取并结合（2）的信息确定，在构造函数，结合（2）中信息确定函数单调性而求得整数的最大值. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 因此曲线在点处的切线方程为，依题意，， 所以. （2）由（1）知函数，求导得， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 函数，即在上单调递减，而， 则存在，使得，当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，又， 即当时，，即，当且仅当时取等号， 因此函数在上单调递增，， 所以当时，. （3）不等式， 令，由，得，原不等式等价于， 依题意，不等式对任意恒成立， 令，则，由（2）知，因此， 而，则，令函数，由（2）知， 则，，令函数， 求导得，当且仅当时取等号， 函数在上单调递减，，因此对任意恒成立， 即当时，不等式对任意恒成立， 所以整数的最大值为2. ( 导数与单调性 考点 2 ) 5．（2026·江苏·二模）已知常数，函数. (1)讨论在区间上的单调性； (2)若存在两个极值点，，且，求的取值范围. (3)设，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，讨论的范围分析函数单调性即可； （2）根据函数存在两个极值点，可得，求出，，代入求解即可； （3）化简，取，，则，即，然后代入证明即可. 【详解】（1）， 因为，所以当即时，恒成立， 则函数在单调递增； 当时，由，得， 解得，， 因为，所以函数在区间单调递减，在单调递增. 综上，当时，函数在单调递增， 当时，函数在区间单调递减，在单调递增. （2）函数的定义域为， 由（1），时，函数在单调递增，没有两个极值点； 当时，令，解得，， 因为， 所以当时，，从而， 此时，，为函数的两个极值点，代入， 可得， 令，记， 当时，；当时，. （i）当时，，， 所以函数在上单调递减， 则，即，不符合题意； （ii）当时，，， 所以函数在上单调递减，则，即恒成立. 综上的取值范围为. （3）由（1），当时，函数在单调递增， 又，所以. 因为， 取，，则， 即， 所以 ，故得证. 6．（2026·江苏连云港·二模）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)，成立，求实数a的取值范围； (3)若时，与的图象有三个交点，横坐标分别为，，（），求证：. 【答案】(1)递减区间为，递增区间为 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求得，令，得到，分和，两种情况讨论，结合导数与函数单调性的关系，即可求解； （2）令，求得，令，求得，结合指数函数与三角函数的性质，求得单调递增，且，再分和，两种情况讨论，即可求解； （3）分，和，利用导数，结合零点的存在性定理，求得函数在上递增，在上递减，在上递增，求得的取值范围，即可得证. 【详解】（1）解：当时，可得，可得， 令，可得， 当时，，可得， 即，单调递减； 当时，，所以，单调递增， 则，即，单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）解：令， 可得，令， 则， 当时，，，，故， 当时，，，故， 所以当时，可得，单调递增，即单调递增，， 当时，，则，在上单调递增， 所以，所以成立，满足题意； 当时，存在，使得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 当时，，不满足题意， 综上可得，实数的取值范围为. （3）解：当时，，可得， 设，可得， 设，可得， 设，可得， 当时，，可得， 则在上单调递增， 因为， 所以存在唯一，使得， 可得在上单调递减，在上单调递增， ， 所以存在唯一的，使得， 且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 由，，， 又由 ， 因为，，可得，， 可得，，所以， 则存在唯一，使得， 且在上单调递增，在上单调递减， 当时，，，则在上单调递增， 则，则存在唯一，使得， 当时，，当时，， 当时，，可得， 在上单调递增，，， 综上可得，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 要使得与的图像有三个交点， 则， ，则， 又因为，则，则， 所以，得证. ( 导数与极值最值 考点 3 )7．（2026·江苏·二模）函数的所有极值的和为（   ） A．-4 B．-2 C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据导函数得出其单调性即可求出极值. 【详解】由题可得，令，解得：或, 当或时，,当时，, 所以的单调递增区间为：和，单调递减区间为, 所以的极大值为，极小值为, 则函数的所有极值的和为 8．（2026·江苏镇江·二模）函数，，且的值域为______（用表示）． 【答案】 【详解】函数，，且， 根据三角恒等式， 可得， 令，， 设函数，，且， 求导可得， 令，即，解得， 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 因此在时取到最小值， ，，， 所以函数的值域为，即函数的值域为. ( 导数与零点 考点 4 )9．（2026·江苏镇江·二模）已知函数有两个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，再按分类讨论函数单调性，结合有两个零点列出不等式求解. 【详解】函数的定义域为R，求导得 ，而， 当时，，函数在R上单调递减，函数最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当时，，当时，， 函数有两个零点，当且仅当，令函数， 而函数在上都单调递增，则函数在都单调递增， 又，因此不等式的解集为. 所以实数m的取值范围是. 10．（2026·江苏·二模）定义在R上的奇函数，满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】构造研究其奇偶性、区间单调性，问题转化为求与的交点个数，数形结合判断交点个数，即可得. 【详解】令且定义域为R，则， 所以为偶函数，在上， 所以在上单调递减，结合偶函数的对称性知，其在上单调递增， 由，则，且，则， 由的零点个数等价于与的交点个数，函数大致图象如下，    其中，且该函数关于对称，在、上分别单调递减、单调递增， 显然时， 在上单调递增，则时恒成立， 在上单调递减，且， 所以使， 综上，与的交点横坐标有，即有3个零点. 故选：D 11．（2026·江苏·二模）函数的所有零点的和为__________． 【答案】 【分析】构造函数，再判断其在，，，单调性，最后结合图象和对称性即可求解. 判断其对称性，再通过解析式、求导和对称性确定其单调性，即可求解. 【详解】令， 则， 所以，即的图象关于直线对称， 当时，在上单调递增， 当时，，则， 所以在上单调递减， 结合的图象关于直线对称可得： 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 又， 且当时，，当时，， 所以与有4个交点，且关于对称， 故有4个零点，且关于对称， 则所有零点的和为． 12．（2026·江苏南京·二模）若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值范围为________________. 【答案】 【分析】由已知可得在上有且仅有一个根，讨论、，导数研究区间单调性并确定右侧的值域，即可得参数范围. 【详解】令有且仅有一个根，且， 所以，在上有且仅有一个根， 当，则， 令且，则， 所以在上单调递增， 趋向于0时，，趋向于1时，， 所以； 当，则， 令在上单调递减，且，趋向于时，， 所以； 综上，. 故答案为： 13．（2026·江苏·二模）设a，b为实数，且，函数 （1）求函数的单调区间； （2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围； （3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足. (注：是自然对数的底数) 【答案】(1)见解析 (2)； (3)证明见解析. 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性； (2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a的取值范围； (3)方法一：结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立. 【详解】(1)， ①若，则，所以在上单调递增； ②若， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 综上可得，时，的单调递增区间为,无减区间； 时，函数的单调减区间为，单调增区间为. (2)有2个不同零点有2个不同解有2个不同的解， 令，则， 记， 记， 又，所以时，时，， 则在单调递减，单调递增，， . 即实数的取值范围是. (3)[方法一]【最优解】： 有2个不同零点，则，故函数的零点一定为正数. 由(2)可知有2个不同零点，记较大者为，较小者为， ， 注意到函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故，又由知， ， 要证，只需， 且关于的函数在上单调递增， 所以只需证， 只需证， 只需证， ，只需证在时为正， 由于，故函数单调递增， 又，故在时为正， 从而题中的不等式得证. [方法二]：分析+放缩法 有2个不同零点，不妨设，由得（其中）． 且． 要证，只需证，即证，只需证． 又，所以，即． 所以只需证．而，所以， 又，所以只需证． 所以，原命题得证． [方法三]： 若且，则满足且，由（Ⅱ）知有两个零点且． 又，故进一步有． 由可得且，从而．． 因为， 所以， 故只需证． 又因为在区间内单调递增，故只需证，即，注意时有，故不等式成立． 【整体点评】本题第二、三问均涉及利用导数研究函数零点问题，其中第三问难度更大，涉及到三种不同的处理方法， 方法一：直接分析零点，将要证明的不等式消元，代换为关于的函数，再利用零点反代法，换为关于的不等式，移项作差构造函数，利用导数分析范围. 方法二：通过分析放缩，找到使得结论成立的充分条件，方法比较冒险！ 方法三：利用两次零点反代法，将不等式化简，再利用函数的单调性，转化为与0比较大小，代入函数放缩得到结论. ( 导数与不等式 考点 5 )14．（2026·江苏南京·二模）已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】先根据恒成立代入特殊值求出的大致范围，再利用导数证明所求范围内恒成立即可. 【详解】由可得. 因为当时，恒成立，所以时，； 设，，所以为增函数， 又，所以，即. 当时，，， 所以， 令，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以，即. 所以当时，恒成立， 的取值范围为. 故答案为： 15．（2026·江苏·二模）已知，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为______． 【答案】 【分析】由可对不等式同除，然后求不等式右边的最小值.利用诱导公式和和差角公式化简右边代数式，分析得到右式在时取到最小值，此时再次化简右边等式，利用换元法得到代数式，构造函数，利用导数得到函数的最大值，从而得到右边代数式的最小值，然后得到实数的最大值. 【详解】∵，∴， 原式等价于， 化简得右式 以作为主元可得右式在时取到最小值， 此时右式， 令，则右边， 令，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， ∴，因此． 故答案为：. 16．（2026·江苏苏州·二模）已知， (1)当时，证明：； (2)设，若对任意的，恒成立，求的取值范围； (3)证明：对任意的正整数，总有. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由已知，当时，，构造函数，利用导数可得恒成立，从而证得； （2）讨论的取值，分析的单调性，及在上的取值情况，可得对任意的，恒成立时的取值范围； （3）由（2）的结论，得，根据对数的运算性质，可证. 【详解】（1），，则，定义域为 令，则. 令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以当时. 所以得证. （2）设. 若对任意的，恒成立，则恒成立. 又， 设，则，且有， （i）当，时，显然中，则恒成立； （ii）当，时，，则单调递增，. 所以在单调递增，所以，所以恒成立； （iii）当，时，，则单调递增， 又，则必然存在一个，使得， 且有时，单调递减；时,，单调递增. 此时，不满足恒成立. 综上所述，的取值范围是. （3）由（2）中结论， 有当时，，对任意的恒成立， 取可得，，对任意的恒成立. 即对任意的，，变形可得， 分别令，，..，，可得，，……， 累加可得，证毕. 17．（2026·江苏无锡·二模）拉格朗日（Lagrange）中值定理，是微分学中的基本定理之一，反映了可导函数在闭区间上整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系.定理的表述如下：若函数在上连续，且其导函数为，那么在开区间内至少存在一点，使得.已知函数 (1)求函数在上的值域； (2)已知，求证： （i）； （ii）若对满足条件的，不等式恒成立，求整数的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）整数的最小值为1 【分析】（1）求导，利用导数可得函数的单调性，进而可求得值域； （2）（i）要证不等式成立，需证，令，需证，构造函数，利用导数证明即可； （ii）不等式等价于，令，可得，构造函数，利用导数，可得整数的最小值. 【详解】（1）由，可得，令，解得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 所以，又， 所以函数在上的值域为； （2）（i）由，结合拉格朗日（Lagrange）中值定理可得， 要证，需证，又在上单调递增， 故只需证，又， 所以只需证，即证， 即证， 令，则， 不等式等价于， ， 只需证， 即证， 令， 求导得 令， 求导得 ， 所以在上单调递增，所以， 所以，即， 所以成立， 故. （ii）不等式恒成立， 等价于，又， 所以等价于， 令，则等价于， 即， 即等价于， 所以等价于， 令，求导得 ， 又因为，所以，所以，所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以，即， 所以整数的最小值为1. 18．（2026·江苏·二模）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】(1) (2)且. 【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. ( 导数综合应用 考点 6 )19．（2026·江苏南京·二模）已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数判断函数的单调性，即可作出其图象，由此可得到的图象，将方程有且仅有4个不同的实根，转化为和对应的方程的根的总数为4个，数形结合，即可求解. 【详解】由可得定义域为，且， 当且时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以：是极大值点，； 当时，；当时，； 由此可作出函数的图象： 令，则原方程可化为：， 得或， 原方程有且仅有4个不同的实根，等价于和对应的方程的根的总数为4个； 结合的图象可得的图象： 由题意知以及，故，且， 结合图象，要使得和有且仅有4个不同的实根， 需满足且，即得，此时有1个解，有3个解， 即. 20．（2026·江苏苏州·二模）抛物线：，是其焦点，点、在曲线上，且，为线段中点，过点作的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，利用抛物线的定义和余弦定理，分别用表示出与，进而表示出，借助于求导判断函数单调性，即可求得其最小值. 【详解】由：可知，准线方程为，设，， 根据抛物线的定义可得：，， 因为中点，则， 于是， 令，，所以. 在中，， 由余弦定理，得， 则， 令，当且仅当时，即时，等号成立， 设，， 则，所以在上单调递增， 则当时，取最小值为，此时取最小值， 故的最小值为. 21．（多选）（2026·江苏·二模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．是单调递增函数 C．的图象关于点对称 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性的定义和判定方法，可判定A正确；根据导数的运算法则，求得，可判定B正确；根据，可判定C错误；根据题意，得到，求得，结合函数单调性，可判定D正确. 【详解】对于A，由函数，可得的定义域为，关于原点对称， ，， 所以， 即，所以为奇函数，所以A正确； 对于B，由， 因此在上单调递增，所以B正确； 对于C，由，可得的图象不关于点对称，所以C错误； 对于D，由，可得， 即，所以， 因为在上单调递增，所以，因此，所以D正确． 故选：ABD． 22．（2026·江苏南京·二模）设函数，其中.则下列说法正确的是（    ） A．可能为奇函数 B．既有极大值也有极小值 C．若恒成立，则 D．若是方程的两个不同实根，且，则 【答案】BCD 【分析】对于A根据判断；对于B求导判断函数的单调性即可；对于C由的正负性和单调性可得；对于D根据韦达定理以及计算. 【详解】对于A，若为奇函数，则，则，或， 均与矛盾，故不可能为奇函数，故A错误； 对于B， 因为 ， 所以存在两个不等实根，不妨设， 则得或；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 故在处取极大值，在处取极小值，故B正确； 对于C，由以及的单调性可知， 当或时；当或时； 因为，且恒成立，所以，即，故C正确； 对于D，因为是方程的两个不同实根， 所以， 令，则， 令，得， 则关于点对称，即关于点对称， 由以及在区间上单调递减、 可得，又，， 可得， 所以，故D正确. 故选：BCD 23．（2026·江苏盐城·二模）将函数（）的所有极小值点按从小到大的顺序排列成数列，则______． 【答案】 【分析】由题意先求出函数的极小值点为，，可以发现它们构成等差数列，结合三角函数的周期性即可求解. 【详解】，由，即，可得，， 由，即，可得，， ∴函数在区间（）上单调递减，在区间（）上单调递增， ∴函数的极小值点为，，∴，， ∴数列是公差为的等差数列， ∴． 故答案为：. 24．（2026·江苏连云港·二模）设函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对任意，都有，求的最大值； (3)已知数列满足：①；②均大于0，.设，求证：. 附：. 【答案】(1) (2) (3)证明过程见解析 【分析】（1）求出，求导，得到，由导数的几何意义得到切线方程； （2）利用端点效应，得到，再证明时，在上恒成立，得到答案； （3）在，设，所以，，故，故为等差数列，故，故，，由（2）知，，，故，求出，所以. 【详解】（1），， ， 故， 故曲线在处的切线方程为； （2）对任意，都有， 其中，， 令， 则，， 令， 则，其中， 令，即，解得， 下面证明时，在上恒成立， ， 令，，注意到， 则，注意到， 令，则，注意到， 令，则， 其中在上恒成立，令，， 故，故在上单调递减， 其中，故在上恒成立， 故在上恒成立， 故在上恒成立， 故在上单调递增， 故，故在上单调递增， ，故在上单调递增， ，故， 所以，的最大值为； （3）令，则， 均大于0，设， 因为，， 所以，， 显然，，若，，上式不成立， 由于在上单调递增， 故，，， 故为等差数列，首项和公差均为，故，， 故，， ， 由（2）知，， 所以，， ， 因为，所以， 所以，， 所以， 其中， 所以. ( 导数 研究函数新定义 考点 7 ) 25．（2026·江苏·二模）设函数的定义域为，且在上存在导函数，若实数满足对任意的、都有，则称函数具有“性质”. (1)设，判断函数是否具有“性质”？ (2)已知函数具有“性质”，且，记，求证：； (3)对任意的、，，都有，判断函数是否一定具有“性质”？并证明你的结论. 【答案】(1)具有 (2)证明见解析 (3)具有“性质”，证明见解析 【分析】（1）利用题中定义结合作差法验证可得结论； （2）令，，结合函数具有“性质”得出，分别令、推导出，即可证得结论成立； （3）对任意的，令，求，利用赋值法结合导数判断函数的单调性和最值，即可证明. 【详解】（1）因为， 由均值不等式可得，当且仅当时，等号成立， 因此恒成立， 所以满足“性质”. （2）由具有“性质”， 令，，得. 当时，由得， 整理得，所以. 当时，由可得， 由题意可得，可得， 由可得， 整理可得，所以， 因为，故，所以，即，故. （3）对任意的，设，， 则，且， 当时，． 当时，在中， 将替换为，将替换为， 可得， 整理得（*）. 当时，由（*）得，即， 当时，由（*）得，即． 所以在上严格增，在上严格减，从而. 因此对任意的．都有． 即，所以具有“性质”． 26．（2026·江苏南京·二模）悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也应该是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，它在一定程度上和三角函数性质相当．其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为． (1)求的值： (2)证明： （i）； （ii）； （iii）． (3)写出的最简表达式（结果用含的式子表达）． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出，直接代入化简计算即可； （2）利用指数函数的运算法则，将双曲函数展开为指数形式，从等式一侧出发通过代数变形推导出另一侧，即可证明； （3）将代入求和式，拆分为两个等比数列之和，利用等比数列求和公式进行化简求值. 【详解】（1）， . （2）（i）因为左边， 右边 所以，命题得证. （ii）因为 所以，命题成立； （iii） 命题得证. （3）因为，故， 故， 而， ， 故. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 导数与函数 7大考点概览 考点01导数的几何意义 考点02 导数与单调性 考点03 导数与极值最值 考点04 导数与零点 考点05 导数与不等式 考点06 导数综合应用 考点07 导数研究函数新定义 ( 导数的几何意义 考点 1 ) 1．（2026·江苏南京·二模）设函数，则曲线在点处的切线方程为________． 2．（2026·江苏盐城·二模）已知. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若在定义域上单调递增，求实数的取值范围. 3．（2026·江苏·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方． 4．（2026·江苏镇江·二模）已知函数，其中，曲线在点处的切线方程为． (1)求a的值； (2)证明：当时，； (3)设，若对任意恒成立，求m的最大值． ( 导数与单调性 考点 2 ) 5．（2026·江苏·二模）已知常数，函数. (1)讨论在区间上的单调性； (2)若存在两个极值点，，且，求的取值范围. (3)设，证明：. 6．（2026·江苏连云港·二模）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)，成立，求实数a的取值范围； (3)若时，与的图象有三个交点，横坐标分别为，，（），求证：. ( 导数与极值最值 考点 3 )7．（2026·江苏·二模）函数的所有极值的和为（   ） A．-4 B．-2 C．0 D．2 8．（2026·江苏镇江·二模）函数，，且的值域为______（用表示）． ( 导数与零点 考点 4 )9．（2026·江苏镇江·二模）已知函数有两个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·江苏·二模）定义在R上的奇函数，满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．（2026·江苏·二模）函数的所有零点的和为__________． 12．（2026·江苏南京·二模）若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值范围为________________. 13．（2026·江苏·二模）设a，b为实数，且，函数 （1）求函数的单调区间； （2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围； （3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足. (注：是自然对数的底数) ( 导数与不等式 考点 5 )14．（2026·江苏南京·二模）已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为______. 15．（2026·江苏·二模）已知，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为______． 16．（2026·江苏苏州·二模）已知， (1)当时，证明：； (2)设，若对任意的，恒成立，求的取值范围； (3)证明：对任意的正整数，总有. 17．（2026·江苏无锡·二模）拉格朗日（Lagrange）中值定理，是微分学中的基本定理之一，反映了可导函数在闭区间上整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系.定理的表述如下：若函数在上连续，且其导函数为，那么在开区间内至少存在一点，使得.已知函数 (1)求函数在上的值域； (2)已知，求证： （i）； （ii）若对满足条件的，不等式恒成立，求整数的最小值. 18．（2026·江苏·二模）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； ( 导数综合应用 考点 6 )19．（2026·江苏南京·二模）已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 20．（2026·江苏苏州·二模）抛物线：，是其焦点，点、在曲线上，且，为线段中点，过点作的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 21．（多选）（2026·江苏·二模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．是单调递增函数 C．的图象关于点对称 D．若，则 22．（多选）（2026·江苏南京·二模）设函数，其中.则下列说法正确的是（    ） A．可能为奇函数 B．既有极大值也有极小值 C．若恒成立，则 D．若是方程的两个不同实根，且，则 23．（2026·江苏盐城·二模）将函数（）的所有极小值点按从小到大的顺序排列成数列，则______． 24．（2026·江苏连云港·二模）设函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对任意，都有，求的最大值； (3)已知数列满足：①；②均大于0，.设，求证：. 附：. ( 导数研究函数新定义 考点 7 ) 25．（2026·江苏·二模）设函数的定义域为，且在上存在导函数，若实数满足对任意的、都有，则称函数具有“性质”. (1)设，判断函数是否具有“性质”？ (2)已知函数具有“性质”，且，记，求证：； (3)对任意的、，，都有，判断函数是否一定具有“性质”？并证明你的结论. 26．（2026·江苏南京·二模）悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也应该是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，它在一定程度上和三角函数性质相当．其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为． (1)求的值： (2)证明： （i）； （ii）； （iii）． (3)写出的最简表达式（结果用含的式子表达）． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $