专题04 函数及其性质（7大考点）（江苏专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题04 函数及其性质 7大考点概览 考点01函数的概念 考点02函数单调性与最值 考点03函数奇偶性与对称性 考点04函数周期性 考点05指对幂函数 考点06函数的零点 考点07函数新定义 ( 函数 的概念 考点1 ) 1．（2026·江苏·二模）下列函数和为同一函数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 ( 函数单调性 与最值 考点 2 ) 2．（2026·江苏·二模）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏·二模）下列四个选项中，最大的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏·二模）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； ( 函数奇偶性与对称性 考点 3 ) 5．（多选）（2026·江苏南京·二模）设函数，其中.则下列说法正确的是（    ） A．可能为奇函数 B．既有极大值也有极小值 C．若恒成立，则 D．若是方程的两个不同实根，且，则 6．（多选）（2026·江苏宜兴·二模）若，数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A．关于点成中心对称 B．数列是等差数列 C．数列的通项公式为 D． 7．（多选）（2026·江苏·二模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．是单调递增函数 C．的图象关于点对称 D．若，则 8．（2026·江苏·二模）已知函数，写出满足“曲线关于点对称”的的一个值___________． 9．（2026·江苏南通·二模）若函数为偶函数，则_____． ( 函数周期性 考点 4 )10．（2026·江苏·二模）设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C．7 D． 11．（2026·江苏盐城·二模）已知是定义在R上的偶函数，且，若3，则（   ） A．0 B．1 C．3 D． ( 指对幂函数 考点 5 )12．（2026·江苏·二模）随着对某项新技术学习效率的提升，生产力不断提高．该技术下生产第一件产品的工时为，生产件产品的平均工时，其中（为产品工时递减速率）．现有一条工时递减速率为80%的生产线，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为（   ） A．0.6 B．0.8 C．1.25 D．1.6 13．（2026·江苏南京·二模）“”是“”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分又不必要 D．充要 14．（2026·江苏·二模）化简（   ） A． B． C．5 D．3 15．（2026·江苏·二模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 16．（2026·江苏苏州·二模）悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也应该是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，它在一定程度上和三角函数性质相当．其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为． (1)求的值： (2)证明： （i）； （ii）； （iii）． (3)写出的最简表达式（结果用含的式子表达）． ( 函数 的零点 考点 6 )17．（2026·江苏·二模）定义在R上的奇函数，满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 18．（2026·江苏连云港·二模）已知函数有唯一零点，则 A． B． C． D．1 19．（2026·江苏镇江·二模）已知函数有两个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（多选）（2026·江苏·二模）已知函数则下列说法正确的是（   ） A．若为正数，，则 B．若为正数，，则 C．若，则函数有唯一零点 D．若，则函数的零点个数为奇数 21．（2026·江苏·二模）函数的所有零点的和为__________． 22．（2026·江苏南京·二模）若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值范围为________________. ( 函数新定义 考点 7 ) 23．（2026·江苏·二模）设函数的定义域为，且在上存在导函数，若实数满足对任意的、都有，则称函数具有“性质”. (1)设，判断函数是否具有“性质”？ (2)已知函数具有“性质”，且，记，求证：； (3)对任意的、，，都有，判断函数是否一定具有“性质”？并证明你的结论. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数及其性质 7大考点概览 考点01函数的概念 考点02函数单调性与最值 考点03函数奇偶性与对称性 考点04函数周期性 考点05指对幂函数 考点06函数的零点 考点07函数新定义 ( 函数 的概念 考点1 ) 1．（2026·江苏·二模）下列函数和为同一函数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据同一函数的定义判断各选项即可. 【详解】对于A，函数的定义域为， 函数的定义域为，而， 所以函数和不为同一函数； 对于B，函数的定义域为， 函数的定义域为， 而，， 所以函数和为同一函数； 对于C，函数的定义域为， 函数，则的定义域为， 所以函数和不为同一函数； 对于D，函数的定义域为， 函数的定义域为， 而， 所以函数和不为同一函数. 故选：B. ( 函数单调性 与最值 考点 2 ) 2．（2026·江苏·二模）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【详解】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 3．（2026·江苏·二模）下列四个选项中，最大的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用方根的意义及对数函数的单调性判断即得. 【详解】由，得，由，得，而， 所以给定的4个数中最大的是. 故选：C 4．（2026·江苏·二模）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】(1) (2)且. 【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. ( 函数奇偶性与对称性 考点 3 ) 5．（多选）（2026·江苏南京·二模）设函数，其中.则下列说法正确的是（    ） A．可能为奇函数 B．既有极大值也有极小值 C．若恒成立，则 D．若是方程的两个不同实根，且，则 【答案】BCD 【分析】对于A根据判断；对于B求导判断函数的单调性即可；对于C由的正负性和单调性可得；对于D根据韦达定理以及计算. 【详解】对于A，若为奇函数，则，则，或， 均与矛盾，故不可能为奇函数，故A错误； 对于B， 因为 ， 所以存在两个不等实根，不妨设， 则得或；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 故在处取极大值，在处取极小值，故B正确； 对于C，由以及的单调性可知， 当或时；当或时； 因为，且恒成立，所以，即，故C正确； 对于D，因为是方程的两个不同实根， 所以， 令，则， 令，得， 则关于点对称，即关于点对称， 由以及在区间上单调递减、 可得，又，， 可得， 所以，故D正确. 故选：BCD 6．（多选）（2026·江苏宜兴·二模）若，数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A．关于点成中心对称 B．数列是等差数列 C．数列的通项公式为 D． 【答案】ABD 【分析】先证明，由此判断A，由条件结合关系当时，，证明，再求，，由此可得，判断C，结合等差数列定义判断B，结合函数的对称性利用分组求和法求，判断D. 【详解】函数的定义域为， 由已知， 所以， 所以， 又，， 所以，所以的图象关于点对称．故A正确； 因为，所以， 所以，所以， 所以，又， 所以， 所以，故， 所以，所以．C错误； 所以当时，，所以数列是等差数列，故B正确， 所以，，，，， 所以， ，故D正确． 故选：ABD． 7．（多选）（2026·江苏·二模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．是单调递增函数 C．的图象关于点对称 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性的定义和判定方法，可判定A正确；根据导数的运算法则，求得，可判定B正确；根据，可判定C错误；根据题意，得到，求得，结合函数单调性，可判定D正确. 【详解】对于A，由函数，可得的定义域为，关于原点对称， ，， 所以， 即，所以为奇函数，所以A正确； 对于B，由， 因此在上单调递增，所以B正确； 对于C，由，可得的图象不关于点对称，所以C错误； 对于D，由，可得， 即，所以， 因为在上单调递增，所以，因此，所以D正确． 故选：ABD． 8．（2026·江苏·二模）已知函数，写出满足“曲线关于点对称”的的一个值___________． 【答案】（答案不唯一，形如皆可） 【分析】由题意可得，可得或，计算即可得解. 【详解】若曲线关于点对称， 则， 则恒成立， 即或， 当时，，不符； 当时，； 故，则可为等，只需满足即可. 9．（2026·江苏南通·二模）若函数为偶函数，则_____． 【答案】1 【详解】试题分析：由函数为偶函数函数为奇函数， ． 考点：函数的奇偶性． 【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数为偶函数转化为 函数为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取． ( 函数周期性 考点 4 )10．（2026·江苏·二模）设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C．7 D． 【答案】A 【分析】由条件结合周期函数的性质和奇函数的性质可得， ，所以，再结合条件当时，，求，由此可得结论. 【详解】因为是定义在上且周期为2的奇函数， 所以，， 所以， 因为当时，， 所以， 所以， 故选：A. 11．（2026·江苏盐城·二模）已知是定义在R上的偶函数，且，若3，则（   ） A．0 B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据已知及奇偶性的定义可知当时有，根据已知及周期性的定义可得的周期是8，结合周期性及奇函数性质求函数值即可. 【详解】因为是定义在R上的偶函数， 所以，所以当时有， 由，得，所以， 所以，可得的周期是8． 所以. ( 指对幂函数 考点 5 )12．（2026·江苏·二模）随着对某项新技术学习效率的提升，生产力不断提高．该技术下生产第一件产品的工时为，生产件产品的平均工时，其中（为产品工时递减速率）．现有一条工时递减速率为80%的生产线，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为（   ） A．0.6 B．0.8 C．1.25 D．1.6 【答案】B 【分析】由题可得，，代值化简即可求解./ 【详解】已知工时递减速率，且, 所以， 由于生产前件产品的平均工时：， 生产前件产品的平均工时：， 所以， 将​，代入：， 则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为0.8 13．（2026·江苏南京·二模）“”是“”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分又不必要 D．充要 【答案】A 【分析】应用指数函数单调性结合充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由指数函数的单调性得， 若，则，所以充分性成立； 若，则不定一成立，如，但，所以必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 14．（2026·江苏·二模）化简（   ） A． B． C．5 D．3 【答案】A 【详解】． 15．（2026·江苏·二模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由确定集合，再由交集运算即可求解. 【详解】， 所以， 故选：A 16．（2026·江苏苏州·二模）悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也应该是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，它在一定程度上和三角函数性质相当．其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为． (1)求的值： (2)证明： （i）； （ii）； （iii）． (3)写出的最简表达式（结果用含的式子表达）． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出，直接代入化简计算即可； （2）利用指数函数的运算法则，将双曲函数展开为指数形式，从等式一侧出发通过代数变形推导出另一侧，即可证明； （3）将代入求和式，拆分为两个等比数列之和，利用等比数列求和公式进行化简求值. 【详解】（1）， . （2）（i）因为左边， 右边 所以，命题得证. （ii）因为 所以，命题成立； （iii） 命题得证. （3）因为，故， 故， 而， ， 故. ( 函数 的零点 考点 6 )17．（2026·江苏·二模）定义在R上的奇函数，满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】构造研究其奇偶性、区间单调性，问题转化为求与的交点个数，数形结合判断交点个数，即可得. 【详解】令且定义域为R，则， 所以为偶函数，在上， 所以在上单调递减，结合偶函数的对称性知，其在上单调递增， 由，则，且，则， 由的零点个数等价于与的交点个数，函数大致图象如下，    其中，且该函数关于对称，在、上分别单调递减、单调递增， 显然时， 在上单调递增，则时恒成立， 在上单调递减，且， 所以使， 综上，与的交点横坐标有，即有3个零点. 故选：D 18．（2026·江苏连云港·二模）已知函数有唯一零点，则 A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】因为，设，则 ，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：C. 【点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法： （1）利用零点存在性定理构建不等式求解. （2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. （3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 19．（2026·江苏镇江·二模）已知函数有两个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，再按分类讨论函数单调性，结合有两个零点列出不等式求解. 【详解】函数的定义域为R，求导得 ，而， 当时，，函数在R上单调递减，函数最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当时，，当时，， 函数有两个零点，当且仅当，令函数， 而函数在上都单调递增，则函数在都单调递增， 又，因此不等式的解集为. 所以实数m的取值范围是. 20．（多选）（2026·江苏·二模）已知函数则下列说法正确的是（   ） A．若为正数，，则 B．若为正数，，则 C．若，则函数有唯一零点 D．若，则函数的零点个数为奇数 【答案】ACD 【分析】根据函数解析式结合特例可判断AB；利用函数的单调性，结合函数的零点存在性定理进行判断CD. 【详解】对于选项A，当，则，,不妨设，则， 那么，当，同理可得.故选项A正确； 对于选项B，若为正数，，当时，若，则，不一定有.故选项B错误； 对于选项C，当，函数的零点即方程的根，也就是函数与图象的交点横坐标. 当时， ，由单调递增，所以单调递减，，当且仅当时取“”号 从而为函数的零点， 当时，，由单调递增，单调递减，，当且仅当时取“”号， 因此，函数有唯一零点.故选项C正确； 对于选项D，当，函数的零点即方程的根，也就是函数与图象的交点横坐标. 当时， ，由单调递增，所以单调递减，，当且仅当时取“”号 从而为函数的零点， 当时，，由单调递增，单调递减，，当且仅当时取“”号， 若存在，使得，则，那么必存在 ，满足. 从而若在有个零点，则对应的在相应的有个零点， 从而可知若，函数的零点个数为奇数个个，故选项D正确. 21．（2026·江苏·二模）函数的所有零点的和为__________． 【答案】 【分析】构造函数，再判断其在，，，单调性，最后结合图象和对称性即可求解. 判断其对称性，再通过解析式、求导和对称性确定其单调性，即可求解. 【详解】令， 则， 所以，即的图象关于直线对称， 当时，在上单调递增， 当时，，则， 所以在上单调递减， 结合的图象关于直线对称可得： 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 又， 且当时，，当时，， 所以与有4个交点，且关于对称， 故有4个零点，且关于对称， 则所有零点的和为． 22．（2026·江苏南京·二模）若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值范围为________________. 【答案】 【分析】由已知可得在上有且仅有一个根，讨论、，导数研究区间单调性并确定右侧的值域，即可得参数范围. 【详解】令有且仅有一个根，且， 所以，在上有且仅有一个根， 当，则， 令且，则， 所以在上单调递增， 趋向于0时，，趋向于1时，， 所以； 当，则， 令在上单调递减，且，趋向于时，， 所以； 综上，. 故答案为： ( 函数 新定义 考点 7 ) 23．（2026·江苏·二模）设函数的定义域为，且在上存在导函数，若实数满足对任意的、都有，则称函数具有“性质”. (1)设，判断函数是否具有“性质”？ (2)已知函数具有“性质”，且，记，求证：； (3)对任意的、，，都有，判断函数是否一定具有“性质”？并证明你的结论. 【答案】(1)具有 (2)证明见解析 (3)具有“性质”，证明见解析 【分析】（1）利用题中定义结合作差法验证可得结论； （2）令，，结合函数具有“性质”得出，分别令、推导出，即可证得结论成立； （3）对任意的，令，求，利用赋值法结合导数判断函数的单调性和最值，即可证明. 【详解】（1）因为， 由均值不等式可得，当且仅当时，等号成立， 因此恒成立， 所以满足“性质”. （2）由具有“性质”， 令，，得. 当时，由得， 整理得，所以. 当时，由可得， 由题意可得，可得， 由可得， 整理可得，所以， 因为，故，所以，即，故. （3）对任意的，设，， 则，且， 当时，． 当时，在中， 将替换为，将替换为， 可得， 整理得（*）. 当时，由（*）得，即， 当时，由（*）得，即． 所以在上严格增，在上严格减，从而. 因此对任意的．都有． 即，所以具有“性质”． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $