专题10 计数原理与统计概率（9大考点）（江苏专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题10 计数原理与统计概率 9大考点概览 考点01 排列组合 考点02 二项式定理 考点03古典概型 考点04 条件概率与全概率 考点05 二项分布 考点06 正态分布 考点07离散型随机变量及其期望 考点08 统计 考点09线性回归方程 ( 排列组合 考点1 ) 1．（2026·江苏·二模）每个正整数都可以唯一表示成以下形式：，其中且为该正整数的“长度”，例如，．若正整数的“长度”为1，则这样的的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，设，而，再结合组合计数问题求解. 【详解】依题意，，设，而， 则从这11个整数中任取3个不同的数，按照从小到大的顺序安排给， 所以满足条件的的个数为. 故选：C 2．（2026·江苏南京·二模）有A，B，C，D，E共5名同学进行唱歌比赛，决出第1名到第5名的名次.现已知和都不是第1名，且不是第5名，则这5人名次排列的情况种数为（   ） A．42 B．50 C．54 D．60 【答案】D 【分析】根据题意，可分是第1名和不是第1名且不是第5名，两类情况讨论，结合排列数和组合数的计算公式，以及分类计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，可分是第1名和不是第1名且不是第5名，两类情况讨论： 当是第1名时，此时剩余的全排列，共有种不同的排法； 当不是第1名且不是第5名时，先排第1名，从中选一人为第1名，有种选法； 再排，有三个位置可选，有种排法，最后三人全排列，有种排法， 所以共有种不同的排法， 由分类计数原理得，共有种不同的排列情况. 故选：D. 3．（2026·江苏镇江·二模）已知关于n的方程为，则_____． 【答案】或 【详解】，，，，， 或， 当时，. 当时，. 综上可知，的值为或. 4．（2026·江苏南京·二模）已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为____________． 【答案】 【分析】由知，且不能只，，，，中至少还要有1个函数值等于1，然后进行分类列举即可. 【详解】由可知，函数的值域中的任何元素y都满足. 因为值域非空，所以1必在值域中，即. 若仅有，则对任意，有. 此时对于，令，则.而，这与仅有的假设矛盾. 故中至少有一个元素的函数值为1. 具体分类如下： 1、若5个函数值都为1，此时共有1种情况； 2、若仅有4个函数值为1，又，则另外4个中应有3个函数值为1有种， 如，依题意只能从中取值，有3种情况，此时共有种； 3、若仅有3个函数值为1，又，则另外4个中应有2个函数值为1有种， 如，依题意只能从中取值，有种情况，此时共有种； 4、若仅有2个函数值为1，又，则另外4个中应有1个函数值为1有种， 如，依题意都只能取2，有1种情况，此时有种情况； 综上所述，这样的函数的个数共有个. 故答案为：. ( 二项 式定理 考点 2 ) 5．（2026·江苏镇江·二模）计算保留到小数点后3位的结果是（    ） A．0.945 B．0.905 C．0.904 D．0.903 【答案】C 【分析】由结合二项式展开式计算前四项的和即可求解. 【详解】， 由于展开式的第一项，第二项， 第三项，第四项，后面的项绝对值更小，对小数点后3位的影响可以忽略， 由， 所以保留到小数点后3位的结果是. 6．（多选）（2026·江苏南京·二模）已知的展开式中只有第7项的二项式系数最大．若展开式中所有项的系数和为1，则正确的命题是（   ） A． B． C．展开式中所有二项式系数的和为4096 D．展开式中第11项为 【答案】AC 【详解】因为的展开式中只有第7项的二项式系数最大， 所以展开式中共有项，所以，所以A正确. 展开式中所有二项式系数的和，所以C正确. 因为展开式中所有项的系数和为1， 令，得，所以或. 因为，所以.所以B错误. 展开式中第11项为，所以D错误. 7．（2026·江苏·二模）的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．120 C．240 D．360 【答案】B 【分析】根据展开式中每一项的生成过程，结合组合数公式，即可求解. 【详解】要得到这一项，相当于从6个含有三项的因式中的3个因式取，1个因式取，2个因式取， 即这一项为. 故的系数为. 故选：B 8．（多选）（2026·江苏苏州·二模）已知的展开式中常数项为3，，则下列说法正确的有（     ） A． B．的展开式中的系数为3 C．的展开式中各二项式系数之和等于各项的系数之和 D．的展开式中系数最大的项为第2项或第3项 【答案】BCD 【分析】根据二项式展开式的概念，根据常数项求出参数值，写出二项式的展开式，进而逐一判断各选项正误. 【详解】二项式的展开式的第项为， 当时，即时，可得，解得，所以A错误； 可得二项式， 展开式中的系数为3，所以B正确； 各项系数之和为，二项式系数之和为，所以C正确； 可知展开式中系数最大的项为第2项或第3项，所以D正确； 故选：BCD. 9．（2026·江苏镇江·二模）已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则__________. 【答案】6 【分析】利用二项式系数的性质求解. 【详解】由题得，所以， 故答案为：. 10．（2026·江苏盐城·二模）的展开式中的系数为________. 【答案】 【详解】的展开式的通项公式为， 令，故的系数为. 11．（2026·江苏连云港·二模）对满足的任意正整数对，定义函数如下：，，则________（结果用含i的式子表示）；_________（结果用含j的式子表示）． 【答案】 【分析】根据题意可得，，即可利用累乘法得，结合组合数的计算公式以及二项式展开式的性质即可求解. 【详解】由可得，， ∵，，，…，， 累乘得：， ∵，∴，（）， 令，则； 因为，所以， ， 故答案为：， ( 古典概型 考点 3 ) 12．（2026·江苏·二模）如图，三行三列的方阵中有9个数（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（　    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】从9个数中任取3个数共有种取法， 取出的三个数,使它们不同行且不同列：从第一行中任取一个数有种方法， 则第二行只能从另外两列中的两个数任取一个有种方法， 第三行只能从剩下的一列中取即可有1中方法， ∴共有种方法，即三个数分别位于三行或三列的情况有6种， ∴所求的概率为 . 本题选择D选项. 点睛：解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． 13．（2026·江苏苏州·二模）已知集合，现独立地随机选取集合的两个非空子集、（与可以相同），则事件“集合中的最大元素小于集合中的最小元素”的概率为______. 【答案】 【分析】解题的关键在于分别计算出所有可能的非空子集选取情况以及满足条件的选取情况，然后根据古典概型概率公式计算概率. 【详解】因为集合， 故集合的非空子集个数为个， 因为独立地随机选取集合的两个非空子集、（与可以相同），所以所有可能的选取情况数种. 当中最大元素为1时： 是，此时可以是共7种情况， 当中最大元素为2时： 可以是，此时可以是共种情况。 当中最大元素为3时： 可以是，此时可以是，共种情况， 当中最大元素为4时： 可以是，此时没有满足条件的子集，共0种情况， 故满足条件的子集选取情况总数为 根据古典概型概率公式， 事件“集合中的最大元素小于集合中的最小元素”的概率, 故答案为：. ( 条件概率与全概率 考点 4 ) 14．（2026·江苏苏州·二模）对于事件A、B，，，，则（   ） A．0.7 B．0.75 C．0.85 D．0.9 【答案】A 【详解】由条件概率公式，可得， 故 又因，则. 15．（多选）（2026·江苏南京·二模）已知，是两个随机事件，，下列命题正确的是（   ） A．若，相互独立，则 B．若事件，则 C．若，是对立事件，则 D．若，是互斥事件，则 【答案】AD 【分析】根据独立事件的概率公式，结合条件概率公式、互斥事件的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为A，B相互独立，所以也互相独立，于是，正确； B：因为，所以，，错误； C：因为A，B是对立事件，所以，于是，错误； D：因为A，B是互斥事件，所以，于是，正确, 故选：AD. 16．（多选）（2026·江苏·二模）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为和（）．假设每次发送信号0和1是等可能的且每次发送信号相互之间是独立的．当发送两次信号是“0”“1”时，接收到的信号也是“0”“1”的概率为0.72．则下列结论正确的是（    ） A． B．当发送两次信号是“1”“1”时，恰有一次被正确接收的概率为0.16 C．一次发信后被接收为信号“1”的概率为0.45 D．若已知一次发信后被接收为信号“1”，则接收正确的概率为 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件概率加法和条件概率进行逐项分析即可判断. 【详解】对于，当发送两次信号是“0”“1”时，接收到的信号也是“0”“1”的概率为0.72， 则 ，解得，所以选项A正确； 对于，发送两次信号是“1”“1”时，恰有一次被正确接收有两种情况： 第一种情况是第一次发送1接收为1，第二次发送1接收为0，其概率为； 第二种情况是第一次发送1接收为0，第二次发送1接收为1，其概率为。 根据互斥事件概率加法公式，恰有一次被正确接收的概率为， 所以选项B错误； 对于, 一次发信后被接收为信号“1”有两种情况： 第一种情况是发送0收为1其概率为； 第二种情况是发送1收为1其概率为， 根据互斥事件概率加法公式， 一次发信后被接收为信号“1的概率为， 所以选项C正确； 对于，设事件表示“一次发信后被接收为信号1，事件表示“接收正确”。 由前面计算可知，表示发送1接收为1概率， 即，根据条件概率公式可得， 所以选项D正确. 故选：． 17．（2026·江苏镇江·二模）已知盒子中共有个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，其中黄球有个，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出． (1)求第二次取出的球是黄球的概率． (2)若，且红球和黑球的个数比为，求黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球）的概率． (3)记随机变量为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，是的数学期望，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据古典概型的概率公式，结合排列组合的知识求解； （2）根据已知条件求出红球和黑球的个数，再利用排列组合的知识求出黄球最先被全部取出的概率； （3）先确定随机变量的取值，再求出每个取值的概率，最后根据数学期望的定义证明. 【详解】（1）记“第二次取出的球是黄球”为事件， 将个黄球的安排情况作为样本空间，则样本点总数为， 事件表示第二次取出的球是黄球，其他个黄球在剩余个位置中随机安排，则事件包含的样本点数为， 故． （2）设红球个，由题意得，解得． 所以红球5个，黑球有10个． 记“最后一次取出球是红球”为事件，“最后一次取出球是黑球”为事件， 显然事件互斥，记“黄球最先被全部取出”为事件，则． 当事件发生时，只需考虑取出所有黄球和黑球时最后取出的是黑球， 则． 当事件发生时，只需考虑取出所有黄球和红球时最后取出的是红球， 则． 所以． （3）由题知随机变量的取值为， 则随机变量的分布列为 所以随机变量的期望 ． 所以． ( 二 项分布 考点 5 ) 18．（2026·江苏宿迁·二模）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木块后都等可能地向左或向右落下，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内. (1)如图，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，设小球落入球槽的号码为X，求X的分布列与数学期望. (2)现小禹同学对高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问2号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 【答案】(1)分布列见详解； (2)7个或8个 【分析】（1）分析可知小球共经过4次碰撞，向右次，可得，进而可得分布列和期望； （2）分析可知小球落入2号球槽的概率为，且，令，运算求解即可. 【详解】（1）若小球落入球槽的号码为，， 则小球共经过4次碰撞，向右次，可得， 则；；；，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P X的期望为. （2）若小球落入2号球槽，则小球共经过4次碰撞，向右1次，且每次向右的概率均为， 则小球落入2号球槽的概率为， 设80个小球落入2号球槽的个数为，则， 令，即，解得， 且，即， 所以2号球槽中落入小球的概率最大的为7个或8个. ( 正态分布 考点 6 )19．（2026·江苏·二模）新能源汽车具有零排放、能源利用率高等特点，近年来备受青睐.某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km）情况，随机调查得到了1000个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则样本中耗电量小于12kW·h/100km的汽车大约有（   ） A．700辆 B．350辆 C．300辆 D．150辆 【答案】D 【分析】根据正态分布的性质，求得的值，再由样本容量求得频数，即可得到答案. 【详解】因为，且， 所以， 所以样本中耗电量小于12kW·h/100km的汽车大约有（辆）. 故选：D. 20．（2026·江苏镇江·二模）已知随机变量，，写出一个满足的负整数的值为______． 【答案】（答案不唯一，也可以是中的任何一个） 【详解】，，，， 的负整数的值为. 所以答案不唯一，可以是中的任何一个. ( 离散型随机变量 分布列及 期望 考点 7 )21．（2026·江苏连云港·二模）已知随机变量X的取值为0，1，2，若，，则 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据均值与方差的计算公式求解即可. 【详解】设则 由 则 故选：A. 22．（2026·江苏·二模）现有1个白球、3个黑球，将它们随机放入如图所示的编号为1～6的抽屉内，每个抽屉至多放一个球，且所有黑球均放在白球的左侧．设白球所在抽屉的编号为X，则______. 1 2 3 4 5 6 【答案】/5.6 【详解】由已知白球编号的可能取值为， （白球在4号，3个黑球从左侧3个抽屉选） （白球在5号，3个黑球从左侧4个抽屉选） （白球在6号，3个黑球从左侧5个抽屉选） 所以. 23．（2026·江苏苏州·二模）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立. (1)若，，甲参加第一阶段比赛，在该队成绩为0分的情况下，求甲第一阶段被淘汰的概率； (2)若，试分析：应该由谁参加第一阶段的比赛，比赛成绩更好？ 【答案】(1) (2)甲 【分析】（1）先求出该队成绩为0分的概率，再根据条件概率列式计算即可； （2）首先各自计算出甲、乙先参加第一阶段比赛的期望，再作差因式分解即可判断. 【详解】（1）记事件“该队成绩为0分”，事件“甲第一阶段被淘汰”，则， ， 于是所求为. （2）若甲、乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩、的所有可能取值为0，5，10，15，则 ， ， ， ， 则， ， ， ， ， 同理：， 所以. 因为，，则， 即. 故应该由甲参加第一阶段比赛. 24．（2026·江苏镇江·二模）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． (1)求甲连续打前四局比赛的概率； (2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； (3)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分析甲连续打前四局比赛的情形，利用乘法求出概率即可； （2）利用条件概率求解即可； （3）先分析得分的情况，然后求出对应的概率，列出分布列计算数学期望即可. 【详解】（1）由甲连续打前四局比赛，说明甲在前3局都获胜， 第一局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 第二局：甲、丙对打，甲胜，概率为， 第三局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 所以甲连续打前四局比赛的概率为：. （2）设事件：前四局中第二局乙获胜，事件：第二局乙获胜，前四局中甲轮空两局， 对于前四局中第二局乙获胜： 即第一局：甲、乙对打，乙胜，概率为， 第二局：乙、丙对打，乙胜，概率为， 所以， 在第二局乙获胜的前提下，甲要轮空两局，只能是第4局甲轮空 第三局：乙、甲对打，乙胜，概率为， 第四局：乙、丙对打，概率为， 所以， 根据条件概率知：. （3）由题意知得分的可能值为：， ， ， ， ， 所以的分布列为： 6 所以得分的数学期望为：. 25．（2026·江苏·二模）某学校田径队有甲、乙等8名运动员，现将这8人平均分成两组进行集训．每天训练前，两组分别从本组队员中随机选出一人担任组长． (1)求甲、乙两人同在组的概率； (2)求甲在三天内至少担任一次组长的概率； (3)记为连续两天中至少担任一次组长的人数，求的概率分布列和数学期望． 【答案】(1). (2) (3) 2 3 4 数学期望 【分析】（1）8名运动员分成两组共有种不同方法,甲、乙两人同在组有种不同方法，利用古典概型公式求解即可； （2）甲每天担任组长的概率为，利用对立事件的概率公式即可求解； （3）根据题意可得的可能取值为2，3，4，分别求出对应的概率，结合期望公式即可求解. 【详解】（1）8名运动员分成两组共有种不同方法． 记事件为“甲、乙两人同在组”，则事件共有种不同方法， 所以． （2）甲每天担任组长的概率为，记事件为“甲在三天内至少担任一次组长”， 则， （3）根据题意可得的可能取值为2，3，4， 第一天选组长： 组从人中选人有种， 组从人中选人种，总选法为种， 第二天选组长： 组从人中选人有种， 组从人中选人种，总选法为种， 的含义：两天的组长完全相同，即 组两天选同一个人， 组两天也选同一个人， 所以 的含义：组两天选同一人，组两天选不同的人或组两天选同一人，组两天选不同的人， 所以 的含义：两天的组长完全不重复，总人数为 4，即 组两天选不同的人， 组两天也选不同的人， 所以 所以的分布列为 2 3 4 26．（2026·江苏苏州·二模）一对夫妻计划进行为期60天的自驾游．已知两人均能驾驶车辆,且约定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人驾车,另一人休息;②若前一天由丈夫驾车,则下一天继续由丈夫驾车的概率为,由妻子驾车的概率为;③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为． (1)在刚开始的三天中,妻子驾车天数的概率分布列和数学期望; (2)设在第n天时,由丈夫驾车的概率为,求数列的通项公式． 【答案】(1)分布列见解析; (2), 【分析】(1)设妻子驾车天数为,写出的可能取值,根据题意求出相对应的概率,列出分布列,根据期望公式求出结果即可; (2)由于丈夫驾车的概率与前一天驾车的对象有关系,不妨假设第天,丈夫驾车的概率为,则妻子驾车的概率为,得到关于的递推关系式,构造等比数列,求出等比数列通项公式即可求得通项公式. 【详解】（1）解:设妻子驾车天数为,则的可能取值为:, 由题意可知:, , , 所以的分布列如下表所示: 0 1 2 所以; （2）假设第天,丈夫驾车的概率为,则妻子驾车的概率为, 此时第n天时,由丈夫驾车的概率为, 即,则有, 所以,因为, 所以是以为首项,为公比的等比数列, 即,故. ( 统计 考点 8 )27．（2026·江苏镇江·二模）如图所示，下列频率分布直方图，根据所给图做出以下判断，正确的是（    ） A．平均数=中位数=众数 B．众数<中位数<平均数 C．平均数<众数<中位数 D．平均数<中位数<众数 【答案】B 【分析】利用众数、中位数的意义，结合频率分布直方图呈现右拖尾形态时，中位数与平均数的关系判断即可. 【详解】众数是最高矩形底边中点对应的数值，位于左边第二个矩形底边中点， 所有矩形的面积之和为，显然前两个矩形的面积之和小于， 即众数＜中位数； 又频率分布直方图呈现右拖尾形态，使得平均数受极端值影响会被拉向右侧，大于中位数， 所以众数＜中位数＜平均数. 故选：B. 28．（2026·江苏宿迁·二模）已知4个不全相等的正整数的平均数与中位数都是2，则这组数据的极差为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据平均数、中位数的知识来确定正确答案. 【详解】设这四个不全相等的正整数为， 不妨设， 则， 所以， 由于是正整数，所以， （若，则，与已知个数不全相等矛盾） 所以极差为. 故选：C 29．（多选）（2026·江苏盐城·二模）已知一组数据由5个正整数组成，且这组数据中至少有1个8，则关于这组数据的描述可能是（   ） A．中位数为3且平均数为5 B．平均数为4且众数为4 C．平均数为4且方差为3.2 D．中位数为5且方差不小于7.2 【答案】ABD 【分析】举出符合要求的例子可得A、B、D；利用平均数与方差定义计算可得C. 【详解】对A：若这组数据为2，3，3，8，9，则其中位数为3且平均数为5，故A正确； 对B：若这组数据为1，3，4，4，8，则其平均数为4且众数为4，B正确； 对C：若这组数据的平均数为4，且至少有1个8， 则要使得方差最小，这五个数为3，3，3，3，8， 此时这组数据的方差，故C错误； 对D：若这组数据为2，2，5，8，8，则其中位数为5， 平均数为，方差，故D正确． 30．（多选）（2026·江苏镇江·二模）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（除了最后一组是闭区间，其余每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图，则下列选项正确的是（    ） A．直方图中x的值为0.0044 B．在被调查的用户中，用电量落在区间内的户数为70户 C．估计该小区用户月用电量的中位数不超过 D．用频率估计概率，从该小区抽取10人，则X表示用电量不超过的人数，则 【答案】AB 【详解】对于A，由图可得组距为50，根据频率和为1，得，解得，故A正确； 对于B，用电量落在区间内的频率， 由样本容量为100，得用电量落在区间内的户数，故B正确； 对于C，由图可得第一组的频率为，第二组的频率为 ，第三组的频率为； 前两组的累计频率为，前三组的累计频率为， 中位数位于第三组内； 设中位数为，则，解得； ，中位数超过，故C错误； 对于D，用电量不超过的频率为前两组频率之和，即； 用频率估计概率，从该小区抽取1人，其用电量不超过的概率. 从该小区抽取10人，设X表示用电量不超过的人数， 则X服从二项分布，则，故D错误. 31．（多选）（2026·江苏·二模）某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的值为0.015 B．估计这40名学生数学考试成绩的众数为75 C．估计总体中成绩落在内的学生人数105 D．估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为85 【答案】AB 【分析】对A ，利用频率分布直方图所有矩形面积之和为 1，列方程求解的值；对 B，众数为最高矩形底边中点的横坐标，取区间[70,80)的中点 75；对C ，先算[80,90)的频率，再乘以总体 300 得到估计人数；对D ，根据前几组频率和确定第 80 百分位数所在区间，再用插值法计算. 【详解】对于A：由，解得，A正确； 对于B：因为直方图中最高矩形对应区间为，所以估计这40名学生数学考试成绩的众数为，B正确； 对于C：区间对应的频率为，， 所以估计总体中成绩落在的学生人数为，C错误； 对于D：前三组的频率和为，第四组的频率为， 因为，所以第百分位数落在区间内， 由，即估计这名学生数学考试成绩的第百分位数约为，D错误； 故选：AB. 32．（多选）（2026·江苏·二模）已知一组数据的80百分位数是5，则（   ） A．该组数据的极差为5 B．该组数据的中位数为3.5 C．剔除该组数据中的4后，剩下样本数据的平均数变小 D．剔除该组数据中的4后，剩下样本数据的方差变小 【答案】AB 【详解】因为一共有个数据，，所以第80百分位数为第五个数，所以， 所以该组数据的极差为，故A正确； 该组数据的中位数为，故B正确； 因为的平均数为， 所以剔除该组数据中的4后，剩下样本数据的平均数不变，故C错误； 因为数据的方差为， 而剔除该组数据中的4后，数据的方差为，即方差变大，故D错误. ( 线性回归方程 考点 9 ) 33．（多选）（2026·江苏·二模）下列说法正确的是（   ） A．样本相关系数越大，则线性相关性越强 B．1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15 C．随机变量的方差，期望，则 D．某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为10.8 【答案】BD 【详解】A：样本相关系数的绝对值越大，则线性相关性越强，则A错误； B：该组数据共8个数据，又， 因此上四分位数为第6个数和第7个数的平均数，即，因此B正确； C：因为，由方差，期望，可得，即C错误. D：易知全班50个学生的数学成绩的平均值为， 因此方差为，即D正确. 34．（多选）（2026·江苏·二模）下列说法正确的是（    ） A．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好 B．已知关于的回归方程为，则样本点的残差为 C．设为两个随机事件，，若，则事件与事件相互独立 D．若样本数据，，…，的方差为，则数据，，…，的方差为 【答案】AC 【分析】由残差的意义判断A；求出样本点的残差判断B；由题意可得，由独立事件的定义判断C；求出新数据的方差判断D. 【详解】对于A，回归分析中，残差平方和是实际值与预测值差的平方和，其值越小说明预测值与实际值越接近，拟合效果越好，故A正确； 对于B，残差定义为观测值(实际值)减去预测值，即，对于样本点，预测值， 所以其残差为，故B错误； 对于C，因为，所以，所以事件与事件相互独立，故C正确; 对于D，因为样本数据，，…，的方差为， 即，为数据，，…，的平均数， 设数据，，…，的平均数为， 则， 所以数据，，…，的方差为： ，故D错误. 35．（2026·江苏·二模）已知变量的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现与之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归直线方程为，据此模型预测当时的值为__________. 5 6 7 8 9 3.5 4 5 6 6.5 【答案】7.4 【分析】经验回归直线方程过样本点的中心，所以把代入求得的值，再代入求解即可. 【详解】由已知得，即样本点中心， 因为经验回归直线方程过样本点的中心， 所以，解得. 所以，当时，. 故答案为：. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 计数原理与统计概率 9大考点概览 考点01 排列组合 考点02 二项式定理 考点03古典概型 考点04 条件概率与全概率 考点05 二项分布 考点06 正态分布 考点07离散型随机变量及其期望 考点08 统计 考点09线性回归方程 ( 排列组合 考点1 ) 1．（2026·江苏·二模）每个正整数都可以唯一表示成以下形式：，其中且为该正整数的“长度”，例如，．若正整数的“长度”为1，则这样的的个数为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南京·二模）有A，B，C，D，E共5名同学进行唱歌比赛，决出第1名到第5名的名次.现已知和都不是第1名，且不是第5名，则这5人名次排列的情况种数为（   ） A．42 B．50 C．54 D．60 3．（2026·江苏镇江·二模）已知关于n的方程为，则_____． 4．（2026·江苏南京·二模）已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为____________． ( 二项 式定理 考点 2 ) 5．（2026·江苏镇江·二模）计算保留到小数点后3位的结果是（    ） A．0.945 B．0.905 C．0.904 D．0.903 6．（多选）（2026·江苏南京·二模）已知的展开式中只有第7项的二项式系数最大．若展开式中所有项的系数和为1，则正确的命题是（   ） A． B． C．展开式中所有二项式系数的和为4096 D．展开式中第11项为 7．（2026·江苏·二模）的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．120 C．240 D．360 8．（多选）（2026·江苏苏州·二模）已知的展开式中常数项为3，，则下列说法正确的有（     ） A． B．的展开式中的系数为3 C．的展开式中各二项式系数之和等于各项的系数之和 D．的展开式中系数最大的项为第2项或第3项 9．（2026·江苏镇江·二模）已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则__________. 10．（2026·江苏盐城·二模）的展开式中的系数为________. 11．（2026·江苏连云港·二模）对满足的任意正整数对，定义函数如下：，，则________（结果用含i的式子表示）；_________（结果用含j的式子表示）． ( 古典概型 考点 3 ) 12．（2026·江苏·二模）如图，三行三列的方阵中有9个数（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（　    ） A． B． C． D． 13．（2026·江苏苏州·二模）已知集合，现独立地随机选取集合的两个非空子集、（与可以相同），则事件“集合中的最大元素小于集合中的最小元素”的概率为______. ( 条件概率与全概率 考点 4 ) 14．（2026·江苏苏州·二模）对于事件A、B，，，，则（   ） A．0.7 B．0.75 C．0.85 D．0.9 15．（多选）（2026·江苏南京·二模）已知，是两个随机事件，，下列命题正确的是（   ） A．若，相互独立，则 B．若事件，则 C．若，是对立事件，则 D．若，是互斥事件，则 16．（多选）（2026·江苏·二模）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为和（）．假设每次发送信号0和1是等可能的且每次发送信号相互之间是独立的．当发送两次信号是“0”“1”时，接收到的信号也是“0”“1”的概率为0.72．则下列结论正确的是（    ） A． B．当发送两次信号是“1”“1”时，恰有一次被正确接收的概率为0.16 C．一次发信后被接收为信号“1”的概率为0.45 D．若已知一次发信后被接收为信号“1”，则接收正确的概率为 17．（2026·江苏镇江·二模）已知盒子中共有个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，其中黄球有个，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出． (1)求第二次取出的球是黄球的概率． (2)若，且红球和黑球的个数比为，求黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球）的概率． (3)记随机变量为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，是的数学期望，证明：． ( 二项分布 考点 5 ) 18．（2026·江苏宿迁·二模）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木块后都等可能地向左或向右落下，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内. (1)如图，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，设小球落入球槽的号码为X，求X的分布列与数学期望. (2)现小禹同学对高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问2号球槽中落入多少个小球的概率最大？ ( 正态分布 考点 6 )19．（2026·江苏·二模）新能源汽车具有零排放、能源利用率高等特点，近年来备受青睐.某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km）情况，随机调查得到了1000个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则样本中耗电量小于12kW·h/100km的汽车大约有（   ） A．700辆 B．350辆 C．300辆 D．150辆 20．（2026·江苏镇江·二模）已知随机变量，，写出一个满足的负整数的值为______． ( 离散型随机变量分布列及期望 考点 7 )21．（2026·江苏连云港·二模）已知随机变量X的取值为0，1，2，若，，则 A． B． C． D． 22．（2026·江苏·二模）现有1个白球、3个黑球，将它们随机放入如图所示的编号为1～6的抽屉内，每个抽屉至多放一个球，且所有黑球均放在白球的左侧．设白球所在抽屉的编号为X，则______. 1 2 3 4 5 6 23．（2026·江苏苏州·二模）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立. (1)若，，甲参加第一阶段比赛，在该队成绩为0分的情况下，求甲第一阶段被淘汰的概率； (2)若，试分析：应该由谁参加第一阶段的比赛，比赛成绩更好？ 24．（2026·江苏镇江·二模）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． (1)求甲连续打前四局比赛的概率； (2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； (3)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 25．（2026·江苏·二模）某学校田径队有甲、乙等8名运动员，现将这8人平均分成两组进行集训．每天训练前，两组分别从本组队员中随机选出一人担任组长． (1)求甲、乙两人同在组的概率； (2)求甲在三天内至少担任一次组长的概率； (3)记为连续两天中至少担任一次组长的人数，求的概率分布列和数学期望． 26．（2026·江苏苏州·二模）一对夫妻计划进行为期60天的自驾游．已知两人均能驾驶车辆,且约定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人驾车,另一人休息;②若前一天由丈夫驾车,则下一天继续由丈夫驾车的概率为,由妻子驾车的概率为;③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为． (1)在刚开始的三天中,妻子驾车天数的概率分布列和数学期望; (2)设在第n天时,由丈夫驾车的概率为,求数列的通项公式． ( 统计 考点 8 )27．（2026·江苏镇江·二模）如图所示，下列频率分布直方图，根据所给图做出以下判断，正确的是（    ） A．平均数=中位数=众数 B．众数<中位数<平均数 C．平均数<众数<中位数 D．平均数<中位数<众数 28．（2026·江苏宿迁·二模）已知4个不全相等的正整数的平均数与中位数都是2，则这组数据的极差为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 29．（多选）（2026·江苏盐城·二模）已知一组数据由5个正整数组成，且这组数据中至少有1个8，则关于这组数据的描述可能是（   ） A．中位数为3且平均数为5 B．平均数为4且众数为4 C．平均数为4且方差为3.2 D．中位数为5且方差不小于7.2 30．（多选）（2026·江苏镇江·二模）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（除了最后一组是闭区间，其余每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图，则下列选项正确的是（    ） A．直方图中x的值为0.0044 B．在被调查的用户中，用电量落在区间内的户数为70户 C．估计该小区用户月用电量的中位数不超过 D．用频率估计概率，从该小区抽取10人，则X表示用电量不超过的人数，则 31．（多选）（2026·江苏·二模）某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的值为0.015 B．估计这40名学生数学考试成绩的众数为75 C．估计总体中成绩落在内的学生人数105 D．估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为85 32．（多选）（2026·江苏·二模）已知一组数据的80百分位数是5，则（   ） A．该组数据的极差为5 B．该组数据的中位数为3.5 C．剔除该组数据中的4后，剩下样本数据的平均数变小 D．剔除该组数据中的4后，剩下样本数据的方差变小 ( 线性回归方程 考点 9 ) 33．（多选）（2026·江苏·二模）下列说法正确的是（   ） A．样本相关系数越大，则线性相关性越强 B．1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15 C．随机变量的方差，期望，则 D．某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为10.8 34．（多选）（2026·江苏·二模）下列说法正确的是（    ） A．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好 B．已知关于的回归方程为，则样本点的残差为 C．设为两个随机事件，，若，则事件与事件相互独立 D．若样本数据，，…，的方差为，则数据，，…，的方差为 35．（2026·江苏·二模）已知变量的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现与之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归直线方程为，据此模型预测当时的值为__________. 5 6 7 8 9 3.5 4 5 6 6.5 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $