专题09 解析几何（7大考点）（江苏专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题09 解析几何 7大考点概览 考点01直线与方程 考点02圆与方程 考点03直线与圆 考点04椭圆 考点05双曲线 考点06抛物线 考点07综合应用 ( 直线与方程 考点1 ) 1．（2026·江苏·二模）已知直线的一个方向向量为，且过，则直线的方程为______． ( 圆与方程 考点 2 ) 2．（2026·江苏·二模）已知，，则的最小值为（   ） A．1 B．9 C．16 D．25 3．（2026·江苏盐城·二模）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 4．（2026·江苏·二模）如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方 向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这 样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是 A． B． C． D． ( 直线与圆 考点 3 ) 5．（2026·江苏·二模）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C．8 D． 6．（多选）（2026·江苏·二模）已知动点序列与圆，设表示到圆上的点的最短距离．则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，的面积满足 D．当时，记，则满足 7．（2026·江苏南京·二模）平面直角坐标系中，已知圆与圆交于点、两点，其中．两圆半径之积为，若两圆均与直线和轴相切，则直线的方程为________． 8．（2026·江苏·二模）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为________． ( 椭圆 考点 4 )9．（2026·江苏镇江·二模）椭圆的左右焦点分别为，，以为直径的圆与椭圆在第二象限交于点，为坐标原点，是椭圆的上顶点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·江苏镇江·二模）设分别是椭圆的左右焦点，过椭圆上一点作切线交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）（2026·江苏连云港·二模）已知椭圆的左，右焦点分别为，为椭圆上一点，则下列结论正确的是（    ） A．的周长为10 B．存在点，使得 C．若，的面积为 D．使得为等腰三角形的点共有4个 12．（2026·江苏苏州·二模）已知椭圆，直线过坐标原点并交椭圆于，两点（P在第一象限），点是轴正半轴上一点，其横坐标是点横坐标的倍，直线交椭圆于点，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为_________． 13．（2026·江苏南京·二模）已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积. 14．（2026·江苏盐城·二模）已知椭圆经过点，分别为的左、右焦点，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)求的角平分线所在的直线的方程； (3)过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，记直线的斜率分别为，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 15．（2026·江苏南京·二模）已知椭圆：经过点和. (1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆C的左焦点为F，点M，N是椭圆C上的两个动点，直线的斜率存在并且不为0. （i）若直线，关于x轴对称，证明：直线过定点； （ii）若为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，直线过点，直线与直线，分别交于点P，Q，求. 16．（2026·江苏·二模）已知曲线C上任一点到两个定点和的距离和为定值4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P． （ⅰ）证明：直线PM过定点Q； （ⅱ）对于（ⅰ）中的点Q，求的取值范围． 17．（2026·江苏·二模）平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M． （i）求证：点M在定直线上; （ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标． ( 双曲线 考点 5 )18．（2026·江苏南京·二模）双曲线C：的一个焦点坐标为，则双曲线C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 19．（2026·江苏·二模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 20．（2026·江苏盐城·二模）已知点，分别为双曲线的左右焦点，过双曲线C上一点作的平分线交x轴于点B，记的面积分别为，内切圆半径分别为，，则（    ） A． B． C． D． 21．（2026·江苏·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 22．（2026·江苏连云港·二模）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 A． B． C． D． 23．（2026·江苏苏州·二模）若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为__________. 24．（2026·江苏南京·二模）双曲线：的渐近线的斜率为______. 25．（2026·江苏·二模）已知双曲线的右焦点为是右支上一点，关于原点和轴对称的点分别为，则的离心率为______． 26．（2026·江苏苏州·二模）已知双曲线E：的右焦点为F，离心率为2，过F且与x轴垂直的直线被该双曲线截得的弦长为6. (1)求曲线E的方程； (2)A、B、C为曲线E上的三个点，且A、B关于原点对称，直线BC过点F，若的面积为12，求直线BC的方程； (3)已知，过点的直线l与E在y轴右侧交于不同的两点P、Q，则直线l上是否存在点T使得，？若存在，求出T的坐标，若不存在，说明理由. 27．（2026·江苏镇江·二模）已知双曲线与直线有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于、两点． (1)如果，求实数k的取值集合； (2)如果，当点M在运动时， ①求出点的轨迹方程； ②求的最大值并求出对应的s的值． 28．（2026·江苏·二模）已知是坐标原点，双曲线左顶点，直线过点交的右支于两点，记的面积分别为，．且当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线交轴于点， （i）若，求证：为定值； （ii）在（i）条件下，若，当时，求的取值范围． 29．（2026·江苏镇江·二模）已知双曲线 (1)，求双曲线的渐近线方程. (2)设，为双曲线的左右顶点，双曲线上一点的纵坐标为，且，求的值； (3)已知点在双曲线上，直线交于两点，直线的斜率之和为求直线的斜率. ( 抛物线 考点 6 )30．（2026·江苏苏州·二模）抛物线：，是其焦点，点、在曲线上，且，为线段中点，过点作的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 31．（2026·江苏南京·二模）已知直线与抛物线（）交于两点，且（O为坐标原点），则（   ） A．1 B．2 C．4 D．不确定 32．（2026·江苏·二模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，是坐标原点，若的面积为，则（    ） A．2 B．3 C． D．4 33．（多选）（2026·江苏镇江·二模）已知O是坐标原点，抛物线的焦点是点F，，B，C是抛物线上的三点，点T在圆上运动，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．如果，则直线BC与x轴的公共点为 D．如果直线AB，AC均与圆M相切，则直线BC的方程为 34．（多选）（2026·江苏·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为．过的直线与交于两点，过作的垂线，垂足为与轴交于点，则（   ） A． B．． C．可能为锐角 D．三点共线 35．（多选）（2026·江苏·二模）已知曲线上的动点到点的距离与其到直线的距离相等，则（    ） A．曲线的轨迹方程为 B．已知点，若为曲线上的动点，则的最小值为4 C．过点恰有2条直线与曲线有且只有一个公共点 D．圆与曲线交于，两点，与直线交于，两点，则，，，四点围成的四边形的面积为8 36．（2026·江苏宿迁·二模）过坐标原点作圆的两条切线，设切点为，直线恰为抛物的准线. (1)求抛物线的标准方程； (2)设点是圆上的动点，抛物线上四点满足：，设中点为. （i）求直线的斜率； （ii）设面积为，求的最大值. ( 综合应用 考点 7 ) 37．（2026·江苏盐城·二模）已知向量满足，则取值范围是_______. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 解析几何 7大考点概览 考点01直线与方程 考点02圆与方程 考点03直线与圆 考点04椭圆 考点05双曲线 考点06抛物线 考点07综合应用 ( 直线与方程 考点1 ) 1．（2026·江苏·二模）已知直线的一个方向向量为，且过，则直线的方程为______． 【答案】 【分析】根据直线方向向量的定义，求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由直线的方向向量为，可得直线的斜率， 因为直线过点，所以直线的方程为，即. 故答案为：. ( 圆与方程 考点 2 ) 2．（2026·江苏·二模）已知，，则的最小值为（   ） A．1 B．9 C．16 D．25 【答案】D 【分析】将，看成两点间距离的平方，将问题转化成两圆上点的距离求解. 【详解】将， 设， 由，， 得点在以为圆心，为半径的圆上， 点在以为圆心，为半径的圆上， 两圆心距，两圆内含， 所以，， 则. 3．（2026·江苏盐城·二模）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】通过两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合垂径定理与勾股定理计算出公共弦长. 【详解】已知两圆方程：圆，圆心，半径，圆 ， 将两圆方程相减消去二次项，得到公共弦方程， 化简得：. 根据点到直线的距离公式，圆心到公共弦的距离：， 根据垂径定理，公共弦长. 【点睛】本题考查两圆公共弦长的计算，核心方法是两圆方程作差得公共弦方程，结合垂径定理求解弦长，是圆中弦长问题的常规解法. 4．（2026·江苏·二模）如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方 向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这 样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图： 如图，取小圆上一点，连接并延长交大圆于点，连接，，则在小圆中，，在大圆中，，根据大圆的半径是小圆半径的 倍，可知的中点是小圆转动一定角度后的圆心，且这个角度恰好是，综上可知小圆在大圆内壁上滚动，圆心转过角后的位置为点，小圆上的点，恰好滚动到大圆上的也就是此时的小圆与大圆的切点．而在小圆中，圆心角（是小圆与的交点）恰好等于，则，而点与点其实是同一个点在不同时刻的位置，则可知点与点是同一个点在不同时刻的位置．由于的任意性，可知点的轨迹是大圆水平的这条直径．类似的可知点的轨迹是大圆竖直的这条直径. 故选A. ( 直线与圆 考点 3 ) 5．（2026·江苏·二模）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C．8 D． 【答案】B 【分析】整理出圆的方程，得出圆心和半径，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可求解. 【详解】由，则， 表示以为圆心，3为半径的圆，即点在该圆上， 设，则圆心到直线的距离为， 解得，则的最大值是. 故选：B 6．（多选）（2026·江苏·二模）已知动点序列与圆，设表示到圆上的点的最短距离．则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，的面积满足 D．当时，记，则满足 【答案】BD 【分析】根据题意，得到点到圆上的点的距离为，结合二次函数的性质，可判定A错误；当时，得到，可判定B正确；求得的面积的表达式，结合数列单调性的判定方法，可判定C错误；当时，得到，并结合数列的求和公式，可判定D正确. 【详解】由圆，可得圆心，半径为，且， 对于A，点到圆上的点的最短距离为，可得，所以A错误； 对于B，当时，可得，所以，所以B正确； 对于C，， 整理得， 因为函数单调递减，可得， 又因为，所以，所以数列单调递增，所以C错误； 对于D，当时，，故， 所以， 可得，所以D正确． 故选：BD． 7．（2026·江苏南京·二模）平面直角坐标系中，已知圆与圆交于点、两点，其中．两圆半径之积为，若两圆均与直线和轴相切，则直线的方程为________． 【答案】 【分析】设两个圆的方程为，依题意可得且，根据圆过点得到，设的倾斜角为，则，令，则，代入前述方程，利用韦达定理求出，最后由二倍角公式计算可得. 【详解】由题意设两个圆的方程为， 依题意可得且． 因为两圆均过点，所以①， 设的倾斜角为，则，． 令，则．将其代入式①整理得． 由韦达定理可得，从而（负值已舍去）， 所以， 故直线的方程为． 故答案为： 8．（2026·江苏·二模）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为________． 【答案】3 【分析】方法一：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求出结果. 【详解】［方法一］：【通性通法】直译法 设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点的横坐标 所以.所以， 由得 即，解得：或，因为，所以 故答案为：3． ［方法二］：【最优解】几何法 如图3，因为为直径，所以，，．    设，则， 所以，即． 所以，A点的坐标为，则点A的横坐标为3． ［方法三］： 数形结合 如图4，由已知，得，则，所以的方程为．    由解得． 设，则，从而． 所以，解得或． 又，所以．即点A的横坐标为3． ［方法四］：数形结合＋斜率公式 由，得，又C是的中点，所以． 又，所以．设直线l的倾斜角为，则，从而． 设，则，解得．即点A的横坐标为3． ［方法五］： 数形结合＋解三角形 由方法四，知，则． 在中，． 在等腰中，． 设，则，解得或． 又，所以．即点A的横坐标为3． ［方法六］：数形结合＋解三角形 设直线l的倾斜角为，则，则． 由方法四知，于是． 在中，由正弦定理知，解得， 故点A的横坐标为． ［方法七］：数形结合＋解三角形 因为D为以为直径的圆C上一点，所以，C为的中点． 因为，所以，为等腰直角三角形，即． 在中，． 又，所以． 因为A在第一象限，所以． 又，所以． 【整体点评】方法一：直接根据题意逐句翻译成数学语言，通过运算解出，是该题的通性通法； 方法二：作出简图，利用平面几何知识求解，运算简单，是该题的最优解； 方法三：通过圆的几何性质，利用直线方程联立求点的坐标，简化计算； 方法四：通过圆的几何性质，求出直线的倾斜角，从而得出斜率，根据斜率公解出，是不错的解法； 方法五：同法四，通过圆的几何性质，求出直线的倾斜角，从而得出斜率，再通过解三角形求出； 方法六：基本原理同方法五； 方法七：基本原理同方法五． ( 椭圆 考点 4 )9．（2026·江苏镇江·二模）椭圆的左右焦点分别为，，以为直径的圆与椭圆在第二象限交于点，为坐标原点，是椭圆的上顶点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆及所给条件表示出点的坐标，并将其代入椭圆方程，利用将椭圆方程转化为关于的齐次方程，即可求出椭圆的离心率. 【详解】 如图所示，圆是以为直径的圆，点是圆与椭圆在第二象限的交点， 且，则，， 所以点，即. 将点的坐标代入椭圆的方程可得，即. 在椭圆中有，将其代入上式，整理可得， 等式的两边同时除以可得，即， 即，解得或. 因为椭圆的离心率，所以，故，解得. 所以椭圆的离心率为. 10．（2026·江苏镇江·二模）设分别是椭圆的左右焦点，过椭圆上一点作切线交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的光学性质可得，求出，，结合椭圆的定义即可得解. 【详解】设切线交轴于点， 由椭圆的光学性质可得， 则， 又， 则在中，， ， 由椭圆的定义得， 即，解得， 所以该椭圆的离心率是. 故选：A. 11．（多选）（2026·江苏连云港·二模）已知椭圆的左，右焦点分别为，为椭圆上一点，则下列结论正确的是（    ） A．的周长为10 B．存在点，使得 C．若，的面积为 D．使得为等腰三角形的点共有4个 【答案】AC 【分析】根据椭圆的定义、余弦定理、三角形面积公式、等腰三角形等知识对选项进行分析，从而确定正确答案 【详解】对于A，椭圆对应， 所以的周长为，A正确. 对于B，设，则，， 由余弦定理得 ，当且仅当时等号成立， 所以不存在点，使得，B错误. 对于C，若，即，由， 解得，所以为锐角， 所以， 所以，C正确.    对于D，当是上顶点或下顶点时，是等腰三角形.    以为圆心，为半径作圆，与椭圆相交于点， 当为其中一个交点时，是等腰三角形.    同理，以为圆心，为半径作圆，与椭圆相交于点， 当为其中一个交点时，是等腰三角形.    所以使得为等腰三角形的点共有个，D错误. 故选：AC 12．（2026·江苏苏州·二模）已知椭圆，直线过坐标原点并交椭圆于，两点（P在第一象限），点是轴正半轴上一点，其横坐标是点横坐标的倍，直线交椭圆于点，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为_________． 【答案】 【分析】设，则由直线恰好是以为直径的圆的切线，可得，再利用点差的方法可得，即得，从而可得的关系，即可求得椭圆离心率. 【详解】依题意，设， 直线的斜率一定存在，分别为， 直线恰好是以为直径的圆的切线，则，则， 则，∴， ∵，两式相减得， ∴，即， ∴，∴，∴， ∴椭圆的离心率， 故答案为：. 13．（2026·江苏南京·二模）已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由抛物线焦点求椭圆值，再结合离心率求，最后由、求得椭圆方程. （2）直线方程代入椭圆方程消元，求解，，以为底、纵坐标绝对值为高求三角形面积. 【详解】（1）抛物线的焦点为，则， 又椭圆C的离心率，则，所以， 故椭圆C的标准方程为 ； （2）由（1）可知，椭圆C的左顶点， 则直线：，即：， 设，，消去得， 解得或（舍去）， 所以. 14．（2026·江苏盐城·二模）已知椭圆经过点，分别为的左、右焦点，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)求的角平分线所在的直线的方程； (3)过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，记直线的斜率分别为，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据离心率得、的关系，然后将点A的坐标代入椭圆方程，联立方程即可求解； （2）由角平分线的性质角平分线上的点到两边的距离相等可求解； （3）设出直线方程并联立椭圆方程，根据韦达定理表示出化简求解. 【详解】（1）由，可得， 将点代入椭圆方程得， 联立可得，，故椭圆方程为； （2）由（1）知，，，则直线方程为. 直线方程为. 设角平分线l上的一点为，则， 得或， 因为角平分线l的斜率为正，所以直线l方程为； （3）设直线方程为， 联立得， 设，，则，， 则 ， 代入，，整理得， 所以当时，使得恒为定值. 15．（2026·江苏南京·二模）已知椭圆：经过点和. (1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆C的左焦点为F，点M，N是椭圆C上的两个动点，直线的斜率存在并且不为0. （i）若直线，关于x轴对称，证明：直线过定点； （ii）若为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，直线过点，直线与直线，分别交于点P，Q，求. 【答案】(1)； (2)（i）证明过程见解析；（ii）1 【分析】（1）代入和，得到方程组，求出，得到椭圆方程； （2）（i）设直线的方程为，联立，设，得到两根之和，两根之积，设关于x轴对称点为，则，且在直线上，根据，得到方程，求出，从而求出直线过定点； （ii）设直线为，联立，得到两根之和，两根之积，直线为，表达出直线，联立直线得，同理可得，结合两根之和，两根之积，得到，（），由于，所以，当时，其中一个点坐标为，与重合，不合要求，从而得到结论. 【详解】（1）将和代入可得， 解得，故椭圆C的方程为； （2）（i）设直线的方程为， 联立得， ，故， 设， 故， 直线，关于x轴对称，设关于x轴对称点为， 则，且在直线上， 直线的斜率存在并且不为0，故直线斜率存在且不为0， 其中，，即， 所以，其中， 所以，， 将代入可得 ，化简得，代入中， ，即且， 所以直线方程为， 直线过定点； （ii）由题意得，直线过点，设直线为， 联立得， ， 故，解得， 设， 则， 直线为，直线为， 联立直线与直线得，同理可得， ， 其中， 故 将代入得 ，（）， 由于，所以， 当时，直线为， 联立得，即，解得或2， 当时，，当时，，即其中一个点坐标为， 与重合，不合要求， 综上，. 16．（2026·江苏·二模）已知曲线C上任一点到两个定点和的距离和为定值4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P． （ⅰ）证明：直线PM过定点Q； （ⅱ）对于（ⅰ）中的点Q，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）由椭圆定义可得； （2）设，，联立直线与椭圆方程，将代入直线方程，化简得定点；用坐标表示数量积，将代入化简求范围. 【详解】（1）因为，由椭圆定义可知，曲线C为以和为两焦点的椭圆， 其中，，解得，， 故C的方程为； （2）（ⅰ）依题意可设直线l的方程为， 设，，． 联立得得， 由韦达定理得，， 则直线PM的方程为， 即， 其中 ， 则直线PM的方程为， 故直线PM过定点； （ⅱ），， ， 因为，所以，， 所以的取值范围为． 17．（2026·江苏·二模）平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M． （i）求证：点M在定直线上; （ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标． 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（ⅰ）见解析；（ⅱ）的最大值为，此时点的坐标为 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦点求方程； （Ⅱ）（ⅰ）由点P的坐标和斜率设出直线l的方程和抛物线联立，进而判断点M在定直线上； （ⅱ）分别列出，面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点P的坐标． 试题解析：（Ⅰ）由题意知：，解得． 因为抛物线的焦点为，所以， 所以椭圆的方程为． （Ⅱ）（1）设，由可得， 所以直线的斜率为，其直线方程为，即． 设，联立方程组 消去并整理可得， 故由其判别式可得且， 故, 代入可得， 因为，所以直线的方程为． 联立可得点的纵坐标为，即点在定直线上． （2）由（1）知直线的方程为， 令得，所以， 又， 所以，， 所以，令，则， 因此当，即时，最大，其最大值为，此时满足， 所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为． 考点：椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力． ( 双曲线 考点 5 )18．（2026·江苏南京·二模）双曲线C：的一个焦点坐标为，则双曲线C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据焦点结合计算得出，进而得出，最后得出渐近线方程即可. 【详解】双曲线C：的一个焦点坐标为，则，所以， 即得， 所以双曲线C的渐近线方程为. 故选：C. 19．（2026·江苏·二模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，得，进而得到即可求解离心率. 【详解】由题意，得，则， 所以，则，即， 所以的离心率为. 故选：A. 20．（2026·江苏盐城·二模）已知点，分别为双曲线的左右焦点，过双曲线C上一点作的平分线交x轴于点B，记的面积分别为，内切圆半径分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再由角平分线定理可求出，进而求出的各边长，即可求出，再由等面积法求出，，即可求出. 【详解】由双曲线可知：， 所以，， 令，则，解得：，不妨设， 所以， 因为为的角平分线，所以由角平分线定理可得：， 所以，又因为，所以，， 所以，所以， 因为，所以的高为， 所以， 又因为， 解得：，同理， 所以. 故选：D. 21．（2026·江苏·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案. 【详解】如图，    因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以， 所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为 故选：D 22．（2026·江苏连云港·二模）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：直线l：y=-x+a与渐近线l1：bx-ay=0交于B， l与渐近线l2：bx+ay=0交于C，A（a，0）， ∴，∵， ∴，b=2a，∴，∴，∴ 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质 23．（2026·江苏苏州·二模）若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为__________. 【答案】2 【分析】利用双曲线渐近线定义计算即可得. 【详解】依题意，则双曲线的渐近线为， 又双曲线一条渐近线方程为，所以， 故，所以双曲线的离心率为. 故答案为：2. 24．（2026·江苏南京·二模）双曲线：的渐近线的斜率为______. 【答案】 【分析】根据双曲线的标准形式方程求其渐近线的斜率. 【详解】由题意知双曲线：，则可得双曲线的标准方程为， 故可得双曲线的渐近线为，所以渐近线的斜率为. 故答案为： 25．（2026·江苏·二模）已知双曲线的右焦点为是右支上一点，关于原点和轴对称的点分别为，则的离心率为______． 【答案】/ 【分析】利用双曲线的对称性，得到焦点三角形的形状，利用双曲线的定义求解即可. 【详解】如图，不妨设点在第一象限，双曲线的左焦点为， 由，由对称性得，得， 所以，即得为等边三角形， 连接，由，所以，从而， 在中，，，从而， 所以，从而. 26．（2026·江苏苏州·二模）已知双曲线E：的右焦点为F，离心率为2，过F且与x轴垂直的直线被该双曲线截得的弦长为6. (1)求曲线E的方程； (2)A、B、C为曲线E上的三个点，且A、B关于原点对称，直线BC过点F，若的面积为12，求直线BC的方程； (3)已知，过点的直线l与E在y轴右侧交于不同的两点P、Q，则直线l上是否存在点T使得，？若存在，求出T的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)或或 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据双曲线离心率公式和通径公式求解即可； （2）根据直线与双曲线相交的弦长公式及三角形面积公式可得结果； （3）先根据直线与双曲线的交点情况得到直线的斜率的范围，并结合条件得到点的坐标关于的表达式，接下来一种方法是通过消去得到点的坐标满足，再结合得到，最后验证对应的斜率不在范围内，另一种方法是将点的坐标直接代入得到关于的方程，最后验证该方程无范围内的解，从而得出结论. 【详解】（1）过右焦点且与轴垂直的直线为，代入双曲线方程得， 依题意有，又由离心率为，得，联立得， 所以曲线的方程为. （2）设，由（1）得，所以，因为关于原点对称， 所以，可知直线的斜率不能为 （否则不存在），故可设其方程为，与双曲线方程联立， 整理得，可得且， 以及，所以， 解得或，所以直线的方程为或或. （3）若直线斜率不存在，则直线与双曲线右支无交点，不合题意， 故可设直线方程为，与双曲线方程联立， 整理得，设， 则有且，以及， 其中，所以，结合其它不等式解得， 设，由得，即， 变形得到，将代入， 解得①，代入得②， 解法一： 由①有③，代入②得到④，再由 得，将④代入，整理得， 解得，再由③可得， 因为，， 所以不存在满足条件的点. 解法二： 由得即， 将①②代入该方程得到， 整理得，即， 令，则在区间上单调递减， 又，故当时，恒成立， 即方程在内无解， 所以不存在满足条件的点. 27．（2026·江苏镇江·二模）已知双曲线与直线有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于、两点． (1)如果，求实数k的取值集合； (2)如果，当点M在运动时， ①求出点的轨迹方程； ②求的最大值并求出对应的s的值． 【答案】(1) (2) ①②； 【分析】（1）根据题意，联立方程组讨论和，利用解出的取值集合； （2）①首先联立双曲线与直线方程，利用唯一公共点的条件得到与点坐标的关系，根据过且与垂直的直线方程可由垂直直线斜率关系得出，将坐标代入该直线方程，得到与坐标的关系，再通过消去的坐标，推导出的轨迹方程； ②由①得到的轨迹方程，将转化为单变量函数，利用基本不等式最大值，同时确定对应的值. 【详解】（1）当，直线方程， 联立双曲线与直线，代入整理得， 由题知直线与双曲线有唯一公共点， 故当时，即，此时直线与双曲线渐近线平行，仅有一个交点，符合条件； 当时，，解得， 故实数k的取值集合为. （2）①联立与得：， 由唯一公共点且，得，化简得 ， 设切点，由二次方程顶点公式得 ， 故过且与垂直的直线方程为， 分别令，，得， 将和代入，整理得， 即为的轨迹方程. ②由①知的轨迹方程，故 ， 令，， 原式 当时原式小于0，故最大值仅在时取得， 当时化简得， 由基本不等式，当且仅当时取等， 因此 ，此时， 得，即，代入得，即， 因此最大值为，对应. 28．（2026·江苏·二模）已知是坐标原点，双曲线左顶点，直线过点交的右支于两点，记的面积分别为，．且当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线交轴于点， （i）若，求证：为定值； （ii）在（i）条件下，若，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）为定值，证明过程见解析；（ii） 【分析】（1）根据双曲线特征和三角形面积得到双曲线方程； （2）（i）设出直线，联立双曲线方程，根据向量关系进行求解； （ii）在（i）基础上，用表达出，求出取值范围. 【详解】（1）由题意得， 当直线与轴垂直时，，即，即， 故，将其代入中，得， 所以双曲线方程为； （2）（i）显然直线不为0，故设直线为， 又直线交轴于点，故直线与轴不垂直，故， 与联立可得， ， 设，则， 过点交的右支于两点，故，不妨设， ，即， 即，解得，， ，同理可得 ，， 则； （ii）由于，由几何关系可得， 其中，故，整理可得， 又，， 所以， 由（i）知，，， 故，又，， 故，整理得，， 令，则，， 所以， 由对勾函数可知在上单调递增， 故. 29．（2026·江苏镇江·二模）已知双曲线 (1)，求双曲线的渐近线方程. (2)设，为双曲线的左右顶点，双曲线上一点的纵坐标为，且，求的值； (3)已知点在双曲线上，直线交于两点，直线的斜率之和为求直线的斜率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线渐近线方程的公式求解； （2）先根据双曲线方程得到顶点坐标，设点，表示出向量和，利用数量积公式得到与的关系，把点代入双曲线方程即可求解； （3）设直线斜率为，直线斜率为，把直线与双曲线方程联立，利用韦达定理表示出点，同理以代可表示出点，代入斜率公式化简即可得斜率. 【详解】（1）当时，双曲线的方程为， 则双曲线的渐近线方程为； （2）由题意，设， 则，， 则，， 又点在双曲线上，则，化简得， 又所以； （3）将点代入双曲线方程得，解得：， 故双曲线方程为； 设直线斜率为，则直线斜率为 直线方程为，联立双曲线与直线: ， 其中 即且， 由韦达定理，则， 同理以代，则， 则，， 故. ( 抛物线 考点 6 )30．（2026·江苏苏州·二模）抛物线：，是其焦点，点、在曲线上，且，为线段中点，过点作的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，利用抛物线的定义和余弦定理，分别用表示出与，进而表示出，借助于求导判断函数单调性，即可求得其最小值. 【详解】由：可知，准线方程为，设，， 根据抛物线的定义可得：，， 因为中点，则， 于是， 令，，所以. 在中，， 由余弦定理，得， 则， 令，当且仅当时，即时，等号成立， 设，， 则，所以在上单调递增， 则当时，取最小值为，此时取最小值， 故的最小值为. 31．（2026·江苏南京·二模）已知直线与抛物线（）交于两点，且（O为坐标原点），则（   ） A．1 B．2 C．4 D．不确定 【答案】A 【分析】设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由题意可得出，结合韦达定理可求得的值. 【详解】设点、， 联立可得， ，由韦达定理可得，， 所以，， 解得， 故选：A 32．（2026·江苏·二模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，是坐标原点，若的面积为，则（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】由焦点坐标得出，从而得出抛物线方程，设出的坐标，结合三角形面积公式计算出坐标值，进而利用两点间距离公式求解． 【详解】   ， ，即，抛物线的方程为． 设，则的面积为： ，解得，将代入，解得， ． 故答案为：D． 33．（多选）（2026·江苏镇江·二模）已知O是坐标原点，抛物线的焦点是点F，，B，C是抛物线上的三点，点T在圆上运动，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．如果，则直线BC与x轴的公共点为 D．如果直线AB，AC均与圆M相切，则直线BC的方程为 【答案】BCD 【分析】对于A，将点代入抛物线，得到方程后再求解即可；对于B，的最小值，等价于求圆心到​的距离减去半径;对于C，联立方程组后，运用平面向量的坐标运算求解即可；对于D，运用几何法，设切线，求解方程即可. 【详解】对于A：因为在抛物线上，所以，解得，所以抛物线的准线方程为：，则，故A不正确； 对于B：根据抛物线定义，等于点到准线​的距离， 要求的最小值，等价于求圆心到​的距离减去半径, 即，所以的最小值为，故B正确； 对于C，显然直线BC的斜率不为0，设直线BC的方程为， 由，得，所以，所以， 所以，解得：或， 当时，直线过原点，不满足题意，舍去， 所以，即直线BC与x轴的公共点为，故C正确； 对于D，直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为，即， 又直线AB与圆相切，所以，整理得，即， 同理可得，所以直线BC的方程为，故D正确. 34．（多选）（2026·江苏·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为．过的直线与交于两点，过作的垂线，垂足为与轴交于点，则（   ） A． B．． C．可能为锐角 D．三点共线 【答案】ABD 【分析】对于A，因为抛物线的定义是抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以对于点A在抛物线C上，AP是A到准线l的垂线，可判断|AP|与|AF|的关系；对于B，根据抛物线性质，结合等腰三角形性质即可判断；对于C，设出A、B两点的坐标，设直线，联立抛物线方程，可得根与系数关系，计算，根据其正负判断是否可能为锐角；对于D，求出直线OP和直线OB的斜率，判断P、O、B三点是否共线. 【详解】对于选项A，根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点距离等于到准线的距离， 从而有，选项A正确； 对于选项B，设准线与轴交于点， 由，，所以为的中位线， 从而，又，从而，选项B正确； 对于选项C，由题意，直线的斜率存在，故可设，，直线， 联立：，化简整理得，， 从而有，由，， 得， 则，，， 则不可能为锐角，选项 C错误； 对于选项D，直线的斜率， 由，可得直线的斜率， 由，得，从而， 则三点共线，选项D正确. 35．（多选）（2026·江苏·二模）已知曲线上的动点到点的距离与其到直线的距离相等，则（    ） A．曲线的轨迹方程为 B．已知点，若为曲线上的动点，则的最小值为4 C．过点恰有2条直线与曲线有且只有一个公共点 D．圆与曲线交于，两点，与直线交于，两点，则，，，四点围成的四边形的面积为8 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义求出曲线的轨迹方程可判断A；根据圆与曲线及直线的交点可判断D；根据抛物线的定义结合条件可判断B；根据直线与抛物线的交点个数结合条件可判断C. 【详解】对于A，曲线上的动点到点的距离与其到直线的距离相等， 所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，且， 所以抛物线方程为，故A正确； 对于D，直线交圆于点，而， 四边形是矩形，面积为，故D正确； 对于B，显然共线，垂直于直线， 令点到直线的距离为，则， 所以，当且仅当与点重合时取等号， 因此的最小值为，故B正确； 对于C，过点与曲线仅有一个公共点的直线方程为， 由，消去得， 当时，直线与抛物线仅有一个公共点， 当时，，解得， 显然直线与抛物线仅有一个公共点， 因此过点与曲线有且只有一个公共点的直线有3条，故C错误. 故选：ABD. 36．（2026·江苏宿迁·二模）过坐标原点作圆的两条切线，设切点为，直线恰为抛物的准线. (1)求抛物线的标准方程； (2)设点是圆上的动点，抛物线上四点满足：，设中点为. （i）求直线的斜率； （ii）设面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）0；（ii）48 【分析】（1）设直线与轴交于，由几何性质易得：，即可解决；（2）设，（i）中，由于中点在抛物线上，得，将，代入联立得点纵坐标为，即可解决；（ⅱ）由（i）得点，，又点在圆上，得，可得：即可解决. 【详解】（1）设直线与轴交于. 由几何性质易得：与相似， 所以， ， 即：，解得：. 所以抛物线的标准方程为：. （2）设 （i）由题意，中点在抛物线上，即， 又，将代入， 得：， 同理：， 有，此时点纵坐标为， 所以直线的斜率为0. （ⅱ）因为， 所以点， 此时， ， ， 所以， 又因为点在圆上，有，即，代入上式可得： ， 由， 所以时，取到最大价. 所以的最大值为48. ( 综合应用 考点 7 ) 37．（2026·江苏盐城·二模）已知向量满足，则取值范围是_______. 【答案】 【分析】先通过换元，再根据向量线性运算的几何意义及椭圆的定义及几何性质可得. 【详解】设，则，代入得， 根据向量的几何意义知，向量表示的点到表示的点和的距离和为常数8， 根据椭圆的定义知向量表示的点在以长轴为，焦距为的椭圆上， 所以，所以表示椭圆上的点到椭圆中心的距离， 由椭圆的几何性质可知，即，如图： 所以取值范围是. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $