专题08 数列（6大考点）（江苏专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题08 数列 6大考点概览 考点01等差数列 考点02等比数列 考点03递推关系求通项 考点04数列求和-裂项相消 考点05数列综合应用 考点06新定义 ( 等差数列 考点1 ) 1．（2026·江苏镇江·二模）在等差数列中，，，则（    ） A． B．0 C．1 D．11 【答案】B 【分析】运用等差数列通项性质求解. 【详解】设等差数列公差为d，那么. 2．（2026·江苏宿迁·二模）已知等差数列中，，，求前项和的最小值为____． 【答案】-4 【分析】设等差数列的公差为，由，，可得：，解得：．令，解得．进而得出． 【详解】解：设等差数列的公差为，，， ， 解得：． ． 令，解得． 时，前项和取得最小值，为． 故答案为：. 【点睛】本题考查了等差数列基本量运算与前n项和最值的求解，属于基础题. 3．（2026·江苏·二模）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列. (1)求的通项公式； (2)对于任意，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式结合等比中项计算求解； （2）先把转化为，再根据的单调性得出最大项，最后得出参数范围. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由已知可得， 因为，解得， 又， 得， 所以. （2）由（1）可知，则， 由可得， 令， ， 当时，， 当时，， 则数列的最大项为， 故， 即实数的取值范围为. ( 等比数列 考点 2 ) 4．（2026·江苏南京·二模）已知数列为等比数列，是数列的前项的乘积.记取得最大值与最小值的项的个数分别为和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将数列的前项的乘积表示出来，观察到其中的指数方程分别决定了的大小和的正负，再求出指数部分的最值来分类讨论的最值即可. 【详解】由题得， 前项积， 易得决定的大小，而决定的正负， 因为，故离对称轴最近的或时最大，或时，仅小于， ①当时，，，所以为的最小值； ②当时，，，所以为的最小值，此时，有2个最小值，即. ③当时，，，所以为的最大值； ④当时，，，所以为的最大值，此时，有2个最大值，即. 综上，. 故选：A. 5．（2026·江苏·二模）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为 A．或5 B．或5 C． D． 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为q, ∵9S3=S6, ∴8(a1+a2+a3)=a4+a5+a6, ∴8=q3,即q=2, ∴an=2n-1, ∴=, ∴数列是首项为1,公比为的等比数列, 故数列的前5项和为=. 故选C. 6．（2026·江苏镇江·二模）已知数列的首项是，且． (1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最小整数n的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 所以， 又， 所以数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以， 可得. （2）由（1）得为等比数列， 设数列的前项和为，， 所以， 构造函数令，根据增函数减去减函数为增函数，可得函数为增函数， 为整数，所以当，，不成立， 当，，成立， 所以满足条件的最小整数n的值为. 7．（2026·江苏·二模）已知是等比数列，前n项和为，且. （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）若对任意的是和的等差中项，求数列的前2n项和. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【详解】试题分析：（Ⅰ）求等比数列通项，一般利用待定系数法：先由，解得，分别代入，得，；（Ⅱ）先根据等差中项得，再利用分组求和法求和：. 试题解析：（Ⅰ）解：设数列的公比为，由已知，有，解得.又由，知，所以，得，所以. （Ⅱ）解：由题意，得，即是首项为，公差为的等差数列. 设数列的前项和为，则. 【考点】等差数列、等比数列及其前项和公式 【名师点睛】分组转化法求和的常见类型： （1）若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和． （2）通项公式为的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． ( 递推关系求通项 考点 3 ) 8．（多选）（2026·江苏无锡·二模）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前10项和为110 【答案】AC 【分析】利用所给数列关系式计算可得A；得到与即可得B；由题意可得，结合累加法与等差数列求和公式计算可得C；并项求和结合等差数列求和公式可得D. 【详解】对于A，由题意可得，， ，，，，故A正确； 对于B，因为为偶数，所以， 因为为奇数，所以， 所以，故B错误； 对于C，因为为偶数，所以， 又因为为奇数，， 所以，所以， 所以 ，故C正确； 对于D，设数列的前项的和为， 由，则， 故 ，故D错误. 9．（2026·江苏·二模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（    ） A．22 B．24 C．25 D．26 【答案】B 【分析】根据观察归纳出为奇数，为偶数数，即可求解. 【详解】设该数列为， 当为奇数时， 所以为奇数； 当为偶数时， 所以为偶数数； 所以， 故选:B. 10．（多选）（2026·江苏镇江·二模）已知数列满足，，，为其前n项和，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先根据已知的递推公式求出数列的前几项，进而分析数列的规律，再逐一分析选项即可. 【详解】选项A：因为，所以： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，故A正确； 选项B：由可得： 当为偶数时，， 则，，， 将代入， 可得， 再将代入上式可得： ，故B正确； 选项C：， 因为，，，…，所以包含奇数项和偶数项， 因为只包含偶数项，所以，故C错误； 选项D：当时，，， 所以， 假设当时，成立， 当时，， 因为，所以 ，，， 则，， 综上，即， 所以，故D正确. 11．（多选）（2026·江苏盐城·二模）在数列中，，，，是数列的前项和，则（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据已知递推式得，结合等比、等差数列的定义判断A、B；应用分组求和及等差、等比数列前n项和公式求和判断C、D. 【详解】由，得， 则数列是首项为，公比为2的等比数列，A正确. 根据等比数列的通项公式得，即，则， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列，B正确. 根据等差数列的通项公式得，即， 所以，C错误. 由， ，D正确. 故选：ABD 12．（2026·江苏·二模）已知数列和满足，，，，则________. 【答案】 【分析】先根据等差数列的定义得出数列是等差数列；再根据等差数列的通项公式即可求解 【详解】因为，， 所以两式相减可得：，即. 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 故. 故答案为：. 13．（2026·江苏南京·二模）已知数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用累乘法求数列的通项公式； （2）利用错位相减法求前项和. 【详解】（1）由，可得， 当时，， 又因为，即对也成立，所以. （2）①， ②， ，得 ， 所以. ( 数列求和- 裂项相消 考点 4 )14．（2026·江苏连云港·二模）已知正项数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前n项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系，结合题设可得数列为2为首项，2为公差的等差数列，进而求解即可； （2）由题意可得，进而求和即可. 【详解】（1）由，① 当时，，即或（舍去）； 当时，，② ①②得， 得到， 则， 因为，所以， 则，即， 所以数列为2为首项，2为公差的等差数列， 则. （2）由， 则 . 15．（2026·江苏·二模）已知数列的前项和为，且，，成等差数列.已知数列首项，且. (1)求数列的通项公式，并求数列的前项和. (2)若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值. (3)是否存在不同的，，使得，，成等差数列？如果存在，请求出，的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)，； (2)； (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据等差数列的性质有，结合的关系得，根据等比数列的定义得，最后应用裂项相消法求； （2）由题设递推关系得，确定前30项的构成，再应用分组求和，应用等差、等比数列前n项和公式求结果； （3）应用反证思想，结合等差数列的性质有，进而推出矛盾，即可得. 【详解】（1）因为，，成等差数列，所以，① 所以，② 由①②，得，于是. 又，所以，所以， 因此，数列是首项为2，公比为2的等比数列. 所以，即. 又， 所以. （2）因为，所以， 所以数列是各项均为0的常数数列，所以， 所以，则数列是以1为首项，2为公差的等差数列. 又，，，，，，，， 所以 . （3）假设存在不同的，， 不妨假设使得，，成等差数列， 则，即， 两边除以16，得. 因为，所以，所以，所以. 当时，；当时，，这与题设矛盾， 所以不存在不同的，使得，，成等差数列. ( 数列综合应用 考点 5 )16．（2026·江苏盐城·二模）已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先由条件可得公比和,进而再用基本不等式可得最小值. 【详解】设正项等比数列的公比为，通项为. 由 ，代入通项得： 两边同除以， 整理得： , 解得正根（负根舍去）. 再由得： ，整理得： 化为指数形式： 即，得： . 等号成立条件：且，解得，均为正整数，符合条件. 因此的最小值为. 17．（2026·江苏苏州·二模）对满足的任意正整数对，定义函数如下：，，则________（结果用含i的式子表示）；_________（结果用含j的式子表示）． 【答案】 【分析】根据题意可得，，即可利用累乘法得，结合组合数的计算公式以及二项式展开式的性质即可求解. 【详解】由可得，， ∵，，，…，， 累乘得：， ∵，∴，（）， 令，则； 因为，所以， ， 故答案为：， 18．（多选）（2026·江苏南京·二模）若，数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A．关于点成中心对称 B．数列是等差数列 C．数列的通项公式为 D． 【答案】ABD 【分析】先证明，由此判断A，由条件结合关系当时，，证明，再求，，由此可得，判断C，结合等差数列定义判断B，结合函数的对称性利用分组求和法求，判断D. 【详解】函数的定义域为， 由已知， 所以， 所以， 又，， 所以，所以的图象关于点对称．故A正确； 因为，所以， 所以，所以， 所以，又， 所以， 所以，故， 所以，所以．C错误； 所以当时，，所以数列是等差数列，故B正确， 所以，，，，， 所以， ，故D正确． 故选：ABD． 19．（2026·江苏镇江·二模）将函数（）的所有极小值点按从小到大的顺序排列成数列，则______． 【答案】 【分析】由题意先求出函数的极小值点为，，可以发现它们构成等差数列，结合三角函数的周期性即可求解. 【详解】，由，即，可得，， 由，即，可得，， ∴函数在区间（）上单调递减，在区间（）上单调递增， ∴函数的极小值点为，，∴，， ∴数列是公差为的等差数列， ∴． 故答案为：. 20．（2026·江苏南京·二模）悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也应该是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，它在一定程度上和三角函数性质相当．其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为． (1)求的值： (2)证明： （i）； （ii）； （iii）． (3)写出的最简表达式（结果用含的式子表达）． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出，直接代入化简计算即可； （2）利用指数函数的运算法则，将双曲函数展开为指数形式，从等式一侧出发通过代数变形推导出另一侧，即可证明； （3）将代入求和式，拆分为两个等比数列之和，利用等比数列求和公式进行化简求值. 【详解】（1）， . （2）（i）因为左边， 右边 所以，命题得证. （ii）因为 所以，命题成立； （iii） 命题得证. （3）因为，故， 故， 而， ， 故. 21．（2026·江苏·二模）设函数的定义域为，且在上存在导函数，若实数满足对任意的、都有，则称函数具有“性质”. (1)设，判断函数是否具有“性质”？ (2)已知函数具有“性质”，且，记，求证：； (3)对任意的、，，都有，判断函数是否一定具有“性质”？并证明你的结论. 【答案】(1)具有 (2)证明见解析 (3)具有“性质”，证明见解析 【分析】（1）利用题中定义结合作差法验证可得结论； （2）令，，结合函数具有“性质”得出，分别令、推导出，即可证得结论成立； （3）对任意的，令，求，利用赋值法结合导数判断函数的单调性和最值，即可证明. 【详解】（1）因为， 由均值不等式可得，当且仅当时，等号成立， 因此恒成立， 所以满足“性质”. （2）由具有“性质”， 令，，得. 当时，由得， 整理得，所以. 当时，由可得， 由题意可得，可得， 由可得， 整理可得，所以， 因为，故，所以，即，故. （3）对任意的，设，， 则，且， 当时，． 当时，在中， 将替换为，将替换为， 可得， 整理得（*）. 当时，由（*）得，即， 当时，由（*）得，即． 所以在上严格增，在上严格减，从而. 因此对任意的．都有． 即，所以具有“性质”． 22．（2026·江苏·二模）已知， (1)当时，证明：； (2)设，若对任意的，恒成立，求的取值范围； (3)证明：对任意的正整数，总有. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由已知，当时，，构造函数，利用导数可得恒成立，从而证得； （2）讨论的取值，分析的单调性，及在上的取值情况，可得对任意的，恒成立时的取值范围； （3）由（2）的结论，得，根据对数的运算性质，可证. 【详解】（1），，则，定义域为 令，则. 令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以当时. 所以得证. （2）设. 若对任意的，恒成立，则恒成立. 又， 设，则，且有， （i）当，时，显然中，则恒成立； （ii）当，时，，则单调递增，. 所以在单调递增，所以，所以恒成立； （iii）当，时，，则单调递增， 又，则必然存在一个，使得， 且有时，单调递减；时,，单调递增. 此时，不满足恒成立. 综上所述，的取值范围是. （3）由（2）中结论， 有当时，，对任意的恒成立， 取可得，，对任意的恒成立. 即对任意的，，变形可得， 分别令，，..，，可得，，……， 累加可得，证毕. 23．（2026·江苏南京·二模）设函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对任意，都有，求的最大值； (3)已知数列满足：①；②均大于0，.设，求证：. 附：. 【答案】(1) (2) (3)证明过程见解析 【分析】（1）求出，求导，得到，由导数的几何意义得到切线方程； （2）利用端点效应，得到，再证明时，在上恒成立，得到答案； （3）在，设，所以，，故，故为等差数列，故，故，，由（2）知，，，故，求出，所以. 【详解】（1），， ， 故， 故曲线在处的切线方程为； （2）对任意，都有， 其中，， 令， 则，， 令， 则，其中， 令，即，解得， 下面证明时，在上恒成立， ， 令，，注意到， 则，注意到， 令，则，注意到， 令，则， 其中在上恒成立，令，， 故，故在上单调递减， 其中，故在上恒成立， 故在上恒成立， 故在上恒成立， 故在上单调递增， 故，故在上单调递增， ，故在上单调递增， ，故， 所以，的最大值为； （3）令，则， 均大于0，设， 因为，， 所以，， 显然，，若，，上式不成立， 由于在上单调递增， 故，，， 故为等差数列，首项和公差均为，故，， 故，， ， 由（2）知，， 所以，， ， 因为，所以， 所以，， 所以， 其中， 所以. 24．（2026·江苏苏州·二模）一对夫妻计划进行为期60天的自驾游．已知两人均能驾驶车辆,且约定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人驾车,另一人休息;②若前一天由丈夫驾车,则下一天继续由丈夫驾车的概率为,由妻子驾车的概率为;③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为． (1)在刚开始的三天中,妻子驾车天数的概率分布列和数学期望; (2)设在第n天时,由丈夫驾车的概率为,求数列的通项公式． 【答案】(1)分布列见解析; (2), 【分析】(1)设妻子驾车天数为,写出的可能取值,根据题意求出相对应的概率,列出分布列,根据期望公式求出结果即可; (2)由于丈夫驾车的概率与前一天驾车的对象有关系,不妨假设第天,丈夫驾车的概率为,则妻子驾车的概率为,得到关于的递推关系式,构造等比数列,求出等比数列通项公式即可求得通项公式. 【详解】（1）解:设妻子驾车天数为,则的可能取值为:, 由题意可知:, , , 所以的分布列如下表所示: 0 1 2 所以; （2）假设第天,丈夫驾车的概率为,则妻子驾车的概率为, 此时第n天时,由丈夫驾车的概率为, 即,则有, 所以,因为, 所以是以为首项,为公比的等比数列, 即,故. ( 新定义 考点 6 )25．（多选）（2026·江苏苏州·二模）为首项为1的正项数列，前n项和为，如果对任意正整数，存在实数使得，则称该数列为“-数列”，则下列说法中正确的有（   ） A．若是公差为2的等差数列，则是“3-数列” B．若是“2-数列”，则可以是常数列 C．若是"2-数列”，则对任意的正整数， D．对任意的，，则“”是“是“-数列”的充要条件 【答案】ABC 【分析】根据“数列”的定义可判断A；取常数列，判断B即可；根据“数列”满足的条件可得出相应不等式，可推出，即可判断C；举出反例即可判断D. 【详解】对于A，若是首项为、公差为的等差数列，则， 前项和， 时等号成立， 所以，即是“数列”，故A正确； 对于B，当时，，成立， 即是“数列”时，可能为常数列，故B正确； 对于C，若是“数列”，则，且， 所以， 则， 故，由题意知当，， 结合，得，C正确； 对于D，取，，满足， 则，，而，所以不成立， 因此“”不足以保证是“数列”，D错误. 26．（多选）（2026·江苏·二模）已知动点序列与圆，设表示到圆上的点的最短距离．则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，的面积满足 D．当时，记，则满足 【答案】BD 【分析】根据题意，得到点到圆上的点的距离为，结合二次函数的性质，可判定A错误；当时，得到，可判定B正确；求得的面积的表达式，结合数列单调性的判定方法，可判定C错误；当时，得到，并结合数列的求和公式，可判定D正确. 【详解】由圆，可得圆心，半径为，且， 对于A，点到圆上的点的最短距离为，可得，所以A错误； 对于B，当时，可得，所以，所以B正确； 对于C，， 整理得， 因为函数单调递减，可得， 又因为，所以，所以数列单调递增，所以C错误； 对于D，当时，，故， 所以， 可得，所以D正确． 故选：BD． 27．（2026·江苏·二模）已知有限等比数列的项数为，公比．将的所有项按照某种顺序排成一列，得到数列，使得时，． (1)若，写出所有满足条件的； (2)是否存在，使得对任意，都成立？并说明理由； (3)从满足条件的所有数列中随机抽取一个，求抽到的为等比数列的概率． 【答案】(1) (2)存在，理由见解析 (3) 【分析】(1) 根据数列的定义，枚举时的所有全排列，逐一验证是否满足非递增的条件，筛选出符合要求的排列即可； (2) 假设存在，通过构造满足非递增的交替排列，验证该排列中任意连续三项均不满足等比中项性质，从而证明存在性； (3) 先归纳推导满足条件的的总数，再统计其中为等比数列的数量，最后根据古典概型公式计算概率. 【详解】（1）由，，得为严格递减的正项等比数列，即 根据题意，是的全排列，且需满足。 的全排列共种，逐一验证： 排列：，满足条件； 排列：​，满足条件； 排列：​，满足条件； 排列：​，但，不满足条件； 排列：​，不满足条件； 排列：​，满足条件； 当时，满足条件的有4个，分别为 ，，， （2）存在，使得对任意都成立． 理由如下： 当为偶数时，设为，① 因为， 即，所以①满足条件， 为奇数时，为偶数，， 所以为偶数时，存在，使得对任意都成立． 当为奇数时，设为，② 因为，所以②满足条件， 同理可验证②中，对任意都成立， 即为奇数时，存在，使得对任意都成立． 综上，存在，使得对任意都成立. （3）因为，所以． 由得，， 即． 记时，满足题意的的个数为． 当时，因为， 又，所以， 依次类推，的第1项至第项的排列确定，为， 所以当时，个数等于的重新排列个数，即个． 当时，满足条件的有1个：，即． 综上分析，， 所以， 所以. 由（1）可知，， 所以从第3项开始是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以． 由上述分析，仍为等比数列的只有两个： 和， 所以从所有中随机抽取一个，抽到为等比数列的概率 28．（2026·江苏·二模）已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)定义集合且，记的元素个数为，求； 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据，结合条件及待定系数法，化简整理，即可得证. （2）根据所给定义，整理可得，根据的范围，分析求解，即可得答案. 【详解】（1）证明：因为数列的前项和， 所以当时，，解得，所以； 当时，， 由，得， 化简得， 所以，两边加1得， 所以数列是首项为3、公比为3的等比数列； （2）由（1）知，，所以， 集合中的元素形如， 因式分解得：， 因此的元素对应，其中，， 则的取值范围为，且对任意整数， 均存在，使得， 所以的不同值个数为，从而； 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 数列 6大考点概览 考点01等差数列 考点02等比数列 考点03递推关系求通项 考点04数列求和-裂项相消 考点05数列综合应用 考点06新定义 ( 等差数列 考点1 ) 1．（2026·江苏镇江·二模）在等差数列中，，，则（    ） A． B．0 C．1 D．11 2．（2026·江苏宿迁·二模）已知等差数列中，，，求前项和的最小值为____． 3．（2026·江苏·二模）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列. (1)求的通项公式； (2)对于任意，求实数的取值范围. ( 等比数列 考点 2 ) 4．（2026·江苏南京·二模）已知数列为等比数列，是数列的前项的乘积.记取得最大值与最小值的项的个数分别为和，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏·二模）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为 A．或5 B．或5 C． D． 6．（2026·江苏镇江·二模）已知数列的首项是，且． (1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最小整数n的值． 7．（2026·江苏·二模）已知是等比数列，前n项和为，且. （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）若对任意的是和的等差中项，求数列的前2n项和. ( 递推关系求通项 考点 3 ) 8．（多选）（2026·江苏无锡·二模）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前10项和为110 9．（2026·江苏·二模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（    ） A．22 B．24 C．25 D．26 10．（多选）（2026·江苏镇江·二模）已知数列满足，，，为其前n项和，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 11．（多选）（2026·江苏盐城·二模）在数列中，，，，是数列的前项和，则（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C． D． 12．（2026·江苏·二模）已知数列和满足，，，，则________. 13．（2026·江苏南京·二模）已知数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. ( 数列求和- 裂项相消 考点 4 )14．（2026·江苏连云港·二模）已知正项数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前n项和为，求. 15．（2026·江苏·二模）已知数列的前项和为，且，，成等差数列.已知数列首项，且. (1)求数列的通项公式，并求数列的前项和. (2)若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值. (3)是否存在不同的，，使得，，成等差数列？如果存在，请求出，的值；如果不存在，请说明理由. ( 数列综合应用 考点 5 )16．（2026·江苏盐城·二模）已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（2026·江苏苏州·二模）对满足的任意正整数对，定义函数如下：，，则________（结果用含i的式子表示）；_________（结果用含j的式子表示）． 18．（多选）（2026·江苏南京·二模）若，数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A．关于点成中心对称 B．数列是等差数列 C．数列的通项公式为 D． 19．（2026·江苏镇江·二模）将函数（）的所有极小值点按从小到大的顺序排列成数列，则______． 20．（2026·江苏南京·二模）悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也应该是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，它在一定程度上和三角函数性质相当．其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为． (1)求的值： (2)证明： （i）； （ii）； （iii）． (3)写出的最简表达式（结果用含的式子表达）． 21．（2026·江苏·二模）设函数的定义域为，且在上存在导函数，若实数满足对任意的、都有，则称函数具有“性质”. (1)设，判断函数是否具有“性质”？ (2)已知函数具有“性质”，且，记，求证：； (3)对任意的、，，都有，判断函数是否一定具有“性质”？并证明你的结论. 22．（2026·江苏·二模）已知， (1)当时，证明：； (2)设，若对任意的，恒成立，求的取值范围； (3)证明：对任意的正整数，总有. 23．（2026·江苏南京·二模）设函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对任意，都有，求的最大值； (3)已知数列满足：①；②均大于0，.设，求证：. 附：. 24．（2026·江苏苏州·二模）一对夫妻计划进行为期60天的自驾游．已知两人均能驾驶车辆,且约定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人驾车,另一人休息;②若前一天由丈夫驾车,则下一天继续由丈夫驾车的概率为,由妻子驾车的概率为;③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为． (1)在刚开始的三天中,妻子驾车天数的概率分布列和数学期望; (2)设在第n天时,由丈夫驾车的概率为,求数列的通项公式． ( 新定义 考点 6 )25．（多选）（2026·江苏苏州·二模）为首项为1的正项数列，前n项和为，如果对任意正整数，存在实数使得，则称该数列为“-数列”，则下列说法中正确的有（   ） A．若是公差为2的等差数列，则是“3-数列” B．若是“2-数列”，则可以是常数列 C．若是"2-数列”，则对任意的正整数， D．对任意的，，则“”是“是“-数列”的充要条件 26．（多选）（2026·江苏·二模）已知动点序列与圆，设表示到圆上的点的最短距离．则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，的面积满足 D．当时，记，则满足 27．（2026·江苏·二模）已知有限等比数列的项数为，公比．将的所有项按照某种顺序排成一列，得到数列，使得时，． (1)若，写出所有满足条件的； (2)是否存在，使得对任意，都成立？并说明理由； (3)从满足条件的所有数列中随机抽取一个，求抽到的为等比数列的概率． 28．（2026·江苏·二模）已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)定义集合且，记的元素个数为，求； 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $