精品解析：江西省上饶市鄱阳县四十里街镇第二中学2025-2026学年 九年级下学期第一次模拟数学试题

2026学年度九年级下学期第一次模拟 数学试题 1. “数字人民币”应用场景范围逐步扩大．若转入6元记作元，那么转出7元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从层直达层，“飞梯”的截面如图，已知的长为米，点处的仰角为，那么高是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 江西省博物馆收藏着一件中国古代青铜礼乐器——勾云纹青铜铙．如图1．此件勾云纹青铜铙浑厚庄重，造型古朴，体现了古代江西地区青铜文化的精湛技艺．图2为其抽象示意图，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 已知整数满足下列条件：，（为正整数），以此类推，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知y关于x的二次函数，下列结论中：①当时，函数图象的顶点坐标为；②当时，函数图象总过定点；③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于．所有正确结论的序号是（　　） A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①② 6. 如图，在菱形ABCD中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度得到的点的坐标是__________． 8. 因式分解：__________． 9. 若关于的一元二次方程有两个实数根，其中一根，则另一根__________． 10. 在平行四边形中，，，边上的高为4，则平行四边形周长等于__________． 11. 如图，在平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（如图所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的斜边长是______． 12. 如图，是等腰直角三角形，，点是边上的两动点，，且．若中有一条边恰好等于另一条边的2倍，且，则的长为__________． 13. 计算：． 14. 先化简：，并从中选取合适的整数代入求值． 15. 如图，在中，为边上一点，为的中点，连接并延长至点，使得，连接． （1）求证：； （2）若，且平分，求的度数． 16. 如图1，计数器的十位上有一颗珠子． （1）如果在计数器上再任意画一颗珠子，则表示的数小于属于 事件（填“随机”“必然”或“不可能”）； （2）若在计数器上再画两颗珠子，补全图2的树状图，并求表示的数为偶数的概率． 17. 年，中国航天事业迈向全新高度，一系列深空探测任务紧锣密鼓筹备中．在酒泉卫星发射中心的航天器调配区，一场关乎任务成败的资源协调正在进行．这里集结了用于执行不同任务的“天问”系列行星探测器和“神舟”系列载人飞船共艘．每艘“天问”需名航天工程师保障，每艘“神舟”需名工程师协同．现调配名工程师就绪，求“天问”与“神舟”各有多少艘？ 18. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，将正比例函数图象向下平移1个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点，与轴，轴交于点，过点作轴、垂足为点为轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的面积． 19. 日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器，它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观察，如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段BC是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点（即与相切于点D），点A在上，AO为某一时刻晷针的影长，AO的延长线与交于点E，与交于点B，连接AC，，dm，. （1）求证：； （2）求的长． 20. 十四届全国人大四次会议和全国政协十四届四次会议分别于3月5日和3月4日在北京开幕．某校举办了“两会知多少”知识问答比赛，为了解学生的答题情况，随机抽取了50名学生的比赛成绩（单位：分，满分：100分），根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表： 抽取的50名学生的知识问答比赛成绩频数分布表 组别 比赛成绩x/分 频数 组内总成绩/分 A 5 280 B 10 640 C m 1400 D n 920 E 6 560 根据以上信息，解答下列问题： （1）上表中：____________，____________；本次调查知识问答比赛成绩的中位数落在____________组内； （2）求这50名学生知识问答比赛成绩的平均数； （3）若该校共有900名学生参加本次知识问答比赛，请你估计成绩不低于80分的学生人数． 21. 如图1，某仓库有一传送带运输货柜，为水平地面，为斜坡上的传送带，．在距离（长为4米）的正上方米处，有一限高装置．棱长为2米的正方体货柜（其侧面是正方形）的底面在传送带上，从起点A出发，传送到地面点B处． （1）判断正方体货柜能否通过限高装置，并说明理由． （2）如图2，因特殊要求，需在货物底端放置一块如图3所示的直三棱柱式楔子，使得正方体货柜在传送带的运输过程中与水平地面保持平行．已知直三棱柱式楔子的一个底面为，且．楔子的侧面与正方体货物的底面全等重合，侧面与传送带重合．判断此时正方体货柜能否通过限高装置，并求直三棱柱式楔子的侧面积（不包含前、后两个底面，结果保留两小数）． （参考数据：，，） 22. 【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： （1）①点的“纵横值”为 ； ②求出函数的“最优纵横值”； （2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； （3）若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值． 23. 【综合与实践】 在数学的学习过程中，我们除了掌握课本中常见的四边形外，还会遇到许多具有独特性质的特殊四边形．让我们结合已有知识，对以下特殊四边形展开探究． 定义：在四边形中，若有一个内角为直角，且从该直角顶点引出的对角线，将其对角分成的两个角中恰有一个角为直角，则称这样的四边形为“璧合四边形”． （1）【初步探究】如图，在“璧合四边形”中，若，则________，的值为________． （2）【问题解决】如图，在“璧合四边形”中，，，为线段上一点，且，求的值． （3）【拓展应用】如图，在“璧合四边形”中，，，为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，作出图形并求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年度九年级下学期第一次模拟 数学试题 1. “数字人民币”应用场景范围逐步扩大．若转入6元记作元，那么转出7元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正负数的意义，正负数常用于表示具有相反意义的量，如转入和转出． 根据正负数的意义，转入记为正数，则转出应记为负数． 【详解】解：因为转入6元记作元， 所以转出7元应记作元． 故选：A． 2. 许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从层直达层，“飞梯”的截面如图，已知的长为米，点处的仰角为，那么高是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的应用，灵活运用正弦函数的定义是解题的关键．根据正弦函数的定义，结合直角三角形的边长关系，进而求出高的长度． 【详解】解：为仰角，米， 在中，， （米）． 故选：． 3. 江西省博物馆收藏着一件中国古代青铜礼乐器——勾云纹青铜铙．如图1．此件勾云纹青铜铙浑厚庄重，造型古朴，体现了古代江西地区青铜文化的精湛技艺．图2为其抽象示意图，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】左视图为从左边看到的图形． 【详解】解：它的左视图是： ． 4. 已知整数满足下列条件：，（为正整数），以此类推，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，通过计算序列的前几项，发现规律：当n为偶数时，；当n为奇数时，，而2025为奇数，代入公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ， ， ……， 以此类推可知当n为偶数时，；当n为奇数时，． ∵ 2025为奇数， ∴ ． 故选：C． 5. 已知y关于x的二次函数，下列结论中：①当时，函数图象的顶点坐标为；②当时，函数图象总过定点；③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于．所有正确结论的序号是（　　） A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①② 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与x轴的交点问题．将时的函数关系式变形为顶点式，可判断①；当时，该函数关系式可变形为，可得当时，y的值与m无关，求出的根，求出对应的y值，即可得定点坐标，可判断②；③当时，求出该函数图象与x轴的交点的横坐标，可判断③． 【详解】解：①当时，， ∴顶点坐标为，故①正确． ②当时，， 当时，y的值与m无关， 此时，， 当时，； 当时，， ∴函数图象总经过两个定点，，故②正确； ③当时，由得：， ， ∴． ∴，． ∴， ∴函数图象截x轴所得的线段长度大于，故③正确． 故选A． 6. 如图，在菱形ABCD中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°，再分0≤x≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三种情况画出图形，求出函数解析式，根据二次函数、一次函数图象与性质逐项排除即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°， ∴△ABC，ACD都是等边三角形， ∴∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°． 如图1，当0≤x≤1时，AQ=2x，AP=x， 作PE⊥AB于E， ∴， ∴， 故D选项不正确； 如图2，当1＜x≤2时，CP=2-x，CQ=4-2x，BQ=2x-2， 作PF⊥BC与F，作QH⊥AB于H， ∴， ， ∴， 故B选项不正确； 当2＜x≤3时，CP=x-2，CQ=2x-4， ∴PQ=x-2， 作AG⊥CD于G， ∴， ∴， 故C不正确． 故选：A 【点睛】本题考查了菱形性质，等边三角形性质，二次函数、一次函数图象与性质，利用三角函数解三角形等知识，根据题意分类讨论列出函数解析式是解题关键． 7. 在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度得到的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的平移变化规律，横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：将点向右平移3个单位长度得到的点的坐标是，即． 8. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解： ． 9. 若关于的一元二次方程有两个实数根，其中一根，则另一根__________． 【答案】2025 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可求解另一根． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数． 根据根与系数的关系可得： ， 已知，代入得： 解得：． 10. 在平行四边形中，，，边上的高为4，则平行四边形周长等于__________． 【答案】20或12 【解析】 【分析】根据题意分别画出图形，边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图1所示: 在平行四边形中，边上的高为4，， , , , , 的周长等于 如图2所示: 在中，边上的高为4，， , , 的周长等于：, 则的周长等于20或12， 故答案为：20或12． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，利用分类讨论的方法是解题的关键． 11. 如图，在平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（如图所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的斜边长是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一次函数的解析式求出直线与轴的交点坐标，进而可得第个等腰直角三角形直角边的长为，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：当时，， ∴直线与轴交于点， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 当时，， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 当时，， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， ， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， ∴第个等腰直角三角形的斜边长是． 12. 如图，是等腰直角三角形，，点是边上的两动点，，且．若中有一条边恰好等于另一条边的2倍，且，则的长为__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】先证明，得，．再证明，则．设，则．再分三种情况讨论，利用线段和差建立方程求解． 【详解】解：是等腰直角三角形， ， ． ， ， ， ， ， ，． ， ， ∵， ， ， ， ． 设，则． 如图1，当时，则， ， 解得； 如图2，当时， ∴，则， ， 解得； 如图3，当时， ∴由得， 则， ， 解得； 综上所述，的长为或或． 13. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 14. 先化简：，并从中选取合适的整数代入求值． 【答案】；当时，原式=1；当时，原式=1 【解析】 【分析】将原式化简成，由、、可得出或，将其代入即可得解． 【详解】解： ∵分式有意义 ∴、、 ∵ ∴或 ∴当时，原式； 当时，原式． 故答案是：；当时，原式；当时，原式 【点睛】本题考查了分式的化简求值．解题的关键是注意对分式的分子、分母因式分解，除法转化成乘法；选取代入求值的数要使分式有意义才符合条件． 15. 如图，在中，为边上一点，为的中点，连接并延长至点，使得，连接． （1）求证：； （2）若，且平分，求的度数． 【答案】（1） 证明：在和中 ； （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质，解题的关键是利用SAS证明三角形全等，再结合角的关系进行推理． （1）通过证明，得到，进而证明； （2）利用，得到，，从而得到，利用角平分线的定义得到，求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， 平分， ， ． 16. 如图1，计数器的十位上有一颗珠子． （1）如果在计数器上再任意画一颗珠子，则表示的数小于属于 事件（填“随机”“必然”或“不可能”）； （2）若在计数器上再画两颗珠子，补全图2的树状图，并求表示的数为偶数的概率． 【答案】（1）随机 （2） 解：画树状图如下： 由树状图可知共有 种等可能的结果，表示的数为偶数的有种， ∴（表示的数为偶数）． 【解析】 【分析】（1）根据事件的分类，结合题意判定即可； （2）先补全树状图列出所有种等可能结果，再找出其中个偶数结果，用符合条件的结果数除以总结果数求出概率即可． 【小问1详解】 解：在这个计数器上再画一颗珠子，可以画在个位，表示，也可以画在十位，表示， ∴表示的数小于属于随机事件； 【小问2详解】 略 17. 年，中国航天事业迈向全新高度，一系列深空探测任务紧锣密鼓筹备中．在酒泉卫星发射中心的航天器调配区，一场关乎任务成败的资源协调正在进行．这里集结了用于执行不同任务的“天问”系列行星探测器和“神舟”系列载人飞船共艘．每艘“天问”需名航天工程师保障，每艘“神舟”需名工程师协同．现调配名工程师就绪，求“天问”与“神舟”各有多少艘？ 【答案】“天问”有艘，“神舟”为艘 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意并根据等量关系列出方程是关键． 设“天问”有艘，“神舟”有艘，根据题意可列方程组，求解即可． 【详解】解：设“天问”有艘，“神舟”有艘， 根据题意，得， 解得， 答：“天问”有艘，“神舟”为艘． 18. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，将正比例函数图象向下平移1个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点，与轴，轴交于点，过点作轴、垂足为点为轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）先求出的值，进而求出反比例函数的解析式即可； （2）根据三角函数得到，根据平移规律得到，联立与得到，进而求出，根据勾股定理得到，求出、，得到，，根据勾股定理得到，根据轴对称的性质得到，进而得到，和是等腰直角三角形，根据勾股定理得到，根据等腰直角三角形的性质得到，即可求出的面积． 【小问1详解】 解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵将正比例函数图象向下平移1个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点， ∴平移后的解析式为：， 联立与得：， 解得：， 经检验，均为原分式方程的解， 当时，，当时，， ∴， ∴，，， 当时，，则，当时，，则， ∴，， 则， ∵直线与关于直线成轴对称，轴， ∴， ∴， ∴，和是等腰直角三角形， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 19. 日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器，它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观察，如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段BC是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点（即与相切于点D），点A在上，AO为某一时刻晷针的影长，AO的延长线与交于点E，与交于点B，连接AC，，dm，. （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图： ∵与相切于点D ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）连接，可推出，通过证可得，即可求证； （2）由可得，据此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得： ∴ ∵ ∴ 在直角三角形中：， ∴ ∴ 在直角三角形中： ∴ 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判断及性质、利用勾股定理及三角函数解三角形．熟悉相关结论进行几何推导是解题关键． 20. 十四届全国人大四次会议和全国政协十四届四次会议分别于3月5日和3月4日在北京开幕．某校举办了“两会知多少”知识问答比赛，为了解学生的答题情况，随机抽取了50名学生的比赛成绩（单位：分，满分：100分），根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表： 抽取的50名学生的知识问答比赛成绩频数分布表 组别 比赛成绩x/分 频数 组内总成绩/分 A 5 280 B 10 640 C m 1400 D n 920 E 6 560 根据以上信息，解答下列问题： （1）上表中：____________，____________；本次调查知识问答比赛成绩的中位数落在____________组内； （2）求这50名学生知识问答比赛成绩的平均数； （3）若该校共有900名学生参加本次知识问答比赛，请你估计成绩不低于80分的学生人数． 【答案】（1），，中位数落在组 （2）分 （3）人 【解析】 【分析】（1）根据总抽取人数为，扇形图中C组占比，即可求出，再用总人数减去其余几组人数即可求出，再根据中位数的定义即可求解． （2）根据平均数的定义求解即可． （3）利用样本估计总体的思想计算即可． 【小问1详解】 解：总抽取人数为，由扇形图得C组占比， ∴， ∴ ． 个数据的中位数是第25、26个数据的平均数，A组频数，组频数累计，组频数累计， 因此第25、26个数据都落在C组，即中位数落在组． 【小问2详解】 解：总成绩：，  平均数分， 答：这50名学生成绩的平均数为分． 【小问3详解】 解：样本中成绩不低于80分的是D、E组，频数和为， 因此估计总体900人中，不低于80分的人数为： 人， 答：估计成绩不低于80分的学生人数为人． 21. 如图1，某仓库有一传送带运输货柜，为水平地面，为斜坡上的传送带，．在距离（长为4米）的正上方米处，有一限高装置．棱长为2米的正方体货柜（其侧面是正方形）的底面在传送带上，从起点A出发，传送到地面点B处． （1）判断正方体货柜能否通过限高装置，并说明理由． （2）如图2，因特殊要求，需在货物底端放置一块如图3所示的直三棱柱式楔子，使得正方体货柜在传送带的运输过程中与水平地面保持平行．已知直三棱柱式楔子的一个底面为，且．楔子的侧面与正方体货物的底面全等重合，侧面与传送带重合．判断此时正方体货柜能否通过限高装置，并求直三棱柱式楔子的侧面积（不包含前、后两个底面，结果保留两小数）． （参考数据：，，） 【答案】（1）解：可以通过限高装置，理由如下： 如图，过点P作，垂足为点G，设与相交于点K． 在中，米，， （米）． 米， （米）． 在中，， ， ， （米）米， 正方体货柜能通过限高装置； （2）正方体货柜不能通过限高装置；平方米 【解析】 【分析】（1）如图，过点P作，垂足为点G，设与相交于点K，解直角三角形求出，得到米，然后解直角三角形求出判断即可； （2）解直角三角形求出，，然后求出判断即可；然后根据直三棱柱式楔子的侧面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：楔子的侧面与正方体货物的底面全等重合， 米． ， ∴在中，（米）， （米）， （米）． 由（1）得米， （米）米， 此时正方体货柜不能通过限高装置． 直三棱柱式楔子的侧面展开图是三个矩形， 且米，米，米，米， 直三棱柱式楔子的侧面积（平方米）． 22. 【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： （1）①点的“纵横值”为 ； ②求出函数的“最优纵横值”； （2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； （3）若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值． 【答案】（1）①8；②2 （2）4 （3）5或 【解析】 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解最优纵横值的定义是解题的关键． （1）①根据定义直接求解即可；②根据定义先求出，即可求解； （2）先确定函数的解析式为，再由的最优纵横值为5，得到，即可求解； （3）先求，再分类讨论若，若，两种情况即可求解； 【小问1详解】 解：①由题意得：点的“纵横值”为， 故答案为： ②， ∵， ∴ ∴函数的“最优纵横值”为2 【小问2详解】 解：由题意得：抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得： ∴ ∴ ∵最优纵横值为5， ∴ ∴ 【小问3详解】 解： 若，则当时，； 即：， 解得：或（舍去）； 若，则当时，； 即：， 解得（舍）或； 综上所述：b的值为5或． 23. 【综合与实践】 在数学的学习过程中，我们除了掌握课本中常见的四边形外，还会遇到许多具有独特性质的特殊四边形．让我们结合已有知识，对以下特殊四边形展开探究． 定义：在四边形中，若有一个内角为直角，且从该直角顶点引出的对角线，将其对角分成的两个角中恰有一个角为直角，则称这样的四边形为“璧合四边形”． （1）【初步探究】如图，在“璧合四边形”中，若，则________，的值为________． （2）【问题解决】如图，在“璧合四边形”中，，，为线段上一点，且，求的值． （3）【拓展应用】如图，在“璧合四边形”中，，，为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，作出图形并求线段的长． 【答案】（1），； （2） （3） 解：如图，过点作于点， 由（）知，， ， ， ∴， ∴， ， 同理（）可得，， ， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， 如图，连接，当点的对应点在的上方时，则，， ， 即， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴； 如图，当点的对应点在的下方时， 同理可得：，； 综上所述，的长为或． 【解析】 【分析】（）根据“璧合四边形”和正切的定义解答即可求解； （）证明，可得，进而即可求解； （）过点作于点，可得，四边形为正方形，再分点的对应点在的上方和下方两种情况，利用相似三角形的判定和性质解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵“璧合四边形”中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质等，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $