精品解析：江苏无锡市第三高级中学2025-2026学年第二学期高一数学期中试卷

2025-2026学年第二学期高一数学期中试卷 2026.4 出卷人：周磊 审卷人：苏航赟 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 复数的虚部为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数的乘法运算计算出复数，然后根据虚部的定义得出结果. 【详解】，所以该复数的虚部为8. 2. 在空间中，若直线平面，直线平面，则与（ ） A. 相交 B. 平行 C. 是异面直线 D. 可能平行，也可能是异面直线 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，在空间中，直线与没有公共点，即与不相交， 则与可能平行，也可能是异面直线. 3. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则角C为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，结合，得到，即可求解. 【详解】因为，，， 由正弦定理，可得， 因为，可得，所以. 4. 若球的表面积为16π，则与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为（ ） A. 4π B. π C. 2π D. π 【答案】D 【解析】 【分析】设球的半径为，求出的值，再求出截面圆的半径即得解. 【详解】设球的半径为， 因为球的表面积为，所以，解之得； 因为截面与球心距离为； 所以截面圆的半径； 可得截面圆面积为. 故选：D 【点睛】本题主要考查球的截面圆的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5. 如图，三棱锥中，为的重心，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为为的重心，所以， 又是的中点，所以. 所以. 6. 已知平面向量，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先算出，再利用投影向量的计算公式和向量坐标的数量积，数乘运算即可求出答案. 【详解】因为，，所以， 则. 故选：C. 7. 如图，正方形的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】将直观图还原为平面图形是平行四边形，然后计算． 【详解】将直观图还原为平面图形，如图所示. ＝，，所以， 所以原图形的周长为8cm， 故选：D. 8. 矗立在曲靖一中北门广场中央的水滴形不锈钢雕塑（如图1），以灵动舒展的造型承载着学校“润泽教育”的核心理念与“知行合一、止于至善”的校训精神，曲靖一中某数学兴趣小组成员为测量水滴形不锈钢雕塑的高度，在与雕塑底O位于同一水平面上共线的A，B，C三处进行测量（如图2）．已知在A处测得雕塑顶端P的仰角为30°，在B处测得雕塑顶端P的仰角为45°，在C处测得雕塑顶端P的仰角为60°，BC＝6米，AB＝3米，则水滴形不锈钢雕塑的高度OP＝（ ） A. m B. m C. m D. m 【答案】C 【解析】 【详解】设OP＝h，依题意，，， ，在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由，可得：，解得：. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知i为虚数单位，下列命题中正确的是（ ） A. 是纯虚数 B. 若复数，则， C. 若，则 D. 若，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，因为，故，所以，符合纯虚数(实部为，虚部不为的复数)的定义，所以是纯虚数，故A正确； 对于B，因为复数能比大小的充要条件是两数均为实数，若复数，所以，必为实数，故B正确； 对于C，当，时，，但，，与矛盾，故C错误； 对于D，，表示复平面上以点为圆心，半径为的圆，表示圆上的点到原点的距离，如图所示，最大值为，故D正确. 10. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 当，，时，满足条件的三角形共有1个 C. 若，则这个三角形的最大角是 D. 若，，，动点D在所在平面内且，则动点D的轨迹的长度为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用三角函数的基本关系式和正弦定理，得到，求得，可判定A正确；利用正弦定理，求得，可判定B错误；设，利用余弦定理，求得，可判定C错误；根据圆周角定理，可得点的轨迹是以为弦，圆周角为的圆弧，结合弧长公式，可判定D正确. 【详解】对于A，由，可得， 又由正弦定理得，则， 所以为钝角，所以为钝角三角形，所以A正确； 对于B，若，，，由正弦定理得， 因为正弦函数的值域为，所以不存在，所以B错误； 对于C，若，由正弦定理得， 设，其中， 又由余弦定理得， 因为，所以，即的最大角为，所以C错误； 对于D，在中，因为，，， 由余弦定理得， 可得，可得， 解得或（舍去）， 因为，且，可得的轨迹是以为弦的一段弧， 如图所示，可得，可得弧所对的圆心角为， 此时的弧长为； 同理，当点在外部时，对应的弧长也是， 综上可得D的轨迹的长度为，所以D正确. 11. 如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用条件求出圆锥的母线长和底面半径，对于A，根据圆锥侧面积公式求结论即可判断，对于B，先求的面积的最大值，结合体积公式求体积最大值即可判断，对于C，先求，确定的范围，再根据等腰三角形性质和内角和公式求的范围即可判断，对于D，将以为轴旋转到与共面的位置，结合平面几何知识求结论即可判断. 【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径， 对于A，圆锥的侧面积为：，A错误； 对于B，当时，的面积最大，此时， 则三棱锥体积的最大值为：，B正确； 对于C，是等腰三角形，，又因为，则， 依题意，，而，因此，C正确； 对于D，由，，得， 有为等腰三角形，将以为轴旋转到与共面的位置， 得到为等腰三角形，，， ， 于是， ， 所以，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 圆台的母线长为6，两底面半径分别为2，7，则圆台的侧面面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆台的侧面积公式即可求解. 【详解】圆台的上底面半径，下底面半径，母线长， 则圆台的侧面面积． 故答案为： 13. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意列出关于的不等式组即可求解. 【详解】由题可知且与不共线，即，得. 故答案为：. 14. 在中，,点是线段上的动点，则的最小值为__________；当取得最小值时,__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，确定两点坐标，设设，用坐标法求得数量积，结合函数性质得最小值，并由数量积的坐标表示求得，然后由平方关系得正弦值． 【详解】以为坐标原点，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则， 又中，，从而， 所以，即， 设， 则， 所以时，取得最小值， 此时，则， ，又， 所以， 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，（为虚数单位）. （1）当时，求； （2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 当时，， 故，所以. 【小问2详解】 因为复数在复平面内对应的点位于第三象限， 所以，解得， 所以的取值范围为. 16. 已知向量，. （1）若，求； （2）若向量，，求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件结合向量垂直的表示及向量坐标运算公式列方程求，再由向量的模的坐标公式求结论； （2）由条件，结合向量平行的坐标表示列方程求，由此可得，再求，，，再由向量夹角坐标公式求结论. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以，又，， 所以， 所以， 所以， 所以， 即； 【小问2详解】 因为，，， 所以，又， 所以， 所以，所以， 所以，，， 设与夹角为， 所以， 所以与夹角的余弦值为. 17. 如图，在正方体中，M，N分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）若在棱上有一点P，满足平面，请你求出的值. 【答案】（1） 因为分别是，的中点，所以. 因为平面，而不在平面内， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，则需要证明线线平行即可得到线面平行. （2）在线段上取一点，使得为靠近的四分之一处的点，根据线面平行的判定证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设交于点，在线段上取一点，使得为靠近的四分之一处的点. 连接，在中，因为， 所以，又平面，而不在平面内， 所以平面，符合题意，此时. 18. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，. （1）求A； （2）若，的面积为，求b，c； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理化简等式，然后根据和差的正弦公式求解即可. （2）先利用三角形面积求出，然后利用余弦定理得到，最后联立方程组求出结果. （3）根据余弦定理列出等式，然后根据基本不等式的性质求出范围即可. 【小问1详解】 根据正弦定理得. 因为，所以， 所以等式变为， 化简得，又，所以， 即，所以，所以，即. 【小问2详解】 因为的面积为，所以，所以①. 根据余弦定理得②，联立①②得. 【小问3详解】 根据余弦定理可得，代入数据得， 即，根据基本不等式的性质可知. 所以，解得当且仅当时等号成立，. 又，所以的取值范围为. 19. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，，分别是与x轴、y轴同方向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的斜坐标. （1）设，若，，，，求m的值； （2）若，，，求在上的投影的“斜坐标”； （3）若，，，若，求的取值范围. 【答案】（1）5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，向量数量积为0，结合坐标新定义列出等式求解即可； （2）结合新定义，结合投影向量计算公式即可求解； （3）令，由向量夹角公式得到关于的表达式，即可求解. 【小问1详解】 由斜坐标定义得，，  而，故， 由，得， 即，解得. 【小问2详解】 而，故​， 由条件得​​， ​​， 又向量在上的投影向量为， 可得， ，  故在上的投影向量为 ​​， 所以斜坐标为， 【小问3详解】 设，由，得， 又，则， 解得，故，又 ​​，， 得到 ，  ， , 所以， 因为在 单调递减，可得， 所以，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高一数学期中试卷 2026.4 出卷人：周磊 审卷人：苏航赟 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 复数的虚部为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 2. 在空间中，若直线平面，直线平面，则与（ ） A. 相交 B. 平行 C. 是异面直线 D. 可能平行，也可能是异面直线 3. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则角C为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 若球的表面积为16π，则与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为（ ） A. 4π B. π C. 2π D. π 5. 如图，三棱锥中，为的重心，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 8. 矗立在曲靖一中北门广场中央的水滴形不锈钢雕塑（如图1），以灵动舒展的造型承载着学校“润泽教育”的核心理念与“知行合一、止于至善”的校训精神，曲靖一中某数学兴趣小组成员为测量水滴形不锈钢雕塑的高度，在与雕塑底O位于同一水平面上共线的A，B，C三处进行测量（如图2）．已知在A处测得雕塑顶端P的仰角为30°，在B处测得雕塑顶端P的仰角为45°，在C处测得雕塑顶端P的仰角为60°，BC＝6米，AB＝3米，则水滴形不锈钢雕塑的高度OP＝（ ） A. m B. m C. m D. m 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知i为虚数单位，下列命题中正确的是（ ） A. 是纯虚数 B. 若复数，则， C. 若，则 D. 若，则的最大值为 10. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 当，，时，满足条件的三角形共有1个 C. 若，则这个三角形的最大角是 D. 若，，，动点D在所在平面内且，则动点D的轨迹的长度为 11. 如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 圆台的母线长为6，两底面半径分别为2，7，则圆台的侧面面积是______． 13. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为____________. 14. 在中，,点是线段上的动点，则的最小值为__________；当取得最小值时,__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，（为虚数单位）. （1）当时，求； （2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 16. 已知向量，. （1）若，求； （2）若向量，，求与夹角的余弦值. 17. 如图，在正方体中，M，N分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）若在棱上有一点P，满足平面，请你求出的值. 18. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，. （1）求A； （2）若，的面积为，求b，c； （3）若，求的取值范围. 19. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，，分别是与x轴、y轴同方向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的斜坐标. （1）设，若，，，，求m的值； （2）若，，，求在上的投影的“斜坐标”； （3）若，，，若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $