辽宁大连中山高级中学2025-2026学年下学期阶段性测试高一数学试题

**基本信息** 高一数学阶段性测试聚焦三角函数、向量与解三角形，以泰山高度测量、工厂噪音优化等真实情境设计问题，注重数学抽象与模型应用，适配期中教学评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|象限判断、向量垂直面积、三角函数图像变换|基础概念辨析，如第3题考查图像平移| |多项选择|3/18|三角函数图像性质、解三角形多解问题|选项分层，如第10题结合正弦定理判断多解| |填空题|3/15|三角形面积计算、向量坐标运算最值|动态问题设计，如第13题梯形中向量最小值| |解答题|5/77|解三角形应用、三角函数单调性、面积最值探究|真实情境综合，如第15题工厂距离优化；多问递进，如第17题结合面积与角平分线求最值|

2025-2026学年度下学期阶段性测试 高一数学试题 命题人：孙烨 校对人：郝忠华、王雅楠 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每题5分，总共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．点在直角坐标平面上位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在四边形中，若，则该四边形的面积为（       ） A． B． C．10 D．20 3．为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（     ） A．向右平行移动 个单位长度 B．向左平行移动 个单位长度 C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度 4．小王老师五一假期打卡泰山.如图，王老师为了测量泰山主峰玉皇顶的高度AB（单位：米），在地面上选择一个观测点，在附近的山峰顶端选择另一个测量点，在处测得处的仰角为，测得主峰玉皇顶最高点的仰角为山峰的高度CD为772.5米，且在处测得点的仰角为，点B，P，D在同一水平面的一条直线上，则玉皇顶的高度AB为（   ） A．1030米 B．1545米 C．米 D．米 5．如图，边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，在梯形ABCD中，，，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 8．记的内角，，的对边分别为，，，设甲：为等腰三角形，乙：，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 二、多项选择题（本题共3小题，每题6分，总共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9．已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B．的最小正周期为 C．将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，则曲线的一个对称中心为 D．的图象与直线和线段围成的图形面积为 10．中，内角的对边分别为，为的面积，且，，下列选项正确的是（    ） A． B．若，则有两解 C．若为锐角三角形，则取值范围是 D．周长的取值范围为 11．已知函数的部分图象如图，则（    ） A．的最小正周期为 B．当时，的最小值为 C．函数在点处的切线方程为 D．在区间上的最大、最小值分别记为，则的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12．在中，三边、、所对的角分别为、、，已知，，的面积，则______. 13．已知梯形中，，，，，，点、在线段上移动，且，则的最小值为______. 14．将函数的图象向左平移（且）个单位长度后得到函数的图象，若，则的值为____. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题13分）如图，经过村庄A有两条夹角为的公路，，根据规划，在两条公路之间的区域内建一工厂，分别在两条公路边上建两个仓库，（异于村庄），要求（单位：）. (1)当时，求线段的长度； (2)设，当取何值时，工厂产生的噪音对居民的影响最小？（即工厂与村庄的距离最远） 16．（本题15分）已知，，且函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)已知，，求的值． 17．（本题15分）在△ABC中，角，，的对边分别为，，．且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 18．（本题17分）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C； (2)求的取值范围； (3)若点为边上的中点，，求线段的最大值． 19．（本题17分）在锐角三角形中，角所对的边分别为，且满足： (1)证明：； (2)求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年度下学期阶段性测试（卷尾解析版）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C A B A C B B ABD BC ACD 1．C 【解析】分别求出，，即可得解. 【详解】， ， 所以点在第三象限， 故选：C 【点睛】本题考查了任意角三角函数的正负判断，考查了象限角，属于基础题. 2．C 【分析】利用向量的数量积坐标运算来判断向量垂直，从而利用四边形的面积公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以，则，即四边形的对角线互相垂直， 因为， 所以该四边形的面积为， 故选：C. 3．A 【分析】利用诱导公式统一函数名，再根据函数的图象变换规律，得出结论． 【详解】， 由诱导公式可知： 又 则，即只需把图象向右平移个单位. 故选：A 4．B 【分析】根据题意，得到，在直角中，求得米，在中，由正弦定理求得米，再在直角中，结合，即可求解. 【详解】由题意知，， 在直角中，，，可得米， 在中，由正弦定理，可得米， 在直角中，可得米. 故选：B. 5．A 【分析】以所在直线为轴，以为原点，建立坐标系，结合已知条件求出，，从而可求出数量积. 【详解】解：以所在直线为轴，以为原点，如图建立坐标系，则， 则，所以，，则. 故选:A 【点睛】关键点睛: 本题的关键是建立坐标系，写出两向量的坐标. 6．C 【解析】利用同角三角函数平方关系和二倍角公式可求得，利用诱导公式可求得结果. 【详解】由得：， ，. 故选：. 7．B 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，由平面向量数量积的坐标表示求得数量积，再结合二次函数知识得取值范围． 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， ，， 设，则（其中）， ， ， 所以，当时，取得最小值11. 故选：B． 8．B 【详解】因为，，所以，所以为等腰三角形， 所以为等腰三角形是的必要条件； 由为等腰三角形，可得或或， 所以为等腰三角形是的不充分条件； 所以甲是乙的必要条件但不是充分条件. 9．ABD 【分析】根据，结合给定的的范围得可判断A；利用结合得，由即可判断B；由得函数的解析式，由图象平移得曲线：，通过代入验证可判断C；通过画出的图象，并应用余弦函数的对称性，数形结合求出图形围成的面积即可判断D. 【详解】对于A选项，观察图象，得，即，而，解得，故A正确； 对于B选项，由，且在函数的递增区间内，得，解得，解得，因此，故B正确； 对于C选项，将向左平移个单位后，得曲线C：，故C错误； 对于D选项，画出的图象与直线，线段，如图实线围成区域即为所求，      由于，且的最小正周期为， 结合对称性知，所求区域面积即为矩形ABCD的面积：，故D正确. 故选：ABD. 10．BC 【分析】对于A，利用向量数量积的定义和三角形的面积公式化简可求出角，即可判断；对于B，利用正弦定理求解判断；对于C，由正弦定理得，根据为锐角三角形，得到，然后利用正弦函数的性质可求出b的取值范围，即可判断；对于D，由余弦定理可得，再结合基本不等式求解判断即可. 【详解】对于A，因为，所以， 所以，则， 因为，所以，故A错误； 对于B，由正弦定理得，则，即， 因为，所以，则有两解，故B正确； 对于C，由正弦定理得，则，即， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 即b取值范围是，故C正确， 对于D，由余弦定理得，， 则，又，当且仅当时等号成立， 则， 解得，又，则， 所以，故D错误. 故选：BC. 11．ACD 【分析】由图可得.对于A，由周期计算公式可判断选项正误；对于B，由正弦函数单调性可判断选项正误；对于C，由导数知识可得切线斜率，即可得切线方程；对于D，问题等价于求在上最大值与最小值的差值，分类讨论t的取值结合正弦函数单调性可判断选项正误. 【详解】由图，，，因，则. 又由图可得. 设的最小正周期为T，则， 则取，得，则. 对于A，最小正周期为：，故A正确； 对于B，时，， 因函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，的最小值为，故B错误； 对于C，易得，，， 则切线方程为：，即，故C正确； 对于D，， 注意到，则令， 则问题相当于求在上最大值与最小值的差值. 由周期性，则只需要研究在上的相关性质. 若，由正弦函数单调性，结合和差化积公式 可得； ，则此时； 若，此时， 即，因时，， 从而，则此时； 若，由正弦函数单调性，结合和差化积公式 可得. ，则此时； 若，则， 则 ， 则，因时，， 则，则此时. 综上可得，故D正确. 故选：ACD. 12．300或1500 【详解】 13．2 【分析】利用平面向量的坐标运算设出P，Q两点坐标，从而表示出的表达式，根据表达式求出最小值. 【详解】如图所示， 以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则，过A作于M， 因为，，所以，， 所以. 不妨设，则， 所以， ， 所以当时，取得最小值2. 故答案为：2 14． 【分析】求出函数的解析式，由题意可知，函数的图象关于点对称，由此可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则， 因为，则函数的图象关于点对称， 所以，，则， 且，则. 故答案为：. 15．(1)； (2)． 【分析】（1）在中求得，然后在中由勾股定理求得； （2）在中由正弦定理求得，然后在中由余弦定理求得，再利用三角函数恒等变换，结合正弦函数性质得最大值． 【详解】（1），，则，又， ∴，，， ∴； （2），则， 由正弦定理得， 由余弦定理得 ， 由三角形知，， 当且仅当，即时，取得最大值3，工厂产生的噪音对居民的影响最小． 16．(1)； (2) 【分析】（1）先根据二倍角公式、辅助角公式化简，然后利用公式单调递增区间； （2）根据条件得到的值，然后可求的值，根据角的配凑可得，结合二倍角公式可求结果. 【详解】（1）， 令，解得， 故函数的单调递增区间为． （2）因为，即，所以， 又，所以， 所以， 所以． 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦边角关系及三角形内角的性质求； （2）由三角形面积公式得，由等面积法得出，结合余弦定理即可求得边； （3）根据等面积法，可得与的关系，再利用基本不等式求得的最小值，继而可得三角形面积最小值． 【详解】（1）由， 由正弦定理得，而，则， 所以，，则； （2）由题可知，化简得， 由余弦定理知，即， 所以，解得.    （3）因为的面积为 ， 所以. 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以，即， 所以的面积， 当且仅当时，的面积取得最小值，最小值为.    18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据余弦定理，结合正弦定理角化边求解得即可得答案； （2）由正弦定理边化角，结合内角和定理，三角恒等变换得，再结合的范围求解即可； （3）根据得，再结合余弦定理与基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）解：因为， 所以，由正弦定理可得，整理得， 所以，由余弦定理可得， 又因为，所以． （2）解：由正弦定理，可得 ， 因为为锐角三角形，且， 所以，解得， 所以，，， 所以， 所以的取值范围是． （3）解：因为点为边上的中点，所以， 所以， 因为，， 所以，由余弦定理得， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以， 所以，即线段的最大值为． 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理，结合为锐角三角形证明即可. （2）根据为锐角三角形及（1）求出的范围，结合正弦定理对进行化简，进而求范围即可. 【详解】（1）在中，因为，由正弦定理可得，. 由余弦定理知，，则， 所以，即，所以， 所以或. 若，因为，所以，与已知条件矛盾，不满足. 故. （2）当为锐角三角形时，， 即：，所以. . 令，，则. 令，由对勾函数性质可知在上单调增， 所以，则， 所以，即， 所以 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $