江西赣州市安远县第一中学2025-2026学年度下学期高一年级数学学科第二次综合作业

**基本信息** 聚焦向量与三角函数核心内容，通过平面四边形动点（第8题）、函数图像变换（第17题）等问题设计，实现基础巩固与能力提升的梯度分布，适配高一年级月考阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量共线条件、函数奇偶性|结合充分必要条件考查逻辑推理（第2题）| |多选题|3/18|单位向量运算、函数对称性|多选项区分思维层次（第11题函数对称性与单调性）| |填空题|3/15|向量垂直、三角恒等变换|设置开放性结果（第14题ω最大值）| |解答题|5/77|向量几何应用、三角函数零点|综合几何图形与函数性质（第18题向量表示，第19题图像平移与零点范围），关联高考命题趋势|

2025-2026学年度下学期高一年级数学学科第二次综合作业 考试时间：120分钟 一、单选题（本题共8个小题，每题5 分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（    ） A．1 B． C．0 D． 2．已知向量，，则“”是“与共线”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设是定义在上的奇函数，，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．如图，在中，，，若，，则（     ） A． B． C． D． 5．函数的图像关于直线对称，则的一个可能值是（     ） A． B． C． D． 6．已知向量，，满足，，且与的夹角、与的夹角均为，则在方向上的投影数量为（    ） A．-8 B．-4 C．4 D．8 7．已知向量，则向量与的夹角为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在平面四边形ABCD中， 若点E为边CD上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 10．已知单位向量，，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 11．已知函数满足+，则下列结论正确的是（     ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递增 D．存在使函数为偶函数 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知向量，，且，则______. 13．已知，则 . 14．已知函数，若函数的一个零点为．其图象的一条对称轴为直线，且在上单调，则的最大值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知向量，. (1)若，求； (2)若向量，，求与夹角的余弦值. 16．已知函数． (1)求函数的最小正周期和对称中心； (2)求函数的单调递减区间； (3)当时，求函数的最值． 17． 已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数，再将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的值域； (3)若函数在区间上恰好有两个零点，求实数的取值范围. 18．如图，在中，，，，且，，与交于点. (1)用，表示，； (2)求的值； (3)求的值. 19．已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围； (3)若函数的图象在区间（且）上至少含有个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期高一年级数学学科第一次综合作业参考答案 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1． C 2．A 3．A 4．B 5．A.【详解】函数关于对称，则在该点取得最值，即，解得，令，可知A正确. 6．B 【详解】投影数量为 7．D 【详解】因为向量，所以， 所以，所以，设向量与的夹角为，，所以. 8． C【详解】连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而， 所以为等边三角形，.设， =所以当时，上式取最小值 ，故选C. 9．AD 10．ABD【详解】对于A，由，得，即，解得， 则，而，因此，A正确；对于B，由，得，B正确；对于C，，C错误；对于D，在上的投影向量为. 11．BC【详解】设函数周期为T，由可知是函数的最大值，故，∴∴，又，∴ ，代入，可得，又，所以，∴.，故A错误；，所以B正确；时，所以在区间上单调递增，故C正确；当，即时，为偶函数，而在内无解，故D错误． 12. 13． 14．6【详解】函数的最小正周期，由函数的一个零点为，其图象的一条对称轴为直线，得，解得，则，由在上单调，得，即，因此，解得，而，于是，当时，，，由，得，而，则，，当时，，函数在上不单调，不符合题意；当时，，，由，得，而，则，，当时，，在上单调，符合题意；当时，，，由，得，而，则，，当时，，在上单调，符合题意，因此或，所以的最大值为6. 15． 【详解】（1）已知，，则，，又， 所以，即，解得.所以，则，所以. （2）因为，所以，解得，所以，则. 则，，，设与夹角为，则.所以与夹角的余弦值为. 16． 【详解】（1），函数的最小正周期为．令，则，函数的对称中心为． （2） 令，则， 函数的单调递减区间为． （3） ，．．的最小值为，最大值为. 17．【详解】（1）由题设，所以，则，故，由，则，即，又，当时，则，故； （2）将函数的图象上各点横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，再将图象向右平移个单位长度，所以；，则，所以，所以函数在上的值域： （3），则，由在上单调递增，对应值域为；在上单调递减，对应值域为；函数在区间上有且仅有两个零点，即在上只有两个解，由图可知. 18．【详解】（1）因为，，所以，， 所以，； （2）因为，，，所以， 所以. （3）依题意为向量与的夹角， 又， ， 所以. 19．【详解】（1）由，得，则， 则为偶函数，所以， 又，所以，故. （2）因为，所以，，故，， 而恒成立，即， 整理可得.令，，则区间上单调递增，故，故，即实数m的取值范围是. （3）由题意知，由得， 故或，，解得或，， 故的零点为或，，所以相邻两个零点之间的距离为或 若最小，则和都是零点，此时在区间，，…，， 分别恰有个零点，所以在区间上恰有个零点， 从而在区间上至少有一个零点，所以，另一方面，在区间上恰有个零点，所以的最小值为. $