精品解析：江西省赣州市安远县实验中学2023-2024学年高一下学期第三次月考数学试卷

2023—2024学年第二学期安远实验中学第三次月考 高一数学试卷 一、单选题（8小题，40分） 1. 已知角的终边经过点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦的定义计算即可. 【详解】由题知，解得． 故选：B. 2. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的外接圆的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和为得到，利用正弦定理得到外接圆半径，得到面积. 【详解】在中，，，所以. 设的外接圆的半径为R，则由正弦定理，可得， 解得R＝1，故的外接圆的面积. 故选：B 3. 已知向量，向量在向量上的投影向量（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量投影向量的定义求解. 【详解】解：因为向量， 所以向量在向量上的投影向量， 故选：C 4. 若是方程的一个根，则方程的另一个根为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数范围内两个虚数根的实部相等，虚部互为相反数求解即可. 【详解】根据复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式知，两个虚数根的实部相等，虚部互为相反数，所以另一个根为. 故选：B 5. 已知，，且满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】借助角所在象限，利用同角三角函数基本关系与两角和的余弦公式计算即可得. 【详解】由，，则， ， ， 则， 故. 故选：A. 6. 设向量.若是实数，且，则的最小值为 A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由向量加法的坐标运算先求 再由向量模的运算求其模长关于的表达式， 再结合二次函数求最值即可得解. 【详解】解： ， 所以 ， 所以当时，最小，最小值为. 故选C. 【点睛】本题考查了向量的模的运算、两角和的正弦及二次函数求最值问题，属中档题. 7. 三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理(西方称之为“毕达哥拉斯定理”).如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积与大正方形面积之比为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图。由题意得，从而可得，给等式两边平方化简后得，从而可求出，而，进而可求得答案 【详解】由题意得，因为， ， 所以，则， 所以， 所以， 因为，所以， 所以 ， 故选：D 8. 函数的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据，之间的关系将原函数转化成二次函数的最值问题处理. 【详解】设，根据辅助角公式，， 由，于是， 故，当时，取得最大值. 故选：A 二、多选题（3小题，18分） 9. 如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”．若复数（，i为虚数单位）为“等部复数”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 复数是纯虚数 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据“等部复数”的定义得出，即可根据复数的概念依次判断. 【详解】因为为“等部复数”，所以，故A正确； 则，故B错误； 因为，所以，故C正确； 是纯虚数，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知平面向量， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用向量数量积的坐标运算可得，由向量坐标的线性运算求、，即可得答案. 【详解】由题设，，故，A错误，B正确； ，C正确； ，D正确. 故选：BCD 11. 声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型是函数，则（ ） A. 的最小值为-2 B. 的单调增区间为， C. 的对称中心为， D. 若为偶函数，则最小值是 【答案】BD 【解析】 【分析】通过辅助角公式、降幂公式可将化为则时的最小值，选项A可判定；令可求单调区间，选项B可判定；令，可得,选项C可判定;,由为偶函数，则可得，计算可得，选项D可判定. 【详解】= = == 当时的最小值为-1，故选项A错误； 令 可解得， 所以增区间为故选项B正确； 令，可得 的对称中心为，故选项C错误； 若为偶函数，则可得 解的，则最小值是，故选项D正确； 故选：BD. 三、填空题（3小题，15分） 12. 设为锐角，若，则____. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式计算即可. 【详解】因为为锐角，所以， 所以； 则. 故答案为：. 13. 设为复数，若，则的最大值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用模的公式求出关系，利用关系消元求解的最大值. 【详解】设， 则，又， 所以， 所以，即 所以， 所以. 故答案为：. 14. 如图，A，B是⊙C上两点，若弦AB的长度为2，则______，若向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为______． 【答案】 ①. 2 ②. ## 【解析】 【分析】（1）根据数量积的公式求解即可； （2）根据投影向量的公式求解即可 【详解】（1）； （2）由题意，，故，故，又，故，即，解得，故，所以 四、解答题（5小题，77分） 15. 已知在中，所对的边分别为a，b，c，，且． （1）求角C的大小； （2）D为AB中点，若的面积等于，求的周长的最小值． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）先利用向量平行的坐标公式列式，然后利用正弦定理和余弦定理求解； （2）先根据面积关系求出，然后利用基本不等式求出的最小值，再利用余弦定理求出的最小值，则的周长的最小值可求. 【小问1详解】 ， ， 由正弦定理得， ， ， ； 【小问2详解】 依题意，即， 所以，当且仅当时取等号， 又由余弦定理得， ，当且仅当时取等号， 所以的周长的最小值为6． 16. 已知复数为虚数单位） （1）若复数在复平面上对应的点落在第四象限，求实数的取值范围; （2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值． 【答案】（1） （2）13 【解析】 【分析】（1）由已知，根据，表示出，然后写出，再根据该点落在第四象限，即可列出不等关系求解实数的取值范围； （2）由已知，由，表示出，根据虚数和是实系数一元二次方程的根，即可列出等量关系求解实数的值. 【小问1详解】 由已知，，所以 ， 因为复数在复平面上对应的点落在第四象限，所以，解得， 所以实数的取值范围为； 【小问2详解】 因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以虚数是实系数一元二次方程的根，， 则，解得. 所以实数的值为. 17. 数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如：如图甲，在△ABC中，D为BC的中点，则，，两式相加得，.因为D为BC的中点，所以，于是.请用“算两次”的方法解决下列问题： （1）如图乙，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，证明：. （2）如图丙，在四边形中，E，F分别在边AD，BC上，且，，，，与的夹角为，求向量与向量夹角的余弦值. 【答案】（1） 在四边形ABFE中，，① 在四边形CDEF中，，② 由①②，得， 因为E，F分别为AD，BC的中点， 所以，， 于是. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用图形关系的向量运算法则结合已知求解即可； （2）由图形关系的向量运算得到，求出其模长；再利用定义式求解，最后再利用向量夹角的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在四边形ABFE中，①， 在四边形CDEF中，②， 由，， 得，. 由，得， 所以， 所以， ， 所以. 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）求在上的最大值和最小值； （3）若在区间上恰有两个零点、，求. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）由图象可得出函数的最小正周期，可求出的值，再由结合的取值范围可求得的值，即可得出函数的解析式； （2）由求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得函数的最大值和最小值； （3）求出函数图象在内的对称轴方程，可得出，得，，利用诱导公式可求得的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【小问1详解】 由图象可知，函数的最小正周期满足，则，， 所以，，则，可得， 因为，则，所以，，解得， 因此，. 【小问2详解】 因为，则，所以，，即， 所以的最大值为，最小值为. 【小问3详解】 因为，当时，， 令，所以， 因为在区间上恰有两个零点、， 函数图象在区间内的对称轴为直线， 由正弦型函数的对称性可知，点、关于直线对称，则， 所以， 由得，， 所以， 所以. 19. 已知， （1）若，求的值； （2）在三角形ABC中，若，求的最大值； （3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用角的变换即可求解； （2）由条件先求角，再求出角的范围，利用三角恒等变换化简转换，结合角的范围，即而求解最大值； （3）由题意把转化为，利用换元法及基本不等式求解即可. 【小问1详解】 函数, 因为，所以， 所以， . 【小问2详解】 由， 而，可得，即， 所以， 因为，所以, 则， 故当时，取最大值，最大值为． 【小问3详解】 由（1）可知 , 令，因为，所以，从而， 则即为：在上恒成立， 所以在在上恒成立， 又，当且仅当时等号成立． 所以，即实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年第二学期安远实验中学第三次月考 高一数学试卷 一、单选题（8小题，40分） 1. 已知角的终边经过点，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的外接圆的面积为（　　） A. B. C. D. 3. 已知向量，向量在向量上的投影向量（ ） A. B. C. D. 4. 若是方程的一个根，则方程的另一个根为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 6. 设向量.若是实数，且，则的最小值为 A. B. 1 C. D. 7. 三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理(西方称之为“毕达哥拉斯定理”).如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积与大正方形面积之比为，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多选题（3小题，18分） 9. 如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”．若复数（，i为虚数单位）为“等部复数”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 复数是纯虚数 10. 已知平面向量， 则（ ） A. B. C. D. 11. 声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型是函数，则（ ） A. 的最小值为-2 B. 的单调增区间为， C. 的对称中心为， D. 若为偶函数，则最小值是 三、填空题（3小题，15分） 12. 设为锐角，若，则____. 13. 设为复数，若，则的最大值为_______. 14. 如图，A，B是⊙C上两点，若弦AB的长度为2，则______，若向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为______． 四、解答题（5小题，77分） 15. 已知在中，所对的边分别为a，b，c，，且． （1）求角C的大小； （2）D为AB中点，若的面积等于，求的周长的最小值． 16. 已知复数为虚数单位） （1）若复数在复平面上对应的点落在第四象限，求实数的取值范围; （2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值． 17. 数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如：如图甲，在△ABC中，D为BC的中点，则，，两式相加得，.因为D为BC的中点，所以，于是.请用“算两次”的方法解决下列问题： （1）如图乙，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，证明：. （2）如图丙，在四边形中，E，F分别在边AD，BC上，且，，，，与的夹角为，求向量与向量夹角的余弦值. 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）求在上的最大值和最小值； （3）若在区间上恰有两个零点、，求. 19. 已知， （1）若，求的值； （2）在三角形ABC中，若，求的最大值； （3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $