精品解析：广东惠州市博罗县2025-2026学年第二学期高一阶段性教学质量检测数学试题

2025-2026学年第二学期高一阶段性教学质量检测 数学试题 本试卷共19小题，满分150分.考试时间120分钟. 第一部分（选择题，共58分） 一、单选题（本小题共有8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数满足，则为（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（     ） A. 12 B. 24 C. D. 4. 在中，角的对边分别为，若，，，则角等于（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或60° D. 60°或120° 5. 已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. 0 B. 1 C. 8 D. 4 6. 在中，，，则一定是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 7. 某舞台道具厂需定制一批圆锥形灯罩，要求灯罩的母线长度固定为（骨架支撑长度），同时为了保证灯光折射角度均匀，要求将灯罩侧面沿母线剪开后展开图为一个半圆，那么该规格的圆锥形灯罩的外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，则的最小值为 A. 4 B. C. D. 6 二、多选题（共3小题，每小题满分6分，共18分.在每题四个选项中，有多项符合题目要求.部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知为复数，则下列说法一定正确的是（ ） A. 和在复平面上所对应的点关于实轴对称 B. C. D. 若为纯虚数，则为实数 10. 如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（ ）. A. 该三棱台的侧面积为 B. 该三棱台的高为 C. 该三棱台的体积为 D. 若点在棱上，则的最小值为 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，则 C. 若，且，则为直角三角形 D. 若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形 第二部分（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡相应横线上） 12. 已知向量，，且，则______． 13. 在平行四边形中，，，三点对应的复数分别是，，，则点对应的复数是________； 14. 如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则的余弦值为______． 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量． （1）求与的夹角余弦值； （2）若，求实数的值． 16. 如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛A，B，C，D，小岛B与小岛A，小岛C相距都为5海里，与小岛D相距为海里，角A为钝角，且． （1）求的值； （2）求的面积． 17. 如图，正四面体棱长为4，E为的中点，，. （1）求四面体的表面积和体积； （2）求四面体的体积. 18. 在中，角的对边分别为，满足. （1）求角的大小； （2）若，求周长的最小值； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 19. 对于平面向量，定义“变换”：，（） （1）若向量，，求； （2）已知，，且与不平行，，，证明：； （3）若向量，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高一阶段性教学质量检测 数学试题 本试卷共19小题，满分150分.考试时间120分钟. 第一部分（选择题，共58分） 一、单选题（本小题共有8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数满足，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算，得到，再利用模长的计算公式，即可求解. 【详解】由，得到， 所以， 故选：C. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 3. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（     ） A. 12 B. 24 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据斜二测画法的等量关系可知为直角三角形， 且，，， 所以的面积为． 4. 在中，角的对边分别为，若，，，则角等于（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或60° D. 60°或120° 【答案】A 【解析】 【详解】由正弦定理，代入已知条件 ，，， 可得， 由三角形"大边对大角"的性质， ， 因此 . 5. 已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. 0 B. 1 C. 8 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的投影向量的定义，列式求解，即可得答案. 【详解】由于向量在向量上的投影向量为， 故可得，即，所以， 故选：C 6. 在中，，，则一定是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理化角为边，再利用余弦定理求得，然后由余弦定理及已知求得，结合角大小得三角形形状． 【详解】在中，对于， 由正弦定理得：，即， 由余弦定理得：， 又，所以，又， 所以由余弦定理可得， 所以，即， 所以，结合，可得一定是等边三角形. 7. 某舞台道具厂需定制一批圆锥形灯罩，要求灯罩的母线长度固定为（骨架支撑长度），同时为了保证灯光折射角度均匀，要求将灯罩侧面沿母线剪开后展开图为一个半圆，那么该规格的圆锥形灯罩的外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆锥的侧面展开图为半圆得，再计算圆锥的外接球半径即可求得表面积. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则， 因为灯罩侧面沿母线剪开后展开图为一个半圆， 所以，即，故 所以圆锥的高为， 设圆锥形灯罩的外接球的半径为，球心为， 如图，，，， 所以，即，解得 所以圆锥形灯罩的外接球的半径为，表面积为 故选：D 8. 如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，则的最小值为 A. 4 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】，又，，又三点共线，，即得，易知，，当且仅当，即时，取等号，故选C. 【易错点晴】本题主要考查平面向量基本定理的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 二、多选题（共3小题，每小题满分6分，共18分.在每题四个选项中，有多项符合题目要求.部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知为复数，则下列说法一定正确的是（ ） A. 和在复平面上所对应的点关于实轴对称 B. C. D. 若为纯虚数，则为实数 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，根据共轭复数的概念，复数的几何意义，复数的四则运算以及模的运算即可逐一判断各选项. 【详解】设. 对于A，因，则和在复平面上所对应的点分别为和，显然关于实轴对称，故A正确； 对于B，，，因，故，即B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，因为纯虚数，故可设，则，故D正确. 故选：ACD. 10. 如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（ ）. A. 该三棱台的侧面积为 B. 该三棱台的高为 C. 该三棱台的体积为 D. 若点在棱上，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正棱台的性质求侧面积、高、体积判断ABC，把等腰梯形与展开置于同一平面，用平面的性质求解判断D． 【详解】对于A，在等腰梯形中，过向作垂线，垂足为E， 在中， ， 所以等腰梯形的面积为， 所以，所以A正确； 对于B，正三棱台中，取上、下底面的中心，， 连接，，， 则，，高， 所以B错误； 对于C，因为，， 所以三棱台的体积，所以C正确； 对于D，把等腰梯形与展开置于同一平面，连结， 易知，，， 而边的中点到点的距离， 因此当点为线段与的交点时， 的最小值为，所以D正确. 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，则 C. 若，且，则为直角三角形 D. 若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由正弦定理、余弦定理得即可判断；对于B，举反例即可判断；对于C，由三线合一结合有一个角是的等腰三角形是等边三角形即可判断；对于D，由重心和外心重合即可判断. 【详解】对于A，由，可得，由正弦定理可得， 所以，因为，所以，则为钝角三角形，故A正确； 对于B，若，当，时，则，故B不正确； 对于C，因为，分别为单位向量，所以的角平分线与垂直，所以，． 又因为，即，因为，所以， 故，所以为等边三角形，故C错误； 对于D，因为，所以为的重心， 由知为的外心，故为等边三角形，故D正确. 故选：AD. 第二部分（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡相应横线上） 12. 已知向量，，且，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，解得， 所以，故． 13. 在平行四边形中，，，三点对应的复数分别是，，，则点对应的复数是________； 【答案】 【解析】 【分析】设出的坐标，解法一：根据复数的几何意义，结合平行四边形性质求解；解法二：根据复数的几何意义，结合向量相等求解. 【详解】由题意可得, 设的坐标为， 解法一：平行四边形中，对角线互相平分，即与中点坐标相同， 所以，解得，故点对应的复数是. 解法二：由于，可得， 故，故点对应的复数是. 14. 如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则的余弦值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意建立直角坐标系，从而得到各点坐标，进而利用向量夹角余弦的坐标表示即可得解. 【详解】依题意，以为原点，所在直线为轴，过作的垂线为轴，如图所示， 因为，，， 所以，则， ， 即为向量与的夹角， ， ，， . 故答案为：. 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量． （1）求与的夹角余弦值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据向量夹角的余弦公式和向量数量积的坐标公式进行求解即可. （2）根据向量共线的坐标公式求出参数的值. 【小问1详解】 由已知，， 所以. 【小问2详解】 由已知，， 因此由，可得， 解得． 16. 如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛A，B，C，D，小岛B与小岛A，小岛C相距都为5海里，与小岛D相距为海里，角A为钝角，且． （1）求的值； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2）15平方海里． 【解析】 【分析】(1)求：放在中解三角形，由题意可得、的值以及的正弦值，即两边及一边的对角已知，求另一边对角的正弦值，可利用正弦定理求解； (2)求的面积，利用面积公式，已知边、长；利用圆内接四边形的性质可知角与互补，由此得到；已知两边一角可用余弦定理求出第三边长，因此面积可用公式： ，求出的面积． 【小问1详解】 由题意知：在中，，，； 由正弦定理得：，即， 解得． 【小问2详解】 因为A、B、C、D四点共圆，所以， 又A为钝角，故为锐角； 所以，故． 在中，，； 由余弦定理得：， 即， 整理得：，解得（海里）（负值已舍去）； 所以的面积为： （平方海里）． 17. 如图，正四面体棱长为4，E为的中点，，. （1）求四面体的表面积和体积； （2）求四面体的体积. 【答案】（1）表面积为； （2） 【解析】 【分析】（1）根据几何体表面图形的特点可求表面积，结合体积公式可求体积； （2）利用几何体的体积比例关系可求答案. 【小问1详解】 因为四面体为正四面体， 所以四面体的每个面都是棱长为4的正三角形， 且， 所以四面体的表面积为； 设正四面体的高为h，三角形的重心为O， 则， ∴. 【小问2详解】 因为是的中点， ∴. 因为，即点为的四等分点， ∴. 因为，即点为的三等分点 ∴ 所以， ∴. 综上所述，. 18. 在中，角的对边分别为，满足. （1）求角的大小； （2）若，求周长的最小值； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理计算即可求解； （2）由题意可得，根据基本不等式计算即可求解； （3）由正弦定理将化为关于角的函数，根据正弦函数性质及三角形面积公式计算求解. 【小问1详解】 因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 由基本不等式可知，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以当时，周长有最小值为； 【小问3详解】 由正弦定理可得，所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，有，即， 所以，，， 因为， 所以，即面积的取值范围是. 19. 对于平面向量，定义“变换”：，（） （1）若向量，，求； （2）已知，，且与不平行，，，证明：； （3）若向量，求． 【答案】（1）； （2） ， 得，同理可得， ； 所以， 则，， 所以； （3） 【解析】 【分析】（1）将，代入变换计算可得； （2）利用变换规则计算向量数量积可得，且，，再由向量夹角余弦公式即可得出结论； （3）利用变换规则以及三角恒等变换以及可得，即可解得. 【小问1详解】 根据题意可得，，， 代入变换可得，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为 ； 且 所以 ； 因此 由， 可得， 即，又，解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $