精品解析：广东省惠州市博罗县2024-2025学年高一下学期阶段性教学质量检测数学试题

博罗县2024-2025学年第二学期阶段性教学质量检测 高一数学试题 本试卷共19小题，满分150分. 考试时间120分钟. 一、单项选择题（本小题共有8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的四则运算可得解. 【详解】由已知， 则， 故选：C. 2. 已知点，，且，则点的横坐标与纵坐标之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标运算，化简即可. 【详解】设， 则，， 又， 则，解得， 则， 故选：B. 3. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理进行边角互化，进而可得解. 【详解】由已知， 则在中，由正弦定理可得， 又，则， 所以，即， 又， 则， 故选：B. 4. 如图，水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图为直角梯形，已知，则原四边形OABC的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用梯形的面积公式求得直观图的面积，再利用直观图与原图面积的比值即可得解. 【详解】根据题意，直观图直角梯形中，， 则直观图的面积， 故原图的面积. 故选：A. 5. 如图，为了测量M，N两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在N点、距离M点600米处的P点、距离P点200米处的G点进行观测．甲同学在N点测得，乙同学在P点测得，丙同学在G点测得，则M，N两点间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理列式计算得解. 【详解】由，得，而，， 由余弦定理得（米）. 故选：C 6. 已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算，再利用公式计算即可. 【详解】因，则，则， 又三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态， 则，即， 则. 故选：A 7. 如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线，若母线放置在水平地面上时，水面恰好过的中点，那么当底面圆水平放置时，水面高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两种放置方式水的体积不变即可求得. 【详解】如图， 设圆柱底面半径为，则当母线水平放置时，圆柱中含水部分可以看作是以弓形为底，为高的柱体， 因为水面过的中点，则， 则弓形的面积为， 当底面圆水平放置时，底面圆的面积为，设水面高为， 则由水的体积不变可得：，即， 解的：. 故选：. 8. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，，，点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P，则下列结论错误的是（ ） A. B. P的坐标为 C. B的坐标为 D. 在方向上的投影向量为 【答案】D 【解析】 【分析】C选项，根据模长公式得到方程，结合，求出；B选项，根据题意得到，设，求出，得到P的坐标；A选项，计算出，求出模长；D选项，利用投影向量公式计算出答案. 【详解】C选项，因为，所以， 解得， 因为，所以， 故，所以，C正确； B选项，， 将点绕点逆时针旋转得到点， 则， 设，则， 所以，解得， 则P的坐标为，B正确； A选项，， 故，A正确； D选项，在方向上的投影向量为，D错误. 故选：D 二、多项选择题(共3小题，每小题满分6分，共18分.在每题四个选项中，有多项符合题目要求.部分选对得部分分，有选错的得0分.) 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若在复平面内对应的点位于第二象限，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，若为纯虚数，则的实部为0，虚部不为0，列出方程求解即可；对于B，若在复平面内对应的点位于第二象限，则实部小于0且虚部大于0，列出不等式求解即可；对于C，若，求出，进而求其共轭复数；对于D，若，求出，咋求模即可. 【详解】对于A，若为纯虚数，即且，则，故A错误； 对于B，若在复平面内对应的点位于第二象限，则解得，即，故B正确； 对于C，若，则，则，故C正确； 对于D，若，则，故D 错误. 故选：BC. 10. 已知圆锥的底面半径为1，高为，为顶点，，为底面圆周上两个动点，则（ ） A. 圆锥的体积为 B. 从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为 C. 圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 D. 圆锥截面的面积的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】直接求出圆锥的体积即可判断A；直接求出圆锥的侧面展开图的圆心角即可判断C；利用圆锥的侧面展开图可求解判断B；先判断出圆锥截面为轴截面时，其面积最大，然后可判断D. 【详解】对于A：因为圆锥的底面半径为1，高为，所以体积，故A正确； 对于C：设圆锥的母线为，则， 设圆锥的侧面展开图的圆心角为，由弧长公式得，即，解得， 即圆锥的侧面展开图的圆心角大小为，故C错误； 对于B：由C可得该圆锥的侧面展开图是半径为的半圆， 所以从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为，故B错误； 对于D：因为圆锥的轴截面为边长为的等边三角形，顶角为（小于）， 当圆锥截面为轴截面时，其面积最大，此时， 所以圆锥截面的面积的最大值为，故D正确； 故选：AD 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则为锐角； B. 若，则； C. 若，则为等腰三角形； D. 若不是直角三角形，则. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角形正余弦定理及三角恒等变换分别判断各选项. 【详解】对于A选项，由，得，故角为锐角，A选项正确； 对于B选项，因为，由正弦定理可得，所以，B选项正确； 对于C选项，由，即 ， 根据余弦定理可得， 由正弦定理可得，则， ∴或，即 是等腰三角形或直角三角形，C选项错误； 对于D选项，因为不是直角三角形，所以，，均有意义， ，所以，D选项正确； 故选：ABD. 第二部分（非选择题，共 92 分） 三、填空题：本题共 3个小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在答题卡相应横线上. 12. 使不等式（为虚数单位）成立的实数________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据不等式可知，解方程并验证即可. 【详解】由，易知， 解得或， 又时，成立； 时，，与矛盾； 故答案为：. 13. 在直三棱柱中，.若该直三棱柱的外接球表面积为，则此三棱柱的高为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意画出图形，把直三棱柱补形为正四棱柱，设其高为，把正四棱柱外接球的半径用含有的代数式表示，代入球的表面积公式求解． 【详解】 在直三棱锥中， ，，又， 直三棱柱的底面为等腰直角三角形， 把直三棱柱补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径， 设，分别为，的中点，则的中点为球心， 设直三棱柱的高为，则球的半径， 故表面积为，解得． 故答案为： 14. 已知非零向量与的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，则与的夹角的最大值是______． 【答案】 【解析】 【详解】先通过向量的定义得到，从而，通过求出，再求出，利用表示夹角，进而利用基本不等式求最值. 【分析】因为为在方向上的投影向量，且与的夹角为锐角， 所以，故． 因为，且， 所以．设， 则， 故．又． 设与的夹角为，所以． 因为（当且仅当，即时取等号）， 所以，即， 故．又，所以． 故与的夹角的最大值是． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，的面积为，求b，c的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合和差角的正弦公式化简求解即可； （2）由面积公式可得，再根据余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理及． 得， 即， 即， 因为，所以， 所以，所以． 【小问2详解】 由题意得的面积，所以①． 又，且，所以②． 由①②得． 16. 如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点． （1）求的值； （2）求证：． 【答案】（1） （2）因为， 所以， 所以， 所以，即，所以． 【解析】 【分析】（1）用、表示，再根据数量积的定义及运算律计算可得； （2）用、表示、，根据数量积的运算律求出，即可得证. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 略 17. 图①是一块正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为和，，分别是上、下底面的中心，棱台高. （1）求正四棱台的表面积； （2）若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台（如图②），求削去部分与圆台的体积之比. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出棱台的侧面的高，结合棱台的结构特征以及表面积公式即可求得答案； （2）由题意可知圆台的上下底面圆与与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高，由此可求出圆台以及正四棱台的体积，即可求得答案. 【小问1详解】 如图，正四棱台的每个侧面皆为全等的等腰梯形， 分别取的中点为，连接， 过点M作于H， 则， 故， 所以正四棱台的表面积为； 【小问2详解】 若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台， 则圆台的上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高， 则圆台的上底面半径为10cm，下底面半径为20cm，高为30cm， 则圆台的体积为， 而正四棱台的体积为， 所以消去部分的体积为， 则削去部分与圆台的体积之比为. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角； （2）若的角平分线交于点，且，，求边的长度； （3）若为锐角三角形，，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，结合余弦定理可得解； （2）结合角分线的性质及三角形面积公式化简可得解； （3）由正弦定理进行边角互化可得，结合三角恒等变换可得，结合三角函数性质可得取值范围. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可知，即， 又由余弦定理可知， 又，则； 【小问2详解】 由已知的角平分线交于点， 则， 又在中，， 即， 即， 解得； 【小问3详解】 由正弦定理可知， 则，， 又在中，， 则周长， 因为为锐角三角形， 则，即， 则， 所以， 故周长. 19. 对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量，特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关. （1）判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由. ①，； ②，，； （2）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由. （3）已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： ①如果存在等式，则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零； ②如果两个等式，同时成立，其中，则. 【答案】（1）①线性无关；②线性相关；理由： 对于①，设， 则可得，所以，线性无关； 对于②设， 则可得，所以，， 可取不全为零，故，线线性相关； （2）向量，，线性无关；理由： 设， 则， 因为向量，，线性无关， 所以，，， 解得， 所以向量，，线性无关； （3） ①， 如果某个，，2，……，m， 则， 因为任意个都线性无关， 所以，，……，，，……，都等于0， 所以这些系数，，……，或者全为零，或者全不为零， ②因为，所以，，……，全不为零， 所以由， 可得， 代入，可得， 所以， 所以，……，， 所以 【解析】 【分析】（1）根据向量线性相关的定义逐一判断即可； （2）设，则，然后由条件得到即可判断； （3）①如果某个，，然后证明，，……，，，……，都等于0即可；②由可得，然后代入根据题意证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：本题以新定义为背景考查向量的运算，解题的关键是根据所给的线性相关的定义进行运算判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 博罗县2024-2025学年第二学期阶段性教学质量检测 高一数学试题 本试卷共19小题，满分150分. 考试时间120分钟. 一、单项选择题（本小题共有8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，，且，则点的横坐标与纵坐标之和为（ ） A. B. C. D. 3. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图为直角梯形，已知，则原四边形OABC的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 5. 如图，为了测量M，N两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在N点、距离M点600米处的P点、距离P点200米处的G点进行观测．甲同学在N点测得，乙同学在P点测得，丙同学在G点测得，则M，N两点间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线，若母线放置在水平地面上时，水面恰好过的中点，那么当底面圆水平放置时，水面高为（ ） A. B. C. D. 8. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，，，点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P，则下列结论错误的是（ ） A. B. P的坐标为 C. B的坐标为 D. 在方向上的投影向量为 二、多项选择题(共3小题，每小题满分6分，共18分.在每题四个选项中，有多项符合题目要求.部分选对得部分分，有选错的得0分.) 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若在复平面内对应的点位于第二象限，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知圆锥的底面半径为1，高为，为顶点，，为底面圆周上两个动点，则（ ） A. 圆锥的体积为 B. 从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为 C. 圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 D. 圆锥截面的面积的最大值为 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则为锐角； B. 若，则； C. 若，则为等腰三角形； D. 若不是直角三角形，则. 第二部分（非选择题，共 92 分） 三、填空题：本题共 3个小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在答题卡相应横线上. 12. 使不等式（为虚数单位）成立的实数________. 13. 在直三棱柱中，.若该直三棱柱的外接球表面积为，则此三棱柱的高为__________. 14. 已知非零向量与的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，则与的夹角的最大值是______． 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，的面积为，求b，c的值． 16. 如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点． （1）求的值； （2）求证：． 17. 图①是一块正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为和，，分别是上、下底面的中心，棱台高. （1）求正四棱台的表面积； （2）若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台（如图②），求削去部分与圆台的体积之比. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角； （2）若的角平分线交于点，且，，求边的长度； （3）若为锐角三角形，，求周长的取值范围. 19. 对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量，特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关. （1）判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由. ①，； ②，，； （2）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由. （3）已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： ①如果存在等式，则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零； ②如果两个等式，同时成立，其中，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $