2026届高考物理三轮冲刺讲义 专题四：圆周运动和天体运动

三轮冲刺：圆周运动和天体运动 一、巩固基础——知识梳理 2 （一）水平面内圆周运动 2 （二）竖直面内圆周运动 2 （三）开普勒定律 3 （四）人造卫星参数 3 （五）宇宙速度 4 （六）卫星的发射和变轨 4 二、归纳整合——模型构建 6 题型一：圆周运动基本物理量 6 题型二：水平面内圆周运动 8 题型三：竖直面内圆周运动 13 题型四：临界极值问题 21 题型五：开普勒定律和万有引力定律的应用 26 题型六：卫星参数对比 31 题型七：卫星变轨 33 题型八：双星系统和多星系统 38 三、终达彼岸——直击高考 44 一、巩固基础——知识梳理 （一）水平面内圆周运动 运动模型 向心力的来源图示 汽车在水平路面转弯 水平转台(光滑) 圆锥摆 飞车走壁 飞机水平转弯 火车转弯 （二）竖直面内圆周运动 轻绳模型(最高点无支撑) 轻杆模型(最高点有支撑) 实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 图示 受力示意图 F弹向下或等于零 F弹向下、等于零或向上 力学方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m 临界特征 F弹＝0 mg＝m 即vmin＝ v＝0 即F向＝0 F弹＝mg 讨论分析 (1)最高点，若v≥，F弹＋mg＝m，绳或轨道对球产生弹力F弹 (2)若v<，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心 (2)当0<v<时，mg－F弹＝m，F弹背离圆心并随v的增大而减小 (3)当v＝时，F弹＝0 (4)当v>时，mg＋F弹＝m，F弹指向圆心并随v的增大而增大 （三）开普勒定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量 （四）人造卫星参数 1．天体(卫星)运行问题分析 将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供． 2．物理量随轨道半径变化的规律 G＝ 即r越大，v、ω、a越小，T越大．(越高越慢) （五）宇宙速度 第一宇宙速度(环绕速度) v1＝7.9 km/s，是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度 第二宇宙速度(逃逸速度) v2＝11.2 km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 v3＝16.7 km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度 （六）卫星的发射和变轨 在地面 附近静止 忽略自转：G＝mg，故GM＝gR2(黄金代换式) 考虑自转 两极：G＝mg 赤道：G＝mg0＋mω2R 卫星的 发射 第一宇宙速度：v＝＝＝7.9 km/s (天体) 卫星在 圆轨道 上运行 G＝Fn＝ 越高越慢，只有T与r变化一致 变轨 (1)由低轨变高轨，瞬时点火加速，稳定在高轨道上时速度较小、动能较小、机械能较大；由高轨变低轨，反之 (2)卫星经过两个轨道的相切点，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度 (3)根据开普勒第三定律，半径(或半长轴)越大，周期越长 二、归纳整合——模型构建 题型一：圆周运动基本物理量 1.（25-26高三下·广西·期中）如图所示，有人设计了一种没有链条的自行车，传动系统由5个相互啮合的齿轮构成，最后面的一个齿轮e与后轮轮轴相连。在主动轮a以恒定角速度顺时针转动的前提下，以下说法正确的是（　　） A．中间3个齿轮换成4个半径稍小的齿轮，自行车仍然向前运动 B．自行车前进速度只由a、e两轮的半径决定，与中间3个齿轮的半径无关 C．把b换成半径小的齿轮、c换成半径大的齿轮，自行车的速度会增大 D．把c换成半径小的齿轮、d换成半径大的齿轮，自行车的速度会减小 2.（2026·广东广州·一模）图（a）所示的油纸伞是我国古人智慧的结晶。图（b）为其结构示意图，ON是一条可绕伞顶O转动的伞骨，伞撑两端分别与ON中点M和滑环P铰接。保持伞柄不动，向上推滑环P，使得伞骨ON以恒定角速度开伞，则（　　） A．M点的线速度方向总是沿PM方向 B．M点的向心加速度方向沿MP方向 C．N点线速度大小是M点的2倍 D．N点的向心加速度大小是M点的4倍 3.（2026·江西新余·一模）同学们洗完手后经常会做甩手的动作，如图1拍摄了甩手的轨迹图，A，B，C是甩手动作最后3帧照片指尖的位置，测得A、B之间的距离为26cm，已知相邻两帧的时间间隔为0.04s，BM长度为51cm，BN长度为17cm，，图2是过程分析图，则指尖在B点的向心加速度约为（　　） A．5g B．8g C．15g D．25g 题型二：水平面内圆周运动 1.（25-26高三上·山东滨州·期末）某场地自行车圆形赛道的路面与水平面的夹角为，运动员骑自行车在半径为R的赛道上做匀速圆周运动，如图所示。不考虑空气阻力，重力加速度为g。若使自行车没有沿斜面向上或向下的运动趋势，运动员骑行的速率应为（　　） A． B． C． D． 2.（25-26高三上·河北·月考）现在很多健身设备智能化，一种自动计数的呼啦圈深受人们欢迎，如图甲，腰带外侧带有轨道，轨道内有一滑轮，滑轮与细绳连接，细绳的另一端连接配重，其模型简化如图乙所示，已知配重质量为1kg，绳长为0.3m，悬挂点到腰带中心的距离为0.12m，水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重在水平面内做匀速圆周运动。不计一切阻力，绳子与竖直方向夹角，配重距离地面高度为0.8m，取，，，下列说法正确的是（　　） A．绳的拉力大小为 B．配重做圆周运动的角速度为4rad/s C．配重做圆周运动的线速度的大小为1.5m/s D．若配重不慎脱落，脱落后平抛的水平位移大小为0.8m 3.（多选）（25-26高三上·云南保山·期末）陶艺拉坯是手工艺术中非常古老的一种技艺。它是靠着手部技巧和丰富的经验，将坯料转变成各种形状的陶器。如图为某次制陶时的简化模型：拉坯机带动漏斗状陶坯绕竖直对称轴匀速转动，倾斜侧壁的倾角为。将一小团陶泥P放在倾斜侧壁上，在拉坯机的角速度缓慢增大的过程中，陶泥始终能相对于陶坯静止。则在这一过程中，下列说法正确的是（    ） A．倾斜侧壁对陶泥P的支持力大小一定一直增大 B．倾斜侧壁对陶泥P的作用力大小一定一直减小 C．倾斜侧壁对陶泥P的摩擦力大小一定一直减小 D．倾斜侧壁对陶泥P的摩擦力大小可能先减小后增大 4.（多选）（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系，使抛物线形状的光滑杆顶点和对称轴分别与坐标系原点和轴重合，对应的方程为。现在杆所处的空间区域内施加的匀强磁场或的匀强电场，将一质量，带电量为的光滑小圆环套在足够长的杆上，并让杆绕轴做匀速圆周运动。若杆转动的角速度大小取某个特殊值时，小圆环能在杆上任意位置相对杆静止，则场的方向和杆转动的角速度是（　　） A．匀强电场方向竖直向下， B．匀强电场方向水平向左， C．匀强磁场方向竖直向上， D．匀强磁场方向垂直纸面向外， 总结提升 题型三：竖直面内圆周运动 1.（多选）（2026·河北·一模）学习小组利用力传感器研究摆球的受力情况。细线下端连接小球，上端穿过光滑的小孔与力传感器连接。图甲让小球在同一竖直面摆动形成单摆，图乙让小球在同一水平面转动形成圆锥摆。小球质量、摆长及摆角均相同，图甲中摆线拉力随时间变化图像如图丙所示，拉力最小值及最大值分别为F1、F2。不计摩擦及空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球的重力为 B．摆角的余弦值为 C．图乙中摆线拉力大小为 D．由F1、F2可求出摆长 2.（多选）（25-26高三上·海南·期末）如图所示，内、外壁均光滑、半径为R的圆轨道固定在竖直面内，O是轨道的圆心，NQ是竖直直径。甲、乙两小球（均视为质点）分别在轨道内、外壁上的Q、P两点，半径OP与竖直方向的夹角为37°，重力加速度为g，，下列说法正确的是（　　） A．若甲在Q点获得一水平向右的速度，正好能到达N点，则在N点的速度为0 B．若甲在Q点获得一水平向右的速度，正好能到达N点，则在Q点的速度大小为 C．若乙球在P点获得大小为沿切线斜向右上方的速度，则刚好能到达N点 D．若乙球在P点获得大小为沿切线斜向右上方的速度，则在P点对轨道刚好无压力 3.（25-26高三上·山东青岛·期中）某款游乐装置的模型如图所示，半径为R的光滑金属圆环固定在竖直平面内，一套在圆环顶端的小环由静止释放后，沿圆环轨道自由下滑。已知重力加速度大小为g，小环可视为质点，则下滑过程中小环的线速度大小v与其到圆环顶端距离L的关系为（　　） A． B． C． D． 4.（25-26高三下·云南昆明·月考）如图，某科技小组同学设计了一款游戏装置，圆心为O、半径为R的光滑圆轨道固定在竖直面内，在O点正上方距O点处有一固定的水平转轴A。套在轨道上的小球通过轻弹簧与转轴A连接，初始时，小球位于轨道的最高点，现给小球一个大小为、水平向右的初速度，小球沿圆轨道运动。已知弹簧的劲度系数为、原长为R，小球的质量为m且视为质点，重力加速度大小为g。求： (1)小球获得初速度的瞬间，小球受到轨道的弹力F的大小； (2)小球运动到轨道最低点时的速度v的大小； (3)若换用劲度系数k不同、原长仍为R的轻弹簧进行游戏，小球的初速度不变，则小球在轨道的最高点和最低点受到轨道的弹力大小之差的绝对值为多少？（结果可用k表示） 总结提升 1.解题技巧 (1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程； (2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系； (3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力． 2.竖直面及倾斜面内的圆周运动 轻绳模型 最高点FT＋mg＝m 恰好通过最高点，绳的拉力恰好为0 轻杆模型 最高点mg±F＝m 恰好通过最高点，杆对小球的力等于小球重力 带电小球在叠加场中的圆周运动 等效法 关注六个位置的动力学方程，最高点、最低点、等效最高点、等效最低点，最左边和最右边位置 恰好通过等效最高点；恰好做完整圆周运动 5.（多选）（25-26高三上·河北保定·月考）一种力学探究装置如图甲所示，光滑斜面与水平面间的夹角，斜面内固定一半径为的光滑圆轨道，为圆轨道的圆心，为与平行的水平直径。置于圆轨道最低点的小球（可视为质点）获得大小不同的水平初速度后，小球沿轨道运动至某一位置时，小球与轨道间恰无作用力，设此时小球与点的连线与的夹角为，已知重力加速度为，若得到的与的关系图像如图乙所示，则下列说法中正确的是（　　） A．满足条件的最小值为 B．满足条件的最大值为 C．该图线的斜率等于3 D．该图线纵轴上的截距等于1 6.（多选）（25-26高三上·河南商丘·月考）如图1所示，倾斜圆盘绕过其中心的转轴匀速转动，圆盘上距离转轴处放置有一可视为质点的物块，物块相对圆盘保持静止。图2所示为物块在随圆盘转动的过程中所受摩擦力大小的平方随时间变化的图线，图中、两时刻的时间间隔。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，取10。下列判断中正确的是（    ） A．物块所受向心力大小一定为3N B．圆盘的倾角可能为30° C．物块的质量可能为 D．时刻摩擦力一定指向圆心 7.（多选）（2023·山东青岛·一模）如图，两端开口的圆筒与水平地面成一定角度倾斜放置。是圆筒的中轴线，M、N是筒壁上的两个点，且。一个可视为质点的小球自M点正上方足够高处自由释放，由M点无碰撞进入圆筒后一直沿筒壁运动，a、b、c是小球运动轨迹依次与MN的交点。小球从M到a用时t1，从a到b用时t2，从b到c用时t3，小球经过a、b、c时对筒壁压力大小分别为Fa、Fb、Fc，lMa、lab、lbc表示M、a、b、c相邻两点间的距离，不计一切摩擦和空气阻力。下列说法正确的是（　　）    A．== B． C． D． 题型四：临界极值问题 1.（多选）（25-26高三上·山东威海·期中）如图所示，两相同木块和放在水平转盘上，二者用长为的不可伸长的细绳连接，A到转盘中心的距离为，两木块与转盘的最大静摩擦力等于各自重力的倍，重力加速度为。整个装置能绕通过转盘中心的竖直转轴转动，开始时绳刚好伸直，现使装置的角速度由零开始缓慢增大，下列说法正确的是（　　） A．当时，绳上开始产生张力 B．当时，受的摩擦力为0 C．当，A受的摩擦力先增大后减小 D．当时，、相对转盘开始滑动 2.（多选）（25-26高三上·内蒙古·期中）如图所示，水平圆盘上放置一个质量为的小物块，物块通过长的轻绳连接到竖直转轴上的定点，此时轻绳恰好伸直，与转轴成角。现使整个装置绕转轴缓慢加速转动（轻绳不会绕到转轴上），角速度从零开始缓慢增大，直到物块刚好要脱离圆盘。已知物块与圆盘间的动摩擦因数为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小。下列说法正确的是（　　） A．当时，轻绳对物块的弹力随角速度的增大而增大 B．物块刚好要脱离圆盘时角速度，轻绳对物块的弹力为 C．圆盘与物块间的摩擦力先增大后减小 D．圆盘对物块的支持力始终等于物块受到的重力 3.（25-26高三上·云南昆明·月考）如图所示，倾角的斜面体固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，斜面最低点与转轴点重合，质量均为可视为质点的两个小物块、随转台一起匀速转动，、到的距离均为1.25m，与接触面之间的动摩擦因数均为0.5，取，，，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（    ） A．为保持与转台相对静止，角速度的最大值为 B．为保持与斜面体相对静止，角速度的最大值为 C．当角速度等于时，斜面对无摩擦力 D．要保持、随转台一起匀速转动，转台的角速度范围为 4.（25-26高三上·山东青岛·期中）如图甲为青岛海上嘉年华摩天轮，是青岛的地标景观，其简化图如图乙所示。某游客乘坐摩天轮随座舱在竖直平面内做半径为的匀速圆周运动，座位始终保持水平，游客与座位之间的动摩擦因数为且始终保持相对静止。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，则座舱做圆周运动的速率不能超过（　　） A． B． C． D． 总结提升 1．运动特点 (1)运动轨迹是水平面内的圆． (2)合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运动． 2．过程分析 重视过程分析，在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体的受力可能发生变化，转速继续变化，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速增大而逐渐达到最大值、弹簧弹力大小方向发生变化等，从而出现临界问题． 3．方法突破 (1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力． (2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零． (3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等． 4．解决方法 当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解． 题型五：开普勒定律和万有引力定律的应用 1.（25-26高三下·江西赣州·月考）2025年11月5日，神舟二十号返回舱从空间站分离，开启返回地球的旅程，在返回地球的过程中有一段时间其运动轨迹是椭圆，绕行方向如图所示，地球位于椭圆的焦点O上。假设每隔时间记录一次返回舱的位置，记录点如图所示，已知E为椭圆轨道的中心，AB、CD分别为椭圆的长轴和短轴，AB的距离为2a，CD的距离为2b，且满足，椭圆的面积公式为，则返回舱从D运动到C的最短时间为（　　） A． B． C． D． 2.（25-26高三下·广西·期中）哈雷彗星绕太阳运行的椭圆轨道半长轴为，周期为；鹊桥二号绕月球运行的椭圆轨道半长轴为，周期为，则太阳和月球的质量之比为（　　） A． B． C． D． 3.（2026·河南安阳·三模）2025年8月在距离地球最近的恒星系统中发现了一颗气态巨行星，该巨行星位于宜居带内，可能拥有卫星，这些卫星未来可能成为搜寻生命的目标。若该巨行星的半径为R，某卫星在距该巨行星表面高度为h的圆形轨道上运行，运行周期为T，引力常量为G。则（　　） A．该巨行星的质量为 B．该巨行星的密度为 C．该巨行星表面的重力加速度为 D．从该巨行星表面发射探测器，最小发射速度为 4.（2026·江西·模拟预测）某天文爱好者观测绕地球做匀速圆周运动的卫星，测出各个卫星的周期T及其对应的轨道半径r，作出图像如图所示，已知地球的半径为R，引力常量G为已知，则下列说法正确的是（    ） A．地球的质量为 B．地球的第一宇宙速度为 C．地球表面的重力加速度为 D．若月球绕地球做匀速圆周运动的周期为，则其轨道半径为 5.（25-26高三下·山东菏泽·月考）人造地球卫星和地心连线与地面的交点称为星下点，如图甲所示。卫星运动和地球自转使星下点在地球表面移动，形成星下点轨迹。图乙和图丙显示了两颗人造地球卫星A、B的星下点轨迹，箭头指向为轨迹移动方向，两颗卫星的轨道均可近似为圆。由图中信息可得（　　） A．两卫星绕地球转动方向相反 B．A、B两卫星的运动周期之比为1：2 C．A、B两卫星距地球表面高度之比为1： D．卫星B星下点轨迹每天经过赤道3次 题型六：卫星参数对比 1.（25-26高三下·安徽·月考）如图所示，地球赤道上方有两颗卫星A、B，轨道半径分别为、，其中（），若卫星A的周期为，则卫星B的周期为（　　） A． B． C． D． 2.（25-26高三上·安徽马鞍山·期中）自1970年4月24日中国第一颗人造卫星“东方红一号”的成功发射，我国已发射各式卫星、飞船、空间站等人造天体600余颗，航天事业取得了举世瞩目的伟大成就。如图所示，为地球赤道上的物体，为近地空间站，为中轨道极地卫星，为地球同步轨道卫星，则下列说法中正确的是（　　） A．的向心加速度比的向心加速度大 B．、、、周期的关系为 C．、、、线速度大小关系为 D．、、与地心的连线在相同的时间内扫过的面积都相同 题型七：卫星变轨 1.（2026·湖南郴州·模拟预测）2026年1月16日在某次商业航天任务中，谷神星一号海射型运载火箭成功将“天启星座”06组卫星送入预定轨道。假设其中一颗卫星的简化变轨过程如图所示，先将卫星送入圆形轨道Ⅰ，在a点发动机点火加速，卫星由轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，卫星在椭圆轨道Ⅱ上经过b点再次变轨进入圆轨道Ⅲ，已知卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ上运行速度的大小之比为，在椭圆轨道Ⅱ上运行经过近地点a时速度大小为、远地点b时速度大小为，则下列说法正确的是（　　） A．卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ上运行的轨道半径之比 B．卫星在椭圆轨道Ⅱ上运动时，过a点和b点的速度大小之比 C．卫星在轨道Ⅱ上运行过b点的加速度等于轨道Ⅲ上运行过b点的加速度 D．卫星在轨道Ⅱ上从a点运动到b点的过程中，其线速度、加速度、机械能均减小 2.（25-26高三上·山东青岛·期末）2025年11月25日，神舟二十二号飞船顺利发射升空，成功与中国空间站对接，其对接原理图如图所示。飞船先由近地圆轨道Ⅰ的点进入椭圆轨道Ⅱ，再从椭圆轨道Ⅱ的点调整至圆轨道Ⅲ。已知近地圆轨道的半径近似等于地球的半径，轨道Ⅲ的半径为，飞船质量为，地球质量为，飞船在地球周围的引力势能，为引力常量。飞船从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅲ稳定运行的过程中发动机所做的功为（　　） A． B． C． D． 3.（多选）（25-26高三下·山东济南·月考）如图甲所示，2024年1月9日我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将爱因斯坦探针卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。假设爱因斯坦探针卫星发射简化过程如图乙所示，先将卫星送入圆形轨道Ⅰ，在点发动机点火加速，卫星由轨道Ⅰ进入近地点高度为、远地点高度为的椭圆轨道Ⅱ，卫星在椭圆轨道Ⅱ上经过点的速度大小为，然后再变轨进入圆轨道Ⅲ，卫星在轨道Ⅲ上的运行周期为。已知是椭圆轨道Ⅱ的长轴，地球的半径为，引力常量为，则下列说法正确的是（   ） A．地球的密度为 B．卫星在轨道Ⅱ上点的速度小于轨道Ⅲ上运动的速度 C．卫星在轨道Ⅱ上的运行周期为 D．卫星在轨道Ⅱ上经过点时的速度大小为 4.（多选）（25-26高三下·河北沧州·月考）中国计划在2030年前实现载人登月，开展月球科学考察及相关技术试验。根据“嫦娥”系列卫星的发射，设想登月载人飞船的运行轨迹如图所示。质量为的飞船发射后首先进入绕地球运行的圆形“停泊轨道”，在点加速进入椭圆“过渡轨道”，该轨道离地球表面的最近距离为，飞船到达离点最远距离为的点时，依靠飞船的反向助推器减速，被月球引力“俘获”后，在距月球表面的圆形“绕月轨道”上飞行，择机降落在月球表面。已知地球半径为，月球半径为为椭圆轨道的短轴，地球表面的重力加速度为，月球表面的重力加速度为，飞船在“过渡轨道”运行时忽略月球引力影响。下列说法正确的是（　　） A．飞船在“停泊轨道”上运行速度为 B．飞船在“过渡轨道”上运行周期为 C．、两点的速度方向垂直于地心与月心的连线 D．若飞船在“过渡轨道”点的动能为，则被月球“俘获”过程中助推器需要做功 题型八：双星系统和多星系统 1.（25-26高三上·河南驻马店·期末）如图所示，太阳系以外的两个相距较远的星球A和星球B组成双星系统，A、B的质量分别为和，它们以两者连线上的某一点O为圆心做匀速圆周运动。两星球间的距离为L，且，引力常量为G，星球A和星球B均可视为质点，下列说法正确的是（　　） A． B．星球A做匀速圆周运动所需的向心力比星球B做匀速圆周运动所需的向心力小 C．星球A的转动周期为 D．星球A的转动角速度为 2.（2024·湖南长沙·二模）据报道，中国科学院上海天文台捕捉到一个“四星系统”。两种可能的四星系统构成如图所示，第一种如甲所示，四颗星稳定地分布在正方形上，均绕正方形中心做匀速圆周运动，第二种如乙所示，三颗星位于等边三角形的三个顶点上，第四颗星相对其他三星位于三角形中心，位于顶点的三颗星绕三角形中心运动。若两系统中所有星的质量都相等，AB = CD，则第一、二种四星系统周期的比值为（　　） A． B． C． D． 3.（多选）（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）如图所示，拉格朗日点、位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。设地球的质量为月球的倍，地月间距为，拉格朗日点与月球间距为，“鹊桥”中继星处于拉格朗日点上，地球、月球和“鹊桥”均视为质点，月球做圆周运动的向心力可认为只由地球的引力提供，忽略太阳对“鹊桥”中继星的引力。下列选项正确的是（　　） A．“鹊桥”与月球的线速度之比为 B．“鹊桥”与月球的向心加速度之比为 C．之间关系为 D．之间关系为 三、终达彼岸——直击高考 一、单选题 1．（2025·重庆·高考真题）“魔幻”重庆的立体交通层叠交错，小明选取其中两条线探究车辆的运动。如图所示，轻轨列车与汽车以速度分别从M和N向左同时出发，列车做匀速直线运动，汽车在长为s的NO段做匀减速直线运动并以速度进入半经为R的OP圆孤段做匀速圆周运动。两车均视为质点，则（　　） A．汽车到O点时，列车行驶距离为s B．汽车到O点时，列车行驶距离为 C．汽车在OP段向心加速度大小为 D．汽车在OP段向心加速度大小为 2．（2025·安徽·高考真题）在竖直平面内，质点M绕定点O沿逆时针方向做匀速圆周运动，质点N沿竖直方向做直线运动，M、N在运动过程中始终处于同一高度。时，M、N与O点位于同一直线上，如图所示。此后在M运动一周的过程中，N运动的速度v随时间t变化的图像可能是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·山东·高考真题）某同学用不可伸长的细线系一个质量为的发光小球，让小球在竖直面内绕一固定点做半径为的圆周运动。在小球经过最低点附近时拍摄了一张照片，曝光时间为。由于小球运动，在照片上留下了一条长度约为半径的圆弧形径迹。根据以上数据估算小球在最低点时细线的拉力大小为（　　） A． B． C． D． 4．（多选）（2025·广东·高考真题）将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。已知圆周运动半径R为，小球所在位置处的切面与水平面夹角为，小球质量为，重力加速度g取。关于该小球，下列说法正确的有（    ） A．角速度为 B．线速度大小为 C．向心加速度大小为 D．所受支持力大小为 5．（多选）（2025·山东·高考真题）如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心，半径R1=5m的圆形区域，OO′垂直地面，无人机在离地面高度H=20m的空中绕O′点、平行地面做半径R2=3m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO′B=90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g=10m/s2。下列说法正确的是（　　） A． B． C．无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地 D．无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地 6．（2024·广东·高考真题）如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖。使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为（　　） A． B． C． D． 7．（2025·江西·高考真题）为避免火车在水平面上过弯时因内外轨道半径不同致使轮子打滑造成危险（不考虑离心问题），把固定连接为一体的两轮设计成锥顶角很小的圆台形，如图所示。设铁轨间距为L，正常直线行驶时两轮与铁轨接触处的直径均为D，过弯时内外轨间中点位置到轨道圆心的距离为过弯半径R。在很小时，。若在水平轨道过弯时要求轮子不打滑且横向偏移量不超过，则最小过弯半径R为（　　） A． B． C． D． 8．（2025·北京·高考真题）2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道、为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（　　） A．在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小 B．在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大 C．在轨道2上机械能与在轨道1上相等 D．利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量 9．（2025·贵州·高考真题）一质量为的人造卫星绕地球做轨道半径为的匀速圆周运动。由于存在稀薄空气，经过一段时间后，卫星做圆周运动的轨道半径变为。已知地球的质量为，引力常量为，则在该段时间内人造卫星所受力的合力做的功为（  ） A． B． C． D． 10．（2025·四川·高考真题）某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，万有引力常量为G。则该卫星轨道半径为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·重庆·高考真题）“金星凌日”时，从地球上看，金星就像镶嵌在太阳表面的小黑点。在地球上间距为d的两点同时观测，测得金星在太阳表面的小黑点相距为L，如图所示。地球和金星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，太阳直径远小于金星的轨道半径，则地球和金星绕太阳运动的（　　） A．轨道半径之比为 B．周期之比为 C．线速度大小之比为 D．向心加速度大小之比为 12．（2025·甘肃·高考真题）如图，一小星球与某恒星中心距离为R时，小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．若，小星球做匀速圆周运动 B．若，小星球做抛物线运动 C．若，小星球做椭圆运动 D．若，小星球可能与恒星相撞 13．（2025·湖南·高考真题）我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理量得到。下列选项正确的是（　　） A．a为为为 B．a为为为 C．a为为为 D．a为为为 14．（2025·河北·高考真题）随着我国航天事业飞速发展，人们畅想研制一种核聚变能源星际飞行器。从某星球表面发射的星际飞行器在飞行过程中只考虑该星球引力，不考虑自转，该星球可视为质量分布均匀的球体，半径为，表面重力加速度为。质量为m的飞行器与星球中心距离为r时，引力势能为。要使飞行器在距星球表面高度为的轨道上做匀速圆周运动，则发射初速度为（　　） A． B． C． D． 15．（2025·山东·高考真题）轨道舱与返回舱的组合体，绕质量为M的行星做半径为r的圆周运动，轨道舱与返回舱的质量比为。如图所示，轨道舱在P点沿运动方向向前弹射返回舱，分开瞬间返回舱相对行星的速度大小为，G为引力常量，此时轨道舱相对行星的速度大小为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·浙江·高考真题）地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示，彗星从a运行到b、从c运行到d的过程中，与太阳连线扫过的面积分别为和，且。彗星在近日点与太阳中心的距离约为地球公转轨道半径的0.6倍，则彗星（　　） A．在近日点的速度小于地球的速度 B．从b运行到c的过程中动能先增大后减小 C．从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间 D．在近日点加速度约为地球的加速度的0.36倍 17．（2024·重庆·高考真题）在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体（图中未画出）质量为m（m << M），若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则（   ） A．c的线速度大小为a的倍 B．c的向心加速度大小为b的一半 C．c在一个周期内的路程为2πr D．c的角速度大小为 18．（2024·浙江·高考真题）与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则（　　） A．小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度 B．小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度 C．小行星甲与乙的运行周期之比 D．甲乙两星从远日点到近日点的时间之比= 19．（2022·福建·高考真题）2021年美国“星链”卫星曾近距离接近我国运行在距地近圆轨道上的天宫空间站。为避免发生危险，天宫空间站实施了发动机点火变轨的紧急避碰措施。已知质量为m的物体从距地心r处运动到无穷远处克服地球引力所做的功为，式中M为地球质量，G为引力常量；现将空间站的质量记为，变轨前后稳定运行的轨道半径分别记为、，如图所示。空间站紧急避碰过程发动机做的功至少为（　　） A． B． C． D． 20．（多选）（2025·浙江·高考真题）月球有类似于地球的南北两极和纬度。如图所示，月球半径为R，表面重力加速度为，不考虑月球自转。从月球北极正上方水平发射一物体，要求落在纬度的M处，其运动轨迹为椭圆的一部分。假设月球质量集中在球心O点，如果物体沿椭圆运动的周期最短，则（　　） A．发射点离月面的高度 B．物体沿椭圆运动的周期为 C．此椭圆两焦点之间的距离为 D．若水平发射的速度为v，发射高度为h，则物体落到M处的速度 21．（多选）（2023·福建·高考真题）人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日L2点附近，L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O（图中未标出）转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M和m，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，万有引力常数为G，L2点到地心的距离记为r（r << R），在L2点的航天器绕O点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是（   ）[可能用到的近似] A． B． C． D． 22．（2023·福建·高考真题）一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度，杆与竖直转轴的夹角a始终为，弹簧原长，弹簧劲度系数，圆环质量；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取，摩擦力可忽略不计 （1）若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离； （2）求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小； （3）求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。 23．（2024·江西·高考真题）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图（a）、（b）所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅（视为质点）。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为，重力加速度为g，不计空气阻力。 （1）在图（a）中，若圆盘在水平雪地上以角速度匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为的匀速圆周运动。求与之间夹角的正切值。 （2）将圆盘升高，如图（b）所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕点做半径为的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为，绳子在水平雪地上的投影与的夹角为。求此时圆盘的角速度。 24．（2025·安徽·高考真题）如图，M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距。一根长为的轻绳一端系在M上，另一端竖直悬挂质量的小球，小球与水平地面接触但无压力。时，小球以水平向右的初速度开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、M，运动到M正下方与M相距L的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g取。 (1)求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小； (2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离； (3)若在时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 三轮冲刺：圆周运动和天体运动 一、巩固基础——知识梳理 2 （一）水平面内圆周运动 2 （二）竖直面内圆周运动 2 （三）开普勒定律 3 （四）人造卫星参数 3 （五）宇宙速度 4 （六）卫星的发射和变轨 4 二、归纳整合——模型构建 6 题型一：圆周运动基本物理量 6 题型二：水平面内圆周运动 8 题型三：竖直面内圆周运动 13 题型四：临界极值问题 21 题型五：开普勒定律和万有引力定律的应用 26 题型六：卫星参数对比 31 题型七：卫星变轨 33 题型八：双星系统和多星系统 38 三、终达彼岸——直击高考 44 一、巩固基础——知识梳理 （一）水平面内圆周运动 运动模型 向心力的来源图示 汽车在水平路面转弯 水平转台(光滑) 圆锥摆 飞车走壁 飞机水平转弯 火车转弯 （二）竖直面内圆周运动 轻绳模型(最高点无支撑) 轻杆模型(最高点有支撑) 实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 图示 受力示意图 F弹向下或等于零 F弹向下、等于零或向上 力学方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m 临界特征 F弹＝0 mg＝m 即vmin＝ v＝0 即F向＝0 F弹＝mg 讨论分析 (1)最高点，若v≥，F弹＋mg＝m，绳或轨道对球产生弹力F弹 (2)若v<，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，F弹＝mg，F弹背离圆心 (2)当0<v<时，mg－F弹＝m，F弹背离圆心并随v的增大而减小 (3)当v＝时，F弹＝0 (4)当v>时，mg＋F弹＝m，F弹指向圆心并随v的增大而增大 （三）开普勒定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量 （四）人造卫星参数 1．天体(卫星)运行问题分析 将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供． 2．物理量随轨道半径变化的规律 G＝ 即r越大，v、ω、a越小，T越大．(越高越慢) （五）宇宙速度 第一宇宙速度(环绕速度) v1＝7.9 km/s，是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度 第二宇宙速度(逃逸速度) v2＝11.2 km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 v3＝16.7 km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度 （六）卫星的发射和变轨 在地面 附近静止 忽略自转：G＝mg，故GM＝gR2(黄金代换式) 考虑自转 两极：G＝mg 赤道：G＝mg0＋mω2R 卫星的 发射 第一宇宙速度：v＝＝＝7.9 km/s (天体) 卫星在 圆轨道 上运行 G＝Fn＝ 越高越慢，只有T与r变化一致 变轨 (1)由低轨变高轨，瞬时点火加速，稳定在高轨道上时速度较小、动能较小、机械能较大；由高轨变低轨，反之 (2)卫星经过两个轨道的相切点，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度 (3)根据开普勒第三定律，半径(或半长轴)越大，周期越长 二、归纳整合——模型构建 题型一：圆周运动基本物理量 1.（25-26高三下·广西·期中）如图所示，有人设计了一种没有链条的自行车，传动系统由5个相互啮合的齿轮构成，最后面的一个齿轮e与后轮轮轴相连。在主动轮a以恒定角速度顺时针转动的前提下，以下说法正确的是（　　） A．中间3个齿轮换成4个半径稍小的齿轮，自行车仍然向前运动 B．自行车前进速度只由a、e两轮的半径决定，与中间3个齿轮的半径无关 C．把b换成半径小的齿轮、c换成半径大的齿轮，自行车的速度会增大 D．把c换成半径小的齿轮、d换成半径大的齿轮，自行车的速度会减小 【答案】B 【详解】A．中间3个齿轮改为4个齿轮之后，骑行者骑车时，正常踏动脚蹬，自行车就会后退，所以中间齿轮只能是奇数，不能是偶数，A错误； BCD．所有齿轮边缘的线速度大小总是相等，中间齿轮无论半径如何，都不会改变a、e两轮的角速度之比，设车轮半径为R，则自行车的速度，与b、c、d的半径大小无关，则B正确，CD错误。 故选B。 2.（2026·广东广州·一模）图（a）所示的油纸伞是我国古人智慧的结晶。图（b）为其结构示意图，ON是一条可绕伞顶O转动的伞骨，伞撑两端分别与ON中点M和滑环P铰接。保持伞柄不动，向上推滑环P，使得伞骨ON以恒定角速度开伞，则（　　） A．M点的线速度方向总是沿PM方向 B．M点的向心加速度方向沿MP方向 C．N点线速度大小是M点的2倍 D．N点的向心加速度大小是M点的4倍 【答案】C 【详解】A．由题意可知，M点做匀速圆周运动，线速度方向始终沿圆周的切线方向，始终与ON垂直，而非沿PM方向，故A错误； B．由题意可知，ON是一条可绕伞顶O转动的伞骨，M点以O点为圆心做匀速圆周运动，所以向心加速度方向始终沿M指向圆心O，不是沿MP方向，故B错误； C．由匀速圆周运动规律可知 由于， 所以有 所以N点线速度大小是M点的2倍，故C正确； D．由向心加速度公式可知 由于， 所以有 所以N点的向心加速度大小是M点的2倍，故D错误。 故选C。 3.（2026·江西新余·一模）同学们洗完手后经常会做甩手的动作，如图1拍摄了甩手的轨迹图，A，B，C是甩手动作最后3帧照片指尖的位置，测得A、B之间的距离为26cm，已知相邻两帧的时间间隔为0.04s，BM长度为51cm，BN长度为17cm，，图2是过程分析图，则指尖在B点的向心加速度约为（　　） A．5g B．8g C．15g D．25g 【答案】D 【分析】  “甩手”动作为了达到最大的甩干效果，在手臂挥到最低点附近时，通常会有一个快速的“甩腕”动作，以获得最大的指尖速度和加速度。题干中提到“A，B，C是甩手动作最后3帧照片”，这暗示拍摄的是最后的“甩腕”阶段。 在这个阶段，可以认为手臂的其他部分（如肘关节）运动较慢或已停止，主要运动是手绕着手腕（N点）的快速转动。因此，可以将指尖（B点）的运动近似为绕手腕（N点）的圆周运动。 由于时间间隔 Δt = 0.04s 很短，可以用A、B两点间的平均速度来近似B点的瞬时速度。 【详解】 r = BN = 17 cm = 0.17 m 将和r的值代入向心加速度公式： 。 题目中 所以，向心加速度约等于 25 故选D。 题型二：水平面内圆周运动 1.（25-26高三上·山东滨州·期末）某场地自行车圆形赛道的路面与水平面的夹角为，运动员骑自行车在半径为R的赛道上做匀速圆周运动，如图所示。不考虑空气阻力，重力加速度为g。若使自行车没有沿斜面向上或向下的运动趋势，运动员骑行的速率应为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】自行车没有沿斜面向上或向下的运动趋势，则自行车只受重力和路面对它的弹力，合力提供向心力 解得 故选A。 2.（25-26高三上·河北·月考）现在很多健身设备智能化，一种自动计数的呼啦圈深受人们欢迎，如图甲，腰带外侧带有轨道，轨道内有一滑轮，滑轮与细绳连接，细绳的另一端连接配重，其模型简化如图乙所示，已知配重质量为1kg，绳长为0.3m，悬挂点到腰带中心的距离为0.12m，水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重在水平面内做匀速圆周运动。不计一切阻力，绳子与竖直方向夹角，配重距离地面高度为0.8m，取，，，下列说法正确的是（　　） A．绳的拉力大小为 B．配重做圆周运动的角速度为4rad/s C．配重做圆周运动的线速度的大小为1.5m/s D．若配重不慎脱落，脱落后平抛的水平位移大小为0.8m 【答案】C 【详解】A．对配重进行受力分析，在竖直方向上有 解得绳的拉力大小为，故A错误； B．由题知，配重做匀速圆周运动，根据几何关系有 配重受到的合外力提供向心力，则有 解得，故B错误； C．配重做圆周运动的线速度，故C正确； D．配重不慎脱落后做平抛运动，平抛的初速度等于做圆周运动的线速度，在竖直方向上有 解得 平抛的水平位移，故D错误。 故选C。 3.（多选）（25-26高三上·云南保山·期末）陶艺拉坯是手工艺术中非常古老的一种技艺。它是靠着手部技巧和丰富的经验，将坯料转变成各种形状的陶器。如图为某次制陶时的简化模型：拉坯机带动漏斗状陶坯绕竖直对称轴匀速转动，倾斜侧壁的倾角为。将一小团陶泥P放在倾斜侧壁上，在拉坯机的角速度缓慢增大的过程中，陶泥始终能相对于陶坯静止。则在这一过程中，下列说法正确的是（    ） A．倾斜侧壁对陶泥P的支持力大小一定一直增大 B．倾斜侧壁对陶泥P的作用力大小一定一直减小 C．倾斜侧壁对陶泥P的摩擦力大小一定一直减小 D．倾斜侧壁对陶泥P的摩擦力大小可能先减小后增大 【答案】AD 【详解】ACD．分析陶泥P的受力，如图所示 由牛顿第二定律，水平方向有，竖直方向有 解得，，随着角速度的增加，支持力在缓慢变大，而摩擦力先减小再反向增大，AD正确，C错误； B．倾斜侧壁对陶泥P的作用力是指摩擦力与支持力的合力，如图所示 将其分解为水平方向和竖直方向两个分力，则有，，可知随着角速度的增加，水平分力逐渐增大，竖直分力不变，根据可知倾斜侧壁对陶泥P的作用力逐渐增大，B错误。 故选AD。 4.（多选）（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系，使抛物线形状的光滑杆顶点和对称轴分别与坐标系原点和轴重合，对应的方程为。现在杆所处的空间区域内施加的匀强磁场或的匀强电场，将一质量，带电量为的光滑小圆环套在足够长的杆上，并让杆绕轴做匀速圆周运动。若杆转动的角速度大小取某个特殊值时，小圆环能在杆上任意位置相对杆静止，则场的方向和杆转动的角速度是（　　） A．匀强电场方向竖直向下， B．匀强电场方向水平向左， C．匀强磁场方向竖直向上， D．匀强磁场方向垂直纸面向外， 【答案】AC 【详解】AB．设小圆环所在位置的横坐标为，则小圆环绕轴做匀速圆周运动的轨道半径为 作出抛物线在该位置的切线，设该切线与轴的夹角为，则切线的斜率为 抛物线的方程为 对函数求导，得 根据函数在某点的导数值，等于函数图像在该点处切线的斜率，有 小圆环能在杆上任意位置相对杆静止，则小圆环在水平方向和竖直方向受力的大小始终不变。所以匀强电场方向沿竖直方向，电场力的大小为 重力的大小 设杆对小圆环的支持力为，在竖直方向上，小圆环处于平衡状态，所以与方向相同，则匀强电场方向竖直向下，有 在水平方向上，由沿水平方向的分力提供向心力，有 联立解得，故A正确，B错误； CD．小圆环能在杆上任意位置相对杆静止，则小圆环在水平方向和竖直方向受力的大小始终不变。则小圆环所受洛伦兹力始终沿半径方向，根据左手定则可知，匀强磁场方向沿竖直方向，洛伦兹力的大小为 在竖直方向上，小圆环处于平衡状态，有 在水平方向上，由沿水平方向的分力和洛伦兹力的合力提供向心力，有 联立可得 在上式中可忽略不计，所以匀强磁场方向可竖直向上，也可竖直向下，解得，故C正确，D错误。 故选AC。 总结提升 题型三：竖直面内圆周运动 1.（多选）（2026·河北·一模）学习小组利用力传感器研究摆球的受力情况。细线下端连接小球，上端穿过光滑的小孔与力传感器连接。图甲让小球在同一竖直面摆动形成单摆，图乙让小球在同一水平面转动形成圆锥摆。小球质量、摆长及摆角均相同，图甲中摆线拉力随时间变化图像如图丙所示，拉力最小值及最大值分别为F1、F2。不计摩擦及空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球的重力为 B．摆角的余弦值为 C．图乙中摆线拉力大小为 D．由F1、F2可求出摆长 【答案】AB 【详解】AB．小球摆到最高点时，拉力最小，即 小球到达最低点时，拉力最大，则 小球由最高点运动到最低点，根据机械能守恒定律可得 联立可得，，故AB正确； C．图乙中摆线拉力大小为，故C错误； D．由以上分析可知，由F1、F2不能求出摆长l，故D错误。 故选AB。 2.（多选）（25-26高三上·海南·期末）如图所示，内、外壁均光滑、半径为R的圆轨道固定在竖直面内，O是轨道的圆心，NQ是竖直直径。甲、乙两小球（均视为质点）分别在轨道内、外壁上的Q、P两点，半径OP与竖直方向的夹角为37°，重力加速度为g，，下列说法正确的是（　　） A．若甲在Q点获得一水平向右的速度，正好能到达N点，则在N点的速度为0 B．若甲在Q点获得一水平向右的速度，正好能到达N点，则在Q点的速度大小为 C．若乙球在P点获得大小为沿切线斜向右上方的速度，则刚好能到达N点 D．若乙球在P点获得大小为沿切线斜向右上方的速度，则在P点对轨道刚好无压力 【答案】BC 【详解】A．由可得甲在N点的速度为，A错误； B．甲从Q到N，由机械能守恒定律可得 解得，B正确； C．乙从P到N由机械能守恒定律可得 解得，C正确； D．乙在P点时对轨道刚好无压力，把重力分别沿着OP和垂直OP分解，则沿着OP方向的分力充当向心力，则有 解得，D错误。 故选BC。 3.（25-26高三上·山东青岛·期中）某款游乐装置的模型如图所示，半径为R的光滑金属圆环固定在竖直平面内，一套在圆环顶端的小环由静止释放后，沿圆环轨道自由下滑。已知重力加速度大小为g，小环可视为质点，则下滑过程中小环的线速度大小v与其到圆环顶端距离L的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设小环下落过程中竖直方向与圆环顶端连线的夹角为，如图所示 由几何关系得 由动能定理有 解得 故选A。 4.（25-26高三下·云南昆明·月考）如图，某科技小组同学设计了一款游戏装置，圆心为O、半径为R的光滑圆轨道固定在竖直面内，在O点正上方距O点处有一固定的水平转轴A。套在轨道上的小球通过轻弹簧与转轴A连接，初始时，小球位于轨道的最高点，现给小球一个大小为、水平向右的初速度，小球沿圆轨道运动。已知弹簧的劲度系数为、原长为R，小球的质量为m且视为质点，重力加速度大小为g。求： (1)小球获得初速度的瞬间，小球受到轨道的弹力F的大小； (2)小球运动到轨道最低点时的速度v的大小； (3)若换用劲度系数k不同、原长仍为R的轻弹簧进行游戏，小球的初速度不变，则小球在轨道的最高点和最低点受到轨道的弹力大小之差的绝对值为多少？（结果可用k表示） 【答案】(1) (2) (3)当，弹力大小之差的绝对值为 当时，弹力大小之差的绝对值为　 当时，弹力大小之差的绝对值为　 【详解】（1）小球在轨道最高点时，根据牛顿第二定律有 又知， 所以，小球受到轨道的弹力大小为 （2）小球由轨道最高点运动到轨道最低点的过程中，根据能量守恒定律有 解得，小球运动到轨道最低点时的速度大小 （3）若换用劲度系数k不同、原长仍为R的轻弹簧进行游戏。 小球由轨道最高点运动到轨道最低点的过程中，根据能量守恒定律有 解得，小球运动到轨道最低点时的速度大小 小球在轨道最高点时，设轨道对小球的弹力方向指向圆心，且弹力大小为，根据牛顿第二定律有 解得 小球在轨道最低点时，设轨道对小球的弹力方向指向圆心，且弹力大小为，根据牛顿第二定律有 解得 当时，，弹力大小之差的绝对值为 当时，，弹力大小之差的绝对值为 当时，，弹力大小之差的绝对值为 总结提升 1.解题技巧 (1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程； (2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系； (3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力． 2.竖直面及倾斜面内的圆周运动 轻绳模型 最高点FT＋mg＝m 恰好通过最高点，绳的拉力恰好为0 轻杆模型 最高点mg±F＝m 恰好通过最高点，杆对小球的力等于小球重力 带电小球在叠加场中的圆周运动 等效法 关注六个位置的动力学方程，最高点、最低点、等效最高点、等效最低点，最左边和最右边位置 恰好通过等效最高点；恰好做完整圆周运动 5.（多选）（25-26高三上·河北保定·月考）一种力学探究装置如图甲所示，光滑斜面与水平面间的夹角，斜面内固定一半径为的光滑圆轨道，为圆轨道的圆心，为与平行的水平直径。置于圆轨道最低点的小球（可视为质点）获得大小不同的水平初速度后，小球沿轨道运动至某一位置时，小球与轨道间恰无作用力，设此时小球与点的连线与的夹角为，已知重力加速度为，若得到的与的关系图像如图乙所示，则下列说法中正确的是（　　） A．满足条件的最小值为 B．满足条件的最大值为 C．该图线的斜率等于3 D．该图线纵轴上的截距等于1 【答案】BD 【详解】小球沿轨道运动至与轨道间恰无作用力时，重力的分力提供向心力，则有 由动能定理 联立变形可得 当时的最小值为 当时的最大值为 得到的与的关系图像的斜率等于，纵轴上的截距等于1 故选BD。 6.（多选）（25-26高三上·河南商丘·月考）如图1所示，倾斜圆盘绕过其中心的转轴匀速转动，圆盘上距离转轴处放置有一可视为质点的物块，物块相对圆盘保持静止。图2所示为物块在随圆盘转动的过程中所受摩擦力大小的平方随时间变化的图线，图中、两时刻的时间间隔。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，取10。下列判断中正确的是（    ） A．物块所受向心力大小一定为3N B．圆盘的倾角可能为30° C．物块的质量可能为 D．时刻摩擦力一定指向圆心 【答案】BC 【详解】BC．图中、两时刻的时间间隔，所以周期 当在最高点，摩擦力指向圆心时：在时刻 在时刻 联立解得， 当在最高点，摩擦力背离圆心时：在时刻 联立解得， 此时，故BC正确； A．由于倾斜圆盘绕过其中心的转轴匀速转动，物块相对圆盘保持静止，则无论物块在哪里，当时， 物块所受向心力大小都为，当时，物块所受向心力大小都为，故A错误； D．时刻摩擦力最小，在最高点，可能指向圆心也可能背离圆心，故D错误。 故选BC。 7.（多选）（2023·山东青岛·一模）如图，两端开口的圆筒与水平地面成一定角度倾斜放置。是圆筒的中轴线，M、N是筒壁上的两个点，且。一个可视为质点的小球自M点正上方足够高处自由释放，由M点无碰撞进入圆筒后一直沿筒壁运动，a、b、c是小球运动轨迹依次与MN的交点。小球从M到a用时t1，从a到b用时t2，从b到c用时t3，小球经过a、b、c时对筒壁压力大小分别为Fa、Fb、Fc，lMa、lab、lbc表示M、a、b、c相邻两点间的距离，不计一切摩擦和空气阻力。下列说法正确的是（　　）    A．== B． C． D． 【答案】AB 【详解】A．由题意可知，小球自M点正上方足够高处自由释放，由M点无碰撞进入圆筒后，其速度可分解为沿筒壁转动的速度和沿筒壁下滑的初速度，因圆筒倾斜放置，小球在圆筒中有沿筒壁向下的重力分力，因此小球在圆筒截面方向做圆周转动的同时又沿筒壁向下做初速度不为零的匀加速直线运动，又由于a、b、c是小球运动轨迹依次与MN的交点，表明经过相邻点过程圆周运动分运动恰好完成一个圆周，因为圆周运动转动周期相等，根据分运动的等时性有 故A正确； BC．小球在圆筒截面方向做圆周运动，由于，则a、b、c三点可以等效为沿圆筒截面方向做圆周运动轨迹的同一位置，即a、b、c三点圆周运动的线速度相等，又由于在a、b、c三点位置，重力沿圆筒截面的分力恰好沿截面的切线方向，可知由筒壁的弹力提供圆周运动的向心力，而圆周运动的半径相同，根据向心力公式 可知，筒壁对小球的弹力大小相等，由牛顿第三定律可知，小球对筒壁的压力大小相等，则有 故B正确，C错误； D．根据上述可知，小球沿筒壁向下做初速度不为零的匀加速直线运动，由位移时间公式有 可知 故D错误。 故选AB。 题型四：临界极值问题 1.（多选）（25-26高三上·山东威海·期中）如图所示，两相同木块和放在水平转盘上，二者用长为的不可伸长的细绳连接，A到转盘中心的距离为，两木块与转盘的最大静摩擦力等于各自重力的倍，重力加速度为。整个装置能绕通过转盘中心的竖直转轴转动，开始时绳刚好伸直，现使装置的角速度由零开始缓慢增大，下列说法正确的是（　　） A．当时，绳上开始产生张力 B．当时，受的摩擦力为0 C．当，A受的摩擦力先增大后减小 D．当时，、相对转盘开始滑动 【答案】BCD 【详解】A．由题意A到转盘中心的距离为L，则B到转盘中心的距离为2L，根据可知B先达到最大静摩擦力。当B达到最大静摩擦力时，绳上开始出现张力，此时对B有 解得，故A错误； BCD．由A知，当时两木块相对转盘静止，由各自静摩擦力提供向心力，且静摩擦力随着角速度的增大而增大；当后，绳上开始出现张力且在增大，A的向心力由绳张力和静摩擦力提供，因而静摩擦力开始减小，直到减小为0。此时， 可得 可知当时A的摩擦力随角速度的增大而减小。 当后A的摩擦力开始反向增大，达到最大静摩擦力后A、B相对转盘开始滑动，当A达到最大静摩擦力时，A、B相对转盘开始滑动；此时对A有 对B有 解得，故B错误，CD正确。 故选BCD。 2.（多选）（25-26高三上·内蒙古·期中）如图所示，水平圆盘上放置一个质量为的小物块，物块通过长的轻绳连接到竖直转轴上的定点，此时轻绳恰好伸直，与转轴成角。现使整个装置绕转轴缓慢加速转动（轻绳不会绕到转轴上），角速度从零开始缓慢增大，直到物块刚好要脱离圆盘。已知物块与圆盘间的动摩擦因数为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小。下列说法正确的是（　　） A．当时，轻绳对物块的弹力随角速度的增大而增大 B．物块刚好要脱离圆盘时角速度，轻绳对物块的弹力为 C．圆盘与物块间的摩擦力先增大后减小 D．圆盘对物块的支持力始终等于物块受到的重力 【答案】AC 【详解】CD．较小时，轻绳无弹力，静摩擦力提供向心力 静摩擦力随角速度的增大而增大。 当达到最大静摩擦力时 解得 角速度由继续增大，轻绳弹力增大，圆盘对物块的支持力减小，D错误； 角速度由继续增大，静摩擦力减小。 所以圆盘与物块间的摩擦力先增大后减小，C正确； AB．角速度由继续增大，轻绳弹力增大，圆盘对物块的静摩擦力减小，物块刚好要脱离圆盘时静摩擦力为零，此时， 解得，，B错误； 当时，物块始终与水平圆盘相对静止，轻绳对物块的弹力随角速度的增大而增大，A正确。 故选AC。 3.（25-26高三上·云南昆明·月考）如图所示，倾角的斜面体固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，斜面最低点与转轴点重合，质量均为可视为质点的两个小物块、随转台一起匀速转动，、到的距离均为1.25m，与接触面之间的动摩擦因数均为0.5，取，，，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（    ） A．为保持与转台相对静止，角速度的最大值为 B．为保持与斜面体相对静止，角速度的最大值为 C．当角速度等于时，斜面对无摩擦力 D．要保持、随转台一起匀速转动，转台的角速度范围为 【答案】B 【详解】A．为保持与转台相对静止，设角速度的最大值为，则有 解得，故A错误； B．为保持与斜面体相对静止，当物块P恰好不上滑时，有最大角速度，设角速度的最大值为，则水平方向有 竖直方向有 又因为 联立解得，故B正确； C．当斜面对无摩擦力时，设此时角速度为，则水平方向有 竖直方向有 联立解得，故C错误； D．为保持P与斜面体相对静止，当物块P恰好不下滑时，有最小角速度，设最小角速度为，则水平方向有 竖直方向有 又因为 联立解得 所以要保持、随转台一起匀速转动，转台的角速度范围为，故D错误。 故选B。 4.（25-26高三上·山东青岛·期中）如图甲为青岛海上嘉年华摩天轮，是青岛的地标景观，其简化图如图乙所示。某游客乘坐摩天轮随座舱在竖直平面内做半径为的匀速圆周运动，座位始终保持水平，游客与座位之间的动摩擦因数为且始终保持相对静止。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，则座舱做圆周运动的速率不能超过（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，则加速度的水平方向分量是由摩擦力产生的，加速度的竖直分量是由重力和支持力的合力产生，设当座舱与圆心连线与竖直方向的夹角为θ时，根据动力学关系有μN=mω2Rsinθ，mg-N=mω2Rcosθ 联立求得 根据数学方法可知 则线速度最大值 故选B。 总结提升 1．运动特点 (1)运动轨迹是水平面内的圆． (2)合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运动． 2．过程分析 重视过程分析，在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体的受力可能发生变化，转速继续变化，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速增大而逐渐达到最大值、弹簧弹力大小方向发生变化等，从而出现临界问题． 3．方法突破 (1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力． (2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零． (3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等． 4．解决方法 当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解． 题型五：开普勒定律和万有引力定律的应用 1.（25-26高三下·江西赣州·月考）2025年11月5日，神舟二十号返回舱从空间站分离，开启返回地球的旅程，在返回地球的过程中有一段时间其运动轨迹是椭圆，绕行方向如图所示，地球位于椭圆的焦点O上。假设每隔时间记录一次返回舱的位置，记录点如图所示，已知E为椭圆轨道的中心，AB、CD分别为椭圆的长轴和短轴，AB的距离为2a，CD的距离为2b，且满足，椭圆的面积公式为，则返回舱从D运动到C的最短时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可知，返回舱绕地球运行的周期为 由开普勒第二定律可知，返回舱与椭圆的焦点O的连线在相等的时间内扫过的面积都相等，设当经过时间为t时，返回舱与椭圆的焦点O的连线扫过的面积为S，则根据开普勒第二定律可知 设返回舱从A运动到C过程所用时间为，返回舱与椭圆的焦点O的连线扫过的面积为，则 其中，由图可知 根据数学知识可知 所以 又根据题意可知 且 联立，求得 则返回舱从D运动到C的最短时间为 故选A。 2.（25-26高三下·广西·期中）哈雷彗星绕太阳运行的椭圆轨道半长轴为，周期为；鹊桥二号绕月球运行的椭圆轨道半长轴为，周期为，则太阳和月球的质量之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据万有引力提供环绕天体做圆周运动的向心力，可推导出开普勒第三定律的推广形式，其中为中心天体质量，变形可得中心天体质量 对哈雷彗星绕太阳的系统，中心天体为太阳，太阳质量 对鹊桥二号绕月球的系统，中心天体为月球，月球质量 两者质量之比为 故选A。 3.（2026·河南安阳·三模）2025年8月在距离地球最近的恒星系统中发现了一颗气态巨行星，该巨行星位于宜居带内，可能拥有卫星，这些卫星未来可能成为搜寻生命的目标。若该巨行星的半径为R，某卫星在距该巨行星表面高度为h的圆形轨道上运行，运行周期为T，引力常量为G。则（　　） A．该巨行星的质量为 B．该巨行星的密度为 C．该巨行星表面的重力加速度为 D．从该巨行星表面发射探测器，最小发射速度为 【答案】D 【详解】A．卫星绕巨行星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，轨道半径为，由万有引力公式和向心力公式得 可得该巨行星的质量为，故A错误； B．巨行星密度 体积 联立可得该巨行星的密度为，故B错误； C．巨行星表面万有引力等于重力，即 代入得表面重力加速度，故C错误； D．巨行星表面最小发射速度为第一宇宙速度，满足 推导得 代入得，故D正确。 故选D。 4.（2026·江西·模拟预测）某天文爱好者观测绕地球做匀速圆周运动的卫星，测出各个卫星的周期T及其对应的轨道半径r，作出图像如图所示，已知地球的半径为R，引力常量G为已知，则下列说法正确的是（    ） A．地球的质量为 B．地球的第一宇宙速度为 C．地球表面的重力加速度为 D．若月球绕地球做匀速圆周运动的周期为，则其轨道半径为 【答案】C 【详解】A．卫星绕地球做匀速圆周运动，则有 解得 结合图像可得 解得，地球的质量为，故A错误； B．万有引力提供卫星圆周运动的向心力，则有 结合上述结论 解得，第一宇宙速度为，故B错误； C．在地球表面，万有引力与重力大小相等，则有 结合上述结论 解得，地球表面的重力加速度为，故C正确； D．月球也是地球的一颗卫星，根据开普勒第三定律可得 解得，月球绕地球的轨道半径，故D错误。 故选C。 5.（25-26高三下·山东菏泽·月考）人造地球卫星和地心连线与地面的交点称为星下点，如图甲所示。卫星运动和地球自转使星下点在地球表面移动，形成星下点轨迹。图乙和图丙显示了两颗人造地球卫星A、B的星下点轨迹，箭头指向为轨迹移动方向，两颗卫星的轨道均可近似为圆。由图中信息可得（　　） A．两卫星绕地球转动方向相反 B．A、B两卫星的运动周期之比为1：2 C．A、B两卫星距地球表面高度之比为1： D．卫星B星下点轨迹每天经过赤道3次 【答案】B 【详解】A．由图片信息可知，两星下点在南北方向运动方向相同，则A、B两卫星绕地球转动的方向相同，故A错误； B．根据图乙可知，卫星A的星下点在东西方向自西向东运动，与地球自转方向相同，可知卫星A绕地球转动的角速度大于地球自转角速度。卫星A的星下点在地球上由转到的过程中，卫星转了一圈，比地球自转多转了，可知地球转动了 设地球的自转周期为，则有 根据图丙可知，卫星B的星下点在东西方向自东向西运动，则卫星B绕地球转动的角速度小于地球自转角速度。卫星B的星下点在地球上由转到的过程中，卫星转了一圈，比地球自转少转了，可知地球转动了 则有 则A、B两卫星的运动周期之比为，故B正确； C．根据开普勒第三定律有 可得 则A、B两卫星距地球表面高度之比为，故C错误； D．由于可知，卫星B每转动一圈经过赤道两次，因此每天经过赤道的次数不超过2次，故D错误。 故选B。 题型六：卫星参数对比 1.（25-26高三下·安徽·月考）如图所示，地球赤道上方有两颗卫星A、B，轨道半径分别为、，其中（），若卫星A的周期为，则卫星B的周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据开普勒第三定律 得到 故选B。 2.（25-26高三上·安徽马鞍山·期中）自1970年4月24日中国第一颗人造卫星“东方红一号”的成功发射，我国已发射各式卫星、飞船、空间站等人造天体600余颗，航天事业取得了举世瞩目的伟大成就。如图所示，为地球赤道上的物体，为近地空间站，为中轨道极地卫星，为地球同步轨道卫星，则下列说法中正确的是（　　） A．的向心加速度比的向心加速度大 B．、、、周期的关系为 C．、、、线速度大小关系为 D．、、与地心的连线在相同的时间内扫过的面积都相同 【答案】B 【详解】A．由题知，b为近地空间站，d为地球同步轨道卫星，都是围绕地球公转，由万有引力提供向心力，则有 解得 因，故； 又为地球赤道上的物体，为地球同步轨道卫星，故两者角速度相同，根据 因，故 联立可得，故A错误； B．由题知，为近地空间站，为中轨道极地卫星，为地球同步轨道卫星，都是围绕地球公转，由万有引力提供向心力，则有 解得 因，故 又为地球赤道上的物体，为地球同步轨道卫星，故两者周期相同，即 联立可得，故B正确； C．由题知，为近地空间站，为中轨道极地卫星，为地球同步轨道卫星，都是围绕地球公转，由万有引力提供向心力，则有 解得 因，故 又为地球赤道上的物体，为地球同步轨道卫星，故两者角速度相同，根据 因，故 联立可得，故C错误； D．根据开普勒第二定律，可知同一行星与中心天体的连线在相等时间内扫过相等的面积；而b、c、d是不同的环绕天体，轨道半径不同，因此它们与地心的连线在相同时间内扫过的面积不相同，故D错误。 故选B。 题型七：卫星变轨 1.（2026·湖南郴州·模拟预测）2026年1月16日在某次商业航天任务中，谷神星一号海射型运载火箭成功将“天启星座”06组卫星送入预定轨道。假设其中一颗卫星的简化变轨过程如图所示，先将卫星送入圆形轨道Ⅰ，在a点发动机点火加速，卫星由轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，卫星在椭圆轨道Ⅱ上经过b点再次变轨进入圆轨道Ⅲ，已知卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ上运行速度的大小之比为，在椭圆轨道Ⅱ上运行经过近地点a时速度大小为、远地点b时速度大小为，则下列说法正确的是（　　） A．卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ上运行的轨道半径之比 B．卫星在椭圆轨道Ⅱ上运动时，过a点和b点的速度大小之比 C．卫星在轨道Ⅱ上运行过b点的加速度等于轨道Ⅲ上运行过b点的加速度 D．卫星在轨道Ⅱ上从a点运动到b点的过程中，其线速度、加速度、机械能均减小 【答案】C 【详解】A．卫星在圆轨道上运行时，万有引力提供向心力，有 解得 已知 则 解得 ，故A错误； B．卫星在椭圆轨道Ⅱ上运动时，根据开普勒第二定律可知，近地点和远地点的速度与轨道半径成反比，即 所以 ，故B错误； C．根据牛顿第二定律和万有引力定律有 解得 卫星在轨道Ⅱ上运行过 b 点和在轨道Ⅲ上运行过 b 点时，距离地心的距离 相等，所以加速度大小相等，故C正确； D．卫星在轨道Ⅱ上从a点运动到b点的过程中，万有引力做负功，动能减小，线速度减小；距离地心变远，根据 可知加速度减小；但在椭圆轨道上运动时只有万有引力做功，机械能守恒，故D错误。 故选 C。 2.（25-26高三上·山东青岛·期末）2025年11月25日，神舟二十二号飞船顺利发射升空，成功与中国空间站对接，其对接原理图如图所示。飞船先由近地圆轨道Ⅰ的点进入椭圆轨道Ⅱ，再从椭圆轨道Ⅱ的点调整至圆轨道Ⅲ。已知近地圆轨道的半径近似等于地球的半径，轨道Ⅲ的半径为，飞船质量为，地球质量为，飞船在地球周围的引力势能，为引力常量。飞船从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅲ稳定运行的过程中发动机所做的功为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】飞船在近地圆轨道上运行，轨道半径为R，万有引力提供向心力 动能 总机械能 同理，卫星在轨道半径为r的运行时的总机械能 根据功能关系，发动机做的功等于飞船机械能的增加量 解得 故选A。 3.（多选）（25-26高三下·山东济南·月考）如图甲所示，2024年1月9日我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将爱因斯坦探针卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。假设爱因斯坦探针卫星发射简化过程如图乙所示，先将卫星送入圆形轨道Ⅰ，在点发动机点火加速，卫星由轨道Ⅰ进入近地点高度为、远地点高度为的椭圆轨道Ⅱ，卫星在椭圆轨道Ⅱ上经过点的速度大小为，然后再变轨进入圆轨道Ⅲ，卫星在轨道Ⅲ上的运行周期为。已知是椭圆轨道Ⅱ的长轴，地球的半径为，引力常量为，则下列说法正确的是（   ） A．地球的密度为 B．卫星在轨道Ⅱ上点的速度小于轨道Ⅲ上运动的速度 C．卫星在轨道Ⅱ上的运行周期为 D．卫星在轨道Ⅱ上经过点时的速度大小为 【答案】AC 【详解】A．根据万有引力提供向心力有 解得 地球体积 则地球密度 故A正确； B．卫星在轨道Ⅲ上运动的线速度大于轨道Ⅰ的速度，在轨道Ⅰ的a点，点火加速，速度变大，卫星在轨道Ⅱ上a点的速度大于轨道Ⅲ上运动的速度，故B错误； C．由开普勒第三定律可知 解得 故C正确； D．由开普勒第二定律可知，在很短的时间内，有 解得 故D错误。 故选AC。 4.（多选）（25-26高三下·河北沧州·月考）中国计划在2030年前实现载人登月，开展月球科学考察及相关技术试验。根据“嫦娥”系列卫星的发射，设想登月载人飞船的运行轨迹如图所示。质量为的飞船发射后首先进入绕地球运行的圆形“停泊轨道”，在点加速进入椭圆“过渡轨道”，该轨道离地球表面的最近距离为，飞船到达离点最远距离为的点时，依靠飞船的反向助推器减速，被月球引力“俘获”后，在距月球表面的圆形“绕月轨道”上飞行，择机降落在月球表面。已知地球半径为，月球半径为为椭圆轨道的短轴，地球表面的重力加速度为，月球表面的重力加速度为，飞船在“过渡轨道”运行时忽略月球引力影响。下列说法正确的是（　　） A．飞船在“停泊轨道”上运行速度为 B．飞船在“过渡轨道”上运行周期为 C．、两点的速度方向垂直于地心与月心的连线 D．若飞船在“过渡轨道”点的动能为，则被月球“俘获”过程中助推器需要做功 【答案】BD 【详解】A．飞船在“停泊轨道”上运行时，万有引力提供向心力，可得 又知 联立解得，故A错误； B．飞船在“停泊轨道”上的运行时，周期为 根据开普勒第三定律有 联立解得，故B正确； C．、两点的速度方向平行于地心与月心的连线，故C错误； D．飞船在“绕月轨道”上运行时，万有引力提供向心力，可得 又知 联立解得 根据动能定理有 所以，飞船在被月球“俘获”过程中助推器需要做功，故D正确。 故选BD。 题型八：双星系统和多星系统 1.（25-26高三上·河南驻马店·期末）如图所示，太阳系以外的两个相距较远的星球A和星球B组成双星系统，A、B的质量分别为和，它们以两者连线上的某一点O为圆心做匀速圆周运动。两星球间的距离为L，且，引力常量为G，星球A和星球B均可视为质点，下列说法正确的是（　　） A． B．星球A做匀速圆周运动所需的向心力比星球B做匀速圆周运动所需的向心力小 C．星球A的转动周期为 D．星球A的转动角速度为 【答案】C 【详解】B．两星球做匀速圆周运动的向心力均由它们之间的万有引力提供，故两星球做匀速圆周运动所需的向心力大小相等，B错误； A．两个星球绕点旋转的周期（角速度）相等，有 因为，则有，A错误； C．根据万有引力提供向心力有 又，解得，C正确； D．，D错误。 故选C。 2.（2024·湖南长沙·二模）据报道，中国科学院上海天文台捕捉到一个“四星系统”。两种可能的四星系统构成如图所示，第一种如甲所示，四颗星稳定地分布在正方形上，均绕正方形中心做匀速圆周运动，第二种如乙所示，三颗星位于等边三角形的三个顶点上，第四颗星相对其他三星位于三角形中心，位于顶点的三颗星绕三角形中心运动。若两系统中所有星的质量都相等，AB = CD，则第一、二种四星系统周期的比值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，设AB = CD = a，由几何关系可知，图甲中对角线上两颗星的距离为 图甲中每颗星受力情况如图所示 由万有引力公式 可得 则每颗星所受合力为 由合力提供向心力有 解得 根据题意，由几何关系可知，图乙中，两个三角形顶点上的星间的距离为 图乙中三角形顶点上的星受力情况如图所示 由万有引力公式 可得 则三角形顶点上的星所受合力为 由合力提供向心力有 解得 故 故选B。 3.（多选）（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）如图所示，拉格朗日点、位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。设地球的质量为月球的倍，地月间距为，拉格朗日点与月球间距为，“鹊桥”中继星处于拉格朗日点上，地球、月球和“鹊桥”均视为质点，月球做圆周运动的向心力可认为只由地球的引力提供，忽略太阳对“鹊桥”中继星的引力。下列选项正确的是（　　） A．“鹊桥”与月球的线速度之比为 B．“鹊桥”与月球的向心加速度之比为 C．之间关系为 D．之间关系为 【答案】BC 【详解】A．“鹊桥”中继星与月球周期相同，角速度相同。月球绕地球做圆周运动，轨道半径为；“鹊桥”位于月球外侧，轨道半径为。 根据线速度公式 可得，故A错误。 B．根据向心加速度公式 可得，故B正确。 CD．月球绕地球运动，万有引力提供向心力 解得 “鹊桥”受地球和月球的引力共同作用，合力提供向心力。地球质量，且 代入 和得 消去 并整理 两边同时除以 ，得 故C正确，D错误。 故选BC。 三、终达彼岸——直击高考 一、单选题 1．（2025·重庆·高考真题）“魔幻”重庆的立体交通层叠交错，小明选取其中两条线探究车辆的运动。如图所示，轻轨列车与汽车以速度分别从M和N向左同时出发，列车做匀速直线运动，汽车在长为s的NO段做匀减速直线运动并以速度进入半经为R的OP圆孤段做匀速圆周运动。两车均视为质点，则（　　） A．汽车到O点时，列车行驶距离为s B．汽车到O点时，列车行驶距离为 C．汽车在OP段向心加速度大小为 D．汽车在OP段向心加速度大小为 【答案】B 【详解】AB．对汽车，根据速度位移关系 可得匀减速运动的加速度大小 汽车做减速运动的时间 这段时间列车行驶距离为 B正确，A错误； CD．根据 可得汽车在OP段向心加速度大小为 CD错误。 故选B。 2．（2025·安徽·高考真题）在竖直平面内，质点M绕定点O沿逆时针方向做匀速圆周运动，质点N沿竖直方向做直线运动，M、N在运动过程中始终处于同一高度。时，M、N与O点位于同一直线上，如图所示。此后在M运动一周的过程中，N运动的速度v随时间t变化的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为M、N在运动过程中始终处于同一高度，所以N的速度与M在竖直方向的分速度大小相等， 设M做匀速圆周运动的角速度为，半径为r，其竖直方向分速度 即 则D正确，ABC错误。 故选D。 3．（2025·山东·高考真题）某同学用不可伸长的细线系一个质量为的发光小球，让小球在竖直面内绕一固定点做半径为的圆周运动。在小球经过最低点附近时拍摄了一张照片，曝光时间为。由于小球运动，在照片上留下了一条长度约为半径的圆弧形径迹。根据以上数据估算小球在最低点时细线的拉力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可知在曝光时间内小球运动的长度为 近似认为在曝光时间内小球做匀速直线运动，故有 在最低点根据牛顿第二定律有 代入数据解得T=7N 故选C。 4．（多选）（2025·广东·高考真题）将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。已知圆周运动半径R为，小球所在位置处的切面与水平面夹角为，小球质量为，重力加速度g取。关于该小球，下列说法正确的有（    ） A．角速度为 B．线速度大小为 C．向心加速度大小为 D．所受支持力大小为 【答案】AC 【详解】A．对小球受力分析可知 解得 故A正确； B．线速度大小为 故B错误； C．向心加速度大小为 故C正确； D．所受支持力大小为 故D错误。 故选AC。 5．（多选）（2025·山东·高考真题）如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心，半径R1=5m的圆形区域，OO′垂直地面，无人机在离地面高度H=20m的空中绕O′点、平行地面做半径R2=3m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO′B=90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g=10m/s2。下列说法正确的是（　　） A． B． C．无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地 D．无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地 【答案】BC 【详解】AB．物品从无人机上释放后，做平抛运动，竖直方向 可得 要使得物品落点在目标区域内，水平方向满足 最大角速度等于 联立可得 故A错误，B正确； CD．无人机从A到B的时间 由于t′>t 可知无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地，故C正确，D错误。 故选BC。 6．（2024·广东·高考真题）如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖。使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】有题意可知当插销刚卡紧固定端盖时弹簧的伸长量为，根据胡克定律有 插销与卷轴同轴转动，角速度相同，对插销有弹力提供向心力 对卷轴有 联立解得 故选A。 7．（2025·江西·高考真题）为避免火车在水平面上过弯时因内外轨道半径不同致使轮子打滑造成危险（不考虑离心问题），把固定连接为一体的两轮设计成锥顶角很小的圆台形，如图所示。设铁轨间距为L，正常直线行驶时两轮与铁轨接触处的直径均为D，过弯时内外轨间中点位置到轨道圆心的距离为过弯半径R。在很小时，。若在水平轨道过弯时要求轮子不打滑且横向偏移量不超过，则最小过弯半径R为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可知，转弯时车轮会向外偏移，这样导致轮子与外铁轨接触的位置半径增大为，根据几何关系有 同理可知，轮子与内铁轨接触的位置半径减小为，则有 设一段时间内，外轨道轮子与铁轨接触的位置向前运动的距离为，内轨道轮子与铁轨接触的位置向前运动的距离为，由于两轮固定连接为一体，且轮子不打滑，则有 由于 则有 转弯过程俯视图，如图所示 由几何关系有 联立解得 故选C。 8．（2025·北京·高考真题）2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道、为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（　　） A．在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小 B．在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大 C．在轨道2上机械能与在轨道1上相等 D．利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量 【答案】A 【详解】A．在轨道2上从A向B运动过程中，探测器远离月球，月球对探测器的引力做负功，根据动能定理，动能逐渐减小，A正确； B．探测器受到万有引力，由 解得 在轨道2上从A向B运动过程中，r增大，加速度逐渐变小，B错误； C．探测器在A点从轨道1变轨到轨道2，需要加速，机械能增加，所以探测器在轨道2上机械能大于在轨道1上的机械能，C错误； D．探测器在轨道1上做圆周运动，根据万有引力提供向心力，得 解得 利用引力常量G和轨道1的周期T，还需要知道轨道1的半径r，才能求出月球的质量，D错误。 故选A。 9．（2025·贵州·高考真题）一质量为的人造卫星绕地球做轨道半径为的匀速圆周运动。由于存在稀薄空气，经过一段时间后，卫星做圆周运动的轨道半径变为。已知地球的质量为，引力常量为，则在该段时间内人造卫星所受力的合力做的功为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据动能定理，合外力做功等于物体动能的变化量，即 卫星绕地球做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，由 可得卫星动能 初态轨道半径为，初动能 末态轨道半径为，末动能 代入动能定理计算得 故选B。 10．（2025·四川·高考真题）某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，万有引力常量为G。则该卫星轨道半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设卫星转动的周期为，根据题意可得 可得 根据万有引力提供向心力 可得 代入 可得 故选A。 11．（2025·重庆·高考真题）“金星凌日”时，从地球上看，金星就像镶嵌在太阳表面的小黑点。在地球上间距为d的两点同时观测，测得金星在太阳表面的小黑点相距为L，如图所示。地球和金星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，太阳直径远小于金星的轨道半径，则地球和金星绕太阳运动的（　　） A．轨道半径之比为 B．周期之比为 C．线速度大小之比为 D．向心加速度大小之比为 【答案】D 【详解】A．太阳直径远小于金星的轨道半径，太阳直径忽略不计，根据题意结合几何知识可知地球和金星绕太阳运动的轨道半径之比为，故A错误； BCD．根据万有引力提供向心力有 解得，， 故可得周期之比为； 线速度大小之比为； 向心加速度大小之比为； 故BC错误，D正确 故选D。 12．（2025·甘肃·高考真题）如图，一小星球与某恒星中心距离为R时，小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．若，小星球做匀速圆周运动 B．若，小星球做抛物线运动 C．若，小星球做椭圆运动 D．若，小星球可能与恒星相撞 【答案】A 【详解】A．根据题意，由万有引力提供向心力有 解得 可知，若，小星球做匀速圆周运动，故A正确； B．结合A分析可知，若，万有引力不足以提供小星球做匀速圆周运动所需要的向心力，小星球做离心运动，但又不能脱离恒星的引力范围，所以小星球做椭圆运动，而不是抛物线运动，故B错误； C．若，这是小星球脱离恒星引力束缚的临界速度，小星球将做抛物线运动，而不是椭圆运动，故C错误； D．若，小星球将脱离恒星引力束缚，做双曲线运动，不可能与恒星相撞，故D错误。 故选A。 13．（2025·湖南·高考真题）我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理量得到。下列选项正确的是（　　） A．a为为为 B．a为为为 C．a为为为 D．a为为为 【答案】A 【详解】根据题意，卫星在同步轨道和表面附近轨道运行时轨道半径分别为 设小行星和卫星的质量分别为 由开普勒第三定律有 解得 卫星绕小行星表面附近做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有 解得 对应结果可得a为为为。 故选A。 14．（2025·河北·高考真题）随着我国航天事业飞速发展，人们畅想研制一种核聚变能源星际飞行器。从某星球表面发射的星际飞行器在飞行过程中只考虑该星球引力，不考虑自转，该星球可视为质量分布均匀的球体，半径为，表面重力加速度为。质量为m的飞行器与星球中心距离为r时，引力势能为。要使飞行器在距星球表面高度为的轨道上做匀速圆周运动，则发射初速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】飞行器在轨道半径处的总机械能包括动能和势能。 引力势能为 根据万有引力提供向心力，在星球表面有，解得轨道速度满足，对应动能，总机械能 根据机械能守恒，初始动能，解得。 故选B。 15．（2025·山东·高考真题）轨道舱与返回舱的组合体，绕质量为M的行星做半径为r的圆周运动，轨道舱与返回舱的质量比为。如图所示，轨道舱在P点沿运动方向向前弹射返回舱，分开瞬间返回舱相对行星的速度大小为，G为引力常量，此时轨道舱相对行星的速度大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】轨道舱与返回舱的质量比为，设返回舱的质量为m，则轨道舱的质量为5m，总质量为6m； 根据题意组合体绕行星做圆周运动，根据万有引力定律有 可得做圆周运动的线速度为 弹射返回舱的过程中组合体动量守恒，有 由题意 带入解得 故选C。 16．（2025·浙江·高考真题）地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示，彗星从a运行到b、从c运行到d的过程中，与太阳连线扫过的面积分别为和，且。彗星在近日点与太阳中心的距离约为地球公转轨道半径的0.6倍，则彗星（　　） A．在近日点的速度小于地球的速度 B．从b运行到c的过程中动能先增大后减小 C．从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间 D．在近日点加速度约为地球的加速度的0.36倍 【答案】C 【详解】A．地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力 过近日点做一个以太阳为圆心的圆形轨道，卫星在该圆形轨道上的速度比彗星在椭圆轨道上近日点速度小，而比地球公转的速度大，因此哈雷彗星在近日点的速度大于地球绕太阳的公转速度，A错误； B．从b运行到c的过程中万有引力与速度方向夹角一直为钝角，哈雷彗星速度一直减小，因此动能一直减小，B错误； C．根据开普勒第二定律可知哈雷彗星绕太阳经过相同的时间扫过的面积相同，根据可知从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间，C正确； D．万有引力提供加速度 则哈雷彗星的加速度与地球的加速度比值为 D错误。 故选C。 17．（2024·重庆·高考真题）在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体（图中未画出）质量为m（m << M），若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则（   ） A．c的线速度大小为a的倍 B．c的向心加速度大小为b的一半 C．c在一个周期内的路程为2πr D．c的角速度大小为 【答案】A 【详解】D．a、b、c三个天体角速度相同，由于m << M，则对a天体有 解得 故D错误； A．设c与a、b的连线与a、b连线中垂线的夹角为α，对c天体有 解得 α = 30° 则c的轨道半径为 由v = ωr，可知c的线速度大小为a的倍，故A正确； B．由a = ω2r，可知c的向心加速度大小是b的倍，故B错误； C．c在一个周期内运动的路程为 故C错误。 故选A。 18．（2024·浙江·高考真题）与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则（　　） A．小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度 B．小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度 C．小行星甲与乙的运行周期之比 D．甲乙两星从远日点到近日点的时间之比= 【答案】D 【详解】A．根据开普勒第二定律，小行星甲在远日点的速度小于近日点的速度，故A错误； B．根据 小行星乙在远日点的加速度等于地球公转加速度，故B错误； C．根据开普勒第三定律，小行星甲与乙的运行周期之比 故C错误； D．甲乙两星从远日点到近日点的时间之比即为周期之比 ≈ 故D正确。 故选D。 19．（2022·福建·高考真题）2021年美国“星链”卫星曾近距离接近我国运行在距地近圆轨道上的天宫空间站。为避免发生危险，天宫空间站实施了发动机点火变轨的紧急避碰措施。已知质量为m的物体从距地心r处运动到无穷远处克服地球引力所做的功为，式中M为地球质量，G为引力常量；现将空间站的质量记为，变轨前后稳定运行的轨道半径分别记为、，如图所示。空间站紧急避碰过程发动机做的功至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】空间站紧急避碰的过程可简化为加速、变轨、再加速的三个阶段；空间站从轨道变轨到过程，根据动能定理有 依题意可得引力做功 万有引力提供在圆形轨道上做匀速圆周运动的向心力，由牛顿第二定律有 求得空间站在轨道上运动的动能为 动能的变化 解得 故选A。 20．（多选）（2025·浙江·高考真题）月球有类似于地球的南北两极和纬度。如图所示，月球半径为R，表面重力加速度为，不考虑月球自转。从月球北极正上方水平发射一物体，要求落在纬度的M处，其运动轨迹为椭圆的一部分。假设月球质量集中在球心O点，如果物体沿椭圆运动的周期最短，则（　　） A．发射点离月面的高度 B．物体沿椭圆运动的周期为 C．此椭圆两焦点之间的距离为 D．若水平发射的速度为v，发射高度为h，则物体落到M处的速度 【答案】BC 【详解】根据题意可知椭圆轨道的一个焦点为，设椭圆的另外一个焦点为，如图所示 设椭圆的半长轴为，焦距为，根据椭圆知识可知 根据开普勒第三定律可知如果物体沿椭圆运动的周期最短，则椭圆的半长轴最小，根据几何关系可知当垂直于时，半长轴最小，如图所示 由几何关系有 解得 C．根据几何关系可得椭圆的焦距，故C正确； A．根据几何关系可得发射点离月面的高度，故A错误； B．设物体绕月球表面做匀速圆周运动时的周期为，则由重力提供向心力得 结合开普勒第三定律 联立可得物体沿椭圆运动的周期为，故B正确； D．由引力势能公式 结合万有引力公式 结合机械能守恒定律有 联立可得，故D错误。 故选BC。 21．（多选）（2023·福建·高考真题）人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日L2点附近，L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O（图中未标出）转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M和m，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，万有引力常数为G，L2点到地心的距离记为r（r << R），在L2点的航天器绕O点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是（   ）[可能用到的近似] A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】AB．设太阳和地球绕O点做圆周运动的半径分别为、，则有 r1＋r2 = R 联立解得 故A错误、故B正确； CD．由题知，在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止，则有 再根据选项AB分析可知 Mr1 = mr2，r1＋r2 = R， 联立解得 故C错误、故D正确。 故选BD。 22．（2023·福建·高考真题）一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度，杆与竖直转轴的夹角a始终为，弹簧原长，弹簧劲度系数，圆环质量；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取，摩擦力可忽略不计 （1）若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离； （2）求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小； （3）求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。 【答案】（1）0.05m；（2）；（3） 【详解】（1）当细杆和圆环处于平衡状态，对圆环受力分析得 根据胡克定律得 弹簧弹力沿杆向上，故弹簧处于压缩状态，弹簧此时的长度即为圆环到O点的距离 （2）若弹簧处于原长，则圆环仅受重力和支持力，其合力使得圆环沿水平方向做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律得 由几何关系得圆环此时转动的半径为 联立解得 （3）圆环处于细杆末端P时，圆环受力分析重力，弹簧伸长，弹力沿杆向下。根据胡克定律得 对圆环受力分析并正交分解，竖直方向受力平衡，水平方向合力提供向心力，则有 ， 由几何关系得 联立解得 23．（2024·江西·高考真题）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图（a）、（b）所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅（视为质点）。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为，重力加速度为g，不计空气阻力。 （1）在图（a）中，若圆盘在水平雪地上以角速度匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为的匀速圆周运动。求与之间夹角的正切值。 （2）将圆盘升高，如图（b）所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕点做半径为的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为，绳子在水平雪地上的投影与的夹角为。求此时圆盘的角速度。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）转椅做匀速圆周运动，设此时轻绳拉力为T，转椅质量为m，受力分析可知轻绳拉力沿切线方向的分量与转椅受到地面的滑动摩擦力平衡，沿径向方向的分量提供圆周运动的向心力，故可得 联立解得 （2）设此时轻绳拉力为，沿和垂直竖直向上的分力分别为 ， 对转椅根据牛顿第二定律得 沿切线方向 竖直方向 联立解得 24．（2025·安徽·高考真题）如图，M、N为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距。一根长为的轻绳一端系在M上，另一端竖直悬挂质量的小球，小球与水平地面接触但无压力。时，小球以水平向右的初速度开始在竖直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、M，运动到M正下方与M相距L的位置时，绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳子不可伸长，不计空气阻力，重力加速度g取。 (1)求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小； (2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离； (3)若在时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N的正上方且绳子不松弛，求初速度的最小值。 【答案】(1)， (2)4m (3) 【详解】（1）小球从最下端以速度v0抛出到运动到M正下方距离为L的位置时，根据机械能守恒定律 在该位置时根据牛顿第二定律 解得， （2）小球做平抛运动时， 解得x=4m （3）若小球经过N点正上方绳子恰不松弛，则满足 从最低点到该位置由动能定理 解得 解得 1 学科网（北京）股份有限公司 $