2026届高考物理三轮冲刺讲义 专题三：曲线运动

三轮冲刺：曲线运动 一、巩固基础——知识梳理 2 （一）运动的合成与分解 2 （二）关联速度 2 （三）平抛运动 3 （四）斜抛运动 4 二、归纳整合——模型构建 5 题型一：运动的合成与分解 5 题型二：关联速度 6 题型三：平抛运动 11 题型四：类平抛运动 20 题型五：斜抛运动 24 题型六：一般抛体运动 27 三、终达彼岸——直击高考 31 一、巩固基础——知识梳理 （一）运动的合成与分解 1.基本概念 (1)运动的合成：已知分运动求合运动。 (2)运动的分解：已知合运动求分运动。 2.遵循的法则 位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。 3.运动分解的原则 根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解法。 4.合运动与分运动的关系 (1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。 (2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响。 (3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果。 （二）关联速度 1．模型特点 与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上． 2．明确合速度与分速度 合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线 3．解题原则 把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图所示． （三）平抛运动 1．基本规律 如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向． 2.推论 ①做平抛运动的物体在任意时刻(任意位置处)，有tan θ＝2tan α.(如图所示) 推导： →tan θ＝2tan α ②做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点，如图所示，即xB＝. 推导：→xB＝ （四）斜抛运动 1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动． 2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线． 3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：匀变速直线运动． 4．基本规律 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy. 初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ. 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t① vx＝v0x＝v0cos θ② 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2③ vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt④ 二、归纳整合——模型构建 题型一：运动的合成与分解 1.（多选）（25-26高三上·宁夏吴忠·月考）质量为2kg的质点在xOy平面内做曲线运动，质点在x方向的速度-时间图像和y方向的位移-时间图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．质点的初速度大小为5m/s B．质点所受的合外力为3N C．2s末质点速度大小为6m/s D．0~2s内质点的位移大小约为12m 【答案】ABD 【详解】A．由x方向的速度-时间图像可知，质点在x方向做匀加速直线运动，初速度大小为 由y方向的位移-时间图像，质点在y方向做匀速直线运动，速度大小为 根据速度的合成与分解，可得质点的初速度大小为，故A正确； B．质点在x方向做匀加速直线运动，则加速度大小为 质点在y方向做匀速直线运动，则有 故质点的加速度大小为 根据牛顿第二定律，可得质点所受的合外力，故B正确； C．2s末质点速度大小为，故C错误； D．0~2s内，x方向上的位移大小为 y方向上的位移大小为y＝8m 合位移大小为，故D正确。 故选ABD。 2.（25-26高三上·安徽亳州·期末）由于强降雨，每年的夏季是长江、淮河等流域的防汛关键期。如图所示，在汛情期间某条河流在C处有一漩涡，漩涡与平直河岸相切于B点，漩涡的半径为r，在漩涡上游河岸有一点A，，漩涡外水流速度大小恒为v，为使小船从A点出发后以恒定的速度安全到达对岸，小船航行时在静水中的速度最小值为（　　） A． B． C．v D． 【答案】A 【详解】如下图所示，当小船相对地面的速度恰好与漩涡边界相切，且小船在静水中的速度与其相对地面的速度垂直时，小船在静水中的速度最小 设小船相对地面的速度与水流速度v的夹角为，由几何关系有 故选A。 题型二：关联速度 【绳关联】1.（25-26高三上·湖北襄阳·月考）如图所示，细绳绕过定滑轮连接小球a和小球b，小球a固定在可绕O轴自由转动的轻质细杆的端点。整个装置平衡时，杆和绳与竖直方向的夹角均为30°，不计一切摩擦，细绳足够长。将杆从水平位置由静止释放，杆向下转动60°的过程中（　　） A．小球a和小球b的动能之和先增大后减小 B．小球a和小球b的质量之比为 C．图示位置时，小球a和小球b的速度之比为 D．图示位置时，小球a和小球b的重力功率之比为1：1 【答案】D 【详解】A．连接a球的杆为活杆，对a球作用力方向始终沿杆，与a球速度垂直，对a球不做功，所以对于a、b组成的系统机械能守恒。 b球上升重力势能增加量为 a球下降，重力势能减小量为 b球上升的高度即连接a端绳子的伸长量，如图则有 杆向下转动60°的过程中，减小， 由，系统重力势能一直在减小，则a、b动能之和一直在增大，故A错误； B．整个装置平衡时，对a球受力分析，如图所示 则有 解得，故B错误； C．图示位置时，a球的速度与细杆垂直，b球的速度大小等于细绳斜向下拉的速度，如图所示 由速度的分解可得 解得，故C错误； D．图示位置时，a球重力的功率 b球重力的功率 则有，故D正确。 故选D。 【杆关联】2.（25-26高三下·河北石家庄·月考）可视为质点的甲、乙两小球用铰链与轻杆连接，甲球套在固定的竖直杆上，乙球处于水平地面上，初始时轻杆与水平方向夹角为60°，杆长为l。无初速度释放两球到甲球落地的过程中，两球的速率随时间变化如图所示，其中t2时刻乙球速率最大。已知甲球质量为2m，乙球质量为m，重力加速度大小为g，不计一切摩擦，则（　　） A．t1时刻轻杆与水平方向夹角为30° B．t2时刻乙球对地面的压力为3mg C．t₃时刻甲球的速率为 D．过程甲、乙两球的速率图线与时间轴所围成的面积之比为 【答案】D 【详解】A．设轻杆与水平方向的夹角为，甲、乙两球的速度大小分别为和，分别将和沿杆和垂直杆方向进行分解，则甲、乙两球沿杆方向的速度分量相等，即 由题图可知时刻，解得此时，故A错误； B．由分析可知杆对乙球的作用先是推力，后是拉力，时刻乙球速率最大，则此时乙球的加速度恰好为零，即此时杆恰好对乙球无作用力，则由乙球竖直方向受力平衡可知，此时地面对乙球的支持力等于乙球的重力，所以由牛顿第三定律可知，此时乙球对地面的压力为，故B错误； C．时刻乙球的速度为0，则此时甲球刚好落地，从无初速度释放两球到甲球落地的过程中，两球组成的系统只有重力做功，系统机械能守恒，则有 解得时刻甲球的速率为，故C错误； D．过程甲、乙两球的速率图线与时间轴所围成的面积即为该过程中甲、乙两球的位移，由于该过程甲球的位移为 乙球的位移为 所以过程甲、乙两球的速率图线与时间轴所围成的面积之比为，故D正确。 故选D。 【面关联】3.（2026·江西·模拟预测）如图所示，质量为m、倾角为60°的斜面体放在水平面上，质量也为m的均质球夹在斜面和竖直墙面之间，水平外力作用在斜面体上，球和斜面体处于静止状态，斜面体对墙面的作用力为零，不计一切摩擦，重力加速度为g，则下列说法正确的是（    ） A．水平外力的大小为 B．水平外力的大小为 C．撤去外力，球向下运动过程中，球与斜面体运动的速度大小之比为 D．撤去外力，球向下运动过程中，球与斜面体运动的速度大小之比为 【答案】C 【详解】AB．对斜面体受力分析，根据平衡条件，水平方向则有 解得，故AB错误； CD．撤去外力，球向下运动的过程中，设球的速度大小为，斜面体的速度大小为，根据运动的分解可得 解得，故C正确，D错误。 故选C。 4.（25-26高三下·河南开封·期末）如图所示，地面上固定两根足够长的竖直杆，两杆间距为，一根长度的轻绳一端套在左杆上，另一端套在右杆上，一个光滑的动滑轮绕过轻绳，在动滑轮下面悬挂一个重物，再将轻绳左右两端分别以速度，沿竖直杆向上做匀速直线运动，则在图示位置时重物的速度为（　　） A．2m/s B． C． D． 【答案】B 【详解】将速度分解，则原题可以理解为绳子左端同时参与两个分运动，，其中左端速度和右端速度，使重物获得的速度为，方向竖直向上，左端另一个速度运动时，右端没有运动，如图所示 在时间内，左端上升的高度为，重物沿右端绳子上升的距离为，则由几何关系可知 可得重物沿右端绳子上升的速度为 所以重物同时参与两个分运动，竖直向上的，和沿右绳向上的，两个运动合成得到 又由几何关系可知 代入数据得 故选B。 总结提升 关联速度解题思路： （1）先找合运动——物体实际的运动就是合运动 （2）找关联速度—— 绳关联（沿绳速度相同），杆关联（沿杆速度相同），面关联（垂直于接触面的速度相同） （3）分解合速度 （4）列等式求解 题型三：平抛运动 1.（25-26高三上·广东·期末）将小石子以不同初速度水平抛出，观察石子下落过程中水平地面上石子影子的运动。太阳光可视为平行光线，光线均平行于平抛轨迹所在的竖直面。图（a）中光线竖直向下，图（b）、（c）中光线斜向下。不计空气阻力，则（    ） A．图（a）中影子可能匀变速直线运动 B．图（b）中影子运动的加速度大小可能会变 C．图（b）中影子可能匀速运动 D．图（c）中影子一定做匀变速直线运动 【答案】D 【详解】A．将石子的运动分解在水平和竖直方向，如图（a） 石子在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，影子的运动是水平方向的运动，故其做匀速直线运动，故A错误； BC．图（b）中可把平抛运动分解为垂直于光线的匀加速直线运动和平行于光线的匀变速直线运动，影子的运动是垂直于光线方向的运动，则影子的加速度不变（重力加速度沿垂直影子方向的分量），故BC错误； D．图（c）中可把运动分解为平行于光线的匀加速直线运动和垂直于光线的匀变速直线运动，影子的运动是垂直于光线方向的运动，所以影子做匀变速直线运动，故D正确。 故选D。 2.（多选）（25-26高三下·辽宁抚顺·月考）某同学站在平台上将一网球由O点水平向右抛出，网球依次经过A、B、C三点，在A、C两点速度与水平方向之间的夹角分别为α=30°，β=60°。A与B之间、B与C之间的水平距离相等。已知O、A之间的高度差为0.45m，取g=10m/s2，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．网球在A点速度大小为3m/s B．网球在C点速度大小为 C．网球在C点速度大小为9m/s D．网球由A至B与由B至C，动量变化量相同 【答案】BD 【详解】A．网球由O至A，在竖直方向上满足 所以 则网球在A点的速度，故A错误； BC．网球的水平速度 则其在C点速度大小为，故B正确，C错误； D．网球在水平方向上做匀速直线运动，故由A至B和由B至C历时相同，网球运动过程中加速度恒定，其速度变化量相同，动量变化量相同，故D正确。 故选BD。 【三维空间内的平抛运动】3.（25-26高三上·广东深圳·月考）如图，空间有一底面处于水平地面上的正方体框架，边长为L，从顶点A以不同速率沿不同方向水平抛出同一小球(可视为质点，不计空气阻力)。关于小球的运动，下列说法正确的是（    ） A．落点在A1B1C1D1内的小球，运动时间可能不同 B．落点在A1B1C1D1内的小球，击中C1点的小球初速度最大 C．落点在A1B1C1D1内的小球，击中、D1点时速度相同 D．运动轨迹与AC1相交的小球，在交点处的速度方向都相同 【答案】BD 【详解】AB．落点在A1B1C1D1内的小球，运动时间均为 但落到C1点的小球水平位移最大，故其初速度最大，故A错误，B正确； C．击中D1点，此时初速度方向沿AD方向，故合速度方向在平面内；若击中点，此时初速度方向沿AB方向，故合速度方向在平面内；故速度方向不同，则速度不同，故C错误； D．运动轨迹与相交的小球，位移的偏向角均相同，均为 速度的偏向角 可知速度偏向角都相同，即在与交点处的速度方向都相同， 故D正确。 故选BD。 【平抛运动+斜面】4.（25-26高三下·河南周口·月考）如图所示，一质量为m的小球放在倾角为的斜面上，斜面足够长。现将小球从斜面一确定位置A以初速度v水平抛出，碰撞点距抛出点的距离为l，落点为C点，不计空气阻力，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球从被抛出到与斜面碰撞所用的时间为 B．若小球刚好下落到斜面时速度仅保留平行于斜面方向的分量，则该分量大小为 C．若小球在离斜面最远处沿垂直于斜面方向的投影点为B点，则 D．若将小球速度增加到2v，则碰撞点距抛出点的距离增加至2l 【答案】B 【详解】A．根据平抛运动推论可知， 得，选项A错误； B．将小球的运动沿斜面和垂直于斜面方向分解，易得 化简得，选项B正确； C．由于沿斜面方向小球做初速度不为0的匀加速运动，所以，选项C错误； D．由平抛运动规律可知， 小球初速度增加至，碰撞点距抛出点的距离变为，选项D错误。 故选B。 【临界问题】5.（25-26高三上·安徽阜阳·月考）一摩托车爱好者在准备充分的情况下，驾驶摩托车成功飞越一河流，其飞越过程简化图如图。他驾驶摩托车从轨道ABC上的A点由静止开始加速，从C处水平飞出，已知两岸高度差为h，河宽为l。为保证能落到对岸长度为s的安全区域DE内，运动过程中，人和车视为质点并忽略空气阻力，重力加速度为g，则摩托车离开C时速度v的范围为（　　） A．l≤v≤（l+s） B．l≤v≤（l+s） C．l≤v≤（l+s） D．l≤v≤（l+s） 【答案】B 【详解】根据h=gt2 可知运动时间t= 当落到D点时，速度v1==l 当落到E点时，速度 所以摩托车离开C时速度v的范围为l≤v≤（l+s） 故选B。 总结提升 1．平抛运动的临界问题有两种常见情形： (1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度； (2)物体的速度方向恰好达到某一方向． 2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”、“刚好飞过壕沟”、“速度方向恰好与斜面平行”、“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题． 【平抛运动+曲面】6.（25-26高三上·辽宁·月考）如图所示，以O为原点在竖直面内建立平面直角坐标系，第Ⅳ象限的挡板形状满足方程（单位：m），小球（可视为质点）从第Ⅱ象限内的光滑四分之一圆弧轨道的顶端由静止释放，通过O点后开始做平抛运动，经0.5s击中挡板上的P点，取重力加速度大小g=10 m/s2。四分之一光滑圆弧轨道的半径为（　　） A．0.1m B．0.2m C．0.5m D．0.7m 【答案】B 【详解】小球从O点抛出做平抛运动，满足 又 可知P点的坐标为（1，），小球击中P点时的水平方向速度大小 小球从第Ⅱ象限光滑四分之一圆弧轨道顶端由静止释放，由机械能守恒定律有 解得 故选B。 【情景创新题】7.（25-26高三下·河北沧州·月考）如图所示，环保人员在一次检查时发现，有一根截面为圆形的排污管正在水平向外满口排出大量污水。管道内始终充满污水，污水不可压缩且没有黏滞性，污水在空中不散开，最终落到斜坡上。环保人员随身只携带了一把卷尺，他测出管道口的半径为，管口离污水落点高度为，污水落点到管口的水平距离为，已知远小于，空气阻力忽略不计。已知流量连续性方程：对于不可压缩流体，过流断面的面积与断面平均流速的乘积为常数，即。若污水垂直打到斜坡上，则落点处污水的横截面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】污水的初速度 落到斜面上时由机械能守恒定律 由于，其中 解得 故选C。 【抛体运动的相遇问题】8.（多选）（2025·山东潍坊·二模）如图所示，P、Q、M为同一竖直平面内三点，P、Q位于同一条竖直线上，Q、M位于水平地面上，且PQ=QM。某一时刻小球甲从P点水平抛出，同时小球乙从Q点与QM成θ角抛出，速度方向如图，两球在M点相遇，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．从抛出到相遇，乙速度变化量大于甲 B．甲、乙初速度大小之比为 C．相遇前瞬间，甲、乙速度大小之比为 D．仅改变乙抛出的θ角，则其落地时一定位于M点的左侧 【答案】BD 【详解】A．速度变化量为 两球运动时间相等，所以从抛出到相遇，速度变化量大小相等，故A错误； B．小球甲做平抛运动，则， 小球乙做斜上抛运动，则， 联立可得， 故B正确； C．相遇前瞬间，甲的速度大小为 乙的速度大小为 所以 故C错误； D．对乙球，有， 所以 由此可知，当时，乙球的水平位移最大，所以若改变乙抛出的θ角，其水平位移减小，即其落地时一定位于M点的左侧，故D正确。 故选BD。 总结提升 应用换参的思想：即平抛运动和斜抛运动的加速度相同，故可以看做是两个匀速直线运动的相遇问题。 9.（多选）（24-25高三下·湖北·月考）小球a和小球b在同一高度分别以速度和水平抛出，已知小球落地碰撞反弹前后，竖直方向速度反向、大小不变，水平方向速度方向和大小均不变，小球a从抛出到第一次落地过程中，两小球的轨迹的交点（7个交点）分布如图所示，其中两小球刚好在位置2相遇（不发生碰撞，互不影响各自的运动）。设小球a运动的时间为，水平位移为L。下列说法正确的是（　　） A．两小球将在位置3再次相遇 B．小球运动到位置5经历的时间为 C．两小球轨迹交点的位置中，相邻偶数位置间的水平距离为 D．两小球轨迹交点的位置中，相邻奇数位置间的水平距离为 【答案】BD 【详解】A．位置位置3，初速度大小不同，水平方向匀速运动时间不同，在位置2，就不会在位置3再次相遇，选项A错误； BD．由题意可知如图所示。 小球从、小球从，相同，水平方向上 小球从、小球从，相同，水平方向上 小球从、小球从，相同，水平方向上 易得 又，所以， 又，所以 选项BD正确； C．小球从、小球从，相同，水平方向上 小球从、小球从，相同，水平方向上 小球从、小球从，相同，水平方向上 易得 所以 又 所以 选项C错误。 故选BD。 题型四：类平抛运动 1.（多选）（2024·山东泰安·模拟预测）如图所示，光滑斜面长为l，宽为b，顶角为θ，一物块从斜面左上方顶点P以平行于底边的初速度水平射入，沿斜面运动，恰好从底端Q离开斜面，物块可看成质点，则（    ） A．物块的初速度 B．物块的初速度 C．物块到达Q点时的速度 D．物块到达Q点时的速度 【答案】BC 【详解】AB．小球在斜面上做类平抛运动 小球在斜面上的加速度为 联立解得物块的初速度 故A错误，B正确； CD．在Q点的平行斜面方向的分速度为 物块到达Q点时的速度 故C正确，D错误。 故选BC。 2.（2024·陕西西安·一模）有一匀强电场平行于直角坐标系xoy所在的竖直平面，现将一质量为m，带电量为+q的小球从坐标原点O处沿y轴负向以2m/s的初速度向下抛出，其带电小球运动的轨迹方程为，重力加速度取，则下列说法中正确的是（　　） A．电场强度大小为，方向与x轴正向夹角45° B．电场强度大小为，方向与x轴正向夹角30° C．电场强度大小为，方向与x轴负向夹角45° D．电场强度大小为，方向与x轴正向夹角30° 【答案】A 【详解】由带电小球运动的轨迹方程为 由题意可知，小球在y轴方向做匀速直线，在x轴方向匀加速直线运动，在y轴方向上 在x轴方向上 对比可得 可知带电小球做加速度 小球做类平抛运动，对小球受力分析可得，小球受到的电场力竖直向上分力与重力平衡，水平向右的分力为合外力，则 解得 方向与x轴正向夹角为，则 解得 故选A。 （25-26高三上·江西宜春·期中）如图所示，在方向水平向里、磁感应强度大小的匀强磁场中，有一根长的竖直光滑绝缘细杆MN，细杆顶端套有一个质量、电荷量的小环。现让细杆以的速度沿垂直磁场方向水平向右匀速运动，同时释放小环（竖直方向初速度为0），小环最终从细杆底端飞出，重力加速度取。关于小环的运动，下列说法正确的是（　　） A．洛伦兹力对小环做正功 B．小环做匀速运动 C．小环在绝缘细杆上运动的时间为0.05s D．小环离开绝缘细杆时的速度大小为 【答案】D 【详解】A．洛伦兹力的方向始终与小环的运动速度方向垂直，所以洛伦兹力对小环不做功，故A错误； B．小环在水平方向随杆匀速运动，在竖直方向受重力以及向上的洛伦兹力的作用，因水平速度v不变，则竖直向上的洛伦兹力不变，所以在竖直方向小环受竖直向下、不变的合力的作用向下做匀变速直线运动，符合类平抛运动的特点，所以小环做的是类平抛运动，故B错误； C．小环在竖直方向的牛顿第二定律方程为 解得小环在竖直方向的加速度大小为 由匀变速直线运动的位移公式有 解得小环在绝缘细杆上运动的时间为，故C错误； D．小环离开绝缘细杆时竖直方向的速度为 所以小环离开绝缘细杆时的速度大小为，故D正确。 故选D。 题型五：斜抛运动 1.（25-26高三上·安徽亳州·期末）如图所示，在某一足够高水平平台上，时刻同时从O点抛出两小球A和B，A球以初速度与水平方向成角斜向上抛出，B球以相同速率沿相同角度斜向下抛出，两球在同一竖直面内运动。忽略空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．B球相对于A球的运动轨迹为抛物线 B．A球抛出后经时间上升到最高点 C．A球再次回到平台高度时，B球的竖直速度大小为 D．A球再次回到平台高度时，B球的竖直速度大小为 【答案】D 【详解】A．A球和B球在水平方向都做匀速直线运动，故B球始终在A球的正下方，B球相对于A球的运动轨迹为直线，选项A错误； B．A球上升到最大高度所用时间，选项B错误； CD．A球再次回到平台高度时，竖直方向的速度大小又为，竖直速度变化量的大小为，故此时A球速度大小为，B球的竖直速度大小为，选项C错误，D正确。 故选D。 2.（25-26高三上·山东临沂·期末）如图所示，第一次从O点沿着OC方向以速度v1抛出一小球，小球打到竖直墙上和O点等高的A点，第二次也从O点沿着OC方向以速度v2抛出一小球，小球打到竖直墙上B点，已知AB和BC相等，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．v2=2v1 B．第二次小球垂直打到B点 C．两次打到墙上的速度大小相等 D．第一次小球在空中运动的时间是第二次的2倍 【答案】B 【详解】AD．第一次小球水平方向的速度为 竖直方向的速度为 小球在空中运动的时间 则水平位移 同理第二次则有， 由几何知识可得 第二次打到墙上的高度为 水平方向则有 联立解得，，故AD错误； B．根据上述分析解得，因此第二次小球到达B点时竖直方向速度为零，故B正确； C．根据运动的对称性可知，第一次打到A点时的速度为，第二次打到B点的速度为，二者并不相等，故C错误。 故选B。 总结提升 斜交分解法：初速度方向做匀速直线运动+竖直方向做自由落体运动。 3.（25-26高三下·山东济南·月考）我国的抛石机最早出现于战国时期，通过人在远离抛石机的地方牵拉连在横杆上的梢抛出石块。假设有一待攻的城池，城墙高度，厚度为，攻城方想用抛石机将石弹从城外直接抛入城内，抛石机的高度相对城墙高度忽略不计，空气阻力不计，重力加速度为，则抛出石弹的最小速度应为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】石弹抛出速度最小时，其运动轨迹恰好经过城墙两边缘，最高点恰好在城墙中心正上方，设石弹经过城墙左边缘时的速度大小为，速度方向与水平方向的夹角为，石弹由城墙左边缘到右边缘所用的时间为，斜抛运动水平方向，有 在竖直方向，有 解得 当时，具有最小值 石弹抛出后至经过城墙左边缘过程，由动能定理，得 解得石弹抛出时的最小速度大小 故选B。 总结提升 结论应用：物体以与水平面成角做斜抛运动落回同一水平面时，射程最远，即当射程固定时，最小速度必定以射出。 题型六：一般抛体运动 1.（多选）（2026·江西·模拟预测）如图所示，光滑水平面内有一平面直角坐标系，物体在该平面内始终受到沿轴负方向、大小未知的恒力，物体在区域还受到沿轴正方向、大小为的恒力作用，现将一质量为m的小球从坐标原点O沿轴正方向掷出，小球的运动轨迹交直线于两点，小球通过点P时距离轴最远，小球从N点返回轴的过程中做直线运动，回到轴时的速度方向与x轴正方向的夹角为37°。已知，。则下列说法正确的是（    ） A．小球在O、P两点的加速度大小之比为5：4 B．小球在P点的速率是O点速率的倍 C．P点到轴的距离为 D．若小球初速度为，则小球在N点时合外力的功率为 【答案】BC 【详解】A．设小球受到的沿y轴负方向恒力为F，小球从N点返回x轴的过程中做直线运动，合力方向与速度方向在同一条直线上，有， 根据牛顿第二定律在O点有 在P点有 解得，故A错误； B．经分析可知，小球通过M，N两点时沿x轴方向的速度大小与小球通过P点时的速度大小相同，设小球从O点运动到M点所用的时间为t，小球通过P点时的速度大小 小球回到x轴时，沿x轴方向的速度大小 解得 设小球从O点掷出时的速度大小为，根据对称性可知，小球回到x轴时，沿y轴方向的速度大小为，方向沿y轴负方向，有 解得，故B正确； C．经分析可知，小球通过M，N两点时沿y轴方向的速度大小(设为)相同，小球从N点返回x轴的过程中做直线运动，有 可得 设小球从P点运动到N点所用的时间为，有 小球从N点返回x轴的过程中沿y轴方向的分运动为匀加速直线运动，有 可得 小球从P点运动到N点的过程中沿y轴方向的位移大小 小球从N点返回x轴的过程中沿y轴方向的分运动为匀加速直线运动，有 可得 经分析可知，故C正确； D．小球在N点时的速度为 而 所以，故D错误。 故选BC。 2.（多选）（24-25高三下·安徽芜湖·月考）某同学将一乒乓球从距水平地面高h处的A点以速度水平抛出，乒乓球运动过程中受到的空气阻力大小始终与速率成正比，方向始终与运动方向相反，落到水平地面上的B点时速度大小恰为、方向竖直向下，如图所示。已知乒乓球从A点抛出时受到的空气阻力恰好等于自身受到的重力，重力加速度大小为g。则关于乒乓球从A点运动到B点的过程，下列说法正确的是（　　） A．空气阻力对其做的功为mgh B．水平射程为 C．时间为 D．速率的最小值为 【答案】BD 【详解】A．根据动能定理可得 解得空气阻力做功为 A错误； B．水平方向动量定理 即 结合 解得 B错误； C．竖直方向动量定理 即 结合 解得 C错误； D．运用配速法，配一速度，使其阻力与重力平衡，则可理解为竖直向下的匀速直线运动和斜向上的变速直线运动，如图甲所示 由图可知， 此时将乒乓球受到的合外力等效为，作出乒乓球速度变化的矢量图乙，可知当速度合矢量与速度方向垂直时，乒乒球的速度最小，由牛顿第二定律可知 解得 故速度矢量三角形为等腰直角三角形，由几何知识可得 D正确。 故选BD。 三、终达彼岸——直击高考 1．（2025·湖南·高考真题）如图，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、、表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可知，物块沿斜面向上做匀减速直线运动，设初速度为，加速度为大小，斜面倾角为 AB．物块在水平方向上做匀减速直线运动，初速度为，加速度大小为，则有 整理可得 可知，图像为类似抛物线的一部分，故AB错误； CD．物块在竖直方向上做匀减速直线运动，速度为，加速度大小为，则有 整理可得 可知，图像为类似抛物线的一部分，故C正确，D错误。 故选C。 2．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v（   ） A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】B 【详解】设两边绳与竖直方向的夹角为，塔块沿竖直方向匀速下落的速度为，将沿绳方向和垂直绳方向分解，将沿绳子方向和垂直绳方向分解，可得 解得 由于塔块匀速下落时在减小，故可知v一直增大。 故选B。 3．（2025·江西·高考真题）如图所示，人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为H的固定点以速率水平向右抛球，小孩以速率水平向左匀速运动，接球时手掌离地面高度为h。当小孩与机器人水平距离为时，机器人将小球抛出。忽略空气阻力，重力加速度为g。若小孩能接到球，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若小孩能接到球，则有， 联立解得 故选B。 4．（2024·浙江·高考真题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设出水孔到水桶中心距离为x，则 落到桶底A点时 解得 故选C。 5．（多选）（2025·山东·高考真题）如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心，半径R1=5m的圆形区域，OO′垂直地面，无人机在离地面高度H=20m的空中绕O′点、平行地面做半径R2=3m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO′B=90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g=10m/s2。下列说法正确的是（　　） A． B． C．无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地 D．无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地 【答案】BC 【详解】AB．物品从无人机上释放后，做平抛运动，竖直方向 可得 要使得物品落点在目标区域内，水平方向满足 最大角速度等于 联立可得 故A错误，B正确； CD．无人机从A到B的时间 由于t′>t 可知无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地，故C正确，D错误。 故选BC。 6．（多选）（2024·安徽·高考真题）一倾角为足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立Oxy直角坐标系，如图（1）所示。从开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块施加沿x轴正方向的力和，其大小与时间t的关系如图（2）所示。已知物块的质量为1.2kg，重力加速度g取，不计空气阻力。则（    ） A．物块始终做匀变速曲线运动 B．时，物块的y坐标值为2.5m C．时，物块的加速度大小为 D．时，物块的速度大小为 【答案】BD 【详解】A．根据图像可得，，故两力的合力为 物块在y轴方向受到的力不变为，x轴方向的力在改变，合力在改变，故物块做的不是匀变速曲线运动，故A错误； B．在y轴方向的加速度为 故时，物块的y坐标值为 故B正确； C．时，，故此时加速度大小为 故C错误； D．对x轴正方向，对物块根据动量定理 由于F与时间t成线性关系故可得 解得 此时y轴方向速度为 故此时物块的速度大小为 故D正确。 故选BD。 7．（2025·湖北·高考真题）某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为L，离地高度分别为、L，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜向下，且与水平方向夹角均为θ。击球后网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹平面与球网垂直，忽略空气阻力，tanθ的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】网球水平方向上做匀速直线运动，有 设球网高度为h，向下为正，则对斜向下发出的球，有 对斜向上发出的球，有 联立以上各式，可得 故选C。 8．（多选）（2024·江西·高考真题）一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处．如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为，末速度v沿x轴正方向．在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度和竖直方向分速度与时间t的关系，下列图像可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】AC．小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向上做匀速直线运动，即为定值，则有水平位移 故A正确，C错误； BD．小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动，则 ， 且最高点时竖直方向的速度为0，故B错误，D正确。 故选AD。 9．（多选）（2024·山东·高考真题）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动时间为 B．落地速度与水平方向夹角为60° C．重物离PQ连线的最远距离为10m D．轨迹最高点与落点的高度差为45m 【答案】BD 【详解】AC．将初速度分解为沿方向分速度和垂直分速度，则有 ， 将重力加速度分解为沿方向分速度和垂直分速度，则有 ， 垂直方向根据对称性可得重物运动时间为 重物离PQ连线的最远距离为 故AC错误； B．重物落地时竖直分速度大小为 则落地速度与水平方向夹角正切值为 可得 故B正确； D．从抛出到最高点所用时间为 则从最高点到落地所用时间为 轨迹最高点与落点的高度差为 故D正确。 故选BD。 10．（多选）（2024·福建·高考真题）如图，某同学在水平地面上先后两次从点抛出沙包，分别落在正前方地面和处。沙包的两次运动轨迹处于同一竖直平面，且交于点，点正下方地面处设为点。已知两次运动轨迹的最高点离地高度均为，，，，沙包质量为，忽略空气阻力，重力加速度大小取，则沙包（　　） A．第一次运动过程中上升与下降时间之比 B．第一次经点时的机械能比第二次的小 C．第一次和第二次落地前瞬间的动能之比为 D．第一次抛出时速度方向与落地前瞬间速度方向的夹角比第二次的大 【答案】BD 【详解】A．沙包从抛出到最高点的运动可视为平抛运动的“逆运动”，则可得第一次抛出上升的高度为 上升时间为 最高点距水平地面高为，故下降的时间为 故一次抛出上升时间，下降时间比值为，故A错误； BC．两条轨迹最高点等高、沙包抛出的位置相同，故可知两次从抛出到落地的时间相等为 故可得第一次，第二次抛出时水平方向的分速度分别为 由于两条轨迹最高点等高，故抛出时竖直方向的分速度也相等，为 由于沙包在空中运动过程中只受重力，机械能守恒，故第一次过P点比第二次机械能少 从抛出到落地瞬间根据动能定理可得 则故落地瞬间，第一次，第二次动能之比为，故B正确，C错误； D．根据前面分析可知两次抛出时竖直方向的分速度相同，两次落地时物体在竖直方向的分速度也相同，由于第一次的水平分速度较小，物体在水平方向速度不变，如图所示，故可知第一次抛出时速度与水平方向的夹角较大，第一次落地时速度与水平方向的夹角也较大，故可知第一次抛出时速度方向与落地瞬间速度方向夹角比第二次大，故D正确。 故选BD。 11．（2024·北京·高考真题）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求： （1）水从管口到水面的运动时间t； （2）水从管口排出时的速度大小； （3）管口单位时间内流出水的体积Q。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向 解得水从管口到水面的运动时间 （2）由平抛运动规律得，水平方向 解得水从管口排出时的速度大小 （3）管口单位时间内流出水的体积 12．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，一雪块从倾角的屋顶上的点由静止开始下滑，滑到A点后离开屋顶。O、A间距离，A点距地面的高度，雪块与屋顶的动摩擦因数。不计空气阻力，雪块质量不变，取，重力加速度大小。求： (1)雪块从A点离开屋顶时的速度大小； (2)雪块落地时的速度大小，及其速度方向与水平方向的夹角。 【答案】(1)5m/s (2)8m/s，60° 【详解】（1）雪块在屋顶上运动过程中，由动能定理 代入数据解得雪块到A点速度大小为 （2）雪块离开屋顶后，做斜向下抛运动，由动能定理 代入数据解得雪块到地面速度大小 速度与水平方向夹角，满足 解得 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 三轮冲刺：曲线运动 一、巩固基础——知识梳理 2 （一）运动的合成与分解 2 （二）关联速度 2 （三）平抛运动 3 （四）斜抛运动 4 二、归纳整合——模型构建 5 题型一：运动的合成与分解 5 题型二：关联速度 6 题型三：平抛运动 11 题型四：类平抛运动 20 题型五：斜抛运动 24 题型六：一般抛体运动 27 三、终达彼岸——直击高考 31 一、巩固基础——知识梳理 （一）运动的合成与分解 1.基本概念 (1)运动的合成：已知分运动求合运动。 (2)运动的分解：已知合运动求分运动。 2.遵循的法则 位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。 3.运动分解的原则 根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解法。 4.合运动与分运动的关系 (1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。 (2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响。 (3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果。 （二）关联速度 1．模型特点 与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上． 2．明确合速度与分速度 合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线 3．解题原则 把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图所示． （三）平抛运动 1．基本规律 如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向． 2.推论 ①做平抛运动的物体在任意时刻(任意位置处)，有tan θ＝2tan α.(如图所示) 推导： →tan θ＝2tan α ②做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点，如图所示，即xB＝. 推导：→xB＝ （四）斜抛运动 1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动． 2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线． 3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：匀变速直线运动． 4．基本规律 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy. 初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ. 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t① vx＝v0x＝v0cos θ② 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2③ vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt④ 二、归纳整合——模型构建 题型一：运动的合成与分解 1.（多选）（25-26高三上·宁夏吴忠·月考）质量为2kg的质点在xOy平面内做曲线运动，质点在x方向的速度-时间图像和y方向的位移-时间图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．质点的初速度大小为5m/s B．质点所受的合外力为3N C．2s末质点速度大小为6m/s D．0~2s内质点的位移大小约为12m 2.（25-26高三上·安徽亳州·期末）由于强降雨，每年的夏季是长江、淮河等流域的防汛关键期。如图所示，在汛情期间某条河流在C处有一漩涡，漩涡与平直河岸相切于B点，漩涡的半径为r，在漩涡上游河岸有一点A，，漩涡外水流速度大小恒为v，为使小船从A点出发后以恒定的速度安全到达对岸，小船航行时在静水中的速度最小值为（　　） A． B． C．v D． 题型二：关联速度 【绳关联】1.（25-26高三上·湖北襄阳·月考）如图所示，细绳绕过定滑轮连接小球a和小球b，小球a固定在可绕O轴自由转动的轻质细杆的端点。整个装置平衡时，杆和绳与竖直方向的夹角均为30°，不计一切摩擦，细绳足够长。将杆从水平位置由静止释放，杆向下转动60°的过程中（　　） A．小球a和小球b的动能之和先增大后减小 B．小球a和小球b的质量之比为 C．图示位置时，小球a和小球b的速度之比为 D．图示位置时，小球a和小球b的重力功率之比为1：1 【杆关联】2.（25-26高三下·河北石家庄·月考）可视为质点的甲、乙两小球用铰链与轻杆连接，甲球套在固定的竖直杆上，乙球处于水平地面上，初始时轻杆与水平方向夹角为60°，杆长为l。无初速度释放两球到甲球落地的过程中，两球的速率随时间变化如图所示，其中t2时刻乙球速率最大。已知甲球质量为2m，乙球质量为m，重力加速度大小为g，不计一切摩擦，则（　　） A．t1时刻轻杆与水平方向夹角为30° B．t2时刻乙球对地面的压力为3mg C．t₃时刻甲球的速率为 D．过程甲、乙两球的速率图线与时间轴所围成的面积之比为 【面关联】3.（2026·江西·模拟预测）如图所示，质量为m、倾角为60°的斜面体放在水平面上，质量也为m的均质球夹在斜面和竖直墙面之间，水平外力作用在斜面体上，球和斜面体处于静止状态，斜面体对墙面的作用力为零，不计一切摩擦，重力加速度为g，则下列说法正确的是（    ） A．水平外力的大小为 B．水平外力的大小为 C．撤去外力，球向下运动过程中，球与斜面体运动的速度大小之比为 D．撤去外力，球向下运动过程中，球与斜面体运动的速度大小之比为 4.（25-26高三下·河南开封·期末）如图所示，地面上固定两根足够长的竖直杆，两杆间距为，一根长度的轻绳一端套在左杆上，另一端套在右杆上，一个光滑的动滑轮绕过轻绳，在动滑轮下面悬挂一个重物，再将轻绳左右两端分别以速度，沿竖直杆向上做匀速直线运动，则在图示位置时重物的速度为（　　） A．2m/s B． C． D． 总结提升 关联速度解题思路： （1）先找合运动——物体实际的运动就是合运动 （2）找关联速度—— 绳关联（沿绳速度相同），杆关联（沿杆速度相同），面关联（垂直于接触面的速度相同） （3）分解合速度 （4）列等式求解 题型三：平抛运动 1.（25-26高三上·广东·期末）将小石子以不同初速度水平抛出，观察石子下落过程中水平地面上石子影子的运动。太阳光可视为平行光线，光线均平行于平抛轨迹所在的竖直面。图（a）中光线竖直向下，图（b）、（c）中光线斜向下。不计空气阻力，则（    ） A．图（a）中影子可能匀变速直线运动 B．图（b）中影子运动的加速度大小可能会变 C．图（b）中影子可能匀速运动 D．图（c）中影子一定做匀变速直线运动 2.（多选）（25-26高三下·辽宁抚顺·月考）某同学站在平台上将一网球由O点水平向右抛出，网球依次经过A、B、C三点，在A、C两点速度与水平方向之间的夹角分别为α=30°，β=60°。A与B之间、B与C之间的水平距离相等。已知O、A之间的高度差为0.45m，取g=10m/s2，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．网球在A点速度大小为3m/s B．网球在C点速度大小为 C．网球在C点速度大小为9m/s D．网球由A至B与由B至C，动量变化量相同 【三维空间内的平抛运动】3.（25-26高三上·广东深圳·月考）如图，空间有一底面处于水平地面上的正方体框架，边长为L，从顶点A以不同速率沿不同方向水平抛出同一小球(可视为质点，不计空气阻力)。关于小球的运动，下列说法正确的是（    ） A．落点在A1B1C1D1内的小球，运动时间可能不同 B．落点在A1B1C1D1内的小球，击中C1点的小球初速度最大 C．落点在A1B1C1D1内的小球，击中、D1点时速度相同 D．运动轨迹与AC1相交的小球，在交点处的速度方向都相同 【平抛运动+斜面】4.（25-26高三下·河南周口·月考）如图所示，一质量为m的小球放在倾角为的斜面上，斜面足够长。现将小球从斜面一确定位置A以初速度v水平抛出，碰撞点距抛出点的距离为l，落点为C点，不计空气阻力，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球从被抛出到与斜面碰撞所用的时间为 B．若小球刚好下落到斜面时速度仅保留平行于斜面方向的分量，则该分量大小为 C．若小球在离斜面最远处沿垂直于斜面方向的投影点为B点，则 D．若将小球速度增加到2v，则碰撞点距抛出点的距离增加至2l 【临界问题】5.（25-26高三上·安徽阜阳·月考）一摩托车爱好者在准备充分的情况下，驾驶摩托车成功飞越一河流，其飞越过程简化图如图。他驾驶摩托车从轨道ABC上的A点由静止开始加速，从C处水平飞出，已知两岸高度差为h，河宽为l。为保证能落到对岸长度为s的安全区域DE内，运动过程中，人和车视为质点并忽略空气阻力，重力加速度为g，则摩托车离开C时速度v的范围为（　　） A．l≤v≤（l+s） B．l≤v≤（l+s） C．l≤v≤（l+s） D．l≤v≤（l+s） 总结提升 1．平抛运动的临界问题有两种常见情形： (1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度； (2)物体的速度方向恰好达到某一方向． 2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”、“刚好飞过壕沟”、“速度方向恰好与斜面平行”、“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题． 【平抛运动+曲面】6.（25-26高三上·辽宁·月考）如图所示，以O为原点在竖直面内建立平面直角坐标系，第Ⅳ象限的挡板形状满足方程（单位：m），小球（可视为质点）从第Ⅱ象限内的光滑四分之一圆弧轨道的顶端由静止释放，通过O点后开始做平抛运动，经0.5s击中挡板上的P点，取重力加速度大小g=10 m/s2。四分之一光滑圆弧轨道的半径为（　　） A．0.1m B．0.2m C．0.5m D．0.7m 【情景创新题】7.（25-26高三下·河北沧州·月考）如图所示，环保人员在一次检查时发现，有一根截面为圆形的排污管正在水平向外满口排出大量污水。管道内始终充满污水，污水不可压缩且没有黏滞性，污水在空中不散开，最终落到斜坡上。环保人员随身只携带了一把卷尺，他测出管道口的半径为，管口离污水落点高度为，污水落点到管口的水平距离为，已知远小于，空气阻力忽略不计。已知流量连续性方程：对于不可压缩流体，过流断面的面积与断面平均流速的乘积为常数，即。若污水垂直打到斜坡上，则落点处污水的横截面积为（　　） A． B． C． D． 【抛体运动的相遇问题】8.（多选）（2025·山东潍坊·二模）如图所示，P、Q、M为同一竖直平面内三点，P、Q位于同一条竖直线上，Q、M位于水平地面上，且PQ=QM。某一时刻小球甲从P点水平抛出，同时小球乙从Q点与QM成θ角抛出，速度方向如图，两球在M点相遇，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．从抛出到相遇，乙速度变化量大于甲 B．甲、乙初速度大小之比为 C．相遇前瞬间，甲、乙速度大小之比为 D．仅改变乙抛出的θ角，则其落地时一定位于M点的左侧 总结提升 应用换参的思想：即平抛运动和斜抛运动的加速度相同，故可以看做是两个匀速直线运动的相遇问题。 9.（多选）（24-25高三下·湖北·月考）小球a和小球b在同一高度分别以速度和水平抛出，已知小球落地碰撞反弹前后，竖直方向速度反向、大小不变，水平方向速度方向和大小均不变，小球a从抛出到第一次落地过程中，两小球的轨迹的交点（7个交点）分布如图所示，其中两小球刚好在位置2相遇（不发生碰撞，互不影响各自的运动）。设小球a运动的时间为，水平位移为L。下列说法正确的是（　　） A．两小球将在位置3再次相遇 B．小球运动到位置5经历的时间为 C．两小球轨迹交点的位置中，相邻偶数位置间的水平距离为 D．两小球轨迹交点的位置中，相邻奇数位置间的水平距离为 题型四：类平抛运动 1.（多选）（2024·山东泰安·模拟预测）如图所示，光滑斜面长为l，宽为b，顶角为θ，一物块从斜面左上方顶点P以平行于底边的初速度水平射入，沿斜面运动，恰好从底端Q离开斜面，物块可看成质点，则（    ） A．物块的初速度 B．物块的初速度 C．物块到达Q点时的速度 D．物块到达Q点时的速度 2.（2024·陕西西安·一模）有一匀强电场平行于直角坐标系xoy所在的竖直平面，现将一质量为m，带电量为+q的小球从坐标原点O处沿y轴负向以2m/s的初速度向下抛出，其带电小球运动的轨迹方程为，重力加速度取，则下列说法中正确的是（　　） A．电场强度大小为，方向与x轴正向夹角45° B．电场强度大小为，方向与x轴正向夹角30° C．电场强度大小为，方向与x轴负向夹角45° D．电场强度大小为，方向与x轴正向夹角30° （25-26高三上·江西宜春·期中）如图所示，在方向水平向里、磁感应强度大小的匀强磁场中，有一根长的竖直光滑绝缘细杆MN，细杆顶端套有一个质量、电荷量的小环。现让细杆以的速度沿垂直磁场方向水平向右匀速运动，同时释放小环（竖直方向初速度为0），小环最终从细杆底端飞出，重力加速度取。关于小环的运动，下列说法正确的是（　　） A．洛伦兹力对小环做正功 B．小环做匀速运动 C．小环在绝缘细杆上运动的时间为0.05s D．小环离开绝缘细杆时的速度大小为 题型五：斜抛运动 1.（25-26高三上·安徽亳州·期末）如图所示，在某一足够高水平平台上，时刻同时从O点抛出两小球A和B，A球以初速度与水平方向成角斜向上抛出，B球以相同速率沿相同角度斜向下抛出，两球在同一竖直面内运动。忽略空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．B球相对于A球的运动轨迹为抛物线 B．A球抛出后经时间上升到最高点 C．A球再次回到平台高度时，B球的竖直速度大小为 D．A球再次回到平台高度时，B球的竖直速度大小为 2.（25-26高三上·山东临沂·期末）如图所示，第一次从O点沿着OC方向以速度v1抛出一小球，小球打到竖直墙上和O点等高的A点，第二次也从O点沿着OC方向以速度v2抛出一小球，小球打到竖直墙上B点，已知AB和BC相等，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．v2=2v1 B．第二次小球垂直打到B点 C．两次打到墙上的速度大小相等 D．第一次小球在空中运动的时间是第二次的2倍 总结提升 斜交分解法：初速度方向做匀速直线运动+竖直方向做自由落体运动。 3.（25-26高三下·山东济南·月考）我国的抛石机最早出现于战国时期，通过人在远离抛石机的地方牵拉连在横杆上的梢抛出石块。假设有一待攻的城池，城墙高度，厚度为，攻城方想用抛石机将石弹从城外直接抛入城内，抛石机的高度相对城墙高度忽略不计，空气阻力不计，重力加速度为，则抛出石弹的最小速度应为（　　） A． B． C． D． 总结提升 结论应用：物体以与水平面成角做斜抛运动落回同一水平面时，射程最远，即当射程固定时，最小速度必定以射出。 题型六：一般抛体运动 1.（多选）（2026·江西·模拟预测）如图所示，光滑水平面内有一平面直角坐标系，物体在该平面内始终受到沿轴负方向、大小未知的恒力，物体在区域还受到沿轴正方向、大小为的恒力作用，现将一质量为m的小球从坐标原点O沿轴正方向掷出，小球的运动轨迹交直线于两点，小球通过点P时距离轴最远，小球从N点返回轴的过程中做直线运动，回到轴时的速度方向与x轴正方向的夹角为37°。已知，。则下列说法正确的是（    ） A．小球在O、P两点的加速度大小之比为5：4 B．小球在P点的速率是O点速率的倍 C．P点到轴的距离为 D．若小球初速度为，则小球在N点时合外力的功率为 2.（多选）（24-25高三下·安徽芜湖·月考）某同学将一乒乓球从距水平地面高h处的A点以速度水平抛出，乒乓球运动过程中受到的空气阻力大小始终与速率成正比，方向始终与运动方向相反，落到水平地面上的B点时速度大小恰为、方向竖直向下，如图所示。已知乒乓球从A点抛出时受到的空气阻力恰好等于自身受到的重力，重力加速度大小为g。则关于乒乓球从A点运动到B点的过程，下列说法正确的是（　　） A．空气阻力对其做的功为mgh B．水平射程为 C．时间为 D．速率的最小值为 三、终达彼岸——直击高考 1．（2025·湖南·高考真题）如图，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、、表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v（   ） A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 3．（2025·江西·高考真题）如图所示，人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为H的固定点以速率水平向右抛球，小孩以速率水平向左匀速运动，接球时手掌离地面高度为h。当小孩与机器人水平距离为时，机器人将小球抛出。忽略空气阻力，重力加速度为g。若小孩能接到球，则为（　　） A． B． C． D． 4．（2024·浙江·高考真题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为（　　） A． B． C． D． 5．（多选）（2025·山东·高考真题）如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心，半径R1=5m的圆形区域，OO′垂直地面，无人机在离地面高度H=20m的空中绕O′点、平行地面做半径R2=3m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO′B=90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g=10m/s2。下列说法正确的是（　　） A． B． C．无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地 D．无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地 6．（多选）（2024·安徽·高考真题）一倾角为足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立Oxy直角坐标系，如图（1）所示。从开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块施加沿x轴正方向的力和，其大小与时间t的关系如图（2）所示。已知物块的质量为1.2kg，重力加速度g取，不计空气阻力。则（    ） A．物块始终做匀变速曲线运动 B．时，物块的y坐标值为2.5m C．时，物块的加速度大小为 D．时，物块的速度大小为 7．（2025·湖北·高考真题）某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为L，离地高度分别为、L，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜向下，且与水平方向夹角均为θ。击球后网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹平面与球网垂直，忽略空气阻力，tanθ的值为（　　） A． B． C． D． 8．（多选）（2024·江西·高考真题）一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处．如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为，末速度v沿x轴正方向．在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度和竖直方向分速度与时间t的关系，下列图像可能正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（2024·山东·高考真题）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动时间为 B．落地速度与水平方向夹角为60° C．重物离PQ连线的最远距离为10m D．轨迹最高点与落点的高度差为45m 10．（多选）（2024·福建·高考真题）如图，某同学在水平地面上先后两次从点抛出沙包，分别落在正前方地面和处。沙包的两次运动轨迹处于同一竖直平面，且交于点，点正下方地面处设为点。已知两次运动轨迹的最高点离地高度均为，，，，沙包质量为，忽略空气阻力，重力加速度大小取，则沙包（　　） A．第一次运动过程中上升与下降时间之比 B．第一次经点时的机械能比第二次的小 C．第一次和第二次落地前瞬间的动能之比为 D．第一次抛出时速度方向与落地前瞬间速度方向的夹角比第二次的大 11．（2024·北京·高考真题）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求： （1）水从管口到水面的运动时间t； （2）水从管口排出时的速度大小； （3）管口单位时间内流出水的体积Q。 12．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，一雪块从倾角的屋顶上的点由静止开始下滑，滑到A点后离开屋顶。O、A间距离，A点距地面的高度，雪块与屋顶的动摩擦因数。不计空气阻力，雪块质量不变，取，重力加速度大小。求： (1)雪块从A点离开屋顶时的速度大小； (2)雪块落地时的速度大小，及其速度方向与水平方向的夹角。 1 学科网（北京）股份有限公司 $