精品解析：云南昆明市盘龙区新迎中学2025-2026学年下学期期中考试高二数学试卷

2025～2026学年下学期期中考试 高二数学试卷 （本试卷共4个大题19个小题；考试用时120分钟，满分150分） 考生注意： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共40分） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集定义计算求解. 【详解】集合，则. 故选：C. 2. 已知向量，若，则（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的数量积运算求解. 【详解】因为，， 所以，解得， 故选：D 3. 已知的展开式的第4项展的系数为（ ） A. 70 B. 84 C. 140 D. 280 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用通项求出，即可求解． 【详解】由题意可得的展开式的第4项为：． 故选：D． 4. 如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则该次数学成绩的50%分位数约为（采用四舍五入法精确到1）（ ） A. 76 B. 77 C. 78 D. 79 【答案】B 【解析】 【分析】从频率分布直方图中求出各组的频率，判断出50%分位数在第三组内，列式求解即可. 【详解】从左到右前2个小组的频率分别为，，第3个小组的频率为， 又，， 故50%分位数在内，. 故选：B. 5. 若数列满足，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据通项确定数列的周期即可求解. 【详解】因且，则， 而，故数列为周期为的周期数列， . 故选：B 6. 函数的大致图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排除法，先利用函数值正负的分布判断B错误，再利用特殊值判断D错误,根据极值点确定C错误，即得答案. 【详解】函数中，，当时,,看图像知B选项错误； 函数中，，当时,, 看图像知D选项错误； 解得，故为函数的极值点，故C选项不符合，A选项正确. 故选：A. 7. 某社区广场有一个如图所示的花坛，花坛有1，2，3，4四个区域，现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉.若从所有种植方案中任意选一种，则这种方案中花坛区域1和区域3种植的是同一种花卉的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出区域1与区域3种同种花卉和不同花卉的方案种数，根据古典概率的公式求解. 【详解】当区域1与区域3种植同一种花卉时，该花坛种植方案共有种； 当区域1与区域3不种植同一种花卉时，该花坛种植方案共有种． 故该花坛区域1和区域3种植的是同一种花卉的概率为. 故选：B. 8. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线与圆相切于点且与椭圆相交于、两点，若、恰为线段的三等分点，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不妨设切点在第一象限，点在第一象限，记椭圆的左焦点为，连接、，利用中位线的性质可求出，可得出，利用椭圆的定义求出，利用勾股定理可求得的值，进而利用椭圆的离心率公式可求得该椭圆的离心率的值. 【详解】不妨设切点在第一象限，点在第一象限，记椭圆的左焦点为，连接、， 由圆的几何性质可知， 易知、分别为、的中点，则，且， 所以，，由椭圆的定义可得， 由勾股定理可得，即， 整理可得，可得， 因此，该椭圆的离心率为， 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. z在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】AB 【解析】 【分析】化简，再逐项判断即可. 【详解】， 对于A：正确， 对于B： 正确， 对于C：，错误， 对于D：z在复平面内对应的点，第四象限，错误， 故选：AB 10. 已知是等差数列的前项和，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 的公差 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等差数列前项和结合等差数列的性质由，可得，即可结合选项逐一求解. 【详解】由，由于，故，因此，A正确， ，B错误， ，C错误， 由于，故，故是中最大的先，故，D正确， 故选：AD 11. 已知函数的图象与轴交于点，其图象的两条相邻对称轴之间的距离为6，且其图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为10，则（ ） A. B. C. 图象的对称轴方程为 D. 在上的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由条件可得函数的解析式，再由正弦型函数的对称轴方程以及值域即可得到结果. 【详解】， 因为图象的两条相邻对称轴之间的距离为6，所以， 得，故B正确； 又其图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为10， 所以，得，故A错误； 则，得. 因为0，所以， 则. 令，得， 则图象的对称轴方程为，故C正确； 由，得， 则，故D正确； 故选：BCD. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若是定义在上的奇函数，当时，，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】根据给定条件，利用奇函数性质求出函数值即可. 【分析】由定义在上的奇函数，得，又当时，， 则，所以. 故答案为： 13. 已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一动点，点，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】过点作抛物线的准线的垂线段，垂足点为，由抛物线的定义可得，分析可知，当且仅当、、三点共线时，取最小值，即可得解. 【详解】过点作抛物线的准线的垂线段，垂足点为，如下图所示： 易知，抛物线的焦点为，准线为， 由抛物线的定义可得，所以，， 当且仅当、、三点共线时，即当时，取最小值，且最小值为. 故答案为：. 14. 数学上用“”表示连乘运算，例如：．设函数，记，，则使成立的m的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先利用换底公式，对数运算性质化简，再解一元二次不等式即可得到答案． 【详解】由， 则， 则，解得，或， 又，所以m的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，． （1）求的面积； （2）求外接圆的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意求出，再利用三角形面积公式求解即可； （2）由余弦定理即可求解，由即可求出，进而可求外接圆的面积. 【小问1详解】 ，， . 【小问2详解】 由余弦定理得，， 设外接圆半径为，则，即， 外接圆的面积为：. 16. 如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为矩形，且平面ABCD，若，． （1）证明：平面平面PBC； （2）求二面角的余弦值； 【答案】（1）证明如下： 因为平面，平面，则， 又因为为矩形，则，且，平面， 可得平面，又平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理和判定定理可证平面，然后利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，分别为求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知：平面ABCD，且， 如图，以A为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， ，，所以， 则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 易知平面的法向量为， 则， 由题意可知：二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 17. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线交椭圆于不同的两点和，若直线的斜率为1，且以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由椭圆的离心率及过点，结合，列方程求解即可. （2）设直线l的方程为，与椭圆方程联立，韦达定理，由题意，结合韦达定理利用数量积的坐标运算求解，即可得解. 【小问1详解】 因为椭圆C的离心率为，且过点， 所以，， 又，解得，，则椭圆C的方程. 【小问2详解】 设直线l的方程为， 联立，消去y并整理得，， 由韦达定理得，， 因为以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点，所以， 即， 整理得， 因为，， 所以， 即，解得或， 因为， 所以当或时，满足条件， 则直线的方程为或. 18. 在数列中，，． （1）证明：数列是等差数列并求数列的通项公式． （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） 数列中，，， 则， 又，所以是首项，公差为3的等差数列， 故，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）利用给定的递推公式，结合等差数列定义推理并求出通项公式. （2）利用错位相减法直接求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， ， 则， 两式相减得 ， 所以. 19. 已知函数，其中. （1）证明：当时，； （2）若时，有极小值，求实数的取值范围； （3）对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 因为，则对任意恒成立， 可知在内单调递减，则， 所以当时，. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性，结合单调性分析证明； （2）求导，令，利用导数分析可知在内单调递增，分类讨论的符号，进而分析的极值，即可得结果； （3）构建，分析可知原题意等价于对任意恒成立，根据端点效应可得，并代入检验说明其充分性即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，则， 令，则对任意恒成立， 可知在内单调递增，则， 当，即时，则对任意恒成立，即， 可知在内单调递增，无极值，不合题意； 当，即时，则在内存在唯一零点， 当时，，即；当时，，即； 可知在内单调递减，在内单调递增， 可知存在极小值，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 【小问3详解】 令， 则， 原题意等价于对任意恒成立， 且，则，解得， 若，因为，则， 则， 可知在内单调递增，则，即符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年下学期期中考试 高二数学试卷 （本试卷共4个大题19个小题；考试用时120分钟，满分150分） 考生注意： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共40分） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. 6 B. C. D. 3. 已知的展开式的第4项展的系数为（ ） A. 70 B. 84 C. 140 D. 280 4. 如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则该次数学成绩的50%分位数约为（采用四舍五入法精确到1）（ ） A. 76 B. 77 C. 78 D. 79 5. 若数列满足，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 6. 函数的大致图像为（ ） A. B. C. D. 7. 某社区广场有一个如图所示的花坛，花坛有1，2，3，4四个区域，现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉.若从所有种植方案中任意选一种，则这种方案中花坛区域1和区域3种植的是同一种花卉的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线与圆相切于点且与椭圆相交于、两点，若、恰为线段的三等分点，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. z在复平面内对应的点位于第二象限 10. 已知是等差数列的前项和，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 的公差 B. C. D. 11. 已知函数的图象与轴交于点，其图象的两条相邻对称轴之间的距离为6，且其图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为10，则（ ） A. B. C. 图象的对称轴方程为 D. 在上的值域为 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若是定义在上的奇函数，当时，，则___________． 13. 已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一动点，点，则的最小值为_____. 14. 数学上用“”表示连乘运算，例如：．设函数，记，，则使成立的m的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，． （1）求的面积； （2）求外接圆的面积． 16. 如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为矩形，且平面ABCD，若，． （1）证明：平面平面PBC； （2）求二面角的余弦值； 17. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线交椭圆于不同的两点和，若直线的斜率为1，且以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求直线的方程. 18. 在数列中，，． （1）证明：数列是等差数列并求数列的通项公式． （2）若，求数列的前n项和． 19. 已知函数，其中. （1）证明：当时，； （2）若时，有极小值，求实数的取值范围； （3）对任意的恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $