精品解析：云南昆明市安宁市第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

安宁市第一中学2025－2026学年下学期高二年级期中考试 数学试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟）命题人：xyh 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上； 3．考试范围：必修一、必修二、选修一、选修二、选修三（到6.2排列组合）． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据2，8，14，16，20的平均数为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 18 2. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 记为等差数列的前n项和.若则 （ ） A. B. C. D. 7. 设抛物线 的焦点为 点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 将四个不同的小球放入三个分别标有1，2，3号的盒子中，不允许有空盒子，下列结果正确的有（ ） A. B. C. D. 18 10. 已知双曲线，则（ ） A. 的离心率为 B. 双曲线与有相同的渐近线 C. 直线与相交的弦长为 D. 的焦点到渐近线的距离为 11. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最大值 C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图象有相同的对称轴 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 假设 ，，且， 相互独立，则______；______. 13. 已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 14. 某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的表面积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在 处取得极值 . （1）求，的值； （2）求函数在上的最值. 16. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列． （2）若，求满足条件的最大整数n． 17. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）当 时，求的最小值以及取得最小值时 的集合． 18. 如图，在四棱锥中， 底面，底面为平行四边形，且 ，． （1）证明： ； （2）求平面与平面 夹角的正切值． 19. （1）求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程． （2）如图，是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以 为始边、为终边的角，求． （3）一条光线从点射出，经 轴反射后，与圆相切，求反射后光线所在直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安宁市第一中学2025－2026学年下学期高二年级期中考试 数学试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟）命题人：xyh 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上； 3．考试范围：必修一、必修二、选修一、选修二、选修三（到6.2排列组合）． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据2，8，14，16，20的平均数为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由平均数的计算公式即可求解. 【详解】样本数据的平均数为. 故选：C. 2. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法即可求解. 【详解】因为 ，所以. 故选：A. 3. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合 后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项通分，转化为一元二次不等式即可求解. 【详解】，可得， 即为，且，可得 故选：C 5. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 6. 记为等差数列的前n项和.若则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 7. 设抛物线 的焦点为 点A在C上，过A作 的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先由直线求出焦点和即抛物线 的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线 ，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线 得. 所以. 故选：C 8. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到函数的单调性，结合特殊点的函数值，利用零点存在性定理得到，，，得到答案. 【详解】由题意得在R上单调递增， 在上单调递增， 又，，故， ，，故， ，故， 故. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 将四个不同的小球放入三个分别标有1，2，3号的盒子中，不允许有空盒子，下列结果正确的有（ ） A. B. C. D. 18 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，分析可得三个盒子中有1个中放2个球，有2种解法： (1)分2步进行分析：①、先将四个不同的小球分成3组，②、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，由分步计数原理计算可得答案； (2)分2步进行分析：①、在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，②、将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，由分步计数原理计算可得答案，综合2种解法即可得答案． 【详解】根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1，2，3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法： (1)分2步进行分析： ①、先将四个不同的小球分成3组，有种分组方法； ②、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有种放法； 则没有空盒的放法有种； (2)分2步进行分析： ①、在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有种情况； ②、将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有种放法； 则没有空盒的放法有种； 故选：BC． 10. 已知双曲线，则（ ） A. 的离心率为 B. 双曲线与 有相同的渐近线 C. 直线与 相交的弦长为 D. 的焦点到渐近线的距离为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，化简双曲线的标准方程为，结合双曲线的几何性质，以及点到直线的距离公式，逐项判断，即可求解. 【详解】由双曲线，可得， 则 ，，可得，且渐近线方程为. 对于A，双曲线 的离心率，所以A错误； 对于B，双曲线的渐近线方程为，所以双曲线与 有相同的渐近线，所以B正确； 对于C，将代入，解得，故直线与 相交的弦长为5，所以C错误； 对于D，双曲线 的焦点到渐近线的距离为，所以D正确. 故选：BD. 11. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最大值 C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然 零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式， 的周期均为 ，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然 图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 假设 ，，且， 相互独立，则______；______. 【答案】 ①. 0.56 ②. 0.94 【解析】 【分析】（1）由与 相互独立知，代入求解即可， （2），代入求解即可． 【详解】解：（1）∵ ，，且与 相互独立， ∴； （2）， 故答案为：0.56；0.94． 13. 已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小 的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 14. 某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，该几何体是由棱长为的正方体截去八个四面体构成的多面体，截去的八个四面体是全等的三棱锥，结合三角形和正方形的面积公式，即可求解. 【详解】由题意，该几何体是由棱长为的正方体截去八个四面体构成的多面体，截去的八个四面体是全等的三棱锥， 同时几何体是由8个底面边长为的等边三角形和边长为的6个正方形组成的一个14面体， 所以该几何体的表面积为： . 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及几何体的表面积的计算，其中解答中正确判定几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及计算能力，属于基础题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在处取得极值 . （1）求，的值； （2）求函数在上的最值. 【答案】（1） （2）最小值为 ，最大值为 【解析】 【分析】（1）利用极值的定义列方程求解； （2）利用导数讨论函数在的单调性，结合极值和区间端点处的函数值即可求最值. 【小问1详解】 因为，所以， 因为函数在处取得极值 ， 所以，且， 解得； 经检验，时，， 令，解得 ，令，解得或， 所以在 上单调递减，在上单调递增，在 上单调递减， 所以函数在处取得极值，符合题意，所以； 【小问2详解】 由（1）可知在 上单调递减，在上单调递增，在 上单调递减； 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减； 所以当时，取得极小值 ， 在时，取得极大值， 又，， 所以在的最小值为，最大值为. 16. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列． （2）若，求满足条件的最大整数n． 【答案】（1）证明见解析 （2）99 【解析】 【分析】（1）对原等式进行化简，根据等比数列的定义判断证明即可. （2）先根据等比数列的通项公式计算，然后利用等比数列前项和公式计算结果即可. 【小问1详解】 由题意，数列满足，可得， 可得，即， 又由，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列． 【小问2详解】 由（1）可得，所以， 设数列的前项和为， 则 ， 若 ，即，因为函数为单调递增函数， 所以满足 的最大整数的值为． 17. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）当 时，求的最小值以及取得最小值时的集合． 【答案】（1），（2），时 【解析】 【分析】（1）先利用同角平方关系及二倍角公式，辅助角公式进行化简，即可求解； （2）由的范围先求出的范围，结合余弦函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）， ， ， ， 故的最小正周期； （2）由可得，， 当得即时，函数取得最小值．所以，时 18. 如图，在四棱锥中， 底面，底面为平行四边形，且 ，． （1）证明： ； （2）求平面与平面 夹角的正切值． 【答案】（1）设 ，则 ， ． 在中，根据余弦定理 ， 将 ， ，代入可得： ，所以 ． 则，所以， 因为 底面，底面，所以 ． 又因为 ，、平面，所以平面． 而平面，所以 . （2） 【解析】 【分析】（1）设 ，则 ， ，利用余弦定理结合勾股定理可证得，利用线面垂直的性质得出 ，再利用线面垂直和性质定理可证得结论成立； （2）以点 为坐标原点，、、所在直线分别为、、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面 夹角的正切值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为 底面，，四边形为平行四边形， 以点 为坐标原点，、、所在直线分别为、、 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）知 ， ， ， 则， ， ， ， 易知平面的一个法向量为 ， 设平面的一个法向量为 ， ， ， 则， 取，可得 ， 设平面与平面 的夹角为， 则， 所以， 故. 19. （1）求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程． （2）如图，是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以 为始边、为终边的角，求． （3）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，求反射后光线所在直线的方程． 【答案】（1） ；（2）；或． 【解析】 【分析】（1）根据题意双曲线方程可设为，可得关于 的方程组，进而求出 的数值即可求出双曲线的方程． （2）求出抛物线的准线方程并作出，过作准线的垂线，利用抛物线定义结合所给角即可作答． （3）设出反射光线斜率，得出反射光线方程，利用圆心到反射光线的距离为半径建立关系可求得斜率，得出方程． 【详解】（1）根据题意双曲线方程可设为，与椭圆有公共焦点， ∴，即得， 又双曲线的离心率，故，解得． 故双曲线的方程为 ． （2）抛物线的准线为，过作垂直于直线，垂足为 ， 作于，直线与轴交于点，如图： 则轴，即，四边形是矩形， 中，， 由抛物线定义知，而 ， 则，解得，所以． （3）点关于轴的对称点为，设反射光线的斜率为， 则可得出反射光线为，即， 因为反射光线与圆相切， 则圆心到反射光线的距离 ，即，解得或， 则反射直线的方程为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $