专题02 空间中点、线、面间的位置关系5种重难点常考题型（高效培优专项训练）数学苏教版高一必修第二册

**基本信息** 聚焦空间点线面位置关系，以5类常考题型系统覆盖平面基本性质的应用，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |点共线问题|5题|判断或证明点在交线上|基于公理2，利用两平面交线确定点的位置| |点（线）共面问题|9题|判断共面条件或证明共面|结合公理1、3及推论，构建平面判定依据| |线共点问题|9题|证明三线交于一点|通过公理2转化为点共线问题| |作截面图形|9题|确定截面形状或作图|运用公理1-3确定截面与各面交线| |相关计算|10题|截面周长、面积等计算|综合几何图形性质与平面基本性质|

专题02 空间中点、线、面间的位置关系5种重难点常考题型 题型一：空间中的点共线问题 题型二：空间中的点（线）共面问题 题型三：空间中的线共点问题 题型四：由平面的基本性质作截面图形 题型五：与平面基本性质有关的计算 题型一：空间中的点共线问题 1．在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（  ） A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上 【答案】B 【分析】由题意可得P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，则P∈AC，可得答案． 【解析】如图， ∵EF⊂平面ABC，GH⊂平面ACD，EF∩GH＝P， ∴P∈平面ABC，P∈平面ACD， 又平面ABC∩平面ACD＝AC， ∴P∈AC，即点P一定在直线AC上． 故选：B． 2.如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（  ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【答案】B 【分析】连接，利用公理2可直接证得，并且由三角形相似得比例关系，从而求出结果. 【解析】连接连接，，    直线平面平面. 又平面，平面平面直线 ∴三点共线. . 故选：B. 3.如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．    【答案】共线 【分析】通过分析可得三点，，在平面与平面的交线上． 【解析】∵，平面，∴平面， ∵为中点，∴为中点， ∴，平面，∴平面. ∴是平面和平面的公共点； 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， ∴三点，，在平面与平面的交线上， 即，，三点共线.      4.如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】推导出、、是平面与平面的公共点，由此能证明，，三点共线． 【解析】证明：，，，与，分别在平面的两侧， ，、、、构成一个平面， ，．，， 、、是平面与平面的公共点， 、、都在平面与平面的交线上， ，，三点共线． 5.如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．    【答案】证明见解析 【分析】由题意可证平面，平面，进而，即可证明. 【解析】因为，且平面，所以平面， 同理平面， 从而M在两个平面的交线上， 因为平面∩平面，所以成立． 所以点三点共线． 题型二：空间中的点（线）共面问题 6．如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正方体性质易判断各选项的正误. 【解析】对于A：显然、、在正方体的上底面，且三点不共线，不在正方体的上底面， 所以、、、四点不共面，故A错误； 对于B： 如图，，即、、、四点共面，即、、三点共面，且三点不共线， 又平面，所以、、、四点不共面，故B错误； 对于C：显然、、在正方体的下底面，且三点不共线，不在正方体的下底面， 所以、、、四点不共面，故C错误； 对于D： 如图，连接，则，又，所以， 所以、、、四点共面，故D正确. 故选：D 7.空间中有三条直线，，，则“，，两两相交”是“，，共面”的（  ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】D 【分析】在正方体中，举例即可. 【解析】如图，在正方体中， 三条直线两两相交，但不共面； ，都在平面中，但不相交. 所以空间中有三条直线，，，则“，，两两相交”是“，，共面”的既非充分也非必要条件. 故选：D. 8.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是（  ） A．A，M，O三点共线 B．M，O，A1，A四点共面 C．B，B1，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面 【答案】C 【分析】由长方体性质易知，，，四点共面且，是异面直线，再根据与、面、面的位置关系知在面与面的交线上，同理判断、，即可判断各选项的正误. 【解析】因为，则，，，四点共面. 因为，则平面，又平面， 则点在平面与平面的交线上， 同理，、也在平面与平面的交线上， 所以、、三点共线，从而，，，四点共面，，，，四点共面. 由长方体性质知：，是异面直线，即，，，四点不共面. 故选：C. 9.（多选）在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论正确的是（  ） A．三点共线 B．四点异不共面 C．四点共面 D．四点共面 【答案】ABD 【分析】 由长方体性质易知四点共面且是异面直线, 再根据 与 、面 、 面 的位置关系知 在面 与面 的交线上, 同理判断 , 即可判断各选项的正误. 【解析】 因为 , 则四点共面. 因为 , 则 平面 , 又 平面 , 则点 在平面 与平面的交线上, 同理, 也在平面 与平面 的交线上, 所以三点共线; 从而 四点共面,都在平面 内， 而点B不在平面 内， 所以四点不共面，故选项B正确； 三点均在平面内， 而点A不在平面内， 所以直线AO与平面相交且点O是交点， 所以点M不在平面内， 即 四点不共面， 故选项C错误； ，且， 所以为平行四边形， 所以共面， 所以四点共面， 故选项D正确. 故选: ABD. 10.如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证：、、、四点共面 【答案】证明见解析 【分析】根据中位线及等比分点可得平行，进而可证四点共面； 【解析】 连接、，， 由，分别为，中点，则， 又，，则， ， 、、、四点共面. 11.如图，在四棱锥中，，，，是的中点，分别在上，且．证明：四点共面； 【答案】证明见解析. 【分析】根据等比分点可得平行，进而可证四点共面； 【解析】在四棱锥中，取的中点，连接， 由分别是的中点，得， 又，则且， 而，，于是，且， 即四边形为平行四边形，则， 所以四点共面． 12.如图，在三棱柱ABC-中，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点, 求证：E，F，C1，四点共面； 【答案】证明见解析 【分析】根据中位线可得平行，进而可证四点共面； 【解析】证明：如图， 连接EF， ∵E，F分别为AB，BC的中点， ∴.. 又在三棱柱中，， ∴. 则E，F，，四点共面. 13.如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点. 求证：，，，四点共面. 【答案】证明见解析 【分析】通过证明即可证明，，，四点共面. 【解析】连接， 在长方体中， ∵∴四边形是平行四边形， ∴， 又因为，分别为棱，的中点，所以， 所以， 所以，，，四点共面. 题型三：空间中的线共点问题 14．在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（  ） A．直线与平行 B．直线，，相交于一点 C．直线与异面 D．直线，，相交于一点 【答案】B 【分析】首先利用相似三角形证明且，再利用中位线定理证明且，从而得到四边形为梯形，且，是梯形的两腰，设，交于一点，利用平面的性质证明是直线，，的公共点即可． 【解析】因为，，且， 所以，所以且， 因为，分别为，的中点，所以且， 所以且，故四边形为梯形，且，是梯形的两腰， 所以，交于一点，设交点为，则，， 又因为平面，且平面， 所以平面，且平面， 又平面平面， 所以， 所以点是直线，，的公共点， 故直线、、相交于一点．    故选：B. 15.（多选）如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论正确的是（  ） A．过点B B．不一定过点B C．的延长线与的延长线的交点在上 D．的延长线与的延长线的交点在上 【答案】ACD 【分析】作出辅助线，得到，P，B，Q四点共面，即平面，又平面，所以；作出辅助线，得到平面，平面，故，同理D正确. 【解析】连接，，如图， 因为P，Q分别是棱，的中点， 由勾股定理得， 所以四边形是菱形， 所以，P，B，Q四点共面，即平面. 又平面，所以，故A结论正确，B结论错误. 如图，延长与的延长线交于点F，延长与的延长线交于点E. 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面，所以， 同理，故C，D正确. 故选：ACD. 16.（多选）如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边上的三等分点，且，则下列说法正确的是（  ） A．四点共面 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 【答案】AD 【分析】利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例的性质可得，即可判断A，B；由平面基本事实推理可判断C，D. 【解析】在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，则，且， 点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则，且， 因此，点E，F，G，H四点共面，故A正确，B错误； ，，即四边形是梯形，则EF与GH必相交，交点为M， 点M在EF上，而EF在平面ACB上，则点M在平面ACB上，同理点M在平面ACD上， 则点M是平面ACB与平面ACD的公共点，而AC是平面ACB与平面ACD的交线， 所以点M一定在直线AC上，故C错误，D正确. 故选：AD. 17.直线、，直线、，点，点，点，点，若直线直线，则点必在直线 上． 【答案】BD 【分析】利用平面的基本性质证明，再根据点线、线面、及面面关系判断的位置. 【解析】由，，，、，故，， 同理，，故，      由，，则，，故，同理可得， 又直线直线，故，即， 所以必在的交线上. 故答案为：BD 18.如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点. 【答案】证明见解析 【分析】先证明，可推得相交于点，再证明即可. 【解析】在正方体中，连接， 由，得四边形是平行四边形，则， 由分别是的中点，得，则，即四点共面， 而，则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 则，即点在直线上，所以直线交于同一点. 19.如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，利用平行的传递性证明，进而可得四点共线； （2）延长，设它们交于一点，由已知可得，则，同理可得，则S和Q是同一个点，所以三条直线交于一点. 【解析】（1） 如图，取的中点分别为S,T，连接，则, 因为四边形和四边形均为正方形，，且，， 所以四边形均为平行四边形，即，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以B，D，E，G四点共面. （2）    延长，设它们交于一点S， 因为，且， 所以，则， 同理，延长，设它们交于一点Q， 因为四边形和四边形均为正方形，， 则，又， 所以，则， 因此S和Q是同一个点， 所以三条直线交于一点. 20.如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 【答案】证明见解析 【分析】先设两腰EG，FH的延长线相交于一点，再应用平面的基本性质证明三条线交于一点. 【解析】四边形是梯形，其两腰所在直线必相交． 设两腰EG，FH的延长线相交于一点， 平面ABC，平面ACD，平面ABC，平面ACD． 又平面平面， ，故直线EG，FH，AC相交于同一点． 21.如图，在正四棱台中，分别为棱，，，上的点.已知，，，，正四棱台的高为6.证明：直线，，相交于同一点. 【答案】证明见解析 【分析】根据面面相交于一条直线，再证明三线交于一点； 【解析】在正四棱台中，因为，，，，所以四边形，均为梯形， 则直线与必相交，与必相交. 延长，，，设的延长线与的延长线交于点， 的延长线与的延长线交于点． 在正四棱台中，，， 则，，得，所以点重合， 即直线，，相交于同一点. 22.已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先证明两直线平行，再根据两平行线可确定一平面证明共面； （2）结合面面交线证明三点共线； （3）根据面面相交于一条直线，再证明三线交于一点； 【解析】（1）证明：因为EF是的中位线，所以． 在正方体中，，所以． 所以EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面． （2）在正方体中，设平面为、平面BDEF为． 因为，所以．又，所以．所以Q是与的公共点． 同理，P也是与的公共点．所以． 又，所以，，且．则， 故P、Q、R三点共线． （3）因为且，所以DE与BF相交， 设交点为M，则由，平面，得平面， 同理，点平面．又平面平面， 所以．所以DE、BF、三线交于一点M． 题型四：由平面的基本性质作截面图形 23．已知正方体中，点为的中点，点为的中点，则平面截正方体形成的截面图形为（  ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】B 【分析】应用平面的基本性质画出截面图，即可得. 【解析】延长，交的延长线于， 连接，交于， 延长，交的延长线于， 连接，交于， 最后依次连接， 所得截面，即为所求. 故选：B. 24.在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（  ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】B 【分析】应用平面的基本性质画出截面图，即可得. 【解析】在正方体中，取，， 连接，，，，，，如下图所示： 因为在正方体中，，分别是棱和上的点，，， 所以，且，则四边形为平行四边形，则，， 又因为，且，所以四边形为平行四边形， 则，， 所以，，所以为平行四边形， 则正方体中过点，，的截面形状为四边形. 故选：B 25.已知一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点(不在同一侧面或同一底面内)的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可能是（  ） A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．五边形 D．正六边形 【答案】D 【分析】应用平面的基本性质画出截面图，即可得. 【解析】如图①，由图可知，截面ABC为等腰三角形，选项A可能，截面ABEF为等腰梯形，选项B可能． 如图②，截面AMDEN为五边形，选项C可能．因为侧面是正方形，只有平行于底面的截面才可能是正六边形， 故过两底的顶点不可能得到正六边形，选项D不可能　         故选：D 26.如图，棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，过，，三点的截面图形为（  ）    A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】B 【分析】画直线，借助平面基本事实确定截面多边形顶点位置即可;利用割补法求出截面面积作答. 【解析】在正方体中，画直线与的延长线分别交于点， 连接，分别与棱交于点，连接，如图1， 抹去和得过三点的正方体的截面五边形，如图2.      故选：B 27.（多选）若用一平面去截一个四棱锥，则截面的形状可能是（  ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】ABC 【分析】应用平面的基本性质画出截面图，即可得. 【解析】如下图 （1）截面为三角形 （2）截面为四边形 （3）截面为五边形 而四棱锥共5个面，故截面的形状不可能是六边形. 故选：ABC 28．（多选）如图，已知正方体的棱长为2，设P，Q分别为，的中点，则过点P，Q的平面截正方体所得截面的形状可能为（  ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】BCD 【分析】应用平面的基本性质画出截面图，即可得. 【解析】对选项A，假设过点P，Q的平面截正方体所得截面的形状为三角形，则必为三角形的一条边， 但线段不在正方体的任一表面上，不可能为截面图形的边.故A项错误； 对选项B，如图，取AB的中点为，连接PM，过点P，Q，M的平面作截面， 则平面，设平面，且点， 由平面平面，则，又，且，又， 则，故所在直线与重合，又， 连接MD，，则四边形为平行四边形，且， 故此时过点P，Q，M的平面截正方体所得的截面为四边形， 故选项B正确； 对选项C，如图，连接，过点的平面作截面， 则平面，设平面，且点， 由平面平面，则， 取上靠近的四等分点为，连接， 再分别取的中点，连接， 由，，可得四边形为平行四边形， 则，同理可证，又由分别为的中点，则， 则由平行的传递性可得，， 即所在直线与重合，即平面； 同理，取上靠近的三等分点为M，连接， 由平面平面，可得，平面； 连接，此时过点的平面截正方体所得的截面为五边形PBNQM， 故C项正确； 对选项D，如图，取M，N，E，F分别为对应棱的中点， 连接PF，FQ，QE，EN，MN，PM， 与BC项同理可由平面平面，平面平面，平面平面， 得，，， 即此时过点的平面截正方体所得的截面为六边形PMNEQF，故D项正确. 故选：BCD． 29.如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面.（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见解析；(2)图形见解析 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上,来证得在直线上. （2）取的中点P，连接，易证，则即为所求截面. 【解析】（1）平面平面, 由于平面 所以平面, 同理平面, 所以平面， 所以,即点在直线上. （2）如图所示，取的中点，连接， 因为，， 所以，故共面. 则即为所求截面. 30.如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，分别为的中点.在答题卡的图中作出平面截四棱锥所得的截面，（写出作图过程并保留作图痕迹）；    【答案】答案见解析 【分析】应用平面的基本性质画出截面图，即为所求截面. 【解析】所作截面如图1所示.    作法：延长交于点，连接交于，连接， 延长交于点，连接交于，连接， 则截面是五边形. 理由如下：不妨设截面为，由作法知，,因交于点，则, 因交于，,则，又平面, 故即平面与四棱锥的侧面的交线， 同理可得即平面与四棱锥的侧面的交线, 于是，即平面分别与四棱锥的侧面，的交线, 故可得，截面是五边形. 31.在正方体中．    (1)如图1，若平面，求证：三点共线； (2)分别为和的中点，分别为和的一个三等分点（都靠近C端）． ①如图2，求证：三线共点； ②过点三点作该正方体的截面，在图3中画出这个截面（不必说明画法和理由，但要保留作图痕迹）． 【答案】(1)证明见解析； (2)①证明见解析；②答案见解析 【分析】（1）根据平面的基本事实3即可得证； （2）①先分别延长交于点R，连接，然后利用，得出，再利用，可以得出与的交点为的三等分点，即为点Q，从而得证. ②利用平行直线共平面即可作出截面图. 【解析】（1）证明：如图，连接， 面，且面是面与面的公共点， 面， 面面， 是面与面的公共点， 面面， 又面面， 是面与面的公共点， ，即三点共线．    （2）①证明：如图，分别延长交于点R，连接， 直线面， ， 又， 与的交点为的三等分点，即点Q， 三线共点．      ②解：如图，六边形即为所求作的截面． 题型五：与平面基本性质有关的计算 32．在长方体中，若分别为的中点，过点作长方体的一截面，则该截面的周长为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据题意，做出截面，然后分别计算各边长即可得到结果. 【解析】 连接，过点做交于点，连接，即可得到截面， 因为为中点，，所以， 因为，则，且， ， 所以截面的周长为 故选:D 33.已知一正方体木块的棱长为4，点在校上，且.现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，在上取一点，使得，连接，则四边形为平行四边形，即平行四边形为所求的截面，利用余弦定理和同角的三角函数关系和三角形的面积公式求出，即可求解. 【解析】 如图，在上取一点，使得，连接， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以与相交于且为的中点， 又在上，所以与相交于，且O平分，， 所以四点四点共面且四边形为平行四边形， 所以过三点的截面是平行四边形， ， ， ， 故截面面积为. 故选：A. 34.已知为长方体，在空间内到平面、平面、平面、平面距离相等的点的个数为（　　） A．1 B．4 C．5 D．无穷多 【答案】C 【分析】将问题转化为到四面体的四个面距离相等的点有几个，然后根据内切球和旁切球的球心个数来解答. 【解析】在空间内到平面、平面、平面、平面距离相等的点， 根据平面的基本性质画出面与正方体中的交点， 如下图，问题化为确定到四面体的四个面距离相等的点的个数， 满足条件的点是内切球的球心和旁切球的球心， 内切球的球心1个；旁切球的球心4个，共5个． 故选：C． 35.在正三棱柱中，，，，，平面CMN截三棱柱所得截面的周长是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先作出截面，再根据几何关系求边长，即可求解周长. 【解析】如图1，延长与交于点，连结，与交于点， 连结，则四边形为所求截面， 其中，，    如图2，，所以，即，    如图1，若，则，所以， 即点是的中点， 所以， 中，， 所以， 所以四边形的周长为. 故选：B 36.在长方体中，点，分别是棱，的中点，点为对角线，的交点，若平面平面，，且，则实数（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交的延长线于，利用平面的基本性质可得直线即为直线，然后利用正方体的性质可得，即得. 【解析】延长交的延长线于，连接交于， ∵平面，平面，平面平面， ∴，故直线即为直线， 取的中点，连接，又点，分别是棱，的中点， ∴， ∴，， ∴，即. 故选：B. 37.（多选）如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（  ） A．平面截正方体所得的截面可能是五边形 B．一定是锐角三角形 C．当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为 D．的最小值是 【答案】AD 【分析】对于A：截面形状，依据平面与正方体各面的相交情况判断；对于B：三角形是否为锐角三角形，选取特殊位置通过余弦定理判断角的余弦值正负；对于C：截面面积，需确定截面形状并计算；对于D：的最小值，可转化为共平面结合将军饮马计算两点间距离． 【解析】对于A，如图，当点P与A，B两点不重合时，将线段向两端延长， 分别交的延长线于点，连接分别交，于R，S两点， 连接此时截面为五边形，所以A正确； 对于B，考虑，当点P与点A重合时，，，， 此时因为，故为钝角，所以B错误； 对于C，当点P与点A重合时，设的中点为，则， 所以当点与点重合时，平面截正方体所得的截面如图所示,其截面为矩形, 易知，所以其截面面积为，故C错误； 对于D，取的中点H，连接，在的延长线上取使得 ，连接与于P点， 此时， 故D正确. 故选：AD 38.在棱长为的正方体中，M是棱的中点，过，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为_________ 【答案】 【分析】首先作出截面，再求截面面积. 【解析】如图，取的中点，连接，，四边形即过，B，M三点的截面，此截面为等腰梯形，上底，下底，腰，所以梯形的高 所以梯形的面积 故答案为： 39.如图，正方体的棱长为2，点E，F分别是，的中点，过点，E，F的平面截该正方体所得的截面多边形记为，则的周长为______________- 【答案】 【分析】作出辅助线，得到五边形即为截面，根据三角形全等或相似得到各边长度，求出截面周长. 【解析】延长，与直线相交于， 连接与分别交于点，连接， 则五边形即为截面， 正方体的棱长为2，点分别是的中点， 所以， 由得， ，， 所以分别为靠近的三等分点，故， 所以由勾股定理得， ， ， 所以的周长为. 故答案为： 40.如图，在正三棱柱中，，，，分别为棱，，的中点，过，，三点作正三棱柱的截面，则截面与侧面的交线长为 .    【答案】 【分析】作出辅助线，得到为截面与侧面的交线，根据三角形全等，求出交线长. 【解析】如图，延长交的延长线于，连接交于，连接.    因为面，，所以面，又面，所以面， 所以为截面与侧面的交线. 取中点，连接，则，且, 易知，所以，所以为的中点， 所以，则. 故答案为：. 41.如图，在长方体中，，截面． (1)求证：B、P、三点共线； (2)若，，，求DP的长． 【答案】(1)见解析；(2). 【分析】（1）证明出点在平面与平面的交线上即可； （2）由（1）推理出点为与交点，利用三角形重心的特点即可得到答案. 【解析】（1）平面， 所以平面，又平面, 平面平面，所以, 即三点共线. （2）连接，再连接，交于点，由（1）及， 则点为与交点， ，四边形为平行四边形， 是中点，又是的中点, 所以点是的重心,所以, 又因为,所以, 所以. 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间中点、线、面间的位置关系5种重难点常考题型 题型一：空间中的点共线问题 题型二：空间中的点（线）共面问题 题型三：空间中的线共点问题 题型四：由平面的基本性质作截面图形 题型五：与平面基本性质有关的计算 题型一：空间中的点共线问题 1．在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（  ） A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上 2.如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（  ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 3.如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．    4.如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 5.如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．    题型二：空间中的点（线）共面问题 6．如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（  ） A． B． C． D． 7.空间中有三条直线，，，则“，，两两相交”是“，，共面”的（  ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 8.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是（  ） A．A，M，O三点共线 B．M，O，A1，A四点共面 C．B，B1，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面 9.（多选）在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论正确的是（  ） A．三点共线 B．四点异不共面 C．四点共面 D．四点共面 10.如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证：、、、四点共面 11.如图，在四棱锥中，，，，是的中点，分别在上，且．证明：四点共面； 12.如图，在三棱柱ABC-中，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点, 求证：E，F，C1，四点共面； 13.如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点. 求证：，，，四点共面. 题型三：空间中的线共点问题 14．在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（  ） A．直线与平行 B．直线，，相交于一点 C．直线与异面 D．直线，，相交于一点 15.（多选）如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论正确的是（  ） A．过点B B．不一定过点B C．的延长线与的延长线的交点在上 D．的延长线与的延长线的交点在上 16.（多选）如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边上的三等分点，且，则下列说法正确的是（  ） A．四点共面 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 17.直线、，直线、，点，点，点，点，若直线直线，则点必在直线 上． 18.如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点. 19.如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 20.如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 21.如图，在正四棱台中，分别为棱，，，上的点.已知，，，，正四棱台的高为6.证明：直线，，相交于同一点. 22.已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 题型四：由平面的基本性质作截面图形 23．已知正方体中，点为的中点，点为的中点，则平面截正方体形成的截面图形为（  ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 24.在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（  ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 25.已知一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点(不在同一侧面或同一底面内)的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可能是（  ） A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．五边形 D．正六边形 26.如图，棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，过，，三点的截面图形为（  ）    A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 27.（多选）若用一平面去截一个四棱锥，则截面的形状可能是（  ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 28．（多选）如图，已知正方体的棱长为2，设P，Q分别为，的中点，则过点P，Q的平面截正方体所得截面的形状可能为（  ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 29.如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面.（写出作图过程并保留作图痕迹） 30.如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，分别为的中点.在答题卡的图中作出平面截四棱锥所得的截面，（写出作图过程并保留作图痕迹）；    31.在正方体中．    (1)如图1，若平面，求证：三点共线； (2)分别为和的中点，分别为和的一个三等分点（都靠近C端）． ①如图2，求证：三线共点； ②过点三点作该正方体的截面，在图3中画出这个截面（不必说明画法和理由，但要保留作图痕迹）． 题型五：与平面基本性质有关的计算 32．在长方体中，若分别为的中点，过点作长方体的一截面，则该截面的周长为（  ） A． B． C． D． 33.已知一正方体木块的棱长为4，点在校上，且.现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（  ） A． B． C． D． 34.已知为长方体，在空间内到平面、平面、平面、平面距离相等的点的个数为（　　） A．1 B．4 C．5 D．无穷多 35.在正三棱柱中，，，，，平面CMN截三棱柱所得截面的周长是（  ）    A． B． C． D． 36.在长方体中，点，分别是棱，的中点，点为对角线，的交点，若平面平面，，且，则实数（  ） A． B． C． D． 37.（多选）如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（  ） A．平面截正方体所得的截面可能是五边形 B．一定是锐角三角形 C．当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为 D．的最小值是 38.在棱长为的正方体中，M是棱的中点，过，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为_________ 39.如图，正方体的棱长为2，点E，F分别是，的中点，过点，E，F的平面截该正方体所得的截面多边形记为，则的周长为______________- 40.如图，在正三棱柱中，，，，分别为棱，，的中点，过，，三点作正三棱柱的截面，则截面与侧面的交线长为 .    41.如图，在长方体中，，截面． (1)求证：B、P、三点共线； (2)若，，，求DP的长． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $