专题06 立体几何中截面、动点（轨迹）与翻折问题（专项训练）数学苏教版必修第二册

专题06立体几何中截面、动点（轨迹）与翻折问题 目录 A题型建模・专项突破 题型01多面体中的截面问题 题型02球体中的截面问题 题型03动点中平行与垂直应用 题型04动点的轨迹问题 题型05翻折中平行与垂直的问题 题型06翻折中角度的问题 题型07翻折中距离的问题 B综合攻坚・能力跃升 题型01多面体中的截面问题 1．在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定四点共面，进而计算结果即可. 【详解】取线段的中点为，的中点为，，如图， 因为正方体中，分别是棱的中点， 所以，所以四点共面. 由正方体的棱长为2，可得，， 所得截面周长为， 故选：B. 2．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，为线段上的动点，过三点的平面截正方体所得截面面积的最大值 。 【答案】 【详解】在正方体中，过的截面为六边形且六边形为正六边形时面积最大. 此时过的截面经过对称中心， 设截面交于中点，也为中点， 所以为的中点时，过三点的平面截正方体所得截面面积最大， 取的中点为，连接，如下所示： 故此时截面为正六边形， 其面积 3．已知正三棱台 ， 点 分别在上，且    (1)求过点的平面截正三棱台 的截面周长； 【答案】(1) 【分析】（1）确定截面的形状及各顶点位置，然后分别求出截面各边的长度，最后将各边长度相加得到截面周长. 【详解】（1）延长交于点 M， 连接交于 ， 连接则截面为 ， 过作， 可知为中点   ， 过作， 则 ， ， 所以是中点 在中，， 用余弦定理求得 在中，， 同理求得 ， 在中， ， 同理求得 ， 在等腰梯形中，可求得 ， 所以截面 周长 4．已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】采用截面扩展法找出截面与各条棱的交点，即可得到截面形状. 【详解】 延长，交的延长线于点，延长，交的延长线于点， 连接，交于，连接，交于， 连接，. 则五边形即为过与该正方体的截面. 故选：C. 5．（多选）在棱长为2的正方体中，，，分别为棱，，BC的中点，为上的动点，过，，的平面截正方体所得的截面面积为 。的最小值为 。 【答案】 【分析】画出过，，的截面，求其面积；将平面沿展开到与在同一平面，根据两点之间线段距离最短，求得的最小值. 【详解】 过，，的平面截正方体可得如图正六边形. 因为，所以其面积为. 将平面沿展开到与在同一平面，如图所示. 当三点共线时，取得最小值. 因为，所以. 所以的最小值为. 6．（多选）如图，有一块正四棱台的木料，木工师傅想经过木料表面内（不含边界）一点与棱把木料锯成两块，为此需要先在面内作出交线，下列关于交线与截面形状的说法正确的是（    ） A．截面形状是梯形 B．截面形状可能为等腰梯形 C．直线与直线相交 D．直线与直线相交 【答案】ACD 【分析】把正四棱台还原成正四棱锥，再结合棱台、棱锥的结构特征逐项判断. 【详解】依题意，正四棱台的侧棱延长交于点， 直线分别与棱交于点，连接，平面即为平面， 对于CD，直线平面平面，直线与直线、直线都相交，CD正确； 对于AB，平面平面，平面平面，平面平面， 则，，因此截面是梯形，A正确； 在等腰中，在线段上（除端点外），则，而， 于是，即，梯形不是等腰梯形，B错误. 故选：ACD 题型02球体中的截面问题 7．球的半径为10，若它的截面面积是，则球心到截面的距离是（ ） A．9 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】利用即可求解. 【详解】因为球的截面面积是，故截面圆的半径， 设球心到截面的距离是，则解得. 故选：C 8．某器具的形状可以看作一个球被一个棱长为8的正方体的六个面所截后剩余部分（如图所示），球心与正方体的中心重合，若一个截面圆的面积为，则该球的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设截面圆的半径为，球的半径为，根据截面圆的面积求得，利用球的截面性质求，再利用球的表面积公式求结论. 【详解】设截面圆的半径为，球的半径为， 由题意知截面圆的面积为，所以， 因为球心到截面圆的距离为，故， 所以该球的表面积. 故选：C. 9．一个球被平面截下的一部分（不大于半球的部分）叫作球缺，截面叫作球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫作球缺的高，球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高，则棱长为3的正四面体的一个侧面截其外接球所得的球缺的体积为__________. 【答案】 【分析】先根据正四面体的性质求出外接球的半径，球缺的高，代入公式可得答案. 【详解】如图，记正四面体PABC外接球的球心为，半径为，外接圆的圆心为. 因为，所以，所以，得， 所以球缺的体积. 故答案为： 10．已知正四面体．的所有棱长均为，D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将正四面体如图放于正方体中，由题目条件可得外接球半径，注意到四面体相似于四面体，相似比为，据此可得球心到到平面距离，然后可得截面圆半径，可得答案. 【详解】将正四面体如图放于正方体中，因的所有棱长均为， 则正方体棱长为，该正四面体的外接球即正方体的外接球，球心O为正方体中心， 外接球半径为.因D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则 棱长均为，则四面体相似于四面体，相似比为. 注意到， 则，设中心为，则为正四面体的高. 则. 又三点共线，则到平面距离为. 注意到该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面为圆，则圆半径为，故截面面积为. 故选：C 11．如图.已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点Q为上一点，且，则过点A，B，Q的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为______.    【答案】/ 【分析】取的中点为，的中点为，连接，在平面中，过作平分线，交于，则到底面及三个侧面的距离相等，求出结合体高可求该棱台内最大的球的球的半径，故可求对应的表面积. 【详解】取的中点为，的中点为，连接， 且上底面中心在线段上， 且，同理， 而垂直于上下底面，且在上底面中，在下底面中， 故，故， 在平面中，过作平分线，交于， 则到底面及三个侧面的距离相等. 又，故， 故（负解舍去），故， 由正三棱台的对称性可知棱台内最大的球要么与上下底面相切， 要么与底面及3个侧面相切，而， 故棱台内最大的球与底面及3个侧面相切，且球的半径为，    故所得的截面面积为. 故答案为：. 12．已知正四面体内接于球，球半径为3，为的中点，过点作球的截面，求截面圆半径的最小值（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】令正四面体的棱长为，由正四面体外接球的相关几何关系列方程求得，再由截面圆半径最小，只需垂直于截面圆，求该截面圆的半径最小值. 【详解】如下图示，，令正四面体的棱长为，则底面半径， 所以， 所以，则， 所以，则，可得， 要使截面圆半径最小，只需垂直于截面圆，而， 所以截面圆半径为. 故选：D 题型03动点中平行与垂直应用 13．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为正方形，分别为的中点. (1)直接写出图中与平行的平面； (2)求证：平面平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面?若存在，求三棱锥体积；若不存在，说明理由. 【答案】(1)平面，平面 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）由已知可得，，然后由线面平行的判定定理可得结论； （2）由已知面面垂直可得平面，再由面面垂直的判定定理可证得结论； （3）当为中点时，满足条件，连接，设，可得，，再结合面面垂直可得平面，然后由面面垂直的判定得平面平面，利用等体积法可求得三棱锥体积. 【详解】（1）因为四边形为正方形，分别为的中点. 所以，，， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，， 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面； （2）因为四边形为正方形，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. （3）存在，当为中点时，平面平面. 证明：连接，设， 因为四边形为正方形，E，M分别为、的中点， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为为中点，所以. 因为，E为的中点， 所以，，. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以平面. 又因为平面，所以平面平面. 所以存在点，使得平面平面. 则. 14．如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为，的中点，平面平面. (1)判断直线与的位置关系并证明； (2)直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由； (3)若为的中点，平面将四棱锥分为上下两个几何体，求下面的几何体与四棱锥的体积比. 【答案】(1)，证明见解析 (2)当为的中点时，平面平面，证明见解析 (3) 【分析】（1）先判断平面，进而根据线面平行的判定定理可证； （2）利用面面平行的判定定理可证. （3）将下面的几何体分为三棱锥和四棱锥，利用底和高之比可得体积比. 【详解】（1）由题意可知，又平面，平面，故平面， 又平面平面，平面， 所以. （2）当为的中点时，平面平面，证明如下： 取的中点，连接， 在中，，又平面，平面， 故平面， 同理可证，平面，又平面，， 所以平面平面 （3） 连接，设到平面的距离为， 则 因为分别为的中点，故四边形的面积为 故下面的几何体的体积为 即下面的几何体与四棱锥的体积比为. 15．如图所示，正四棱锥，，底面边长，M为侧棱PA上的点，且． (1)求正四棱锥的体积； (2)若为的中点，证明：平面； (3)侧棱上是否存在一点E，使平面，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）根据体积公式可求几何体的体积； （2）连，交于，可证，故可证平面； （3）存在，，此时作中点，连结，，，可证平面平面，故可得平面. 【详解】（1）连接，设，连接，则平面． 中，，，， 所以． （2）由正方形可得为的中点，而，， 又平面，平面， 平面． （3）存在，．理由如下：作中点，连结，，． ，， 又平面MBD，平面， 平面， ，， 又平面，平面， 平面， 又平面， 平面平面，而平面， 平面． 16．如图，已知四棱锥的底面为菱形，平面底面． (1)求证：． (2)若为侧棱的中点，在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，2 【分析】（1）利用线面垂直证明线线垂直即可； （2）记，则为的中点．取侧棱上的点，使得平面，连结，交于点，连结，然后根据其他已知条件利用空间向量解决即可. 【详解】（1）由已知得为菱形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面,所以． （2）如图，记，显然为的中点． 取侧棱上的点，使得平面， 连结，交于点，连结， 则，从而是的中点． 因为为的中点，所以． 设， 则． 因为三点共线， 所以，解得． 所以，故． 又当时，确有是的中点， 从而，故平面． 所以在侧棱上存在点，使得平面， 此时． 17．如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，且 【分析】（1）借助长方体的性质与线面垂直的判定定理可得平面，再借助面面垂直的判定定理即可得证； （2）结合直线与平面所成角的定义可得等于直线与平面所成的角，再借助正弦的定义计算即可得； （3）找出符合要求的点，再借助线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）由长方体性质可得平面，又平面，故， 又，则底面为正方形，故， 又，、平面，故平面， 又平面，故平面平面； （2）令，连接、，由长方体性质可得， 则直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 由（1）知平面，故等于直线与平面所成的角， ，，则， 即直线与平面所成的角的正弦值为； （3）存在，且，即点与重合，连接、、， 则， ， ， 有，故， 由平面，平面，故， 又，、平面，故平面， 故在直线上存在点Q使得平面，且. 18．如图，斜三棱柱中，，四边形是菱形，为的中点，平面，． (1)求证：四边形为矩形； (2)在上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若分别为，的中点，求此斜三棱柱被平面所截的截面面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3) 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理和判定定理求解即可； （2）过点作的垂线交于点，由线面垂直的性质定理和判定定理可知平面，过点作的平行线交于点，所以平面，再在平面中以为原点，为轴建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示求解即可； （3）延长，交于点，连接交于点，连接，，则四边形即为所得截面，利用线面垂直的判断定理和性质定理，结合余弦定理求该截面面积即可. 【详解】（1）斜三棱柱中，侧面是平行四边形， 因为平面，平面，所以， 因为，，所以平面， 又因为平面，所以，所以四边形为矩形. （2）如图，过点作的垂线交于点， 因为平面，平面，所以， 又因为，，，所以平面， 过点作的平行线交于点，连接，所以平面， 由斜三棱柱的性质易知， 在平面中以为原点，为轴建立平面直角坐标系， 所以，，，，， 设，则，所以，， 因为，所以， 即，解得， 在上是存在点，当时，平面. （3）延长，交于点，连接交于点，连接，， 则四边形即为所得截面， 因为四边形是菱形，为的中点，平面，平面， 所以，是等边三角形，则， 因为，所以， 过作交于， 因为，，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，， 在中，因为， 由余弦定理可知， 因为分别为，的中点，，易知与全等， 所以，，， 在直角三角形中，由可得， 在中，由余弦定理可知， 所以， 所以， 设截面面积为，由于，， 所以 . 即所求截面面积为. 题型04动点的轨迹问题 19．已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，点在侧面内运动（包含边界），且直线与平面所成角的正切值为，则动点的轨迹长度为______． 【答案】 【分析】先将正三棱台侧棱延长补成正三棱锥，求出点到平面的距离即可确定点的运动轨迹，进而可得出答案． 【详解】将正三棱台补全为三棱锥， 则三棱锥为棱长为3的正四面体， 如图（一）所示.设点在侧面的射影为点，可得， 取点为的中点，可求得，，， 为的中心， 又直线与平面所成角的正切值为，所以， 在等腰梯形内（含边界），动点的轨迹为到的距离为1的圆弧与圆弧， 为的中心， 由对称性可知为正六边形， ，， 如图（二）所示，所以动点的轨迹长度为．    故答案为：． 20．（多选）在棱长为1的正方体中，点P是线段（含端点）上的一个动点，则下列结论正确的是（   ） A． B．若点M在正方形内（含边界），且，则点M的轨迹长为 C．三棱锥的体积的最大值为 D．存在点P，使得异面直线与所成的角为 【答案】AB 【分析】根据正方体的性质、线面垂直的性质，结合球的定义、三棱锥的体积公式、异面直线所成角的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，在正方体中，有平面平面，所以，选项A正确； 对于B，，则点M在以点D为球心，半径的球上，又点M在正方形内（含边界），所以点M在球与正方形的交线上，即点M在以点为圆心，半径的圆周上，点M的轨迹长为，选项B正确； 对于C，，点到平面的距离是定值，定值为，三棱锥的体积取最大值，即三棱锥的体积取最大值，即底面的面积取最大值，即点P与点重合，，选项C错误； 对于D，异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，即，所以，又，所以选项D错误． 故答案为：AB 21．（多选）若正四棱柱的底面棱长为4，侧棱长为3，且为棱的靠近点的三等分点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面的所成角，下列结论正确的是（ ） A．点形成的轨迹长度为 B．有且仅有一个点使得 C．四面体的体积取值范围为 D．线段长度最小值为 【答案】AC 【分析】A选项，根据题意得所在区域为以为圆心，1为半径的圆在正方形内部部分（包含边界）；B选项，寻找到不止一个点使；C选项，根据点不同位置求出点到平面的距离最大值及最小值，求出最大体积和最小体积； D选项，结合的所在区域及三角形两边之和大于第三边求出长度最小值. 【详解】A选项，由线面角的定义可知，，即， 故点所在区域为以为圆心，1为半径的圆在正方形内部部分（包含边界），即圆的， 轨迹长度为，A正确； 如图，设点的轨迹与交于点， B选项，不妨点与点重合，此时， 由余弦定理可得：，则， 同理可得：，则， 故不止一个点使得，B错误； C选项，如图，平面，平面，所以， 且，，平面， 所以平面，平面，所以平面平面， 且平面平面， 因为，平面，平面， 所以平面，所以点到平面的距离相等， 如图，当点在点处时，此时点到平面的距离最大，最大距离为， 此时四面体的体积为， 当与点重合时，此时点到平面的距离最小，最小距离为， 因为，所以，所以最小体积为， 故四面体的体积取值范围为，C正确； D选项，当取最小值时，线段长度最小， 由三角形两边之和大于第三边知：当三点共线时，取得最小值， 即，则，D错误. 故选：AC. 22．（多选）已知P是棱长为6的正方体表面上一个动点，Q为棱的中点，则下列说法中正确的是（    ）    A．过点A，B，Q的截面是一个直角梯形 B．若P在上，则 C．若P在上，则存在某个P点，使得 D．若三棱锥的体积为18，则P点轨迹的长度为 【答案】BCD 【分析】取中点，连接，证明四边形为平行四边形可判断A；连接，由线面垂直可判断B；当点与点重合时可判断C；由三棱锥的体积公式求出到面的距离，再结合空间对称性可得D. 【详解】    对于A，取中点，连接， 因为Q为棱的中点，由正方体的性质可得且， 所以四边形为平行四边形，即过点A，B，Q的截面是一个平行四边形，故A错误；    对于B，连接，由正方形对角线的性质可得， 又侧面，面，所以， 即平面，所以平面， 因为平面，所以 ， 连接，同理可证明， 所以平面，所以平面， 即P在上，则，故B正确； 对于C，当点与点重合时，由正方体的性质可得侧面， 又面，所以，故C正确； 对于D，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，， 设到面的距离为，由棱锥的体积公式可得， 即到面的距离为， 设到平面的距离为， 则由等体积法可得，即， 所以P点轨迹为与平面平行的两个正三角形，其中一个为过中点的正三角形， 又正方体的体对角线长为，由空间对称性可知另一个为中点的正六边形，， 所以轨迹长度为，故D正确. 故选：BCD. 23．（多选）若球的半径为2，为直径，中点为P，则下列说法正确的是（   ） A．球面上任意一点到P距离的最大值为3 B．过P作球O的截面，则截面面积的最小值是 C．若某正方体的外接球是球O，则点P到该正方体各面距离的最大值是 D．若某正四面体的外接球是球O，则点P在该正四面体上的轨迹长度是 【答案】ACD 【分析】对于A，分析出球面上一点到球内一点的最大距离为即可判断；对于B，分析出当垂直于截面时，截面的面积最小即可判断；对于C，设正方体的棱长为，分析出P到该正方体各面距离的最大值为即可判断；先求出正四面体的高即球心到正四面体一个面的距离，再判断出点与正四面体的每个面的交线是一个圆，并求出截面圆的半径，即可求出点P在该正四面体上的轨迹长度，即可判断. 【详解】 对于A，如图所示球的半径，为直径，中点为P，则有. 根据球的性质可知，球面上一点到球内一点的最大距离为球的半径 加上该点到球心的距离，即，故A正确； 对于B，过P作球O的截面，当垂直于截面时，截面圆的半径最小， 由勾股定理可知， 所以截面面积的最小值为，故B错误； 对于C，如图所示： 若正方体的外接球是球O，设正方体的棱长为， 则有，由可知. 已知球心到正方体各面的距离为，又因为， 所以点P到该正方体各面距离的最大值是， 故C正确； 对于D，如图所示 若正四面体的外接球是球O，取的中点为，连接， 设在底面的射影为，则在上，且， 设正四面体的棱长为， 则正四面体的高 又因为外接球半径， 由可知，，. 所以点与正四面体的每个面的交线是一个圆，截面圆的半径，周长为， 所以点P在该正四面体上的轨迹长度是，故D正确. 故选：ACD 24．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为正方形内一动点，且平面，则点的轨迹的长度为_____． 【答案】 【分析】两次应用线面平行判定定理得出平面，进而得出点的轨迹为线段，计算即可求解. 【详解】如图，分别取，的中点，连接，GH，，，HP， 因为为的中点，得，，则四边形是平行四边形，故， 因为平面，平面，故平面， 又因为，，则四边形是平行四边形，故， 因为，故，又平面，平面，可得平面， 且，平面，故平面平面． 又因为平面，故平面，故点的轨迹为线段，其长为． 故答案为：． 题型05翻折中平行与垂直的问题 25．如图1，在矩形中，已知，为的中点，将沿向上翻折，得到四棱锥（图2）. (1)若为的中点，求证：平面； (2)求证：； (3)在翻折过程中，当二面角为时；在平面内有一动点满足：直线与底面所成角正弦值为，求动点的轨迹长度. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取的中点，连接，根据几何关系证得四边形为平行四边形，从而利用线面平行的判定定理证明即可； （2）结合勾股定理利用线面垂直的判定定理证明平面，然后利用线面垂直的性质定理证明即可； （3）过作垂足为，利用定义法得为二面角的平面角，设，可得，求出，进而为直线与平面所成的角，求得，，求出动点的轨迹，即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以， 因为四边形为矩形，所以， 又因为为的中点，所以，所以， 所以四边形为平行四边形，所以； 又平面平面，所以平面； （2）在图1中，连接， 所以，因为，所以， 又因为，所以，所以，同理， 又，所以，所以. 由翻折性质得：，因为， 所以平面，平面，所以； （3）过作垂足为， 由（2）知：平面，平面平面， 所以平面，所以； 因为，所以平面， 过作垂足为，连接， 因为平面，平面，所以，，平面，平面，平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 因为平面，平面，所以， 所以为等腰直角三角形，设，由题意，知：， 在中，， 所以. 所以，所以分别为的中点， 因为平面，平面，所以，平面，所以为直线与平面所成的角，所以， 所以，所以，且平面， 所以动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 所以动点R的轨迹长度为. 26．在梯形中，．为的中点，为的中点．将所在平面沿翻折，使构成的四棱锥体积最大．    (1)求证：平面； (2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面?并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)当为中点时，平面平面，证明见解析. 【分析】（1）连接，证明，，根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）取中点为，连接，，，先根据面面平行的判定定理，证明平面平面，再由平面平面，即可证明平面平面. 【详解】（1）因为，又为的中点， 所以为等边三角形，四边形为菱形，所以， 因为为的中点，所以，所以，即 连接，所以， 若使构成的四棱锥体积最大，则平面， 因为平面，所以， 因为，平面，平面， 所以平面；    （2）当为中点时，平面平面. 取中点为，连接，，，因为为边的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 所以平面平面， 由（1）得平面，又平面，所以平面平面， 所以平面平面.    27．如图1，在中，，，分别是的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知先证明平面，然后由面面垂直的判定定理即可证明； （2）连接，过点作，垂足为，连接，得出二面角的平面角为，即可求解. 【详解】（1）因为分别是的中点，所以， 因为，所以，则，，即， 又因为，平面，所以平面， 故平面，又平面， 所以平面平面. （2）连接，过点作，垂足为，连接，如图所示， 因为平面，直线与平面所成的角为 所以，即， 因为，，所以，是等腰直角三角形， 可得，所以，即为等边三角形， 则点为中点，， 在中，，在中，，则， 由点为中点得，， 又平面，平面，平面平面， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以二面角的正切值为. 28．如图，在长方形ABCD中，，，M是边CD的中点，将沿直线翻折至，使得，连接，得到四棱锥． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）取中点，连接，证明平面，再由面面垂直的判定定理可得面面垂直； （2）取中点，作，且，连接，证明平面，作于点，连接，证明是直线与平面所成角，然后求出其正弦值. 【详解】（1）取中点，连接，如图， 由已知，所以，且， 中，， 又，所以， 所以，所以， 又，平面， 所以平面，而平面， 所以平面平面； （2）取中点，作，且，连接， 则是平行四边形，所以，是中点，则，所以， 因为平面，平面，所以平面，即平面， 所以平面. 由（1）知平面，平面，所以，同理， 所以， 作于点，连接， 因为，平面， 所以平面，而平面，所以， 又因为平面，所以平面， 平面，则， 所以是直线与平面所成角， 在中，由得， . 所以直线与平面所成角的正弦值为. 29．（多选）如图1，已知矩形中，，，E为中点，现将沿翻折后得到如图2的四棱锥，点F是线段上（不含端点）的动点，则下列说法正确的是（   ） A．当F为线段中点时，平面 B． C．不存在点F，使平面 D．当F为线段中点时，过点A，E，F的截面交于点M，则 【答案】ACD 【分析】对于A，只需证明平面平面，再结合面面平行的性质即可判断；对于BC，利用反正法说明错误即可；对于D，首先得E，C分别为的中点，进一步根据几何形状判断即可. 【详解】对于A，取中点N，连接，， 因为F为的中点，所以，因为平面，平面， 所以平面， 在矩形中，，，故四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，平面，平面， 所以平面平面，所以平面，故A正确； 对于B，假设存在某个位置，使，取中点O，连接，， 显然，而，，平面， ∴平面，平面，∴，则， 但，，不可能相等，所以不可能有，所以B选项错误； 对于C，假设存在点F，使得平面成立， 因为平面，所以， 又因为且，，平面，所以平面， 又因为平面，那么， 又因为，则直角边大于斜边，矛盾，所以C选项正确； 对于D，由题意得，平面，， 由平面，得平面， 延长，交于点H，连接，则平面平面， 所以，故， 由，，得E，C分别为的中点， 若F为的中点，则， 所以，即，故D正确. 故选：ACD. 30．如图，在等腰梯形中，，.将沿着翻折，使得点到点，且. (1)求证：平面平面； (2)求二面角平面角的正切值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）要证明面面垂直，可通过线面垂直推导出面面垂直，即证明平面即可. （2）首先作适当的辅助线，根据线面垂直找出二面角的平面角，然后根据边角关系求出正切值. （3）根据等体积法，，即可求出点到平面的距离. 【详解】（1）证明： 连接，根据余弦定理， ∴，，∴， 又已知，平面， ∴平面，∵平面， ∴平面平面； （2） 由（1）知平面平面，平面平面， 作于（中点），则平面， 作于，连接，因为平面， 所以平面， ∴，所以为二面角的平面角， 因为， ∴. 所以二面角平面角的正切值为. （3）记点到平面的距离为， ∵，∴， 由（2）知，所以根据勾股定理可得， ∴. 所以点到平面的距离为. 题型06翻折中角度的问题 31．如图，在平行四边形ABCD中，，，将沿AC翻折，使点B到达点P的位置． (1)求三棱锥体积的最大值； (2)当二面角的平面角为时，求三棱锥外接球的表面积； (3)在翻折过程中，求异面直线AC与PD所成角的余弦值的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依据当平面平面ACD时，最大，计算即可； （2）补全图形为三棱柱，计算外接圆半径，然后根据外接球半径，最后利用球的表面积公式计算即可. （3）作出图形，得到点B关于点A对称点，然后得到，依据，最后计算即可. 【详解】（1）∵点P到平面ACD的距离， ∴当平面平面ACD时，最大，． （2）如图，将三棱锥补成正三棱柱， 则为二面角的平面角，AP=2， 设与外接圆圆心分别为，，则球心O为的中点， ，设外接圆半径为，由，所以， 则外接球半径，所以外接球的表面积． （3）如图，设点与点B关于点A对称，则， 翻折中点P在以A为圆心、半径为2的圆周上运动，四边形为正方形，且， ∴异面直线PD与AC所成角为，又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴异面直线AC与PD所成角的余弦值的取值范围为． 32．如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使，为的中点，如图2.     (1)求证：平面⊥平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线线垂直证明平面，进而得到平面⊥平面； （2）利用线线垂直证明平面，得到即为与平面所成的角，即可求解. 【详解】（1）因为为正方形，所以， 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 即平面⊥平面； （2）连接，由（1）知，平面，平面， 所以，因为，，平面， 所以平面，所以即为与平面所成的角， 因为，所以，所以， 所以与平面所成角的正弦值为. 33．如图，在中，．将沿AD翻折至． (1)求证：平面.； (2)若二面角的平面角为，求直线AB与平面AED所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由题可求的余弦值，根据余弦定理可求，利用勾股定理可得，翻折后，由此即可证明平面； （2）由（1）得，过作交于，连接，然后可证平面，即就是直线AB与平面AED所成角，进行求值即可. 【详解】（1）,,, , ，即，翻折后， 又平面， 所以平面. （2）由（1）知，，平面平面， 所以就是二面角的平面角，即， 过作交于，连接， 平面，平面，， 又，平面， 所以平面，即就是直线AB与平面AED所成角， 又，所以， 直线AB与平面AED所成角的正弦值为. 34．如图1，在等腰梯形中，，将沿边翻折，使点翻折到点，连接，得到三棱锥，如图2，其中. (1)证明：平面. (2)若，求三棱锥的体积. (3)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可证，再利用勾股定理证得，最后利用直线与平面垂直的判定定理即可得证. （2）取的中点，证明即为三棱锥的高，再利用体积公式即可求解. （3）利用（2）中的垂直关系作出二面角的平面角，可求解. 【详解】（1） 如图1，在梯形中，取边的中点，连接， ，，，， 四边形是平行四边形，， ，， ， ，且，所以， ，平面平面，且， 平面. （2）如图2，取的中点，连接， 由（1）可知平面，且平面，则平面平面， ，且为线段的中点，， 平面平面，平面，平面， ，，， ，，， 三棱锥的体积. （3）如图2，过作，垂足为，取的中点，连接， 则，从而， 由（2）知平面，平面，， 又，平面，平面，平面， 平面，， 为二面角的平面角， 设，，，，， 则， 又，. 35．如图1，在矩形ABCD中，，将沿着BD翻折到的位置，得到三棱锥，且平面ABP，如图2所示. (1)求证：平面平面ABD； (2)求直线AB与平面BPD所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由平面ABP可得，进而可证平面，即可得面面垂直； （2）利用等体积法求点到平面的距离，进而可求线面夹角. 【详解】（1）因为平面ABP，平面ABP，可得，， 由题意可知：，且，平面， 可得平面，由平面ABD，所以平面平面ABD. （2）由题意可知：， 设点到平面的距离为， 因为，即，解得， 所以直线AB与平面BPD所成角的正弦值为. 36．如图1，已知在中，，，，E，F分别是AB，AC上的点，，将沿EF翻折至，连接PB，PC，得到如图2所示的四棱锥，若平面PEF与平面PBC相交于直线m． (1)求证：； (2)当时，求直线PE与平面BCFE所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先证明平面，再结合线面平行的性质求证即可； （2）过点P作于点M，连接EM，先证明平面BCFE，可得为直线PE与平面BCFE所成的角，进而求解即可. 【详解】（1）由，可知， 因为平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面， 所以． （2）由题知， 因为，所以， 过点P作于点M，连接EM， 由，则， 因为，，，平面，， 所以平面PFC，因为平面，所以， 因为，平面BCFE， 所以平面BCFE，则为直线PE与平面BCFE所成的角， 在中，， 所以直线PE与平面BCFE所成角的正弦值为． 题型07翻折中距离的问题 37．已知如图甲，在梯形中，，，，E，F分别是，的中点，，沿将梯形翻折，使平面平面（如图乙）． (1)证明：平面； (2)求点E到平面的距离； (3)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明. （2）利用体积法求点到平面的距离. （3）构造二面角的平面角，利用三角形的边角关系求二面角的正切值. 【详解】（1）在直角梯形中，因为，故，. 又E，F分别是，的中点，所以，所以. 所以在折叠后的几何体中，有，， ，平面，所以平面. （2）如图： 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面. 因为平面，所以. 所以两两垂直，且，. 所以中，，. 所以. 又. 设点到平面的距离为， 则. 即点到平面的距离为. （3）过作于点，过作于点，连接. 因为平面平面，所以平面，平面， 所以，又，是平面内的两条相交直线， 所以平面， 所以即为二面角的平面角. 因为，所以. 在中，. 即二面角的正切值为. 38．如图1，在中，，，，分别是，的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为． (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积； (3)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由已知先证明平面，然后由面面垂直的判定即可证明； （2）过点作，垂足为，由线面垂直的性质及判定得出为四棱锥的高，再根据四棱锥体积公式即可求解； （3）连接，过点作，垂足为，连接，得出二面角的平面角为，即可求解. 【详解】（1）因为，分别是，的中点，所以， 因为，所以，所以， 又因为平面，所以平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）过点作，垂足为， 因为平面，直线与平面所成的角为， 所以，所以， 所以，则，所以， 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 所以四棱锥的体积； （3）连接，过点作，垂足为，连接，如图所示， 由（2）知，为等边三角形，则点为中点，， 在中，， 在中，，则， 由点为中点得，， 又平面，平面，平面平面， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以二面角的正切值为. 39．如图1，在矩形ABCD中，，，将△BCD沿BD翻折至△BC1D，且，如图2所示.    (1)求证：平面ABC1⊥平面AC1D； (2)求点C1到平面ABD的距离d； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明详见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据勾股定理可证，再结合线面垂直的判定定理可证平面，然后根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）根据等体积法，利用三棱锥的体积求点到平面的距离即可； （3）根据二面角的定义做出二面角的平面角，然后利用直角三角形的性质求解即可. 【详解】（1）由题得，在△中，，所以. 又因为矩形，所以. 因为，平面，平面， 所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）在△中，，所以，所以. 在直角△中，. 由（1）知平面，所以点到平面的距离为. 设点C1到平面ABD的距离为d， 由，得， 所以. （3）如图，在平面内作于点，在平面内作于点，连接.    由（2）知，，又， 平面，所以平面， 因为平面，故. 因为，，平面，所以平面. 又平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 又平面，所以，又， 所以为二面角的平面角. 因为，所以，解得， 因为平面，又平面，故， 所以． 由题意知直角三角形中，，， 故，又，则， 所以， 故二面角的余弦值为． 40．如图甲，在矩形ABCD中，，，将沿BD翻折至，且，如图乙所示. 在图乙中： (1)求证：平面平面ABD； (2)求点A到平面的距离d； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得，根据线面垂直的性质定理得平面，，然后根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）结合等体积法，利用锥体的体积求高即可； （3）根据二面角平面角的定义作出二面角，然后利用直角三角形的性质求解即可. 【详解】（1）由矩形可知，，又， 所以，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）由，可得， 由（1）知平面，所以， 又，所以， 所以，解得； （3）在平面内作，垂足为；在平面内作，垂足为，连接， 由平面，平面，故， 因为，，平面，所以平面， 又，所以，解得， 又平面，所以，又， ，平面，所以平面， 又平面，所以，又， 所以为二面角的平面角，又平面，故， 所以． 由题意知直角三角形中，， 故，又，则， 所以， 故二面角的余弦值． 41．如图，四边形为矩形，，．是等边三角形，是等腰直角三角形，．将和分别沿虚线和翻折，且保持平面平面．当平面时，平面与平面的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线线垂直证明线面垂线，进而证明面面垂直，结合三角形相似可得距离. 【详解】 如图所示， 取中点，中点，连接，，，， 由是等边三角形，是等腰直角三角形，， 则，，， 又，， ，，平面， 所以平面， 所以平面平面，平面平面，平面平面， 又平面，且平面，平面平面， 所以， 又平面平面，且平面平面，平面平面， 所以， 则作出平面如图所示， 设， 则， 所以， 又，， 则， 由， 所以，，， 设过点作与，分别交于点，， 则即为两平面间距离， ， 故选：C. 42．如图1，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到图2所示的四棱锥，，记二面角的平面角为.            图1                       图2                         (1)证明：平面； (2)当时，求证：平面； (3)当时，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）在平面EBM中构造辅助线OM，利用相似证明，即可证明线面平行； （2）首先确定二面角的平面角，由推出，进而利用线面垂直证明，然后由勾股定理推出，即可证明线面垂直. （3）作辅助线与，证明平面ABCE（MG即为四棱锥的高），求出对应线段长度，利用等体积法求点到平面的距离. 【详解】（1）连接交于点，连接， 由题意知,，易知，则有. 因为，所以， 根据相似性得， 又平面，平面，所以平面. （2）如图，因为翻折前，所以翻折后，， 由二面角的定义可知，二面角的平面角， 当时，，即， 又因为，且，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 在中，易知，，， 满足：，由勾股定理可知，， 因为，且，平面， 所以平面. （3）过点D作于点H， ，，， 作于，连接， 因为，，,CE、ED平面CDE， 所以平面CDE，又MG平面CDE，所以MG， 因为MG，，、AE、EC平面ABCE， 所以平面ABCE， 因为，所以， 所以，，，， 所以，，， 所以为等腰三角形，且边上的高， 所以， 令到平面的距离为，且， 因为，所以， 所以. 1．一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”．在棱长为1的正方体中，为的中点，为的中点，过三点的截面图形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 延长交的延长线于点，连接交于点， 延长交的延长线于点，连接交于点，连接， 如图所示，可得正方体的截面图形为五边形． 由与相似得， 所以，与相似得，所以． 由勾股定理得，， ，，， 所以截面图形的周长为． 2．如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，借助面面平行性质作出截面，进而求出截面面积. 【详解】因为在棱长为的正方体中，由、分别为、的中点， 得，且，由且，得四边形为平行四边形， 即，设平面交棱于点，由平面平面， 且平面平面，平面平面，得， 由为的中点，得为的中点，设直线分别交、的延长线于点P、Q，如图： 连接交棱于点，连接交棱于点，连接、，则截面为六边形. 由，E为的中点，得，又，则为的中点， 同理为的中点，六边形是边长为1的正六边形， 所以截面面积为 故选：A 3．已知球是正三棱锥的外接球，是边长为的正三角形，，为边上的一点，且与平面所成角的正切值为.若过点的球的截面面积为，则与该截面所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作平面，垂足为，由正三棱锥性质求出及外接球的半径，进而求得，利用球的截面性质求解. 【详解】如图，作平面，垂足为，则是正三角形的中心， 因为    ，， 所以，则， 所以为与平面所成角，故，， 设正三棱锥外接球的半径为，则，得， 所以，故， 如图，设过点的球的截面圆的半径为，圆心为，为截面圆上一点， ，则， 所以，则， 所以与该截面所成角为，故， ，即与该截面所成角为. 故选：B. 4．（多选）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与是异面直线 B．直线与所成的角为 C．若三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为 D．过点且与直线垂直的平面截正方体所得截面多边形的面积为 【答案】BCD 【分析】对于A，说明即可判断；对于B，说明直线与所成的角为，结合余弦定理验算即可；对于C，只需求出三棱锥的外接球的半径，再结合球的表面积公式验算即可；对于D，说明截面为边长为的正六边形，然后根据面积公式验算即可. 【详解】对于A，如图所示， 因为分别为的中点，所以， 因，所以四边形是平行四边形，所以， 因为，所以， 所以四点共面，故A错误； 对于B，如图所示， 因为，所以四边形是平行四边形，所以， 所以直线与所成的角为， 而， 所以，所以，故B正确； 对于C，如图所示， ， 所以三角形的外接圆半径为， 显然平面，且， 所以三棱锥的外接球的半径为， 所以球的表面积为，故C正确； 对于D，如图所示，取中点，顺次连接， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 同理可证，， 而，，平面， 所以平面， 根据前面的假设有，，所以四点共面， 又因为，所以四边形是平行四边形， 所以，所以六点共面， 因为，平面，平面， 所以平面， 同理可证平面， 又因为平面，，平面， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面， 所以六边形即为过点且与直线垂直的平面截正方体所得截面多边形， 显然这是一个边长为的正六边形，其面积为，故D正确. 故选：BCD. 5．（多选）如图，正方体的棱长为2，点，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列说法正确的有（    ） A．过，，三点的平面截正方体所得截面图形是四边形 B．存在点，使得平面 C．的最小值为 D．若，则点轨迹的长度为 【答案】BC 【分析】对于A，利用正方体的截面作法，作出截面即可判断；对于B，取的中点为点，证明平面平面，在上取点，即得平面；对于C，通过作点关于平面的对称点，将转化为，结合图形，当三点共线时即得的最小值；对于D，以为直径作半圆，当点为半圆上的点时，证明平面时，即可得到，从而确定轨迹为半圆，求其弧长即得. 【详解】 对于A，如图，设直线与直线分别交于点， 连接交于点，连接交于点， 故过，，三点的平面截正方体所得截面图形是五边形，故A错误； 对于B，如图，取的中点为，连接，因点，分别是，的中点，则， 因平面，平面，则平面， 又，同法可得平面， 因平面，故平面平面， 取点，则平面，则平面，故B正确； 对于C，如图，作出点关于平面的对称点，连接，交平面于点， 因此时，则即为最小值， 取的中点，连接，易得，则，故C正确； 对于D，如图，以为直径作半圆，当点为半圆上的点时，， 因平面， 平面，则， 又平面，故平面， 又平面，故，即点的轨迹为半圆，其弧长为，故D错误. 故选：BC. 6．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的有（    ） A．直线与所成角的正切值为 B．用平面截该正方体，所得截面周长为 C．若平面，则长度的取值范围为 D．若，则动点的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】对于A：利用三角函数定义即可求得结果.对于B：做出截面的图形，分别求每条边的长即可求得结果, 对于C：找出点Q的轨迹，即可求出长度的取值范围，对于D：同样找出点Q的轨迹，即可求出动点的轨迹长度. 【详解】对于A： 如图，连接,直线与所成角即直线与所成角,即, 在三角形中，,故A正确； 对于B，如图，截面为等腰梯形， 周长，B错误； 对于C，如图取中点的中点为，平面即为平面, 因为,平面,平面,平面, 同理：平面,所以平面平面， 动点的轨迹为线段，，又可知是等腰三角形， 所以,最小值为边上的高， 可得的长度取值范围为，C正确； 对于D，因为平面，平面，所有， 则有，所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆弧， 圆心角是，轨迹长度为，D正确． 故选：ACD 7．点分别为三棱柱的棱的中点，设的面积为，平面截三棱柱 所得截面面积为S，五棱锥. 的体积为，三棱柱的体积为V，则 __________，______    【答案】 / 【分析】延长交的延长线于点，可知截面为四边形；可证得为中点，得到；结合知，由此可求得；设四边形的面积为，可得，由可推导得到. 【详解】延长交的延长线于点，连接交于点，连接，则平面截三棱柱所得截面为四边形．     ，为的中点， ≌，为的中点， 的面积. ，， 的面积为， . 设四边形的面积为， 的面积为， 五棱锥的体积为， 连接，则三棱锥的体积为， 故，， . 故答案为：；. 8．如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________. 【答案】/ 【分析】首先根据平行的性质，作出平面，再求面积. 【详解】如图，取的中点，连结，，，， 因为为的中点，所以，又， 所以，则平面为平面，且 四边形为截面四边形，为等腰梯形， ，，， 所以梯形的高， 所以梯形的面积. 故答案为： 9．如图1，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示． 在图2中： (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）根据勾股定理得，根据线面垂直的性质定理得平面，然后根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）结合等体积法，利用锥体的体积求高即可； （3）根据二面角平面角的定义作出二面角，然后利用直角三角形的性质求解即可. 【详解】（1）由题意知，，， 则，故， 又，且，平面，故平面， 而平面，故平面平面． （2）由可得，由（1）知平面， 所以， 又，所以． （3）在平面内作，垂足为；在平面内作，垂足为， 连接，由平面，平面，故， 因为，，平面，所以平面， 由（2）知，因为平面，故，又， ，平面，所以平面， 又平面，所以，又， 则为二面角的平面角， 又平面，故，所以． 由题意知直角三角形中，， 故， 又，则，所以， 故二面角的余弦值为． 10．如图，在平面五边形中，，，，，的面积为.现将五边形沿向内进行翻折，得到四棱锥. (1)求线段的长度； (2)求四棱锥的体积的最大值； (3)当二面角的大小为时，求直线与平面所成的角的正切值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）延长相交于点，由余弦定理可得答案； （2）求出四边形的面积为定值，要向折叠后得到的四棱锥体积最大，则要四棱锥的高最大，即平面平面时，此时四棱锥的高即为边上的高，求出高可得答案； （3）做交于点，得点为的中点，，设翻折前点为，做，利用线面垂直的判定定理得平面，为直线与平面所成的角，求出边长可得答案. 【详解】（1）如图， 延长相交于点， 因为，所以， 所以是边长为1的等边三角形，， 所以，， 由余弦定理得， 即，即， 所以； （2） 延长相交于点，是边长为1的等边三角形， 由（1），得，， 所以， ， 故四边形的面积为 要向折叠后得到的四棱锥体积最大，则要四棱锥的高最大， 故使平面平面，此时四棱锥的高即为边上的高， 因为的面积为，设边上的高为， 则，解得， 故四棱锥的体积的最大值为； （3）作交于点，由，所以， 可得，所以点为的中点， 取的中点，连接， 则，可得，所以， 设翻折前点为，连接，则，，， 作交于点，连接， 因为，，，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 由于，，所以， 因为分别为的中点，所以，， ， 由余弦定理得 ，， 所以. 【点睛】关键点点睛：第三问解题的关键点是利用线面垂直的判定定理得到平面，得出为直线与平面所成的角. 11．如图，长方体中，，E为BC中点，沿着EC将顺时针翻折到与底面ABCD共面的过程中，的顶点为动点P. (1)证明:平面平面. (2)求直线PE与平面所成角的正弦值的最大值. (3)若异面直线PE与AC所成角的余弦值为时，求点P到底面ABCD的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据面面垂直的判定证明结论即可； （2）由（1）及已知得平面平面，则在运动过程中在平面上的投影在上，即直线PE与平面所成角为或其补角，再由、的变化情况求正弦值的最大值即可； （3）若为中点，连接，并延长交延长线于，异面直线PE与AC所成角为锐角，于，结合面面垂直的性质有平面，最后由已知求的长度，即可得. 【详解】（1）由于沿着EC将顺时针翻折到与底面ABCD共面，顶点为动点P， 所以在平面，即平面内运动，又E为BC中点， 而平面，则平面，平面， 所以平面平面，则平面平面； （2）由（1）及平面，则平面平面，即平面平面， 平面平面，则在运动过程中在平面上的投影在上， 所以直线PE与平面所成角为，， 当且仅当与重合时取等号，所以所求正弦值最大为； （3）若为中点，连接，并延长交延长线于， 由E为BC中点，则，故异面直线PE与AC所成角为锐角， 由，即，则为平行四边形，故， 所以，又，， 所以，而， 所以为等边三角形，若于，则， 平面平面，平面，平面平面， 则平面，故点P到底面ABCD的距离. 12．如图，是圆的直径，与圆所在的平面垂直，且，为圆周上不与点重合的动点，分别为点在线段的投影. (1)证明：直线平面； (2)求三棱锥外接球的体积； (3)当的面积最大时，求二面角的平面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明平面从而得到，再根据从而证明平面； （2）先证明点为外接球的球心，求出半径即可求出答案； （3）证明，，从而得到即为二面角的平面角，接着证明为直角三角形，利用基本不等式得到的面积最大时，即可得到答案. 【详解】（1）因为点在圆的圆周上，为圆的直径，所以， 又平面，平面，所以， 又平面，，所以平面， 因为平面，所以， 又为在上的投影，所以， 平面，，所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为为的中点，所以， 所以三棱锥外接球的半径为， 外接球的体积为 （3）因为平面，平面，所以， 又为在上的投影，所以， 平面，，所以平面， 又平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 又平面，平面，所以，即为直角三角形， 且斜边为定值， 所以，所以，当时等号成立， 所以，当时等号成立， 此时为等腰直角三角形，所以， 所以当的面积最大时，求二面角的平面角的大小为. 13．如图，在直三棱柱中，，，D为棱上的动点． (1)证明：． (2)当D为棱的中点时，求二面角的正切值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）证明出⊥平面，得到⊥，结合正方形得到⊥，从而得到线面垂直，得到线线垂直； （2）取的中点，连接，由勾股定理和余弦定理，面积公式得到，，设二面角的大小为，则，进而求出正切值. 【详解】（1）直三棱柱，，故， 即， 又⊥平面，平面，所以⊥， 又，平面，故⊥平面， 因为平面，所以⊥， 又，故四边形为正方形，故⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以； （2）取的中点，连接，则⊥平面，， 因为平面，所以⊥，⊥， ，故， ，由勾股定理得，， 故，， 在中，由余弦定理得, 故，， 其中， 设二面角的大小为，则， 所以，. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06立体几何中截面、动点（轨迹）与翻折问题 目录 A题型建模・专项突破 题型01多面体中的截面问题 题型02球体中的截面问题 题型03动点中平行与垂直应用 题型04动点的轨迹问题 题型05翻折中平行与垂直的问题 题型06翻折中角度的问题 题型07翻折中距离的问题 B综合攻坚・能力跃升 题型01多面体中的截面问题 1．在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，为线段上的动点，过三点的平面截正方体所得截面面积的最大值 。 3．已知正三棱台 ， 点 分别在上，且    (1)求过点的平面截正三棱台 的截面周长； 4．已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 5．（多选）在棱长为2的正方体中，，，分别为棱，，BC的中点，为上的动点，过，，的平面截正方体所得的截面面积为 。的最小值为 。 6．（多选）如图，有一块正四棱台的木料，木工师傅想经过木料表面内（不含边界）一点与棱把木料锯成两块，为此需要先在面内作出交线，下列关于交线与截面形状的说法正确的是（    ） A．截面形状是梯形 B．截面形状可能为等腰梯形 C．直线与直线相交 D．直线与直线相交 题型02球体中的截面问题 7．球的半径为10，若它的截面面积是，则球心到截面的距离是（ ） A．9 B．8 C．6 D．4 8．某器具的形状可以看作一个球被一个棱长为8的正方体的六个面所截后剩余部分（如图所示），球心与正方体的中心重合，若一个截面圆的面积为，则该球的表面积是（   ） A． B． C． D． 9．一个球被平面截下的一部分（不大于半球的部分）叫作球缺，截面叫作球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫作球缺的高，球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高，则棱长为3的正四面体的一个侧面截其外接球所得的球缺的体积为__________. 10．已知正四面体．的所有棱长均为，D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面面积为（   ） A． B． C． D． 11．如图.已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点Q为上一点，且，则过点A，B，Q的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为______.    12．已知正四面体内接于球，球半径为3，为的中点，过点作球的截面，求截面圆半径的最小值（   ） A．1 B． C． D． 题型03动点中平行与垂直应用 13．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为正方形，分别为的中点. (1)直接写出图中与平行的平面； (2)求证：平面平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面?若存在，求三棱锥体积；若不存在，说明理由. 14．如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为，的中点，平面平面. (1)判断直线与的位置关系并证明； (2)直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由； (3)若为的中点，平面将四棱锥分为上下两个几何体，求下面的几何体与四棱锥的体积比. 15．如图所示，正四棱锥，，底面边长，M为侧棱PA上的点，且． (1)求正四棱锥的体积； (2)若为的中点，证明：平面； (3)侧棱上是否存在一点E，使平面，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 16．如图，已知四棱锥的底面为菱形，平面底面． (1)求证：． (2)若为侧棱的中点，在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17．如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 18．如图，斜三棱柱中，，四边形是菱形，为的中点，平面，． (1)求证：四边形为矩形； (2)在上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若分别为，的中点，求此斜三棱柱被平面所截的截面面积． 题型04动点的轨迹问题 19．已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，点在侧面内运动（包含边界），且直线与平面所成角的正切值为，则动点的轨迹长度为______． 20．（多选）在棱长为1的正方体中，点P是线段（含端点）上的一个动点，则下列结论正确的是（   ） A． B．若点M在正方形内（含边界），且，则点M的轨迹长为 C．三棱锥的体积的最大值为 D．存在点P，使得异面直线与所成的角为 21．（多选）若正四棱柱的底面棱长为4，侧棱长为3，且为棱的靠近点的三等分点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面的所成角，下列结论正确的是（ ） A．点形成的轨迹长度为 B．有且仅有一个点使得 C．四面体的体积取值范围为 D．线段长度最小值为 22．（多选）已知P是棱长为6的正方体表面上一个动点，Q为棱的中点，则下列说法中正确的是（    ）    A．过点A，B，Q的截面是一个直角梯形 B．若P在上，则 C．若P在上，则存在某个P点，使得 D．若三棱锥的体积为18，则P点轨迹的长度为 23．（多选）若球的半径为2，为直径，中点为P，则下列说法正确的是（   ） A．球面上任意一点到P距离的最大值为3 B．过P作球O的截面，则截面面积的最小值是 C．若某正方体的外接球是球O，则点P到该正方体各面距离的最大值是 D．若某正四面体的外接球是球O，则点P在该正四面体上的轨迹长度是 24．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为正方形内一动点，且平面，则点的轨迹的长度为_____． 题型05翻折中平行与垂直的问题 25．如图1，在矩形中，已知，为的中点，将沿向上翻折，得到四棱锥（图2）. (1)若为的中点，求证：平面； (2)求证：； (3)在翻折过程中，当二面角为时；在平面内有一动点满足：直线与底面所成角正弦值为，求动点的轨迹长度. 26．在梯形中，．为的中点，为的中点．将所在平面沿翻折，使构成的四棱锥体积最大．    (1)求证：平面； (2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面?并证明你的结论． 27．如图1，在中，，，分别是的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正切值. 28．如图，在长方形ABCD中，，，M是边CD的中点，将沿直线翻折至，使得，连接，得到四棱锥． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 29．（多选）如图1，已知矩形中，，，E为中点，现将沿翻折后得到如图2的四棱锥，点F是线段上（不含端点）的动点，则下列说法正确的是（   ） A．当F为线段中点时，平面 B． C．不存在点F，使平面 D．当F为线段中点时，过点A，E，F的截面交于点M，则 30．如图，在等腰梯形中，，.将沿着翻折，使得点到点，且. (1)求证：平面平面； (2)求二面角平面角的正切值； (3)求点到平面的距离. 题型06翻折中角度的问题 31．如图，在平行四边形ABCD中，，，将沿AC翻折，使点B到达点P的位置． (1)求三棱锥体积的最大值； (2)当二面角的平面角为时，求三棱锥外接球的表面积； (3)在翻折过程中，求异面直线AC与PD所成角的余弦值的取值范围． 32．如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使，为的中点，如图2.     (1)求证：平面⊥平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 33．如图，在中，．将沿AD翻折至． (1)求证：平面.； (2)若二面角的平面角为，求直线AB与平面AED所成角的正弦值． 34．如图1，在等腰梯形中，，将沿边翻折，使点翻折到点，连接，得到三棱锥，如图2，其中. (1)证明：平面. (2)若，求三棱锥的体积. (3)求二面角的正切值. 35．如图1，在矩形ABCD中，，将沿着BD翻折到的位置，得到三棱锥，且平面ABP，如图2所示. (1)求证：平面平面ABD； (2)求直线AB与平面BPD所成角的正弦值. 36．如图1，已知在中，，，，E，F分别是AB，AC上的点，，将沿EF翻折至，连接PB，PC，得到如图2所示的四棱锥，若平面PEF与平面PBC相交于直线m． (1)求证：； (2)当时，求直线PE与平面BCFE所成角的正弦值． 题型07翻折中距离的问题 37．已知如图甲，在梯形中，，，，E，F分别是，的中点，，沿将梯形翻折，使平面平面（如图乙）． (1)证明：平面； (2)求点E到平面的距离； (3)求二面角的正切值． 38．如图1，在中，，，，分别是，的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为． (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积； (3)求二面角的正切值． 39．如图1，在矩形ABCD中，，，将△BCD沿BD翻折至△BC1D，且，如图2所示.    (1)求证：平面ABC1⊥平面AC1D； (2)求点C1到平面ABD的距离d； (3)求二面角的余弦值. 40．如图甲，在矩形ABCD中，，，将沿BD翻折至，且，如图乙所示. 在图乙中： (1)求证：平面平面ABD； (2)求点A到平面的距离d； (3)求二面角的余弦值. 41．如图，四边形为矩形，，．是等边三角形，是等腰直角三角形，．将和分别沿虚线和翻折，且保持平面平面．当平面时，平面与平面的距离等于（    ） A． B． C． D． 42．如图1，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到图2所示的四棱锥，，记二面角的平面角为.            图1                       图2                         (1)证明：平面； (2)当时，求证：平面； (3)当时，求点到平面的距离. 1．一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”．在棱长为1的正方体中，为的中点，为的中点，过三点的截面图形的周长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 3．已知球是正三棱锥的外接球，是边长为的正三角形，，为边上的一点，且与平面所成角的正切值为.若过点的球的截面面积为，则与该截面所成的角为（   ） A． B． C． D． 4．（多选）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与是异面直线 B．直线与所成的角为 C．若三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为 D．过点且与直线垂直的平面截正方体所得截面多边形的面积为 5．（多选）如图，正方体的棱长为2，点，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列说法正确的有（    ） A．过，，三点的平面截正方体所得截面图形是四边形 B．存在点，使得平面 C．的最小值为 D．若，则点轨迹的长度为 6．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的有（    ） A．直线与所成角的正切值为 B．用平面截该正方体，所得截面周长为 C．若平面，则长度的取值范围为 D．若，则动点的轨迹长度为 7．点分别为三棱柱的棱的中点，设的面积为，平面截三棱柱 所得截面面积为S，五棱锥. 的体积为，三棱柱的体积为V，则 __________，______    8．如图，在边长为的正方体中，为的中点，过 、、作正方体的截面，则截面面积为____________. 9．如图1，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示． 在图2中： (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的余弦值． 10．如图，在平面五边形中，，，，，的面积为.现将五边形沿向内进行翻折，得到四棱锥. (1)求线段的长度； (2)求四棱锥的体积的最大值； (3)当二面角的大小为时，求直线与平面所成的角的正切值. 11．如图，长方体中，，E为BC中点，沿着EC将顺时针翻折到与底面ABCD共面的过程中，的顶点为动点P. (1)证明:平面平面. (2)求直线PE与平面所成角的正弦值的最大值. (3)若异面直线PE与AC所成角的余弦值为时，求点P到底面ABCD的距离. 12．如图，是圆的直径，与圆所在的平面垂直，且，为圆周上不与点重合的动点，分别为点在线段的投影. (1)证明：直线平面； (2)求三棱锥外接球的体积； (3)当的面积最大时，求二面角的平面角的大小. 13．如图，在直三棱柱中，，，D为棱上的动点． (1)证明：． (2)当D为棱的中点时，求二面角的正切值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $