精品解析：湖北海亮教育仙桃市第一中学2025-2026学年下学期高一年级期中考试数学试卷

海亮教育仙桃市第一中学2026年春季学期 高一年级期中考试数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 命卷人：范雷 审核人：杨青 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先利用复数的除法，求出复数，再求共轭复数，然后判定所在象限. 【详解】由题意知，，则， 故复数在复平面内对应点为，在第四象限. 2. 已知为不共线的非零向量，，，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】B 【解析】 【分析】将点共线转化成向量共线，结合条件，利用两向量共线的充要条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，，则， 若，则，又为不共线的非零向量， 则，无解，则不共线，所以三点不共线，故A错误， 对于B，因为，，，则， 所以，则三点共线，故B正确， 对于C，，，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以C错误， 对于D，由选项A知，又，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以D错误， 故选：B. 3. 在中，，，，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求出，结合三角形的内角和定理得到的值，从而得到的值． 【详解】因为，，， 由正弦定理得， 得， 所以或，经检验，均满足题意． 当时，由三角形的内角和定理得； 当时，由三角形的内角和定理得． 因此或． 故选：B 4. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（     ） A. 12 B. 24 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据斜二测画法的等量关系可知为直角三角形， 且，，， 所以的面积为． 5. 在中，内角的对边分别为，则一定为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角之间的关系，进而判断三角形的形状. 【详解】在中， , 则，即， 则，即得, 由于，故，结合，可得， 即一定为直角三角形， 6. 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可． 【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点， 则，，， 设，则，，， 则 当，时，取得最小值， 故选：． 7. 如图，在中，，，.取边中点D，连接AD，设E为中点，连接并延长与交于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线定理表示出，然后利用平面向量基本定理求得，，从而求得，即，利用余弦定理求出，即可求解． 【详解】设，因为B，F，E共线， 所以 ， 又因为，所以， 所以，解得， 所以，得， ， 所以，所以，所以， 在中，，，，所以， 所以， 所以． 故选：A 8. 已知锐角，满足，，则下列结论不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题设结合三角恒等变换公式可得，，，进而结合选项分析求解即可. 【详解】由 ， 则. 由， 则，即，则，， 综上所述，，且，. 结合选项，当，时，满足上述两个式子； 当，时，满足上述两个式子； 当时，由可知，此时不满足，. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，该几何体是正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，正四棱柱的高为，则下列选项中正确的是（ ） A. 正四棱锥的高为 B. 该几何体的表面积为 C. 该几何体的体积为 D. 一只小蚂蚁从点沿几何体的表面爬行到点，它所经过的最短路程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出四棱锥的高判断A；求出表面积判断B；求出体积判断C；将长方形及正三角形置于同一平面内，求出最短路程判断D. 【详解】对于A，正四棱锥底面半径，高，故A正确； 对于B，几何体的表面积为，故B错误； 对于C，该几何体的体积为，故C正确； 对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点的最短路径为沿表面越过棱或， 由对称性，不妨取长方形及正三角形，将它们置于同一平面内， 连接，如图，取中点，连接， 则，而， 所以最短路程为，故D正确． 故选：ACD． 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与同向的单位向量为 C. 在上的投影向量为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用向量的模的坐标公式计算即得；对于B，利用单位向量的定义计算可判断；对于C，利用向量投影向量的坐标公式求解判断；对于D，利用两向量夹角为锐角的充要条件列方程组求解可判断． 【详解】对于，故A正确； 对于B，与共线的单位向量，同向为，故B正确； 对于在上的投影向量为，故C错误； 对于D，因，则， 由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故D错误． 故选：AB. 11. 在中，，，为边上及内部的一动点，设，则下列说法正确的是（  ） A. 若为的重心，则 B. 若为的外心，则 C. 若为的内心，，则 D. 若为的垂心，为锐角三角形，则与共线 【答案】ACD 【解析】 【分析】用向量的线性运算，数量积运算，再结合四心定义，可进行证明和求解． 【详解】 对于A，取的中点为，由重心可得， 由中线向量可得：，所以有， 又因为，所以，则，故A正确； 对于B，取的中点为，取的中点为，分别作中垂线，交于外心， 由 ，故B错误； 对于C，当为的内心，延长交于，根据角平分线定理有： ，利用等比性质有：， 所以有，又由角平分线定理得：， 则， 所以 又因为，所以， 即，故C正确； 对于D，由 ， 所以，又由为垂心得：， 所以，故D正确； 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数是纯虚数，则实数___________． 【答案】2 【解析】 【分析】首先根据复数乘法公式化简复数，再根据纯虚数的特征列式求解. 【详解】因， 要使其为纯虚数，需使且，解得． 故答案为：2 13. 如图，已知正方形的边长为2，且F为AD边中点，与交于点，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】以为基底表示，结合向量的数量积运算求得正确答案. 【详解】在正方形中，因为为AD中点，所以，且， 则， 则 . 14. 某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. 【答案】60 【解析】 【分析】设，则可由余弦定理构建关于的方程，求出其解即可. 【详解】由题设， 设，则， 在中，由余弦定理有， 故，同理， 而，故， 所以，故， 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）设向量，的夹角为，求的值； （2）若和互相垂直，求k的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据向量夹角公式的坐标表示求解即可. （2）根据向量的线性运算及向量数量积的坐标表示求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，，， 所以． 【小问2详解】 因为，， 则，， 因为和互相垂直， 所以，即， 整理得，解得或． 16. 已知z为复数，和均为实数，其中是虚数单位． （1）求z； （2）若复数z是方程（m，）的一个解，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将未知复数设为标准代数形式 ，利用“复数为实数则虚部为0”的性质求出的值，再对进行分母实数化，将其化为的形式，同样令虚部为0求出的值，最后回代得到复数即可； （2）先将已知复数解 代入实系数方程，通过复数的四则运算后分离出实部与虚部，再根据“复数等于0则实部、虚部分别为0”的性质，建立关于参数 的二元一次方程组，最后解方程组得到参数值后，代入 计算结果即可. 【小问1详解】 设（），则为实数， 所以，即， 所以 因为 为实数，即 ，解得 ， 将 ， 代入 ，可得 . 【小问2详解】 因为复数z是方程（m，）的一个解， 代入可得， 因为 则方程变为， 整理得： 所以，解得，， 所以． 17. 在中，角所对的边分别是，且. （1）求； （2）若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； （3）若是的角平分线，，，求的长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换得，再根据三角函数性质即可求得； （2）由题意，进而根据向量模关系求得，再计算面积即可； （3）根据题意，结合得，再根据余弦定理求解即可. 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理可得， 所以， 所以， 又因，所以， 所以，又因为，所以， 所以，故； 【小问2详解】 解：因为是边上靠近的三等分点， 所以， 所以， 又因为，，， 所以，化简得， 即，解得或（舍去）， 所以； 【小问3详解】 解：已知平分，且，故， 由 得； 将 ，代入得 ，解得 ∵ ∴ 18. 如图，长方体的长、宽、高分别为x，y，2，且，． （1）当底面为正方形时，求长方体的表面积和体积； （2）求三棱锥体积的最大值； （3）记三棱锥外接球的表面积为，底面ABCD的面积为，求的取值范围. 【答案】（1）表面积为10，体积为2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知，利用长方体的表面积和体积计算方法计算即可； （2）由图和已知可知三棱锥的体积为长方体的体积减去四个全等的三棱锥的体积，由表示出后，利用基本不等式即可求出最大值； （3）由题可知，三棱锥的外接球即长方体的外接球，则由表示出后代入并化简，利用基本不等式即可求得的取值范围. 【小问1详解】 因为底面 为正方形，所以， 则长方体的表面积为， 体积为. 【小问2详解】 由图和已知， ， 当且仅当时，等号成立，故三棱锥体积的最大值为. 【小问3详解】 由题可知，三棱锥的外接球即长方体的外接球， 设该外接球的半径为则， 所以， 则， 令，则，， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以取值范围为. 19. 已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. （1）求证：； （2）求的取值范围； （3）若，求三角形面积的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简得出，结合正弦函数的单调性可证得结论成立； （2）由正弦定理及三角恒等变换化简得出，根据已知条件求出角的取值范围，结合余弦函数的基本性质和对勾函数的单调性可得出的取值范围； （3）利用正弦定理、三角形的面积公式结合三角恒等变换化简得出，结合正切函数和反比例函数的基本性质可求得面积的取值范围. 【小问1详解】 由及正弦定理可得，即， 因为，则，所以，即， 由余弦定理可得，所以， 所以，由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，故，，所以， 又函数在上单调递增，且，故，即. 【小问2详解】 ， 因为为锐角三角形，故，解得， 又因为，可得，故角的取值范围是， 所以，故， 令，， 任取、且， 则 ， 因为，所以，则，所以， 所以函数在上为增函数，故， 故的取值范围是. 【小问3详解】 由正弦定理可得，所以，， 所以 ， 因为，所以， 令，函数、在上均为减函数， 故函数在上为减函数，所以，即， 因此，即面积的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海亮教育仙桃市第一中学2026年春季学期 高一年级期中考试数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 命卷人：范雷 审核人：杨青 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知为不共线的非零向量，，，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 3. 在中，，，，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 4. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（     ） A. 12 B. 24 C. D. 5. 在中，内角的对边分别为，则一定为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 6. 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，.取边中点D，连接AD，设E为中点，连接并延长与交于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知锐角，满足，，则下列结论不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，该几何体是正四棱柱和正四棱锥组成几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，正四棱柱的高为，则下列选项中正确的是（ ） A. 正四棱锥的高为 B. 该几何体的表面积为 C. 该几何体的体积为 D. 一只小蚂蚁从点沿几何体的表面爬行到点，它所经过的最短路程为 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与同向的单位向量为 C. 在上投影向量为 D. 若与夹角为锐角，则实数的取值范围是 11. 在中，，，为边上及内部的一动点，设，则下列说法正确的是（  ） A. 若为的重心，则 B. 若为的外心，则 C. 若为的内心，，则 D. 若为的垂心，为锐角三角形，则与共线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数是纯虚数，则实数___________． 13. 如图，已知正方形边长为2，且F为AD边中点，与交于点，则________． 14. 某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）设向量，的夹角为，求的值； （2）若和互相垂直，求k的值． 16. 已知z为复数，和均为实数，其中是虚数单位． （1）求z； （2）若复数z是方程（m，）的一个解，求的值． 17. 在中，角所对的边分别是，且. （1）求； （2）若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； （3）若是的角平分线，，，求的长. 18. 如图，长方体的长、宽、高分别为x，y，2，且，． （1）当底面为正方形时，求长方体的表面积和体积； （2）求三棱锥体积的最大值； （3）记三棱锥外接球的表面积为，底面ABCD的面积为，求的取值范围. 19. 已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. （1）求证：； （2）求的取值范围； （3）若，求三角形面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $