精品解析：湖北武汉外国语学校2025-2026学年高一下学期期中数学试题

武汉外国语学校2025-2026学年度下学期期中一数学试题 考试时间：2026年4月22日 考试时长：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，，， 由余弦定理得. 为的内角，， ，即. 2. 如图，为水平放置的的直观图，其中，，则原平面图形的面积为（ ）． A. 4 B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平面图形的直观图与原图形的关系，求出原图形的边长，再利用三角形面积公式计算原图形面积即可. 【详解】因为，， 所以， 如图所示，还原直观图得原图： 所以， 则原平面图形的面积为． 3. 若复数（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据虚数单位的周期性和复数的除法可得. 【详解】因为，所以， 所以. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将对数式转化为指数式，再利用幂的运算法则计算即得. 【详解】因 ， 得 ，则 ，又， . 5. 某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高度，在塔附近选取了相距60米的，（，与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度为（ ） A. 15米 B. 米 C. 30米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】设这座塔的高度为米，进而在中利用余弦定理求解即可. 【详解】解：设这座塔的高度为米， 因为从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为， 在中，，米；在中，，米， 在中，，米， 由余弦定理得：，即， 整理得，即，解得或（舍） 所以，这座塔的高度为米. 故选：C 6. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，，，. . 7. 如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ）． A. E，F，G，H四点共面 B. 与是异面直线 C. ，，三线共点 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；利用平面的基本事实推理判断C；举反例即可判断D. 【详解】对于A，在三棱柱中，分别为的中点， 连接， 由是的中位线，得， 由，且，得四边形是平行四边形， 则，，因此四点共面，A正确； 对于B，因为平面，平面，， 所以与是异面直线，正确； 对于C，延长，相交于点， 由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 而平面平面，则，三线共点，C正确； 对于D，由，且可知，四边形是梯形， 若∠=∠，则梯形是等腰梯形，而题设条件无法得出， 所以D不一定正确. 8. 在中，，，为三边，若，则最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设结合余弦定理可得，，进而得到，再结合三角形的面积公式化简得到，进而求解即可. 【详解】由，得， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 由余弦定理得，， 则， 所以 ， 则时，取得最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设为复数，.下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数模的概念判断A，利用复数的乘法运算判断B，根据共轭复数的性质及乘法运算判断C，根据特例法判断D. 【详解】由复数模的概念可知，不能得到， 例如，A错误； 由可得，因为，所以，即，B正确； 因为，而，所以，所以，C正确； 取，显然满足，但，D错误. 故选：BC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 所有面都是三角形的多面体一定是三棱锥 B. 分别在两个不同平面内的两条直线一定是异面直线 C. 棱柱的顶点数、面数、棱数之间满足关系 D. 棱台的侧面一定是梯形 【答案】CD 【解析】 【详解】 选项A：错误，反例：将两个同底的三棱锥底面拼接得到的双棱锥，所有面都是三角形，但不属于三棱锥，因此所有面都是三角形的多面体不一定是三棱锥； 选项B：错误，异面直线的定义是“不同在任何一个平面内的两条直线”，分别在两个不同平面的直线可能平行、相交，此时二者共面，不一定是异面直线； 选项C：正确，方法一：对于棱柱，顶点个数，面数，棱数，所以， 方法二：棱柱属于简单多面体，满足简单多面体的欧拉公式，整理可得； 选项D：正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的几何体，侧面的上下边平行且长度不等，因此侧面一定是梯形. 11. 如图，正三棱台的上下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点为上一点，且，则下列结论中正确的有（ ） A. 过的平面截该三棱台所得截面三角形周长的最小值为 B. 直径为的球可以整体放入该三棱台内 C. 过点，，的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 D. 棱长为2的正四面体可以在该棱台内随意转动 【答案】ACD 【解析】 【分析】将正三棱台补形成正三棱锥，分析可知正三棱台内最大的球即为正四面体的内切球.对于A：根据对称性，可得，即可得截面三角形周长的最小值；对于B：比较半径大小即可判断；对于C：分析可知平面经过该棱台内最大的球的球心，即可得截面半径为，即可得截面面积；对于D：可得棱长为2的正四面体的外接球半径为，即可得结果. 【详解】将正三棱台补形成正三棱锥， 因为，，可得，可知三棱锥为正四面体， 设的中点为，正三角形、的中心分别为、，正四面体的中心为， 则，，，， 因为，且， 即，解得，则， 可知正四面体的内切球半径，外接球半径， 且，可知正三棱台内最大的球即为正四面体的内切球. 对于选项A：设过的平面与的交点为，的中点为， 可知点在线段内，，则， 则三角形的周长为， 所以过的平面截该三棱台所得截面三角形周长的最小值为，故A正确； 对于选项B：因为，所以直径为的球不可以整体放入该三棱台内，故B错误； 对于选项C：因为，可知为线段的中点， 由对称性可知：平面经过正四面体的中心， 即平面经过该棱台内最大的球的球心，则平面截该棱台内最大的球所得的截面半径为， 所以所求截面面积为，故C正确； 对于选项D：设棱长为2的正四面体的外接球半径为， 则，即，即， 所以棱长为2的正四面体可以在该棱台内随意转动，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角满足，则________． 【答案】 【解析】 【详解】, . 13. 在中，角，，的对边分别为，，，若，且为的内心，且，则________． 【答案】 【解析】 【详解】由可得， 可得，化简得， 解得，又，即； 如图所示，延长，交于，过作， 设， 因为为的角平分线，所以， 可知，所以， 所以，同理， 可知， 可知，所以， 可得，化简得， 设内切圆半径为，可得， 所以，化简得， 由得，所以，即， 因为，所以， 由得， 所以， 所以，解得. 14. 如图，在棱长为2的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】展开平面求解线段和的最小值，即周长的最小值. 【详解】 设底面对角线中点为，棱长为，正方形对角线，故； 侧面是边长为的正方形，为中点，为等腰直角三角形，得，因此； 是体对角线，是平面内直线与夹角， 是平面内直线与夹角， 两个平面沿公共棱拼接，； 公共边，结合，，得 周长改写 将矩形面与矩形面沿公共棱旋转摊平为同一平面： 面：矩形，，； 面：正方形，边长； 两平面原始二面角为，摊平后， 此时折线段等价于平面内从定点到定点、途经直线、直线的折线段， 根据两点之间线段最短，直接连接，线段与交于、与交于，此时折线段总长，周长取得最小值， 已知：，，夹角，由余弦定理得 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）是虚数单位，为何值时，复数为纯虚数？ （2）已知关于的实系数一元二次方程的一个根为，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由纯虚数的概念即可列式求解； （2）由韦达定理即可求解. 【详解】（1）若复数为纯虚数， 则，解得； （2）关于的实系数一元二次方程的一个根为， 则另一个根为， 所以由韦达定理得，解得. 16. 已知，，与的夹角． （1）求的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意得，，. ∵ ， 代入，，， ∴ ， ∴ . 【小问2详解】 ∵ 向量与的夹角为锐角， ∴ ，且两向量不同向. 先解不等式，展开得 ， 代入数值得 ， 整理得 ，解得 . 当两向量共线同向时，存在，使得， 由系数对应相等可得 ，解得 ，即， ∵ ，∴ ，需排除该值. 综上，实数的取值范围是. 17. 如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，，边上的中点为． （1）求四棱锥的体积； （2）求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积； （3）求三棱锥外接球的表面积． 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据结合柱体及锥体的体积公式计算求解； （2）计算边长结合几何体特征计算各个面得出表面积； （3）取分别为等边，的外心，连接，，设三棱锥外接球的球心为，则在线段上，进而结合勾股定理建立方程求出外接球的半径，再根据球的表面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为底面是等边三角形，边长为2，所以， 因为三棱柱是直棱柱，所以平面， 四棱锥的体积 ． 【小问2详解】 由题意得， 从而，所以， 所以，， ，， ， 所以三棱柱截去三棱锥后几何体的表面积为 . 【小问3详解】 取分别为等边，的外心，连接， 则垂直于三棱柱的上下底面，且， 设三棱锥外接球的球心为，则在线段上，连接， 在等边中，易得， 则，即， 设三棱锥外接球的半径为，， 由，得， 即，解得， 所以三棱锥外接球的表面积为. 18. 已知的内角，，所对的边分别为，，且． （1）求； （2）若，点在上，直线上一点满足，在点和点的变化过程中， （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当最小时，求的值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）运用正余弦定理化简等式，得到关于的余弦公式，求解即可； （2）（ⅰ）建立直角坐标系，根据题意得到，运算得到点的轨迹方程，限定其坐标的取值范围，得到双变量函数，依次放缩即可求出最小值；（ⅱ）根据（ⅰ）中取等的条件，求出点的坐标，代入运算即可. 【小问1详解】 在中，，则， 又，所以， 由正弦定理可得， 由余弦定理得， 化简整理得， 又因为，所以； 【小问2详解】 （ⅰ）因为，则， 所以，如图，建立平面直角坐标系， 此时，设， 因为，则，设，则，， 所以，整理得，解得， 因为， 化简整理得， 又， 所以，又因为，所以， 因此，当且仅当时取等号， 所以，当时，取最小值，为； （ⅱ）当最小时，此时，所以， 代入，则，解得， 所以，， 因此，直线的方程为，直线的方程为， 联立方程，解得，即为， 所以，，因此. 19. 对任意两个非零向量，，定义新运算：，其中为与的夹角． （1）若非零向量，满足，且，求的取值范围； （2）若向量，，且，求正数的值； （3）已知非零向量，满足（是正整数），向量，的夹角，且，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设定义及条件可得，再结合正弦函数的性质，即可求出的取值范围； （2）根据条件，利用向量数量积的定义，表示出夹角的余弦值，进而得到正弦值，再结合题设条件，求解即可； （3）根据题设可得，利用，再结合是正整数的条件，即可求出. 【小问1详解】 由题可知，，又，则， 解得，又，所以 又，所以，因此的取值范围为； 【小问2详解】 由，，则，，， 设为与的夹角，则， 所以， 因为，所以，整理得， 所以，不合题意；或，解得， 又，所以； 【小问3详解】 由，则，， 又，则，即，所以， 又，则，所以，又是正整数， 当时，，则，不合题意； 当时，，则，所以，满足题意； 当时，，则，不合题意， 综上，当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉外国语学校2025-2026学年度下学期期中一数学试题 考试时间：2026年4月22日 考试时长：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，为水平放置的的直观图，其中，，则原平面图形的面积为（ ）． A. 4 B. C. D. 8 3. 若复数（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 某校兴趣小组想要测量宁德市海慧塔的高度，在塔附近选取了相距60米的，（，与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度为（ ） A. 15米 B. 米 C. 30米 D. 米 6. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ）． A. E，F，G，H四点共面 B. 与是异面直线 C. ，，三线共点 D. 8. 在中，，，为三边，若，则最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设为复数，.下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 所有面都是三角形的多面体一定是三棱锥 B. 分别在两个不同平面内的两条直线一定是异面直线 C. 棱柱的顶点数、面数、棱数之间满足关系 D. 棱台的侧面一定是梯形 11. 如图，正三棱台的上下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点为上一点，且，则下列结论中正确的有（ ） A. 过的平面截该三棱台所得截面三角形周长的最小值为 B. 直径为的球可以整体放入该三棱台内 C. 过点，，的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 D. 棱长为2的正四面体可以在该棱台内随意转动 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角满足，则________． 13. 在中，角，，的对边分别为，，，若，且为的内心，且，则________． 14. 如图，在棱长为2的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）是虚数单位，为何值时，复数为纯虚数？ （2）已知关于的实系数一元二次方程的一个根为，求的值. 16. 已知，，与的夹角． （1）求的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 17. 如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，，边上的中点为． （1）求四棱锥的体积； （2）求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积； （3）求三棱锥外接球的表面积． 18. 已知的内角，，所对的边分别为，，且． （1）求； （2）若，点在上，直线上一点满足，在点和点的变化过程中， （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当最小时，求的值． 19. 对任意两个非零向量，，定义新运算：，其中为与的夹角． （1）若非零向量，满足，且，求的取值范围； （2）若向量，，且，求正数的值； （3）已知非零向量，满足（是正整数），向量，的夹角，且，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $