8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册
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普通
- 通过圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征，掌握圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积公式.
- 能灵活运用公式求圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积.
- 会求简单组合体的表面积和体积.
- 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式.
- 侧面展开图与表面积的关系.
- 圆台的表面积与体积公式的推导.
- 组合体表面积和体积的计算.
- 问题引入：
圆柱、圆锥、圆台可以由平面图形旋转得到，它们的表面积等于底面面积与侧面面积之和.如何求侧面面积？
- 圆柱的表面积：
侧面展开图是矩形，长为底面圆周长 
，宽为高 
.
则
.
- 圆锥的表面积：
侧面展开图是扇形，半径为母线 
，弧长为底面圆周长 .
扇形面积公式 扇弧长半径
.
则
.
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- 圆台的表面积：
侧面展开图是扇环，可看作大扇形减去小扇形.
设圆台上、下底面半径分别为 
、
，母线长为 ，
则
.
- 思考：
(1) 当圆台的上底面半径 
时，圆台变为圆锥，公式是否一致？
（
，正确.）
(2) 当 
时，圆台变为圆柱，公式是否一致？
（
，其中 为高，正确.）
表面积公式：
- 圆柱：
- 圆锥：
- 圆台：
（ 下底半径， 上底半径， 母线长） - 球：
- 圆柱的体积：
（底面积乘高）. - 圆锥的体积：
（等底等高的圆柱体积的三分之一）. - 圆台的体积：
由棱台体积公式类比，
（ 下底半径， 上底半径， 高）.
也可看作大圆锥减小圆锥.
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- 球的体积：
. - 联系：
(1) 当 ，圆台变为圆柱，，正确.
(2) 当 ，圆台变为圆锥，，正确.
体积公式：
- 圆柱：
- 圆锥：
- 圆台：
- 球：
- 例1：一个圆柱与一个圆锥组合，圆柱底面半径为
，高为 
，圆锥底面半径与圆柱相同，高为 ，求组合体的表面积和体积.
解：
组合体表面积 = 圆柱侧面积 + 圆柱一个底面积 + 圆锥侧面积（因为圆锥底面与圆柱上底重叠，不计算重叠面）.
柱侧
，柱底
，圆锥母线 
，
锥侧
.
总
.
体积 = 圆柱体积 + 圆锥体积 = 
.
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