8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步 8.3 简单几何体的表面积与体积 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 【学习目标】 1. 通过圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征，掌握圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积公式. 1. 能灵活运用公式求圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积. 1. 会求简单组合体的表面积和体积. 【学习重点】 1. 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式. 2. 侧面展开图与表面积的关系. 【学习难点】 1. 圆台的表面积与体积公式的推导. 2. 组合体表面积和体积的计算. 学习任务一 圆柱、圆锥、圆台的表面积 【合作探究】 1. 问题引入： · 圆柱、圆锥、圆台可以由平面图形旋转得到，它们的表面积等于底面面积与侧面面积之和.如何求侧面面积？ 1. 圆柱的表面积： · 侧面展开图是矩形，长为底面圆周长 ，宽为高 . · 则. 1. 圆锥的表面积： · 侧面展开图是扇形，半径为母线 ，弧长为底面圆周长 . · 扇形面积公式 扇弧长半径. · 则. 1. 圆台的表面积： · 侧面展开图是扇环，可看作大扇形减去小扇形. · 设圆台上、下底面半径分别为 、，母线长为 ， · 则. 1. 思考： (1) 当圆台的上底面半径 时，圆台变为圆锥，公式是否一致？ · （，正确.） (2) 当 时，圆台变为圆柱，公式是否一致？ · （，其中 为高，正确.） 【自主梳理】 表面积公式： 1. 圆柱： 2. 圆锥： 3. 圆台：（ 下底半径， 上底半径， 母线长） 4. 球： 学习任务二 圆柱、圆锥、圆台、球的体积 【合作探究】 1. 圆柱的体积：（底面积乘高）. 1. 圆锥的体积：（等底等高的圆柱体积的三分之一）. 1. 圆台的体积： · 由棱台体积公式类比，（ 下底半径， 上底半径， 高）. · 也可看作大圆锥减小圆锥. 1. 球的体积：. 1. 联系： (1) 当 ，圆台变为圆柱，，正确. (2) 当 ，圆台变为圆锥，，正确. 【自主梳理】 体积公式： 1. 圆柱： 2. 圆锥： 3. 圆台： 4. 球： 学习任务三 简单组合体的表面积和体积 【合作探究】 1. 例1：一个圆柱与一个圆锥组合，圆柱底面半径为 ，高为 ，圆锥底面半径与圆柱相同，高为 ，求组合体的表面积和体积. · 解： · 组合体表面积 = 圆柱侧面积 + 圆柱一个底面积 + 圆锥侧面积（因为圆锥底面与圆柱上底重叠，不计算重叠面）. · 柱侧，柱底，圆锥母线 ， · 锥侧. · 总. · 体积 = 圆柱体积 + 圆锥体积 = . 1. 例2：一个球内切于一个圆柱，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比. · 解：设球半径为 ，则圆柱底面半径 ，高 . · 球，柱， · 体积比 . 【自主梳理】 1. 组合体的表面积：需注意重叠部分的面积不重复计算. 2. 组合体的体积：各部分体积相加（或减）. 【自查自纠】（正误判断） 1. 圆柱的侧面展开图是矩形，其面积等于底面周长乘以高. （ ） 1. 圆锥的侧面展开图是扇形，其面积等于 底面周长母线. （ ） 1. 圆台的侧面积公式为 侧，其中 是母线长. （ ） 1. 球的表面积是 ，体积是 ，两者都与半径的平方成正比. （ ） 1. 一个圆锥与一个圆柱等底等高，则圆锥体积是圆柱体积的 . （ ） 答案：1.√ 2.√ 3.√ 4.×（表面积与 成正比，体积与 成正比） 5.√ 【典例分析】 例1：一个圆锥的底面半径为 ，高为 ，求它的表面积和体积. 解：母线 ， ， . 例2：圆台的上、下底面半径分别为 和 ，母线长为 ，求圆台的表面积和体积. 解：高 ， ， . 例3：一个球与一个圆柱的底面和侧面都相切，圆柱的高为 ，求球的体积. 解：球与圆柱底面和侧面相切，说明圆柱的底面圆半径等于球半径，圆柱的高等于球的直径，即 ，， . 【习题巩固】 1. 圆柱的底面半径为 ，高为 ，则其表面积为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则其侧面积为（ ） · A.  B.  C.  D. （同B） 1. 圆台的上、下底面半径分别为 和 ，高为 ，则其体积为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 球的半径为 ，则其表面积和体积分别为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. （选做）一个几何体由圆柱和圆锥组成，圆柱底面半径为 ，高为 ，圆锥底面半径与圆柱相同，高为 ，求组合体的体积. 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. D（） 1. B（侧） 1. A（） 1. C ， 1. 体积 . 学科网（北京）股份有限公司 $