8.3.2　第1课时　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积（导学案）数学人教A版必修第二册

8.3.2　第1课时　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 导学案 1. 理解圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图与表面积的关系，能通过展开图独立推导三类旋转体的侧面积公式，准确表述圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积计算公式，并明确公式中各字母的几何意义。 1. 能根据几何体的结构特征，结合已知条件（半径、高、母线长）选择合适的公式计算圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积；能运用“割补法” “等积法”处理简单组合体的度量问题，正确处理拼接面的面积取舍。 1. 能从鱼缸制作、快递包装等实际问题中提取圆柱、圆锥、圆台的几何模型，明确已知量与待求量的关系，代入公式计算并验证结果的合理性，解决简单的实际应用问题。 1. 体会“展开转化” “类比归纳”在几何度量中的应用，提升空间想象能力和数学运算能力；感受数学与生活、工程技术的联系，增强运用数学知识解决实际问题的意识，培养数学建模素养。 教学重点： 1. 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积公式及其推导； 2. 三类旋转体公式的直接应用； 3. 简单组合体的度量转化方法。 教学难点： 1. 旋转体侧面展开图与表面积的关系及公式推导； 2. 台体公式与柱体、锥体公式的统一关系； 3. 组合体表面积中拼接面的面积处理。 知识点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积 1．圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱(底面半径为r，母线长为l) 圆锥(底面半径为r，母线长为l) 圆台(上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l) 侧面展开图 底面面积 S底＝πr2 S底＝πr2 S上底＝πr′2， S下底＝πr2 侧面面积 S侧＝2πrl S侧＝πrl S侧＝πl(r′＋r) 表面积 S表＝2πr(r＋l) S表＝πr(r＋l) S表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系 S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl． 知识点二　圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 圆柱 V圆柱＝πr2h(r为底面半径，h是高) 圆锥 V圆锥＝πr2h(r为底面半径，h是高) 圆台 V圆台＝πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分别为上、下底面半径，h是高) 知识点三　柱体、锥体、台体的体积公式 V柱体＝Sh(S为底面积，h为柱体高)； V锥体＝Sh(S为底面积，h为锥体高)； V台体＝(S′＋＋S)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体高)． 当S′＝S时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当S′＝0时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式． 导入新知1：定制鱼缸的材料预算问题 家里准备打造创意鱼缸，主体是底面半径0.4m、高0.8m的圆柱体，顶部加装与底面完全贴合的半球形玻璃罩（半球半径与圆柱底面半径相同）；鱼缸无盖，底部为承重玻璃，侧面和半球罩为透明观赏面。已知每平方米玻璃单价120元，制作需预留0.1㎡损耗面积。思考以下问题： 1. 该鱼缸的圆柱部分需要计算的表面积有哪些？圆柱的侧面积公式是什么？需要知道哪些关键数据？ 1. 计算玻璃用量时，圆柱与半球的黏合面是否需要计算？为什么？组合体表面积计算的关键是什么？ 1. 要计算制作鱼缸的玻璃花费，核心需要解决什么数学问题？如何将损耗面积合理计入总玻璃用量？ 导入新知2：圆锥零件的体积计算问题 某机械厂加工一个圆锥零件，已知零件的底面直径为6cm，母线长为5cm，要计算该零件的用料体积（忽略加工损耗）。思考以下问题： 1. 要求圆锥的体积，需要先求出什么量？圆锥的高、底面半径、母线长之间有什么数量关系？ 2. 圆锥的体积公式与圆柱的体积公式有什么联系？如何通过类比圆柱体积公式记忆圆锥体积公式？ 3. 若将该圆锥截去顶部一小段形成圆台，圆台的体积该如何计算？与圆锥体积公式有什么关联？ 设计意图 1. 两个情境均贴近生活和工程实际，鱼缸制作涉及圆柱表面积及组合体度量，圆锥零件加工涉及圆锥的高与体积计算，让学生直观感受到数学与生活消费、工业生产的紧密联系，激发解决实际问题的兴趣。 1. 情境覆盖本节课核心知识点：圆柱的侧面积、圆锥的体积、组合体拼接面处理，同时引出圆台与圆锥的关系，直接呼应本节课的探究主题，为新知探究做好铺垫。 1. 通过问题链引导学生经历“分析实际问题—提取几何模型—明确关键量—思考度量方法”的过程，渗透数学建模思想，同时让学生初步感知本节课的重难点，激发探究欲望。 1. 让学生在问题思考中回顾旋转体的结构特征，唤醒已有知识储备，实现新旧知识的自然衔接。 （一）情景导入 前面已经学习了三种多面体的表面积与体积公式，那么如何求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. （二）预习课本，引入新课 阅读课本116-119页，思考并完成以下问题 1．圆柱、圆锥、圆台、的侧面积、底面积、表面积公式各是什么？ 2．圆柱、圆锥、圆台的体积公式各是什么？ 3．球的表面积与体积公式各式什么？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 1．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 与多面体的表面积一样，圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积和．利用圆柱、圆锥、圆台的展开图（图8.3-3），可以得到它们的表面积公式： （是底面半径，是母线长）， （是底面半径，是母线长）， （，分别是上、下底面半径，是母线长）． 思考 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？ 我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式，即 （是底面半径，是高）， （是底面半径，是高）． 由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式 （，分别是上、下底面半径，是高）． 思考 圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系？ 归纳 （为底面积，为柱体高）； （为底面积，为锥体高）； （，分别为上、下底面面积，为台体高）． 当时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式．    1.（25-26高三上·湖南湘西·期末）已知圆柱、圆锥的底面半径和球的半径相同，且圆柱的高等于球的直径，圆锥的体积等于圆柱的体积，若三者的体积之和为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆锥表面积的有关计算、柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】设三者半径均为，根据圆锥、圆柱、球的体积公式结合题设可求得，再求得圆锥的高、母线长，进而根据圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】不妨设三者半径均为，由题意知圆柱的高为，故其体积为， 故圆锥的体积为，而球的体积为， 故，解得， 记圆锥的高为，由，得， 故圆锥的母线长， 于是圆锥的侧面积. 故选：D 2.（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知圆台的高为4，上、下底面的半径分别为3和6，现在该圆台中挖去一个圆柱，圆柱的上、下底面分别在圆台的上、下底面上，要使得到的几何体的表面积最大，则圆柱的半径为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【知识点】圆柱表面积的有关计算、圆台表面积的有关计算 【分析】设挖去的圆柱的半径为，根据圆台中挖去一个圆柱所得几何体的结构结合圆台、圆柱的侧面积公式计算得到所求的几何体的表面积表达式，再结合一元二次函数性质即可得解. 【详解】由题意可得圆台的母线长为，圆台的侧面积为，上下底面积之和为， 由题可设挖去的圆柱的半径为，则圆柱侧面积为，圆柱的上、下底面积均为， 所以得到的几何体的表面积为. 所以当时得到的几何体的表面积最大为. 故选：B 3.（25-26高三上·湖南湘西·期末）已知圆柱、圆锥的底面半径和球的半径相同，且圆柱的高等于球的直径，圆锥的体积等于圆柱的体积，若三者的体积之和为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆锥表面积的有关计算、柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】设三者半径均为，根据圆锥、圆柱、球的体积公式结合题设可求得，再求得圆锥的高、母线长，进而根据圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】不妨设三者半径均为，由题意知圆柱的高为，故其体积为， 故圆锥的体积为，而球的体积为， 故，解得， 记圆锥的高为，由，得， 故圆锥的母线长， 于是圆锥的侧面积. 故选：D 4.（25-26高三上·河北衡水·月考）已知圆锥的高为2，用平行于底面的平面截圆锥得到一圆台，圆台的侧面积是，且体积是圆锥体积的，则圆锥的母线长为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆锥表面积的有关计算、圆台表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】根据圆锥、圆台的性质，利用圆锥体积公式求出截去圆锥的高度，从而得出圆锥与截去圆锥的底面半径及母线的比例，再利用圆锥面积公式结合已知圆台侧面积构造关于母线的方程，解方程求出母线长度． 【详解】设圆锥的高为，母线长为，底面半径为，则， 用平行于底面的平面截圆锥得到一圆台的体积是圆锥体积的， 截去圆锥的体积为圆锥体积的， 设截去圆锥的高为，母线长为，底面半径为， 则，解得，， 圆台的侧面积为，即，， 又， ，整理得，解得或（舍去）， ，． 故选：D． 5.（25-26高二上·上海静安·期末）已知圆柱的底面半径为3，高为4，则该圆柱的侧面积为 ． 【答案】 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【分析】根据圆柱的展开图和侧面积公式计算即可. 【详解】因为圆柱的侧面展开图为矩形，宽为圆柱的高，长为圆柱底面圆的周长， 所以该圆柱的侧面积为. 故答案为：. 6.（25-26高三上·广西·月考）某圆锥的底面半径为3，高为，则该圆锥的表面积为 ． 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】先求得圆锥的母线长，再根据圆锥的表面积公式求得正确答案． 【详解】依题意得该圆锥的母线长为，则该圆锥的表面积为． 故答案为：. 7.（25-26高二上·上海·期中）某圆锥高为4，体积是，则该圆锥的侧面积是 . 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】先假设圆锥的高为，半径为，母线长为，利用体积公式求出半径，再利用高为，半径为，母线长为三者间的关系求出母线长，最后利用侧面积公式求解. 【详解】设圆锥的高为，半径为 ,母线长为 ，则，得到； 母线长为 则该圆锥的侧面积是 故答案为： 8.（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知圆锥的高为4，体积为，则该圆锥的表面积为 . 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】先根据圆锥体积公式求出底面半径，再利用勾股定理计算母线长. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，体积为， 则：， 整理得：，即，或， 由勾股定理得：， 因为圆锥的表面积S由底面积S底和侧面积S侧组成，即， 底面积， 侧面积， 所以圆锥的表面积. 故该圆锥的表面积为. 9.（25-26高二上·四川达州·期中）如图1，何尊是我国西周早期的青铜器，它可以近似看作由上部分圆台和下部分圆柱组合而成的几何体，如图2所示，该几何体的高约为38 cm，上口直径约为28 cm，圆柱的底面直径约为20 cm，取的近似值为3，经计算得到圆柱的侧面积约为，则该几何体上部分圆台的体积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求组合体的体积、圆柱表面积的有关计算 【分析】结合圆柱的侧面积、体积公式，以及圆台的体积公式求解即可． 【详解】设圆台、圆柱的高分别为，圆台的上口半径和下口半径分别为， 则由题意可得，，， 由题意，1320，得， 所以， 故． 故选：C． 10.（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知圆台的上、下底面的面积分别为，，侧面积为，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】台体体积的有关计算、圆台表面积的有关计算 【分析】根据圆台的侧面积公式求出母线长，进而求出圆台高，再利用圆台的体积公式即可求解. 【详解】设圆台上、下底面圆的半径分别为，圆台上、下底面圆的面积分别为，圆台高为，母线长为， 因为圆台的上、下底面的面积分别为，， 所以，，解得，， 由题意得，圆台的侧面积为，所以， 作圆台的轴截面，如图： 所以圆台的高， 所以圆台的体积. 故选：C. 1.（2025·四川自贡·一模）若圆锥和圆柱的底面半径、高和侧面积都相等，设该圆锥体积为，则该圆柱的高为 ． 【答案】 【知识点】圆柱表面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】根据给定条件，利用圆锥、圆柱的侧面积公式及圆锥的体积公式列式求解. 【详解】设圆锥的底面半径、高分别为，则该圆锥的母线， 依题意，，则，解得， 由该圆锥体积为，得，则，， 所以该圆柱的高为. 故答案为： 2.（25-26高二上·上海·期末）若圆锥的底面半径为1，侧面的平面展开图的面积为，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】由已知得到该圆锥的母线长，利用勾股定理可得圆锥的高，再由体积公式可得答案． 【详解】如图底面半径为的圆锥中， 侧面积为， 所以，由勾股定理得， 所以该圆锥的体积． 故答案为：． 3.（25-26高二上·上海嘉定·期末）已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】先由题干条件计算圆锥的高，再求圆锥的母线，进而可求圆锥的侧面积. 【详解】由题得圆锥底面积，体积，解得， 母线长，故圆锥侧面积. 故答案为：. 4.（25-26高三上·广东·月考）已知某圆锥侧面展开后得到的扇形的面积等于其底面积的31倍，则该圆锥的高与底面圆半径的比值为 . 【答案】 【知识点】扇形面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】利用圆锥侧面积公式及条件列方程即得答案. 【详解】记圆锥底面半径为，高为，则其母线为. 由条件可知，即，即， 解得. 故答案为：. 1. 知识清单 (1) 圆柱的表面积：侧，表；体积：（为底面半径，为母线长，为高，圆柱）。 (2) 圆锥的表面积：侧，表；体积：（为底面半径，为母线长，为高，）。 (3) 圆台的表面积：侧，表；体积：（为上底面半径，为下底面半径，为母线长，为高）。 (4) 组合体度量：表面积=各几何体表面积和-拼接面面积×2；体积=各几何体体积和（或整体-挖去部分）。 2. 方法归纳 (1) 公式推导：展开转化法（侧面积）、类比归纳法（体积），体现“空间问题平面化” “特殊到一般”的思想。 (2) 解题步骤：观察几何体结构→确定关键量（半径、高、母线长）→选择合适公式→精准计算（组合体注意处理拼接面）。 (3) 常用方法：公式法、割补法、等积法，实际问题需结合实际条件调整（如无盖、损耗）。 3. 常见误区 (1) 混淆圆柱、圆锥的母线长与高的关系，圆台的上、下底面半径； (2) 计算表面积时，忽略组合体的拼接面，出现重复计算的错误； (3) 记忆公式时，遗漏圆锥、圆台体积公式中的； (4) 实际问题中，混淆“表面积”和“体积”的度量需求，忽略无盖、损耗等实际条件。 教材第 119 页第 1,3 题 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3.2　第1课时　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 导学案 1. 理解圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图与表面积的关系，能通过展开图独立推导三类旋转体的侧面积公式，准确表述圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积计算公式，并明确公式中各字母的几何意义。 2. 能根据几何体的结构特征，结合已知条件（半径、高、母线长）选择合适的公式计算圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积；能运用“割补法” “等积法”处理简单组合体的度量问题，正确处理拼接面的面积取舍。 3. 能从鱼缸制作、快递包装等实际问题中提取圆柱、圆锥、圆台的几何模型，明确已知量与待求量的关系，代入公式计算并验证结果的合理性，解决简单的实际应用问题。 4. 体会“展开转化” “类比归纳”在几何度量中的应用，提升空间想象能力和数学运算能力；感受数学与生活、工程技术的联系，增强运用数学知识解决实际问题的意识，培养数学建模素养。 教学重点： 1. 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积公式及其推导； 2. 三类旋转体公式的直接应用； 3. 简单组合体的度量转化方法。 教学难点： 1. 旋转体侧面展开图与表面积的关系及公式推导； 2. 台体公式与柱体、锥体公式的统一关系； 3. 组合体表面积中拼接面的面积处理。 知识点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积 1．圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱(底面半径为r，母线长为l) 圆锥(底面半径为r，母线长为l) 圆台(上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l) 侧面展开图 底面面积 S底＝ S底＝ S上底＝ ， S下底＝ 侧面面积 S侧＝ S侧＝ S侧＝ 表面积 S表＝ S表＝ S表＝ 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系 S圆柱侧＝ S圆台侧＝ S圆锥侧＝ ． 知识点二　圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 圆柱 V圆柱＝ (r为底面半径，h是高) 圆锥 V圆锥＝ (r为底面半径，h是高) 圆台 V圆台＝ (r′，r分别为上、下底面半径，h是高) 知识点三　柱体、锥体、台体的体积公式 V柱体＝ (S为底面积，h为柱体高)； V锥体＝ (S为底面积，h为锥体高)； V台体＝ (S′，S分别为上、下底面面积，h为台体高)． 当S′＝S时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当S′＝0时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式． 导入新知1：定制鱼缸的材料预算问题 家里准备打造创意鱼缸，主体是底面半径0.4m、高0.8m的圆柱体，顶部加装与底面完全贴合的半球形玻璃罩（半球半径与圆柱底面半径相同）；鱼缸无盖，底部为承重玻璃，侧面和半球罩为透明观赏面。已知每平方米玻璃单价120元，制作需预留0.1㎡损耗面积。思考以下问题： 1. 该鱼缸的圆柱部分需要计算的表面积有哪些？圆柱的侧面积公式是什么？需要知道哪些关键数据？ 1. 计算玻璃用量时，圆柱与半球的黏合面是否需要计算？为什么？组合体表面积计算的关键是什么？ 1. 要计算制作鱼缸的玻璃花费，核心需要解决什么数学问题？如何将损耗面积合理计入总玻璃用量？ 导入新知2：圆锥零件的体积计算问题 某机械厂加工一个圆锥零件，已知零件的底面直径为6cm，母线长为5cm，要计算该零件的用料体积（忽略加工损耗）。思考以下问题： 1. 要求圆锥的体积，需要先求出什么量？圆锥的高、底面半径、母线长之间有什么数量关系？ 2. 圆锥的体积公式与圆柱的体积公式有什么联系？如何通过类比圆柱体积公式记忆圆锥体积公式？ 3. 若将该圆锥截去顶部一小段形成圆台，圆台的体积该如何计算？与圆锥体积公式有什么关联？ （一）情景导入 前面已经学习了三种多面体的表面积与体积公式，那么如何求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. （二）预习课本，引入新课 阅读课本116-119页，思考并完成以下问题 1．圆柱、圆锥、圆台、的侧面积、底面积、表面积公式各是什么？ 2．圆柱、圆锥、圆台的体积公式各是什么？ 3．球的表面积与体积公式各式什么？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 1．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 与多面体的表面积一样，圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积和．利用圆柱、圆锥、圆台的展开图（图8.3-3），可以得到它们的表面积公式： （是底面半径，是母线长）， （是底面半径，是母线长）， （，分别是上、下底面半径，是母线长）． 思考 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？ 我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式，即 （是底面半径，是高）， （是底面半径，是高）． 由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式 （，分别是上、下底面半径，是高）． 思考 圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系？ 归纳 （为底面积，为柱体高）； （为底面积，为锥体高）； （，分别为上、下底面面积，为台体高）． 当时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式．    1.（25-26高三上·湖南湘西·期末）已知圆柱、圆锥的底面半径和球的半径相同，且圆柱的高等于球的直径，圆锥的体积等于圆柱的体积，若三者的体积之和为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知圆台的高为4，上、下底面的半径分别为3和6，现在该圆台中挖去一个圆柱，圆柱的上、下底面分别在圆台的上、下底面上，要使得到的几何体的表面积最大，则圆柱的半径为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 3.（25-26高三上·湖南湘西·期末）已知圆柱、圆锥的底面半径和球的半径相同，且圆柱的高等于球的直径，圆锥的体积等于圆柱的体积，若三者的体积之和为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高三上·河北衡水·月考）已知圆锥的高为2，用平行于底面的平面截圆锥得到一圆台，圆台的侧面积是，且体积是圆锥体积的，则圆锥的母线长为（    ） A．8 B． C． D． 5.（25-26高二上·上海静安·期末）已知圆柱的底面半径为3，高为4，则该圆柱的侧面积为 ． 6.（25-26高三上·广西·月考）某圆锥的底面半径为3，高为，则该圆锥的表面积为 ． 7.（25-26高二上·上海·期中）某圆锥高为4，体积是，则该圆锥的侧面积是 . 8.（25-26高二上·贵州遵义·月考）已知圆锥的高为4，体积为，则该圆锥的表面积为 . 9.（25-26高二上·四川达州·期中）如图1，何尊是我国西周早期的青铜器，它可以近似看作由上部分圆台和下部分圆柱组合而成的几何体，如图2所示，该几何体的高约为38 cm，上口直径约为28 cm，圆柱的底面直径约为20 cm，取的近似值为3，经计算得到圆柱的侧面积约为，则该几何体上部分圆台的体积约为（    ） A． B． C． D． 10.（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知圆台的上、下底面的面积分别为，，侧面积为，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 1.（2025·四川自贡·一模）若圆锥和圆柱的底面半径、高和侧面积都相等，设该圆锥体积为，则该圆柱的高为 ． 2.（25-26高二上·上海·期末）若圆锥的底面半径为1，侧面的平面展开图的面积为，则该圆锥的体积为 . 3.（25-26高二上·上海嘉定·期末）已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面积为 ． 4.（25-26高三上·广东·月考）已知某圆锥侧面展开后得到的扇形的面积等于其底面积的31倍，则该圆锥的高与底面圆半径的比值为 . 1. 知识清单 (1) 圆柱的表面积：侧，表；体积：（为底面半径，为母线长，为高，圆柱）。 (2) 圆锥的表面积：侧，表；体积：（为底面半径，为母线长，为高，）。 (3) 圆台的表面积：侧，表；体积：（为上底面半径，为下底面半径，为母线长，为高）。 (4) 组合体度量：表面积=各几何体表面积和-拼接面面积×2；体积=各几何体体积和（或整体-挖去部分）。 2. 方法归纳 (1) 公式推导：展开转化法（侧面积）、类比归纳法（体积），体现“空间问题平面化” “特殊到一般”的思想。 (2) 解题步骤：观察几何体结构→确定关键量（半径、高、母线长）→选择合适公式→精准计算（组合体注意处理拼接面）。 (3) 常用方法：公式法、割补法、等积法，实际问题需结合实际条件调整（如无盖、损耗）。 3. 常见误区 (1) 混淆圆柱、圆锥的母线长与高的关系，圆台的上、下底面半径； (2) 计算表面积时，忽略组合体的拼接面，出现重复计算的错误； (3) 记忆公式时，遗漏圆锥、圆台体积公式中的； (4) 实际问题中，混淆“表面积”和“体积”的度量需求，忽略无盖、损耗等实际条件。 教材第 119 页第 1,3 题 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $