8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步 8.3 简单几何体的表面积与体积 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 【学习目标】 1. 通过棱柱、棱锥、棱台的结构特征，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式. 1. 能灵活地运用公式求棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积. 1. 会求简单组合体的表面积和体积. 【学习重点】 1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式. 2. 等体积法、割补法在求几何体体积中的应用. 【学习难点】 1. 棱台的表面积公式的推导与理解. 2. 空间几何体中的转化思想（如等体积法）. 学习任务一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 【合作探究】 1. 问题引入： · 表面积是几何体所有表面的面积之和.对于多面体，表面积就是各个面的面积之和. (1) 棱柱的侧面展开图是什么图形？ · （侧面是平行四边形，直棱柱的侧面是矩形.侧面展开图是矩形或平行四边形的组合.） (2) 棱锥的侧面是什么图形？ · （三角形.） (3) 棱台的侧面是什么图形？ · （梯形.） 1. 表面积公式： (1) 棱柱的表面积：表底侧，其中 底 是底面面积，侧 是所有侧面的面积之和. (2) 棱锥的表面积：表底侧. (3) 棱台的表面积：表上底下底侧，侧面为梯形，侧上底面周长下底面周长斜高（对于正棱台）. 1. 例题： · 例1：已知棱长为 ，各面均为等边三角形的四面体 ，求其表面积. · 解：每个面是边长为 的正三角形，一个正三角形面积为 ，四面体有 个面， · . · 例2：正六棱台上、下底面边长分别是 和 ，侧棱长是 ，求它的表面积. · 解：先求斜高 .在正六棱台中，侧面是等腰梯形，上底边长 ，下底边长 ，腰长 ，则梯形高（斜高）（cm）. · 一个侧面面积 （cm²）.侧面有 个，侧面积 侧（cm²）. · 上下底面均为正六边形，上底面面积 上（cm²），下底面面积 下（cm²）. · 表面积 上下侧（cm²）. 【自主梳理】 1. 多面体的表面积 = 所有面的面积之和. 2. 正棱柱、正棱锥、正棱台的表面积可用侧面积加底面积公式. 学习任务二 棱柱、棱锥、棱台的体积 【合作探究】 1. 祖暅原理： · 两个等高的几何体，若在等高处的截面积总相等，则它们的体积相等. · 由此可知，棱柱的体积公式为 底，其中 是两底面之间的距离（高）. 1. 棱锥的体积： · 等底等高的棱锥体积是棱柱体积的 ，即 锥底. 1. 棱台的体积： · 棱台可由棱锥截得，设棱台上、下底面积分别为 和 ，高为 ，则 · 台 1. 例题： · 例3：高为 的三棱柱 的底面是边长为 的正三角形，求三棱锥 的体积. · 解：三棱锥 与三棱柱等底（底面 ）等高（高为 ）， · 锥. · 例4：棱台的上、下底面面积分别是 和 ，高为 ，求棱台的体积. · 解：. 1. 等体积法： · 在三棱锥中，可以灵活选择底面和高，同一三棱锥的体积不变. 【自主梳理】 1. 棱柱体积：底. 2. 棱锥体积：底. 3. 棱台体积：上下上下. 4. 等体积法：在同一三棱锥中，可以灵活选取底面和高. 【自查自纠】（正误判断） 1. 棱柱的侧面展开图不一定为矩形，但棱柱的侧面积等于所有侧面面积之和. （ ） 1. 棱锥的体积公式为 底，其中 是侧棱长. （ ） 1. 棱台的上、下底面面积分别为 、，高为 ，则体积 . （ ） 1. 等体积法常用于求三棱锥的体积，通过转化顶点或底面简化计算. （ ） 1. 正四棱锥的侧面积等于底面周长乘以斜高的一半. （ ） 答案：1.√ 2.×（ 是高） 3.×（缺少 ） 4.√ 5.√ 【典例分析】 例1：正四棱锥底面正方形的边长为 ，侧面是等边三角形，求四棱锥的侧面积. 解：侧面是边长为 的等边三角形，一个侧面面积 ，有 个侧面，侧面积 . 例2：底面是菱形的直四棱柱，体对角线长分别为 和 ，高是 ，求该直四棱柱的侧面积、表面积. 解：设底面菱形对角线长分别为 、，则 ，，解得 ，，，.菱形边长 . 侧面积 侧，底面面积 底， 表面积 表底侧. 例3：正四棱台上、下底面边长分别为 和 ，侧面积为 ，求其体积. 解：设斜高为 ，则侧面积 ，得 （cm）. 上、下底面中心距离（高）（cm）. 上底面积 上（cm²），下底面积 下（cm²）， 体积 （cm³）. 【习题巩固】 1. 已知正四棱锥底面边长为 ，侧棱长为 ，则其侧面积为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 棱长为 的正四面体的表面积是（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 棱台的上、下底面面积分别为 和 ，高为 ，则棱台的体积为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 已知一个正方体的体积为 ，则它的表面积为______. 1. （选做）在三棱锥 中， 平面 ，，，，求三棱锥的体积. 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. B（正四棱锥底面边长为2，侧面等腰三角形底边2，腰，斜高，一个侧面面积，4个侧面面积=8） 1. B（每个面是边长为2的正三角形，面积，4个面总面积为） 1. A（） 1. 正方体棱长，表面积 1. 解：底面 中，，，面积 . · 底面，高 ，体积 . 学科网（北京）股份有限公司 $