8.2 立体图形的直观图（导学案）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册
- 了解直观图的概念，掌握斜二测画法的核心规则（横长不变、纵长减半、竖长不变、平行关系不变）.
- 能熟练运用斜二测画法画出水平放置的简单平面图形（正多边形、梯形等）和常见立体图形（柱、锥、台、球）的直观图.
- 能根据直观图还原原图形，并进行简单的长度、面积计算.
- 斜二测画法的步骤与规则：横不变、纵减半、竖不变、平行关系不变.
- 平面图形与立体图形的直观图画法.
- 直观图与原图形之间的面积关系.
- 理解坐标轴夹角
（或 
）对图形形状的影响. - 根据直观图还原原图形，并计算原图形的面积.
- 问题引入：
如何将立体的物体（如长方体、圆柱）画在平面的纸上，使它看起来有立体感？
数学上常用斜二测画法来画直观图.
- 斜二测画法的核心规则（以画水平放置的平面图形为例）：
(1) 在原图形中建立直角坐标系 
.
(2) 在直观图中，画出对应的 
轴和 
轴，使 
（或 ）.
(3) 平行于 
轴的线段，长度不变；平行于 
轴的线段，长度减半.
(4) 平行关系保持不变.
- 举例：画水平放置的正六边形的直观图（步骤）
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(1) 在原正六边形中建立坐标系，取对称中心为原点， 轴平行于一对边.
(2) 在直观图中，画 轴和 轴成 .
(3) 将原 轴上的点（如顶点）坐标不变地画在 轴上；将原 轴上的点坐标减半画在 轴上.
(4) 根据平行关系，连接各点，得到直观图.
- 思考：
(1) 为什么 轴方向的线段长度要减半？
（为了增强立体感，使垂直方向的视觉长度看起来合理.）
(2) 平行于 轴的线段长度不变，平行于 轴的线段长度减半，那么平行于 
轴的线段呢？
（在画立体图形时，平行于 轴的线段长度不变.）
- 斜二测画法规则：
(1) 水平放置的平面图形： 轴与 轴夹角 ， 轴方向长度不变， 轴方向长度减半.
(2) 立体图形：再添加 
轴，垂直于 轴和 轴所在平面， 轴方向长度不变.
(3) 平行关系不变.
- 面积关系：直观图的面积是原图形面积的
倍（对于水平放置的平面图形）.
- 画长方体的直观图（步骤）：
(1) 画轴：画 轴、 轴、 轴，使 ，
.
(2) 画底面：按水平放置的平面图形画法，画出长方体的底面（矩形）的直观图（边长： 方向不变， 方向减半）.
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(3) 画侧棱：过底面各顶点作 轴的平行线，截取与高相等的长度（高度不变）.
(4) 成图：连接各顶点，隐藏被遮挡的线用虚线.
- 画正六棱锥的直观图（步骤）：
(1) 先画底面正六边形的直观图（水平放置）.
(2) 确定顶点位置：过底面中心作 轴，截取高度.
(3) 连接顶点与底面各顶点，隐藏遮挡线.
- 思考：
(1) 画圆柱的直观图时，底面椭圆怎么画？
（用椭圆模板或近似画法，通常先画底面椭圆的直观图，再画侧棱.）
(2) 球的直观图通常怎么画？
（画一个圆，并标出球心，有时加经线纬线表示.）
立体图形直观图画法步骤：
- 画轴（
）. - 画底面（利用平面图形直观图画法）.
- 画侧棱（ 轴方向长度不变）.
- 成图（连线，虚线表示不可见部分）.
- 由直观图还原原图形：
将直观图 轴方向的长度不变， 轴方向的长度乘以 
，角度还原为 
，即可得到原图形.
- 面积关系：
水平放置的平面图形，原图形面积 
与直观图面积 
的关系为：
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