8.2 立体图形的直观图（导学案）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步 8.2 立体图形的直观图 【学习目标】 1. 了解直观图的概念，掌握斜二测画法的核心规则（横长不变、纵长减半、竖长不变、平行关系不变）. 1. 能熟练运用斜二测画法画出水平放置的简单平面图形（正多边形、梯形等）和常见立体图形（柱、锥、台、球）的直观图. 1. 能根据直观图还原原图形，并进行简单的长度、面积计算. 【学习重点】 1. 斜二测画法的步骤与规则：横不变、纵减半、竖不变、平行关系不变. 2. 平面图形与立体图形的直观图画法. 3. 直观图与原图形之间的面积关系. 【学习难点】 1. 理解坐标轴夹角 （或 ）对图形形状的影响. 2. 根据直观图还原原图形，并计算原图形的面积. 学习任务一 斜二测画法的规则与平面图形直观图的画法 【合作探究】 1. 问题引入： · 如何将立体的物体（如长方体、圆柱）画在平面的纸上，使它看起来有立体感？ · 数学上常用斜二测画法来画直观图. 1. 斜二测画法的核心规则（以画水平放置的平面图形为例）： (1) 在原图形中建立直角坐标系 . (2) 在直观图中，画出对应的 轴和 轴，使 （或 ）. (3) 平行于 轴的线段，长度不变；平行于 轴的线段，长度减半. (4) 平行关系保持不变. 1. 举例：画水平放置的正六边形的直观图（步骤） (1) 在原正六边形中建立坐标系，取对称中心为原点， 轴平行于一对边. (2) 在直观图中，画 轴和 轴成 . (3) 将原 轴上的点（如顶点）坐标不变地画在 轴上；将原 轴上的点坐标减半画在 轴上. (4) 根据平行关系，连接各点，得到直观图. 1. 思考： (1) 为什么 轴方向的线段长度要减半？ · （为了增强立体感，使垂直方向的视觉长度看起来合理.） (2) 平行于 轴的线段长度不变，平行于 轴的线段长度减半，那么平行于 轴的线段呢？ · （在画立体图形时，平行于 轴的线段长度不变.） 【自主梳理】 1. 斜二测画法规则： (1) 水平放置的平面图形： 轴与 轴夹角 ， 轴方向长度不变， 轴方向长度减半. (2) 立体图形：再添加 轴，垂直于 轴和 轴所在平面， 轴方向长度不变. (3) 平行关系不变. 1. 面积关系：直观图的面积是原图形面积的 倍（对于水平放置的平面图形）. 学习任务二 立体图形直观图的画法 【合作探究】 1. 画长方体的直观图（步骤）： (1) 画轴：画 轴、 轴、 轴，使 ，. (2) 画底面：按水平放置的平面图形画法，画出长方体的底面（矩形）的直观图（边长： 方向不变， 方向减半）. (3) 画侧棱：过底面各顶点作 轴的平行线，截取与高相等的长度（高度不变）. (4) 成图：连接各顶点，隐藏被遮挡的线用虚线. 1. 画正六棱锥的直观图（步骤）： (1) 先画底面正六边形的直观图（水平放置）. (2) 确定顶点位置：过底面中心作 轴，截取高度. (3) 连接顶点与底面各顶点，隐藏遮挡线. 1. 思考： (1) 画圆柱的直观图时，底面椭圆怎么画？ · （用椭圆模板或近似画法，通常先画底面椭圆的直观图，再画侧棱.） (2) 球的直观图通常怎么画？ · （画一个圆，并标出球心，有时加经线纬线表示.） 【自主梳理】 立体图形直观图画法步骤： 1. 画轴（）. 1. 画底面（利用平面图形直观图画法）. 1. 画侧棱（ 轴方向长度不变）. 1. 成图（连线，虚线表示不可见部分）. 学习任务三 直观图与原图形的互化与面积计算 【合作探究】 1. 由直观图还原原图形： · 将直观图 轴方向的长度不变， 轴方向的长度乘以 ，角度还原为 ，即可得到原图形. 1. 面积关系： · 水平放置的平面图形，原图形面积 与直观图面积 的关系为： · 或 1. 例题： · 已知矩形 是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面图形的直观图，其中 ，（ 为 中点），求原图形的面积. · 解：先根据直观图还原原图形： 对应原图形中 （ 轴方向不变）； 轴方向的线段在直观图中长度为 ，则原图形中对应长度为 .原图形为平行四边形，面积 = 底 × 高 = . 【自主梳理】 1. 还原规则：将直观图中与 轴平行的线段长度乘以 ，角度恢复为 . 2. 面积公式：原直观（用于水平放置的平面图形）. 【自查自纠】（正误判断） 1. 用斜二测画法画水平放置的平面图形时，平行于 轴的线段长度不变，平行于 轴的线段长度变为原来的一半. （ ） 1. 斜二测画法中， 轴与 轴的夹角一定是 . （ ） 1. 画立体图形时，平行于 轴的线段长度不变. （ ） 1. 直观图的面积与原图形的面积相等. （ ） 1. 水平放置的直角梯形的直观图仍然是直角梯形. （ ） 答案：1.√ 2.×（可以是 ，习惯用 ） 3.√ 4.×（比为 ） 5.×（角度会变） 【典例分析】 例1：画水平放置的正三角形的直观图. 解： (1) 在原正三角形中，以底边为 轴，高所在直线为 轴，建立坐标系. (2) 画 轴和 轴，使 . (3) 在 轴上取 ，在 轴上取 . (4) 过 作 轴的平行线，取 等于底边长度的一半，连接 、，即得直观图. 例2：一个水平放置的平面图形的直观图是边长为 的正方形，求原图形的面积. 解：直观图为正方形，边长为 ，则直观图面积 .原图形面积 . 例3：已知一个长方体的长、宽、高分别为 、、，画出它的直观图（只需描述步骤）. 解：步骤略（按立体图形画法，底面矩形 方向长 ， 方向画 ，高 ）. 【习题巩固】 1. 用斜二测画法画水平放置的平面图形时，下列结论正确的是（ ） · A. 相等的线段在直观图中仍然相等 · B. 平行的线段在直观图中仍然平行 · C. 一个角的直观图仍是等大的角 · D. 直角在直观图中仍是直角 1. 一个水平放置的三角形的直观图是边长为 的正三角形，则原三角形的面积为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 用斜二测画法画一个底面边长为 ，高为 的正四棱柱的直观图，则画出的侧棱长度为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 如图（文字描述：直观图中，梯形 中，，， 轴， 的纵坐标为 ），求原梯形的面积. 1. （选做）已知一个平面图形的直观图是面积为 的正方形，求原图形的面积. 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. B 1. C（正三角形直观图面积 ，原面积 ） 1. C（平行于 轴的线段长度不变） 1. 还原：； 原图形中 ； 的纵坐标为 原图形中 的纵坐标为 .原图形为直角梯形，上底 ，下底 ，高 ，面积 . 1. 解：，. 学科网（北京）股份有限公司 $