8.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体（导学案）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步 8.1 基本立体图形 8.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 【学习目标】 1. 能准确识别圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征，掌握它们的定义、图形表示及核心要素（底面、侧面、母线、球心、半径等）. 1. 理解圆柱、圆锥、圆台之间的内在联系，能说明它们的生成过程，掌握简单组合体的构成方式（拼接、截割）. 1. 能运用空间几何体的结构特征，判断简单几何体的类型，解决与结构特征相关的简单问题，提升空间想象能力. 【学习重点】 1. 圆柱、圆锥、圆台、球的旋转生成过程及结构特征. 2. 简单组合体的构成方式（拼接、截割）. 3. 用字母表示圆柱、圆锥、圆台、球的方法. 【学习难点】 1. 区分旋转体的母线、旋转轴等概念. 2. 理解球的大圆、小圆及球心到截面的距离计算. 3. 将复杂组合体分解为基本几何体. 学习任务一 圆柱、圆锥、圆台的结构特征与生成 【合作探究】 1. 问题引入： · 观察生活中的纸杯、罐头、铅锤、漏斗等物体，它们与棱柱、棱锥等几何体最大的不同是什么？ · （它们有光滑的曲面，由平面图形绕一条直线旋转形成.） 1. 圆柱的生成与结构： · 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. (1) 旋转轴叫做轴. (2) 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面（两个全等的圆）. (3) 平行于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面. (4) 无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线，所有母线平行且相等. 1. 圆锥的生成与结构： · 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥. (1) 旋转轴为轴. (2) 底面是一个圆（由另一条直角边旋转而成）. (3) 侧面是曲面，母线交于顶点. 1. 圆台的生成与结构： · 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.也可由直角梯形绕垂直于底边的腰旋转一周得到. (1) 上、下底面是平行且相似的圆（半径不相等）. (2) 侧面是扇环，所有母线的延长线交于一点（原圆锥顶点）. 1. 思考： (1) 圆柱的母线垂直于底面吗？ · （圆柱的母线与轴平行，而轴垂直于底面，所以母线也垂直于底面.） (2) 圆锥的母线、底面半径和高构成什么三角形？ · （直角三角形，其中母线为斜边.） 【自主梳理】 1. 圆柱：矩形绕一边旋转，两底面全等，侧面母线平行且相等. 1. 圆锥：直角三角形绕直角边旋转，底面为圆，顶点与底面圆心的连线垂直底面，母线交于顶点. 1. 圆台：平行于圆锥底面的平面截圆锥所得，上、下底面半径不同，母线延长线交于一点. 学习任务二 球的结构特征 【合作探究】 1. 球的生成与结构： · 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体（简称球）. (1) 半圆的圆心叫做球心. (2) 连接球心和球面上任意一点的线段叫做半径. (3) 连接球面上两点且经过球心的线段叫做直径. 1. 球的性质： (1) 球心到球面上任意一点的距离相等. (2) 用一个平面去截球，截面是圆面（当平面过球心时，截面圆最大，称为大圆）. (3) 球心到截面的距离 ，球的半径 ，截面圆半径 满足 . 1. 思考： (1) 球面与球有什么区别？ · （球面是球的表面，是曲面；球是球面及其内部，是实心体.） (2) 地球仪上的经线、纬线是什么形状？ · （经线是半大圆，纬线是圆（小圆）.） 【自主梳理】 1. 球：半圆绕直径旋转而成. 1. 要素：球心、半径、直径. 1. 截面性质：. 学习任务三 简单组合体的构成 【合作探究】 1. 定义： · 由两个或两个以上的基本几何体（棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等）拼接或截割而成的几何体叫做简单组合体. 1. 构成方式： (1) 拼接型：将多个基本几何体组合在一起（如台灯：圆柱灯柱 + 圆台灯罩）. (2) 截割型：从基本几何体中挖去或切割一部分（如空心球、圆柱挖去圆锥等）. 1. 例题识别： · (1) 图①：一个圆柱与一个圆锥底面重合拼接而成. · (2) 图②：一个球与一个圆台拼接而成. · (3) 图③：一个圆柱内部挖去一个圆锥（杯状）. · (4) 图④：一个棱台与一个圆柱拼接（需具体描述）. 1. 思考： (1) 描述下图（文字说明）的简单组合体：下半部分为长方体，上半部分为半球. · （拼接型：长方体 + 半球.） 【自主梳理】 1. 简单组合体由基本几何体通过“拼接”或“截割”构成. 2. 识别时，可从上到下、从外到内拆解. 【自查自纠】（正误判断） 1. 圆柱的母线与底面垂直. （ ） 1. 圆锥的底面半径、高、母线构成直角三角形，其中母线最长. （ ） 1. 圆台的侧面展开图是扇形. （ ） 1. 球的任意截面都是圆. （ ） 1. 半圆绕直径旋转一周得到球. （ ） 答案：1.√（母线平行于轴，轴⊥底面） 2.√ 3.×（是扇环） 4.√ 5.×（球面，但习惯称球） 【典例分析】 例1：判断下列命题是否正确，并说明理由： (1) 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线. (2) 圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线. (3) 圆台的上、下底面圆周上各取一点，这两点的连线是圆台的母线. 解： (1) 错误.只有当连线平行于轴时才是母线，否则不是. (2) 正确.符合圆锥母线定义. (3) 错误.母线延长后必须交于一点，任意两点连线不一定满足. 例2：已知圆锥的母线长为 ，底面半径为 ，求圆锥的高. 解：由勾股定理，. 例3：半径为 的球的一个截面面积为 ，求球心到该截面的距离. 解：设截面圆半径为 ，则 ，得 .由 . 【习题巩固】 1. 下列几何体中，由直角三角形绕一条直角边旋转一周得到的几何体是（ ） · A. 圆柱 B. 圆锥 C. 圆台 D. 球 1. 下列说法正确的是（ ） · A. 圆台的母线互相平行 · B. 球的表面是平面图形 · C. 圆柱的上、下底面是全等的圆 · D. 圆锥的高与母线相等 1. 已知圆锥的底面半径为 ，高为 ，则其母线长为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 一个圆台的上、下底面半径分别为 和 ，母线长为 ，则圆台的高为______. 1. （选做）半径为 的球内有一个截面，球心到截面的距离为 ，求截面圆的面积. 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. B 1. C 1. A（） 1. 解：. 1. 解：，面积 . 学科网（北京）股份有限公司 $