1.导学案 06 第8章 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 内容概览 【学习目标】 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的求法.(直观想象、数学运算) 2.会求由圆柱、圆锥、圆台、球构成的简单组合体的表面积和体积.(直观想象、数学运算) 3.能解决简单的圆柱、圆锥、圆台、球的“切”“接”问题.(直观想象、数学运算) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、圆柱、圆锥、圆台的表面积 项目 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开 侧面积 2πrl πrl _______ 表面积 ________ _______ π(r'2+r2+r'l+rl) π(r'+r)l 2πr(r+l) πr(r+l) 返回 【思考】 1.圆锥的侧面展开图为一扇形,此扇形的弧长与圆锥底面半径r的关系是什 么? 提示:扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长2πr. 2.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系?你能用圆柱、圆锥、 圆台的结构特征来解释这种关系吗? 提示:当圆台的上底面半径与下底面半径相等时,得到圆柱;当圆台的上底面 缩为一个点时,得到圆锥. 返回 【点拨】 圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积,表面积是侧面 积与底面积之和. 返回 二、圆柱、圆锥、圆台的体积 1.圆柱:V=_____(r是底面半径,h是高); 2.圆锥:V=(r是底面半径,h是高); 3.圆台:V=πh(r'2+r'r+r2)(r',r分别是上、下底面半径,h是高). πr2h πr2h 返回 【思考】 3.圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系?结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式,你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗?柱体、锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系? 提示:(1)圆柱、圆锥、圆台体积的关系 (2)柱体、锥体、台体的体积 柱体:柱体的底面面积为S,高为h,则V=Sh. 锥体:锥体的底面面积为S,高为h,则V=Sh. 台体:台体的上、下底面面积分别为S',S,高为h,则V=(S'++S)h. 返回 返回 三、球的表面积和体积 球的表面积:S球=_____; 球的体积:V球=.(其中R为球的半径) 【点拨】 球的表面积和体积的大小,只与球的半径相关. 【教材深化】 经过球心的平面截球所得的截面称为球的大圆,球的非大圆截面称为小圆. 球的表面积恰好是球的大圆面积的4倍. 4πR2 πR3 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图都是曲面.( ) 提示:圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,它们的侧面展开图是平面. (2)圆柱的体积是圆锥体积的3倍.( ) 提示:等底等高的圆柱与圆锥,圆柱的体积是圆锥体积的3倍. (3)圆台的侧面展开图的面积就是圆台的侧面积.( ) (4)同一个球的体积等于它的表面积的三分之一.( ) 提示:半径为R的球的体积V=πR3,而表面积S=4πR2,体积不是表面积的三分 之一. × × √ × 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积(直观想象、数学运算) 角度1　圆柱、圆锥、圆台的表面积 【典例1】(易错·对对碰) 如图,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5,BC=16,AD=4. (1)以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积为　　　　　;  (2)以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积为　　　　　.  返回 【解析】(1)以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台,其上底面半径 是4,下底面半径是16,母线DC==13.故该几何体的表面积为 π(4+16)×13+π×42+π×162=532π. (2)以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体,如图. 其中圆锥的高为16-4=12,圆柱的母线长为AD=4, 故该几何体的表面积为2π×5×4+π×52+π×5×13=130π. 答案:(1)532π　(2)130π 返回 【总结升华】 求圆柱、圆锥、圆台的表面积的步骤 (1)得到空间几何体的平面展开图. (2)依次求出各个平面图形的面积. (3)将各平面图形的面积相加. 返回 【即学即练】 已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的 比是　　　　　.  【解析】设底面圆半径为r,母线长为h, 所以h=2πr,则====. 答案: 返回 角度2　圆柱、圆锥、圆台的体积 【典例2】(1)圆台上底面半径为2,下底面半径为6,母线长为5,则圆台的体 积为(　　) A.40π B.52π C.50π D.π 【解析】选B.作出圆台的轴截面如图所示,上底面半径MD=2,下底面半径 NC=6,过D作DE⊥NC,垂足为E,则EC=6-2=4,CD=5,故DE=3. 即圆台的高为3,所以圆台的体积为 V=×3×(π×22+π×62+)=52π. √ 返回 (2)一个圆锥形容器和一个圆柱形容器,它们的轴截面尺寸如图所示,两容器内所盛液 体的体积正好相等,且液面高度h正好相同,则h=　　　　　.  【解析】设圆锥形容器的液面的半径为R, 则液体的体积为πR2h,圆柱形容器内的液体体积为π()2h. 根据题意,有πR2h=π()2h,解得R=a. 再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形,得=,所以h=a. 答案:a 返回 【总结升华】 求体积的常用方法 (1)直接法; (2)分割法; (3)补形法; (4)等体积法. 返回 【即学即练】 如图,已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为 a,最小值为b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是　　　　　　.  【解析】在该几何体的上面,再补一个倒立的同样几何体, 则构成底面半径为r,高为a+b的圆柱. 所以其体积为πr2(a+b). 答案:πr2(a+b) 返回 类型2球的表面积与体积(直观想象、数学运算) 【典例3】(类题·节节高) (1)已知球的直径为2,求它的表面积和体积. 【解析】因为球的直径为2,所以半径R=1, 所以S球=4πR2=4π×12=4π, V球=πR3=π×13=π. 返回 (2)已知球的体积为,求它的表面积. 【解析】因为V球=πR3=π, 所以R3=27,R=3,所以S球=4π×32=36π. (3)若三个球的表面积之比为1∶4∶9,求这三个球的体积之比. 【解析】设三个球的半径分别为R1,R2,R3, 因为三个球的表面积之比为1∶4∶9, 所以4π∶4π∶4π=1∶4∶9, 即=1∶4∶9,所以R1∶R2∶R3=1∶2∶3,得=1∶8∶27, 所以V1∶V2∶V3=πππ==1∶8∶27. 返回 【总结升华】 求球的表面积与体积的关注点 (1)一个关键:球的半径; (2)两个结论:①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方;②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方. 返回 【即学即练】 两个球的半径相差1,表面积之差为28π,则它们的体积和为　　　　　.  【解析】设大、小两球半径分别为R,r,则由题意可得所以 所以它们的体积和为πR3+πr3=. 答案: 返回 类型3旋转体的“切”“接”问题(直观想象、数学运算) 【典例4】(易错·对对碰) 如图,在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱. (1)圆柱的体积与圆锥的体积分别为　　　　　;  (2)图中圆台的表面积与体积分别为　　　　　.  返回 【解析】设圆锥的底面半径为R,圆柱的底面半径为r,则R=OC=2,圆锥的母 线长AC=4,所以圆锥的高AO==2. 如图所示, 易知△AEB∽△AOC, 所以=,即=, 所以r=1. 返回 (1)圆柱的体积V1=πr2h=π×12×=π. 圆锥的体积V2=π×22×2=π. (2)圆台的上底面半径r=1,下底面半径R=2,高h=,母线l=2,所以圆台的表 面积S=π(r2+R2+rl+Rl)=π(12+22+1×2+2×2)=11π. 圆台的体积V=π(r2+rR+R2)h=π(12+2+22)×=π. 答案:(1)π,π　(2)11π,π 返回 【总结升华】 旋转体的“切”“接”问题的解题策略 在处理旋转体的“切”“接”问题时,一般要通过作一适当的截面,将立体问题转化为平面问题解决,这类截面往往指的是旋转体的轴截面. 返回 【即学即练】 已知圆柱的底面半径为2,高为4. (1)若一球外接于此圆柱,则球的表面积为　　　.  (2)若一球内切于此圆柱,则球的表面积为　　　.  【解析】(1)如图所示,BC=2,AB=4,所以OB=2, 所以球的半径为==2, 所以球的表面积S=4π·(2)2=32π. (2)如图所示,由题意,球的半径恰巧等于圆柱的底面半径,即R=2, 所以球的表面积S=4π·22=16π. 答案:(1)32π　(2)16π 返回 由此可得:S圆柱侧=2πrlS圆台侧=π(r'+r)lS圆锥侧=πrl. (3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 V柱体=ShV台体=(S'++S)hV锥体=Sh. $ 8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 【学习目标】 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的求法.(直观想象、数学运算) 2.会求由圆柱、圆锥、圆台、球构成的简单组合体的表面积和体积.(直观想象、数学运算) 3.能解决简单的圆柱、圆锥、圆台、球的“切”“接”问题.(直观想象、数学运算) 必备知识·自主导学 一、圆柱、圆锥、圆台的表面积 项目 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开 侧面积 2πrl πrl π(r'+r)l 表面积 2πr(r+l) πr(r+l) π(r'2+r2+r'l+rl) 【思考】 1.圆锥的侧面展开图为一扇形,此扇形的弧长与圆锥底面半径r的关系是什么? 提示:扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长2πr. 2.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系?你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗? 提示:当圆台的上底面半径与下底面半径相等时,得到圆柱;当圆台的上底面缩为一个点时,得到圆锥. 由此可得:S圆柱侧=2πrlS圆台侧=π(r'+r)lS圆锥侧=πrl. 【点拨】 圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积,表面积是侧面积与底面积之和. 二、圆柱、圆锥、圆台的体积 1.圆柱:V=πr2h(r是底面半径,h是高); 2.圆锥:V=πr2h(r是底面半径,h是高); 3.圆台:V=πh(r'2+r'r+r2)(r',r分别是上、下底面半径,h是高). 【思考】 3.圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系?结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式,你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗?柱体、锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系? 提示:(1)圆柱、圆锥、圆台体积的关系 (2)柱体、锥体、台体的体积 柱体:柱体的底面面积为S,高为h,则V=Sh. 锥体:锥体的底面面积为S,高为h,则V=Sh. 台体:台体的上、下底面面积分别为S',S,高为h,则V=(S'++S)h. (3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 V柱体=ShV台体=(S'++S)hV锥体=Sh. 三、球的表面积和体积 球的表面积:S球=4πR2; 球的体积:V球=πR3.(其中R为球的半径) 【点拨】 球的表面积和体积的大小,只与球的半径相关. 【教材深化】 经过球心的平面截球所得的截面称为球的大圆,球的非大圆截面称为小圆.球的表面积恰好是球的大圆面积的4倍. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图都是曲面. (×) 提示:圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,它们的侧面展开图是平面. (2)圆柱的体积是圆锥体积的3倍. (×) 提示:等底等高的圆柱与圆锥,圆柱的体积是圆锥体积的3倍. (3)圆台的侧面展开图的面积就是圆台的侧面积. (√) (4)同一个球的体积等于它的表面积的三分之一. (×) 提示:半径为R的球的体积V=πR3,而表面积S=4πR2,体积不是表面积的三分之一. 关键能力·师生共研 类型1圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积(直观想象、数学运算) 角度1　圆柱、圆锥、圆台的表面积 【典例1】(易错·对对碰) 如图,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5,BC=16,AD=4. (1)以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积为　　　　　;  (2)以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积为　　　　　.  【解析】(1)以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台,其上底面半径是4,下底面半径是16,母线DC==13.故该几何体的表面积为π(4+16)×13+π×42+π×162=532π. (2)以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体,如图. 其中圆锥的高为16-4=12,圆柱的母线长为AD=4,故该几何体的表面积为2π×5×4+π×52+π×5×13=130π. 答案:(1)532π　(2)130π 【总结升华】 求圆柱、圆锥、圆台的表面积的步骤 (1)得到空间几何体的平面展开图. (2)依次求出各个平面图形的面积. (3)将各平面图形的面积相加. 【即学即练】 已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是　　　　　.  【解析】设底面圆半径为r,母线长为h, 所以h=2πr,则====. 答案: 角度2　圆柱、圆锥、圆台的体积 【典例2】(1)圆台上底面半径为2,下底面半径为6,母线长为5,则圆台的体积为 (　　) A.40π B.52π C.50π D.π 【解析】选B.作出圆台的轴截面如图所示,上底面半径MD=2,下底面半径NC=6,过D作DE⊥NC,垂足为E,则EC=6-2=4,CD=5,故DE=3. 即圆台的高为3,所以圆台的体积为V=×3×(π×22+π×62+)=52π. (2)一个圆锥形容器和一个圆柱形容器,它们的轴截面尺寸如图所示,两容器内所盛液体的体积正好相等,且液面高度h正好相同,则h=　　　　　.  【解析】设圆锥形容器的液面的半径为R, 则液体的体积为πR2h,圆柱形容器内的液体体积为π()2h. 根据题意,有πR2h=π()2h,解得R=a. 再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形,得=,所以h=a. 答案:a 【总结升华】 求体积的常用方法 (1)直接法; (2)分割法; (3)补形法; (4)等体积法. 【即学即练】 如图,已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是　　　　　　.  【解析】在该几何体的上面,再补一个倒立的同样几何体,则构成底面半径为r,高为a+b的圆柱. 所以其体积为πr2(a+b). 答案:πr2(a+b) 类型2球的表面积与体积(直观想象、数学运算) 【典例3】(类题·节节高) (1)已知球的直径为2,求它的表面积和体积. 【解析】因为球的直径为2,所以半径R=1, 所以S球=4πR2=4π×12=4π, V球=πR3=π×13=π. (2)已知球的体积为,求它的表面积. 【解析】因为V球=πR3=π, 所以R3=27,R=3,所以S球=4π×32=36π. (3)若三个球的表面积之比为1∶4∶9,求这三个球的体积之比. 【解析】设三个球的半径分别为R1,R2,R3, 因为三个球的表面积之比为1∶4∶9, 所以4π∶4π∶4π=1∶4∶9, 即=1∶4∶9,所以R1∶R2∶R3=1∶2∶3,得=1∶8∶27, 所以V1∶V2∶V3=πππ==1∶8∶27. 【总结升华】 求球的表面积与体积的关注点 (1)一个关键:球的半径; (2)两个结论:①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方;②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方. 【即学即练】 两个球的半径相差1,表面积之差为28π,则它们的体积和为　　　　　.  【解析】设大、小两球半径分别为R,r,则由题意可得所以 所以它们的体积和为πR3+πr3=. 答案: 类型3旋转体的“切”“接”问题(直观想象、数学运算) 【典例4】(易错·对对碰) 如图,在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱. (1)圆柱的体积与圆锥的体积分别为　　　　　;  (2)图中圆台的表面积与体积分别为　　　　　.  【解析】设圆锥的底面半径为R,圆柱的底面半径为r,则R=OC=2,圆锥的母线长AC=4,所以圆锥的高AO==2. 如图所示, 易知△AEB∽△AOC, 所以=,即=, 所以r=1. (1)圆柱的体积V1=πr2h=π×12×=π. 圆锥的体积V2=π×22×2=π. (2)圆台的上底面半径r=1,下底面半径R=2,高h=,母线l=2,所以圆台的表面积S=π(r2+R2+rl+Rl)=π(12+22+1×2+2×2)=11π. 圆台的体积V=π(r2+rR+R2)h=π(12+2+22)×=π. 答案:(1)π,π　(2)11π,π 【总结升华】 旋转体的“切”“接”问题的解题策略 在处理旋转体的“切”“接”问题时,一般要通过作一适当的截面,将立体问题转化为平面问题解决,这类截面往往指的是旋转体的轴截面. 【即学即练】 已知圆柱的底面半径为2,高为4. (1)若一球外接于此圆柱,则球的表面积为　　　.  (2)若一球内切于此圆柱,则球的表面积为　　　.  【解析】(1)如图所示,BC=2,AB=4,所以OB=2, 所以球的半径为==2, 所以球的表面积S=4π·(2)2=32π. (2)如图所示,由题意,球的半径恰巧等于圆柱的底面半径,即R=2,所以球的表面积S=4π·22=16π. 答案:(1)32π　(2)16π - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $