8.1.1 棱柱、棱锥、棱台（导学案）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步 8.1 基本立体图形 8.1.1 棱柱、棱锥、棱台 【学习目标】 1. 通过实物和模型，概括出棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征. 1. 能用数学语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征，能表示有关几何体并进行分类. 1. 通过对棱柱、棱锥、棱台的学习，培养数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养. 【学习重点】 1. 棱柱、棱锥、棱台的定义、结构特征及分类. 2. 用字母表示棱柱、棱锥、棱台的方法. 【学习难点】 1. 理解棱柱、棱锥、棱台之间的区别与联系（棱台可由棱锥截得，棱柱可看作上下底面全等的棱台）. 2. 正确判断一个多面体是否属于棱柱、棱锥、棱台（注意定义中的关键条件）. 学习任务一 棱柱的结构特征 【合作探究】 1. 观察生活中的物体：教室的门框、课本、储物柜等，它们抽象出的几何体有什么共同特点？ (1) 有两个面互相平行； (2) 其余各面都是四边形； (3) 每相邻两个四边形的公共边互相平行. · 这样的几何体叫做棱柱. 1. 棱柱的定义： · 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. (1) 两个互相平行的面叫做底面，它们是全等的多边形. (2) 其余各面叫做侧面，都是平行四边形. (3) 相邻侧面的公共边叫做侧棱，所有侧棱平行且相等. (4) 侧面与底面的公共顶点叫做顶点. 1. 棱柱的表示与分类： (1) 表示：用底面各顶点的字母表示，如棱柱 . (2) 分类：按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等. (3) 按侧棱与底面的位置关系分为直棱柱（侧棱垂直于底面）和斜棱柱（侧棱不垂直于底面）.底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.底面是平行四边形的四棱柱也叫平行六面体. 1. 思考与辨析： (1) 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗？ · （不一定，必须保证相邻四边形的公共边互相平行，例如两个平行面之间的侧面可以是平行四边形，但若错位排列可能形成并非棱柱的几何体.） (2) 长方体、正方体属于什么棱柱？ · （长方体是直四棱柱，正方体是正四棱柱.） 【自主梳理】 1. 棱柱定义：两个面平行，其余各面是四边形，且相邻四边形的公共边平行. 1. 要素：底面（全等）、侧面（平行四边形）、侧棱（平行且相等）、顶点. 1. 分类： (1) 按底面边数：三棱柱、四棱柱…… (2) 按侧棱与底面：直棱柱、斜棱柱；正棱柱（底面正多边形+直棱柱）. 学习任务二 棱锥的结构特征 【合作探究】 1. 观察生活中的物体：金字塔、铅锤等，它们有什么共同特点？ (1) 有一个面是多边形； (2) 其余各面都是有一个公共顶点的三角形. · 这样的几何体叫做棱锥. 1. 棱锥的定义： · 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. (1) 这个多边形面叫做底面. (2) 有公共顶点的各个三角形叫做侧面. (3) 相邻侧面的公共边叫做侧棱，所有侧棱相交于一点（顶点）. (4) 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点. 1. 棱锥的表示与分类： (1) 表示：用顶点和底面各顶点的字母表示，如棱锥 . (2) 分类：按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等.三棱锥又叫四面体. (3) 底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. 1. 思考： (1) 棱锥的侧面一定是三角形吗？ · （是，根据定义，其余各面都是有公共顶点的三角形.） (2) 棱锥的所有侧棱都相等吗？ · （不一定，只有正棱锥的侧棱相等.） 【自主梳理】 1. 棱锥定义：一个面是多边形，其余各面是共顶点的三角形. 1. 要素：底面、侧面（三角形）、侧棱、顶点. 1. 分类：三棱锥（四面体）、四棱锥、五棱锥…… 学习任务三 棱台的结构特征 【合作探究】 1. 问题引入：如何从一个棱锥得到一个棱台？ · 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台. 1. 棱台的定义： · 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台. (1) 原棱锥的底面和截面分别叫做下底面和上底面. (2) 其余各面叫做侧面，都是梯形. (3) 相邻侧面的公共边叫做侧棱，延长后交于一点. (4) 侧面与底面的公共顶点叫做顶点. 1. 棱台的表示与分类： (1) 表示：用上、下底面各顶点的字母表示，如棱台 . (2) 分类：按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台等. 1. 辨析： (1) 用一个平面截棱锥，一定能得到棱台吗？ · （不一定，必须平面平行于底面.） (2) 棱台的侧棱延长线有什么关系？ · （相交于一点，即原棱锥的顶点.） 【自主梳理】 1. 棱台定义：平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的几何体. 1. 要素：上底面、下底面（相似多边形）、侧面（梯形）、侧棱（延长线交于一点）. 1. 分类：三棱台、四棱台等. 学习任务四 棱柱、棱锥、棱台的关系与综合判断 【合作探究】 1. 三者关系： (1) 棱柱可看作上下底面全等的棱台（当棱台的上底面扩大到与下底面全等时成为棱柱）. (2) 棱台是由棱锥截得的，当上底面缩小为一点时成为棱锥. (3) 可以用动态变化理解：棱锥的顶点无限远离底面，侧面变成平行四边形时成为棱柱？不准确，通常用运动观点：棱柱 → 棱台 → 棱锥是连续变化（上底面缩小）. 1. 易错点： (1) 棱柱定义中“相邻四边形的公共边互相平行”不能忽略. (2) 棱锥侧面必须共顶点. (3) 棱台的侧棱延长线必须交于一点. 1. 例题判断： · (1) 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.（ ） · (2) 长方体、正方体都是棱柱.（ ） · (3) 侧棱垂直于底面的棱柱是正棱柱.（ ） · (4) 棱锥的侧面都是三角形，且所有侧面都有一个公共顶点.（ ） · (5) 用一个平面去截棱锥，得到的几何体一定是棱台.（ ） · 答案： · (1) ×（必须满足相邻公共边平行，否则可能是组合体） · (2) √ · (3) ×（还需底面是正多边形） · (4) √ · (5) ×（需平面平行于底面） 【自主梳理】 1. 棱柱：两底面平行且全等，侧面平行四边形，侧棱平行且相等. 2. 棱锥：底面多边形，侧面共顶点的三角形. 3. 棱台：由平行于底面的平面截棱锥得到，侧棱延长线交于一点. 【自查自纠】（正误判断） 1. 棱柱的侧面都是平行四边形. （ ） 1. 棱锥的底面一定是正多边形. （ ） 1. 棱台的侧棱延长线一定相交于一点. （ ） 1. 正方体既是棱柱，又是正棱柱. （ ） 1. 用一个平面截棱锥，截面与底面之间的部分一定是棱台. （ ） 答案：1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5.× 【典例分析】 例1：已知一个几何体 ，底面 和上底面 互相平行，且各侧棱延长线交于一点 ，底面 是正方形， 是正方形. (1) 这个几何体是什么？请说明理由. (2) 用规范的方法表示这个几何体. (3) 若将这个几何体的上底面 缩小至一点 ，得到的几何体是什么？ 解： (1) 棱台.理由：它是用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥（顶点为 ，底面为 ）得到的，上、下底面平行，侧棱延长线相交于一点，符合棱台的定义. (2) 记作棱台 （下底面在前，上底面在后）. (3) 得到棱锥 . 例2：已知一个棱柱的底面是五边形，侧棱垂直于底面，且底面是正五边形. (1) 这个棱柱是什么棱柱？ (2) 它有几个面、几条侧棱、几个顶点？ 解： (1) 正五棱柱. (2) 面数：2个底面 + 5个侧面 = 7个面；侧棱数：5条；顶点数：2×5 = 10个. 【习题巩固】 1. 下列几何体中，属于棱柱的是（ ） · A. 金字塔 B. 圆台 C. 长方体 D. 圆锥 1. 下列说法正确的是（ ） · A. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 · B. 棱锥的底面一定是正多边形 · C. 棱台的侧棱延长线一定相交于一点 · D. 斜棱柱的侧棱不平行 1. 一个棱锥的顶点为 ，底面是三角形 ，侧棱 、、 相交于点 . · (1) 这个棱锥是什么棱锥？如何表示？ · (2) 它有几个面、几条侧棱、几个顶点？ 1. 判断正误并说明理由： · (1) 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥. · (2) 棱台的上下底面是全等的多边形. 1. （选做）已知一个棱台的上、下底面分别是边长为 和 的正方形，侧棱长为 ，求该棱台的侧面积和体积（只需列出式子，不要求计算）. 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. C（长方体是四棱柱） 1. C（A：侧面不一定全等；B：底面任意；D：斜棱柱侧棱仍平行） 1. (1) 三棱锥，记作 ；(2) 面：4个，侧棱：3条，顶点：4个. 1. (1) 错误.没有强调“有公共顶点”，若三角形没有公共顶点则不是棱锥. · (2) 错误.棱台上下底面是相似多边形，不一定全等. 1. 侧面积 = 斜高.体积 = 上下上下，其中 可由侧棱和上下底边距求出. 学科网（北京）股份有限公司 $