8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学导学案聚焦棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式及应用，通过自主预习表格引导学生观察图形结构，关联已学多面体概念，为公式推导与应用搭建从具体到抽象的学习支架，逐步突破棱台公式推导难点。 以“观察—探究—应用”为主线，自主预习培养几何直观与空间观念（数学眼光），课堂探究通过例题变式强化推理能力（数学思维），结合《九章算术》等实例引导用数学语言表达现实问题，习题层次分明，兼顾基础与提升，助力学生形成应用意识与创新意识。

§ 8.3.1 棱柱，棱锥，棱台的表面积和体积 【学习目标】知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 【学习重点】棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式及其应用． 【学习难点】棱台的表面积与体积公式的推导 【自主预习】 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 表面积 体积 【课堂探究】 探究一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 例1 （1）在四棱柱中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，，则该四棱柱的表面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 （2）已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则该三棱锥的表面积是(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 （3）一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则这个正四棱台的侧面积为________ cm2，表面积为________ cm2. 变式训练1 （1）如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线，则它的表面积为（    ）． A． B． C． D． （2） 已知一个正四棱锥的底面边长为1，高为，则该正四棱锥的表面积为 . （3）一个正三棱台的上、下底面边长分别为3cm和6cm，高是．求这个正三棱台的侧面积． 探究二 棱柱、棱锥、棱台的体积 例2 （1）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，如果AB＝3，AC＝1，AA1＝2，那么直三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 （2） 一四棱锥底面为正方形，侧面均为边长为的等边三角形，则该四棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． （3）《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四棱台）建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象成的正四棱台（如图所示，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高为棱台上底面边长的3倍.已知方亭的体积为，则该方亭的上底面边长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．12 变式训练2 （1） 在高为6的三棱柱中，是底面的水平放置的直观图，如图，，，则三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． （2）侧棱长为2的正三棱锥，若其底面边长为3，则该正三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． （3）在正三棱台中，已知，，侧棱的长为2，则此正三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 探究三 与多面体有关的组合体的表面积、体积 例3．（1）两个棱长分别为1和2的正方体叠起来得到如图所示的几何体，该几何体的表面积为___________． （2）一水壶如图所示可视为由圆台和圆柱组成， 圆台上底面半径为 1cm， 下底面半径为3cm，圆台高2cm，圆柱高12cm，若装满水，则水壶容量约为_____mL.(忽略底部和瓶盖部分，取 ) 【当堂检测】 1．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长都为2，则该四棱锥的表面积为(　　) A．4 B．4 C．4＋4 D．4＋4 2．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 3．已知圆柱和圆锥的体积之比，底面半径之比为，则该圆柱和圆锥的高之比为（    ） A． B． C． D． 【课后作业】 1．如图，在正四棱柱中，，，则该正四棱柱的表面积为________．    2. 在正方体中，由，，，四个点为顶点的正四面体的表面积为，则该正方体的表面积为（    ） A． B． C． D． 3.已知边长为2，各面均为等边三角形的四面体如图所示，则它的表面积为 4.已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长4，高为3，则其表面积为（    ） A．3 B． C． D．48 5.（▲▲）如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是36，点E在棱CC1上，且CE＝2EC1，则三棱锥E－BCD的体积是(　　) 6.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点.那么当底面水平放置时，水面高为（    ） A．7 B．6 C．4 D．3 7.若一个三棱台的上、下底面面积分别为8，18，高为5，则该棱台的体积为______________． 8.如图，是正四棱锥，是正方体，其中，，则该几何体的表面积______； 9.如图，正方体的棱长为，连接，，，，，，得到一个三棱锥．求： (1)三棱锥的表面积与正方体的表面积的比值； (2)三棱锥的体积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ § 8.3.1 棱柱，棱锥，棱台的表面积和体积 【学习目标】知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 【学习重点】棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式及其应用． 【学习难点】棱台的表面积与体积公式的推导 【自主预习】 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 表面积 体积 【课堂探究】 探究一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 例1 （1）在四棱柱中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，，则该四棱柱的表面积为（   A ） A．10 B．8 C．4 D．2 （2）已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则该三棱锥的表面积是(　D　) A．4 B．6 C．8 D．12 （3）一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则这个正四棱台的侧面积为____624____ cm2，表面积为____1012____ cm2. 变式训练1 （1）如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线，则它的表面积为（  C  ）． A． B． C． D． （2） 已知一个正四棱锥的底面边长为1，高为，则该正四棱锥的表面积为 4 . （3）一个正三棱台的上、下底面边长分别为3cm和6cm，高是．求这个正三棱台的侧面积． 答案： 探究二 棱柱、棱锥、棱台的体积 例2 （1）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，如果AB＝3，AC＝1，AA1＝2，那么直三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝(　B　) A．2 B．3 C．4 D．6 （2） 一四棱锥底面为正方形，侧面均为边长为的等边三角形，则该四棱锥的体积是（ D   ） A． B． C． D． （3）《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四棱台）建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象成的正四棱台（如图所示，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高为棱台上底面边长的3倍.已知方亭的体积为，则该方亭的上底面边长为（  A  ）    A．3 B．4 C．6 D．12 变式训练2 （1） 在高为6的三棱柱中，是底面的水平放置的直观图，如图，，，则三棱柱的体积为（ D   ） A． B． C． D． （2）侧棱长为2的正三棱锥，若其底面边长为3，则该正三棱锥的体积是（  B  ） A． B． C． D． （3）在正三棱台中，已知，，侧棱的长为2，则此正三棱台的体积为（  C  ） A． B． C． D． 探究三 与多面体有关的组合体的表面积、体积 例3．（1）两个棱长分别为1和2的正方体叠起来得到如图所示的几何体，该几何体的表面积为_____28______． （2）一水壶如图所示可视为由圆台和圆柱组成， 圆台上底面半径为 1cm， 下底面半径为3cm，圆台高2cm，圆柱高12cm，若装满水，则水壶容量约为__350___mL.(忽略底部和瓶盖部分，取 ) 【当堂检测】 1．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长都为2，则该四棱锥的表面积为(　C　) A．4 B．4 C．4＋4 D．4＋4 2．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是(　D　) A．2 B．4 C．6 D．8 3．已知圆柱和圆锥的体积之比，底面半径之比为，则该圆柱和圆锥的高之比为（  A  ） A． B． C． D． 【课后作业】 1．如图，在正四棱柱中，，，则该正四棱柱的表面积为____80____．    2. 在正方体中，由，，，四个点为顶点的正四面体的表面积为，则该正方体的表面积为（  B  ） A． B． C． D． 3.已知边长为2，各面均为等边三角形的四面体如图所示，则它的表面积为 4.已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长4，高为3，则其表面积为（ B   ） A．3 B． C． D．48 5.（▲▲）如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是36，点E在棱CC1上，且CE＝2EC1，则三棱锥E－BCD的体积是(　B　) 6.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点.那么当底面水平放置时，水面高为（ B   ） A．7 B．6 C．4 D．3 7.若一个三棱台的上、下底面面积分别为8，18，高为5，则该棱台的体积为______________． 8.如图，是正四棱锥，是正方体，其中，，则该几何体的表面积______； 9.如图，正方体的棱长为，连接，，，，，，得到一个三棱锥．求： (1)三棱锥的表面积与正方体的表面积的比值； (2)三棱锥的体积． 答案：（1） （2） 1 学科网（北京）股份有限公司 $