7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（导学案）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第七章 复数 7.3 复数的三角表示 7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 【学习目标】 1. 熟记复数三角形式的乘、除运算法则，能准确完成运算. 1. 理解复数乘、除运算的几何意义，能描述复平面内的图形变换. 1. 经历公式推导过程，渗透转化与化归、数形结合思想，提升运算求解、逻辑推理、直观想象核心素养. 【学习重点】 1. 复数三角形式乘法法则：. 2. 复数三角形式除法法则：（）. 3. 几何意义：乘法——模相乘，辐角相加（旋转与伸缩）；除法——模相除，辐角相减. 【学习难点】 1. 理解复数乘、除的几何意义（旋转与缩放）. 2. 多步运算中辐角的合并与化简. 学习任务一 复数三角形式的乘法运算 【合作探究】 1. 问题引入： · 已知 ，，如何计算 ？ · 利用三角恒等式： · . · 因此，. 1. 乘法法则： · 两个复数相乘，模相乘，辐角相加. 1. 几何意义： · 将复数 对应的向量旋转角度 （逆时针），再伸缩 倍，即得 对应的向量. · 特别地，乘以 相当于逆时针旋转 ；乘以实数 相当于伸缩 倍. 1. 例题： · 计算 与 的积. · 解：模 ，辐角 ， · . 【自主梳理】 1. 乘法法则：模相乘，辐角相加. 1. 几何意义：旋转与伸缩. 1. 运算律：满足交换律、结合律. 学习任务二 复数三角形式的除法运算 【合作探究】 1. 除法法则的推导： · 设 ，. · 由乘法法则，若存在 使 ，则 ，，故 ，. · 因此，. 1. 除法法则： · 两个复数相除，模相除，辐角相减. 1. 几何意义： · 对应的向量是将 对应的向量旋转 ，再伸缩 倍（即除以 相当于乘以 的倒数）. 1. 例题： · 计算 . · 解：模 ，辐角 ， · . 【自主梳理】 1. 除法法则：模相除，辐角相减. 1. 几何意义：旋转与伸缩的反向操作. 1. 互为倒数的复数：模互为倒数，辐角互为相反数. 学习任务三 综合应用与图形变换 【合作探究】 1. 例1：已知 ，，求 和 . · 解：，. 1. 例2：设复数 ，求 和 ，并说明几何意义. · 解：，. · 几何意义：将向量每次旋转 ，三次后方向相反，模不变. 1. 例3：已知 满足 ，求复数 和 对应的点分别是什么变换？ · 解： 模扩大2倍，相当于以原点为中心放缩2倍； 相当于将 逆时针旋转 . 【自主梳理】 1. 乘除运算在三角形式下比代数形式更直观. 2. 多次乘法对应辐角的累加，多次除法对应辐角的累减. 3. 复数乘除可用于描述平面图形的旋转、缩放等变换. 【自查自纠】（正误判断） 1. 两个复数相乘，模相乘，辐角相加. （ ） 1. 两个复数相除，模相除，辐角相减. （ ） 1. 乘以 相当于逆时针旋转 . （ ） 1. 复数除法没有几何意义. （ ） 1. 若 ，则 . （ ） 答案：1.√ 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 【典例分析】 例1：计算 . 解：模 ，辐角 ， 原式 . 例2：已知 ，求 的模和辐角主值. 解：模 ，辐角 ，化为主值 （在 内）， . 例3：设 ，，求 对应的向量如何由 的向量变换得到. 解：将 对应的向量逆时针旋转 ，再把模扩大到原来的3倍. 【习题巩固】 1. 计算 的结果为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 若 ，，则 的辐角主值为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 将复数 对应的向量逆时针旋转 后所得向量的对应复数为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 已知 ，，则 的模为______. 1. （选做）设 ，求 的三角形式. 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. B（，辐角 ，得 ） 1. C（辐角 ） 1. A 旋转 得 ，选A 1. （模相乘 ） 1. 解：，除以 ，得 ，但更简单：，，即为模 ，辐角 或 . 学科网（北京）股份有限公司 $