专题09 解直角三角形 广东中考数学7分专题总复习

参考答案及解析 1．(1) (2) 【分析】（1）先得到为等腰直角三角形，再解即可； （2）过点作于点，分别解，求出，再由正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴为等腰直角三角形，， ∵ ∴ ∴； （2）解：过点作于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，． 2．， 【分析】如图，作边上的高．,，分别使用勾股定理，计算即可，本题考查了化斜为直解直角三角形，熟练掌握作高是解题的关键． 【详解】解：如图，作边上的高． 在中， ∵， ∴． ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∴，． ∴． 3． 【分析】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作，交的延长线于点，由平角的定义可求解，通过解直角三角形可求解，的长，即可求解的长，再利用勾股定理可求解的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ， ， ， ，， 即，， ，， ， ， ． 4． 【分析】是通过作辅助线将斜三角形转化为两个可解的直角三角形，先利用三角形内角和求出的度数，再分别在两个直角三角形中计算和的长度，最后求和得到的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 过点作于点，如图． 在中，，， ∴， ∴， ∴． 在中，，， ∴． ∴． 5．(1) (2) 【分析】（1）先证明，然后根据证明，进而可求出的长； （2）由可知，从而求出，利用勾股定理求出，然后结合求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴． （2）解：如图，过点E作于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．广告牌的高度约为 【分析】根据正切的定义求出，证明，根据相似三角形的性质求出，进而即可求解． 【详解】解：在中，，， ， ，， ． 又， ， ，即， ， ． 答：广告牌的高度约为． 7．(1)米； (2)会迟到，理由见解析． 【分析】（1）过点作于点，先依据题意得出对应内角度数，在中利用正弦求出公共直角边，再结合等腰直角三角形边角相等关系得到长度，最后在中借助余弦运算求出的准确距离． （2）先在中用算出水平总长，通过线段差值求出长度，累加两段路程得到步行全程总长，代入参考近似值算出路程具体数值，再结合步行速度算出7分钟可行走的最大距离，对比路程大小即可判断小聂上课是否会迟到． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意，超市在正东方，在北偏东方向，沿西南方向到， 因此，米，． 在中，(米)． 在中，， ∴(米)， ∴(米)． 答：菜鸟驿站与超市的距离为米． （2）解：小聂会迟到，理由如下： 在中，(米)， ∴米， ∴小聂从到再回到的总路程为：米， 代入，得：(米)， ∵， ∴所需时间大于7分钟， 答：他上美术网课会迟到． 8．隧道EF的长度米． 【分析】过点A作AG⊥CD于点G，然后根据题意易得AG=EG=DG，则设AG=EG=DG=x，进而根据三角函数可得出CG的长，根据线段的和差关系则有，最后问题可求解． 【详解】解：过点A作AG⊥CD于点G，如图所示： 由题意得：， ∴△EAD是等腰直角三角形， ∴AG=EG=DG， 设AG=EG=DG=x， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 答：隧道EF的长度米． 【点睛】本题主要考查解解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键． 9．这艘轮船继续向正东方向航行是安全的，理由见解析 【分析】如图，过C作CD⊥AB于点D，根据方向角的定义及余角的性质求出∠BAC=30°，∠CBD=45°，解Rt△ACD和Rt△BCD，求出CD即可． 【详解】 解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．如图所示： 根据题意可知∠BAC=90°−60°=30°，∠DBC=90°-45°=45°，AB=30×1=30（km）， 在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠DBC=45°， tan∠DBC=，即=1 ∴CD=BD 设BD=CD=xkm， 在Rt△ACD中，∠CDA=90°，∠DAC=30°， ∴tan∠DAC=，即 解得x=15+15≈40.98， ∵40.98km>40km ∴这艘船继续向东航行安全． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用；解题的关键是熟练掌握锐角三角函数定义． 10．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理即可推得； （2）根据代入公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即． （2）解：在中，， 在中，． ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 11． 【分析】如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形．在Rt△CDJ中求出CJ、DJ，再根据tan∠AEM＝构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形． ∵∠CDE＝135°， ∴∠CDJ＝45°， 在Rt△CJD中，＝1，设CJ＝k，则DJ＝k， 则有k2+k2＝（2）2， ∴k＝2， ∴BM＝CJ＝2m，BC＝MJ＝1m，DJ＝2，EM＝MJ+DJ+DE＝10（m）， 在Rt△AEM中，tan∠AEM＝， ∴＝＝， 解得AM＝10（m）， ∴AB＝AM﹣BM＝（）m， 答：旗杆AB的高度为（）m， 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 12．甲楼的高度约为 【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解． 【详解】解：过点作，垂足为． 在中，，， 由， ， 在中，， 由， 得， ， ， 答：甲楼的高度约为． 【点睛】本题考查解直角三角形仰角俯角、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于基础题，中考常考题型． 13． 【分析】解可得，设，分别解和，得，，再根据列方程解答即可求解． 【详解】解：在中，∵，， ∴， 设， 在中，∵，， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度为． 14．米 【分析】过点作于，在中，解直角三角形可得长，在中，解直角三角形可得长，根据求解即可． 【详解】解：如图，过点作于，则四边形是矩形， （米）， 在中，， （米）； 在中，， （米）， （米）． 答：教学楼的高度约为米． 15．米 【分析】连接，过点作于点，利用锐角三角函数求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，    ∴， 根据平行线的性质可得，，， ∴（米）， （米）， ∴（米）， ∴（米）． 16． 【分析】由题意可知，，解可得，解可得建筑物的高度． 【详解】解：由题意可知，， 在中，， 在中，， 答：建筑物的高度约为． 17．塔的高度约为米 【分析】延长交于点，利用三角函数关系列出方程，求解即可． 【详解】解：延长交于点，如图，设米， 由题意可得，，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴塔的高度约为米． 18．(1)， (2)没有触礁的危险 【分析】（1）如图（见解析），先根据题意可得，，，，再根据平行线的性质和角的和差求解即可； （2）过点作于点，解直角三角形求出的长，再与进行大小比较即可． 【详解】（1）解：如图，由题意得：，，，， ∴，， ∴． （2）解：如图，过点作于点， 设， 由题意和（1）得：，，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即在点与上所有点的连线得到的线段中，长度最小的是， ∴如果货船沿着原来的方向行驶，没有触礁的危险． 19． 【分析】作辅助线构造直角三角形，过点B作于点H，由题意可推出，，在中，可利用正切函数表示出的长度；在中，可利用正弦函数表示出的长度．因为，所以可列出关系式，求解得到的值．在中，可利用正弦函数求出的长度． 【详解】解：如图，过B作，垂足为H． 根据题意，，，， 在中，， ， 在中，，， ， ， ， ， ． 答：池塘两端的距离约为． 20． 【分析】利用解直角三角形得到，进而得到，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：由题意可知，在中，，， ， ， ． 在中，， ， ， ． ∴点与点之间的距离约为． 21．米 【分析】在中，利用勾股定理可得米，米，米，设，则米，米，在中，利用锐角三角函数，可求出x的值，即可求解． 【详解】解：根据题意得：米，，， 在中，米，，， ∴， 解得：米， ∴米，米， ∵在中，， ∴， ∴可设， ∴米，米， ∵在中，， ∴，即， 解得：， ∴米， 即观景塔的高度为米． 22．横截面积为平方米，周长为米 【分析】求出、的长，又知道，，求出的长，利用梯形面积公式即可求出横截面积，再利用勾股定理求出和，即可得到周长． 【详解】解：依题意，，， ， ， ，， ， ， （米）， （平方米）． ∵， ， 大坝横截面的周长（米）， 大坝的横截面积为平方米，周长为米． 23．(1) (2) 【分析】（1）过点作，垂足为，设，则，在中，由勾股定理求得，求得，据此计算即可得出答案； （2）过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数定义求出和的长，从而列出关于a的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 坡比为， 设，则， 在中，， ， ， 解得：， ，， ，两点的高度差为； （2）解：过点作，垂足为， 由题意得：，， 设， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， 居民楼的高度约为． 24．所测量的这段大运河的宽度约为37m． 【分析】如图，过点作，垂足为，由得到，从而得解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为． 根据题意得：，，， 在Rt中，， ． 在Rt中，， ． ， ． ． 答：所测量的这段大运河的宽度约为37m． 25．的长约是 【分析】过点作于点，则，设，根据三角函数求得，求出，解得，即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，则，设， 在中，， ， ， ． 在中，， ， ， ，， ， 解得， ． 答：的长约是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 解直角三角形 广东中考数学7分专题总复习 一、解答题 1．如图，在中，，，点在边上，，且． (1)求线段的长； (2)求的值． 2．如图，在中，，求和的长． 3．在中，，求的长． 4．如图，在中，已知，，，求的长． 5．如图，在四边形中，，点E在边上，，，． (1)求的长； (2)如果，，求的值． 6．某综合与实践小组开展测量某建筑物顶部广告牌高度的实践活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．如图，小明位于点N处，其身高，此时他的影长，同一时刻，建筑物及广告牌的影长；小红站在距离建筑物的点D处，用测角仪测得．已知点G，N，E，D，C在同一直线上，，．请根据以上信息求出广告牌的高度．（结果保留一位小数，参考数据：，，） 7．如图，小聂家位于一条东西走向的笔直马路上，超市在地的正东方，小聂先从家出发沿北偏东方向步行米至菜鸟驿站取快递．下午第一节网课是美术课，此时距离上课时间只有7分钟，他决定先沿西南方向步行至超市购买素描画纸，再沿正西方向回到家上网课．(参考数据：，) (1)求菜鸟驿站与超市的距离；(结果保留根号) (2)若小聂的步行速度为米/分钟，忽略小聂买素描画纸的时间，那么他上美术网课会迟到吗？请说明理由．(精确到) 8．如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF．在点E处测得山顶A的仰角为45°，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30°，从与F点相距10m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C、E、F、D在同一直线上，求隧道EF的长度． 9．如图，一艘轮船从点处以的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上，已知在灯塔的四周内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：，） 10．如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理． (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 11．如图，学校旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，求旗杆AB的高度． 12．如图，甲乙两楼的水平距离为，自乙楼楼顶处，测得甲楼顶端处的仰角为，测得甲楼底部处的俯角为，求甲楼的高度．（结果取整数）参考数据：，取1.73． 13．如图，在高为的某建筑物前方的平地上竖立着一根旗杆，和的延长线交于点，此时测得仰角，，求旗杆的高度．（参考数据：，，，，，） 14．某数学兴趣小组准备利用小楼来测量教学楼的高度，他们在小楼的楼顶处测得教学楼楼顶的仰角为，并测得教学楼底部的俯角为，如图，若小楼的高度为米，求教学楼的高度．（精确到米，参考数据：，，） 15．郑国渠旅游风景区内的泾河大峡谷被誉为“关中第一大峡谷”，它是泾河长期冲刷切割形成的自然景观（图1）．小晨想借助无人机测量某段峡谷的宽度，于是他进行了如下操作：如图2，将无人机上升并飞行至峡谷上方的点处，从处测得峡谷边缘处的俯角为，测得与处正对的峡谷边缘处的俯角为（，，三点在同一竖直平面内，，在同一水平线上），并测得点到点的距离为100米，求该段峡谷两端，的距离．（结果保留整数）．（参考数据：，，，，）    16．如图是两座建筑物和，已知建筑物的高为，从点测得点的俯角为，从点测得点的仰角为，求建筑物的高度．（结果保留小数点后一位．参考数据：，，，，，） 17．如图，为测量塔的高度，某校数学实践小组在点处架设测角仪，在点测得塔顶的仰角为，接着朝塔方向前进米到达处（点，，在同一条直线上），在点测得塔顶的仰角为．已知测角仪的高度米，求塔的高度．（，结果保留整数） 18．如图，一货船从A处前往北偏东方向相距的B处．在A处北偏东方向，B处北偏西方向有一个小岛P，小岛周围有暗礁．请回答下列问题： (1) ， ； (2)如果货船沿着原来的方向行驶，是否有触礁的危险？（参考数据：，） 19．在综合与实践活动中，要用测角仪测量公园里一个池塘两端的距离（如图）．某学习小组设计了一个方案：在池塘的一端A处测得B处在A处的北偏西方向，再沿正西方向前行220m到达C处，测得B处在C处的北偏东方向．根据该学习小组测得的数据，计算池塘两端的距离（结果保留整数）．参考数据：，，，． 20．如图，是同一水平线上的两点，过点作的垂线段，垂足为点，点是线段上的点．连接，经测量得知此时点在点南偏东方向上，在点南偏东方向上，点与点之间的距离为，求点与点之间的距离．（结果精确到．参考数据：，，） 21．成都龙泉山丹景台景区的核心观景塔是城市地标建筑，某数学实践小组开展测量观景塔高度的实践活动．如图，在水平地面的A处测得观景塔顶端P的仰角为，沿坡度的斜坡向上行走65米到达B处，在B处测得观景塔顶端P的仰角为．已知水平地面，垂足为O，过点B作于点C，于点D，所有点均在同一平面，求观景塔的高度．（结果精确到米；参考数据：，，） 22．如图，一个水库大坝的横截面是梯形，其横截面的迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，大坝高为米，坝顶宽为米，求大坝横截面的面积和周长．（坡比指斜坡竖直距离与水平距离的比值，结果保留根号） 23．如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，坡比为．小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为（点在同一平面内）． (1)求，两点的高度差； (2)求居民楼的高度．（结果保留整数，参考数据：） 24．京杭大运河是世界上里程最长、工程最大的古代运河，是最古老的运河之一（如图①）．为弘扬运河文化，某校组织学生到京杭大运河天津段流域开展研学活动．数学兴趣小组想测量两岸平行的大运河某处的宽度，设计了一个方案，如图②，在该河段对岸岸边取一点为参照点，于所在的河岸边任取两点，（点，，在同一平面内），测得，，，求这段大运河的宽度（结果取整数）．参考数据：，． 25．某小区活动中心想在房前高的墙上安装一个遮阳篷，使正午时刻房前能有宽的阴影处以供纳凉．假设此地某日正午时刻太阳光线与水平地面的夹角为，遮阳篷与水平面的夹角为，如图为侧面示意图，请求出此时遮阳篷端到墙的距离是多长（结果精确到，参考数据：，，；，，）？ 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $