第二十一章　四边形 习题课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

1.(生活情境题)如图，小华注意到跷跷板处于静止状态时，正好可以与地面构成一个△ABC，跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面(E，F分别为AB，AC的中点)，若EF＝35 cm，则点B距离地面的高度为___cm. 第7课　三角形的中位线 70 数学　八年级下册 2.(新教材 P65练习T1改编)如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点． (1)若△ABC的周长是12，则△DEF的周长是____． (2)图中有几个平行四边形？请证明其中任意一个． 6 数学　八年级下册 解：(2)图中有3个平行四边形，分别是▱ADEF， ▱BDFE，▱CEDF. 证明四边形ADEF是平行四边形如下： ∵E，F分别是BC，CA的中点， ∴EF＝AD. 又∵EF∥AD， ∴四边形ADEF是平行四边形． ∴EF∥AB，且EF＝ AB. ∵D是AB的中点，∴AD＝ AB. 数学　八年级下册 3.如图，AF＝FH＝HN＝NC，AE＝EG＝GM＝MB，GH＝4，则EF＝____，BC＝____． 2 8 数学　八年级下册 4.如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC，交EF于点D.如果BC＝8，DF＝1，那么EB＝__． 3 数学　八年级下册 5.如图，在△ABC中，点D在BC上，且DC＝AC，CE⊥AD于点E，F是AB的中点． (1)求证：E是AD的中点； (2)求证：EF∥BC. 证明：(1)∵AC＝DC，CE⊥AD， ∴AE＝DE， 即E是AD的中点． 数学　八年级下册 证明：(2)由(1)得E是AD的中点． 又∵F是AB的中点， ∴EF是△ABD的中位线． ∴EF∥BC. (2)求证：EF∥BC. 数学　八年级下册 6.如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AE＝BE，BF＝CF，连接EF，AD＝3，CD＝2，则EF的长为 　____． 数学　八年级下册 证明：如图，过点D作DG∥AC交BF于点G. ∴∠EAF＝∠EDG. ∵E为AD的中点，∴AE＝DE. 又∵∠AEF＝∠DEG， ∴△AEF≌△DEG(ASA).∴AF＝DG. ∵AD是△ABC的中线， ∴D为BC的中点.∴DG是△BCF的中位线． 7.如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE的延长线与AC的交点．求证：AF＝ CF. 数学　八年级下册 证明：如图，连接BD. ∵E，F，G，H分别是CD，BC，AB，DA的中点， ∴EF是△BCD的中位线，GH是△ABD的中位线． ∴EF∥GH，EF＝GH. ∴四边形EFGH是平行四边形． 8.如图，E，F，G，H分别是CD，BC，AB，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形． ∴EF∥BD，EF＝ BD， GH∥BD，GH＝ BD. 数学　八年级下册 $第6课　平行四边形的判定(2)——边 1.如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，再添加一个条件____________________(写出一个即可)，则四边形ABCD是平行四边形．(图形中不再添加辅助线) AB∥CD(答案不唯一) 数学　八年级下册 2.如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，且AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE.求证：四边形ABCD是平行四边形． 数学　八年级下册 证明：∵DF∥BE， ∴∠DFA＝∠BEC. ∴△ADF≌△CBE(SAS). ∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE. ∴AD∥CB. ∴四边形ABCD是平行四边形． 在△ADF和△CBE中， 数学　八年级下册 3.如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.求证：四边形ABED是平行四边形. 证明：∵BE＝CF， ∴BE＋EC＝CF＋EC， 即BC＝EF. ∴△ABC≌△DEF(SSS). ∴∠B＝∠DEF. ∴AB∥DE. 又∵AB＝DE，∴四边形ABED是平行四边形． 在△ABC和△DEF中， 数学　八年级下册 4.(2025·江阳区模拟)如图，∠ACB＝∠AED，AC＝FE，AB平分∠CAE，AB∥DF.求证：四边形ABDF是平行四边形． 证明：∵AB平分∠CAE，∴∠CAB＝∠BAF. ∵AB∥DF，∴∠EFD＝∠BAF. ∴∠CAB＝∠EFD. ∴△ACB≌△FED(ASA). ∴AB＝FD. 又∵AB∥DF，∴四边形ABDF是平行四边形． 在△ACB和△FED中， 数学　八年级下册 5.(新教材P66T8)如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形．求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵四边形AEFD是平行四边形， ∴AD＝EF，AD∥EF. ∵四边形EBCF是平行四形， ∴BC＝EF，BC∥EF. ∴AD＝BC，AD∥BC. ∴四边形ABCD是平行四边形． 数学　八年级下册 6.如图，在▱ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边三角形ADE和等边三角形BCF，连接BE，DF. 求证：四边形BEDF是平行四边形． 数学　八年级下册 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB，AD＝CB，∠BCD＝∠DAB. ∵△ADE和△BCF都是等边三角形， ∴DE＝AE＝AD，BF＝CF＝BC， ∠BCF＝∠DAE＝60°. ∴DE＝BF，CF＝AE， ∠BCD－∠BCF＝∠DAB－∠DAE， 即∠DCF＝∠BAE. ∴△DCF≌△BAE(SAS).∴DF＝BE. 又∵DE＝BF，∴四边形BEDF是平行四边形． 数学　八年级下册 $A. AB∥CD，AD∥BC B. OA＝OC，OB＝OD C. ∠ABC＝∠ADC且∠BAD＝∠BCD D. OA＝OB，OC＝OD 第5课　平行四边形的判定(1)——对角线、角 1.如图，在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( ) D 数学　八年级下册 2.如图，AD是△ABC的中线，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC.求证:四边形ABEC是平行四边形. 证明：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC. 又∵DE＝AD， ∴四边形ABEC是平行四边形． 数学　八年级下册 3.(新教材P66T6)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO. ∵E，G分别是AO，CO的中点， ∴EO＝GO.同理可得FO＝HO， ∴四边形EFGH是平行四边形． ∴EO＝ AO，GO＝ CO. 数学　八年级下册 4.如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF.求证： (1)AE＝CF； (2)四边形AECF是平行四边形． 数学　八年级下册 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠ABE＝∠CDF. 又∵BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF(SAS).∴AE＝CF. (1)AE＝CF； 数学　八年级下册 证明：(2)如图，连接AC交BD于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝DO，AO＝CO. 又∵BE＝DF， ∴BO－BE＝DO－DF，即EO＝FO. ∴四边形AECF是平行四边形． (2)四边形AECF是平行四边形． 数学　八年级下册 5.如图，AB，CD相交于点O，AC∥BD，OA＝OB， E，F分别是OC，OD的中点．求证： 数学　八年级下册 证明：(1)∵AC∥BD， ∴∠C＝∠D. 又∵∠AOC＝∠BOD，OA＝OB， ∴△AOC≌△BOD(AAS). ∴OC＝OD. (1)OC＝OD； 数学　八年级下册 (2)四边形AFBE是平行四边形． 证明：(2)∵E，F分别是OC，OD的中点， 又∵OC＝OD，∴OE＝OF. 又∵OA＝OB， ∴四边形AFBE是平行四边形． ∴OE＝ OC，OF＝ OD. 数学　八年级下册 6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为BC，AC上一点，BD＝CE，AE＝BC. (1)以AB为对角线作▱ADBG； (2)∠AFE的度数为____； (3)的值为____． 45° 解：(1)▱ADBG如图所示． 数学　八年级下册 $第1课　四边形及其内角和 1.四边形的内角和为_____，四边形的外角和为______. 360° 360° 数学　八年级下册 3.下列图形不是运用三角形的稳定性的是 ( ) C A.屋顶支撑架 D.旧木门钉木条 B.自行车脚架 C. 伸缩门 数学　八年级下册 3.如图，在四边形ABCD中，y＝____，x＝____． 95 85 数学　八年级下册 4.(新教材P49T1改编)求出下列图形中x的值： 解：(1)依题意，得x＋160＋90＋x＝360，解得x＝55. (2)依题意，得2x＋2x＋3x＋x＝360，解得x＝45. 数学　八年级下册 5.(新教材P49T3)下列图形中哪些具有稳定性？ 解：(1)(4)具有稳定性． 数学　八年级下册 6.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A＝150°，∠B＝∠D＝40°，则∠C的度数为_______． 130° 数学　八年级下册 7.如图，任意画一个四边形ABCD，并在其内部任找一个点O，连接OA，OB，OC，OD，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝____，△OAB，△OBC，△OCD，△OAD四个三角形的内角和共为720°.请根据上述思路证明四边形的内角和为360°. 360° 数学　八年级下册 解：依题意，得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°. ∵△OAB，△OBC，△OCD，△OAD四个三角形的 内角和共为720°， ∴∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＋∠DAB ＝720°－360°＝360°， 即四边形的内角和为360°. 数学　八年级下册 8.如图，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠B＝∠D，AB与CD有怎样的位置关系？为什么？BC与AD呢？ 解：AB∥CD，BC∥AD.理由如下： ∵∠1＝∠2，∠1＋∠DAB＝180°， ∠2＋∠DCB＝180°， ∴∠DAB＝∠DCB. 又∵∠DAB＋∠B＋∠DCB＋∠D＝360°,∠B＝∠D， ∴∠DAB＋∠B＋∠DAB＋∠B＝360°， ∠DAB＋∠D＋∠DAB＋∠D＝360°. ∴∠DAB＋∠B＝180°，∠DAB＋∠D＝180°. ∴AB∥CD，BC∥AD. 数学　八年级下册 9. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AE，CF分别是∠DAB，∠DCB的平分线，则AE与FC有什么关系？请说明理由． 解：AE∥FC.理由如下： ∵∠B＝∠D＝90°， ∴∠BAD＋∠BCD＝360°－2×90°＝180°. ∵AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD， 又∵∠BAE＋∠BEA＝90°， ∴∠BEA＝∠BCF.∴AE∥FC. ∴∠BAE＋∠BCF＝ ∠BAD＋ ∠BCD＝90°. 数学　八年级下册 $第10课　矩形的判定 1.要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是 ( ) A. AB＝BC B. AC⊥BD C. ∠ABC＝90° D. ∠ABD＝∠BDC C 数学　八年级下册 解：∵△ABO是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝2. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∴OA＝OC＝OB＝OD. ∴AC＝BD＝4. ∴四边形ABCD是矩形． 2.(新教材P71T2)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于 点O,△OAB是等边三角形,且AB＝2.求▱ABCD的面积． ∴∠ABC＝90°. ∴ ∴▱ABCD的面积为 数学　八年级下册 3.如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接BF. 求证：四边形DEBF是矩形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB. ∵FC＝AE，∴CD－FC＝AB－AE，即DF＝BE. ∴四边形DEBF是平行四边形． 又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°. ∴四边形DEBF是矩形． 数学　八年级下册 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，AE分别是∠BAC与△BAC的外角∠BAF的平分线，BE⊥AE. 求证：四边形AEBD为矩形． 数学　八年级下册 证明：∵AD，AE分别平分∠BAC，∠BAF， 又∵∠BAC＋∠BAF＝180°， ∴∠BAD＋∠BAE＝90°，即∠DAE＝90°. ∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC.∴∠BDA＝90°. 又∵BE⊥AE，∴∠BEA＝90°. ∴∠BEA＝∠BDA＝∠DAE＝90°. ∴四边形AEBD为矩形． ∴∠BAD＝ ∠BAC，∠BAE＝ ∠BAF. 数学　八年级下册 5.如图，在△ABC中，O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F. (1)求证：OE＝OF. (1)证明：∵CF平分∠ACD， 且MN∥BD， ∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO. ∴OF＝OC. 同理可证OC＝OE.∴OE＝OF. 数学　八年级下册 (2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长． (2)解：由(1)知∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC， ∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC. ∵(∠OCF＋∠OCE)＋(∠OFC＋∠OEC)＝180°， ∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90°. 又∵OE＝OF， ∴ ∴OC＝ 数学　八年级下册 (3)解：当点O移动到AC的中点时，四边形AECF为矩形．理由如下： 如图，连接AE，AF. 当点O移动到AC的中点时，OA＝OC. 又∵OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形． 又∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形． (3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由． 数学　八年级下册 $第15课　特殊的平行四边形习题课 1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是 ( ) B A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分且相等 数学　八年级下册 2.将两个完全相同的含有30°角的直角三角板在同一平面内按如图所示的位置摆放，点A，E，B，D依次在同一条直线上，连接AF，CD. (1)求证：四边形AFDC是平行四边形； (1)证明：∵△ACB≌△DFE， ∴AC＝DF，∠CAB＝∠FDE. ∴AC∥DF. ∴四边形AFDC是平行四边形． 数学　八年级下册 (2)已知BC＝6 cm，当四边形AFDC是菱形时，AD的长为____cm. 18 (2)解：如图，连接CF交AD于点O. ∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6 cm， ∴AB＝2BC＝12(cm). ∴ (cm). 数学　八年级下册 ∵四边形AFDC是菱形，∴CF⊥AD，AD＝2AO. ∴AD＝2AO＝18(cm). 故答案为18. ∴∠AOC＝90°.∴OC＝ AC＝3 (cm). ∴ 数学　八年级下册 3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作∠ADC的平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AD∥CE. (1)求证：四边形AECD是菱形； 数学　八年级下册 (1)证明：∵AB∥CD，AD∥CE， ∴四边形AECD是平行四边形，∠CDE＝∠AED. ∵DE平分∠ADC， ∴∠CDE＝∠ADE. ∴∠ADE＝∠AED. ∴AD＝AE. ∴四边形AECD是菱形． 数学　八年级下册 (2)若AD＝10,△ACD的周长为36,求菱形AECD的面积. (2)解：∵四边形AECD是菱形， ∴AD＝CD，AC⊥DE， OA＝OC，OD＝OE. ∵AD＝10，△ACD的周长为36， ∴DE＝2OD＝12. ∴AC＝36－2×10＝16.∴OC＝OA＝ AC＝8. 在Rt△AOD中， ∴菱形AECD的面积为 ×16×12＝96. 数学　八年级下册 (1)证明：∵D，F分别是AC，BC的中点， ∴DF是△BAC的中位线． ∵E是AB的中点，∠ACB＝90°， 4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点． (1)求证：CE＝DF； ∴DF＝ AB. ∴CE＝ AB.∴CE＝DF. 数学　八年级下册 (2)连接DE，EF，求证：四边形CDEF是矩形； (2)证明：∵D，E分别是AC，AB的中点， ∴DE是△BAC的中位线． ∴四边形CDEF是平行四边形． 又∵∠DCF＝90°，∴四边形CDEF是矩形． ∴DE∥BC，DE＝ BC. ∵F是BC的中点，∴CF＝ BC＝DE. 数学　八年级下册 (3)当△ABC满足什么条件时，四边形CDEF是正方形，并证明． (3)解：当△ABC满足AC＝BC时，四边形CDEF是正方形．证明如下： 同理可证EF是△ABC的中位线， 又∵四边形CDEF是矩形， ∴四边形CDEF是正方形． ∴EF＝ AC. 当AC＝BC时，EF＝ AC＝ BC＝DE. 数学　八年级下册 5.如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一点，且BE＝2，CE＝4，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于点G，连接AG，FC. (1)求∠EAG的度数； 数学　八年级下册 (1)解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝90°. 由折叠可知AB＝AF， ∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°，∠BAE＝∠EAF. ∵∠ADG＝∠AFG＝90°，AG＝AG，AD＝AF， ∴Rt△AGD≌Rt△AGF(HL). ∴∠GAD＝∠GAF. ∴∠EAG＝∠EAF＋∠GAF ＝ (∠BAF＋∠DAF)＝45°. 数学　八年级下册 解：(2)FC∥AG.理由如下： 在正方形ABCD中，CD＝BC＝BE＋CE＝2＋4＝6. 如图，连接DF.由折叠可知EF＝BE＝2. 设GD＝GF＝x，则EG＝2＋x，CG＝6－x. 在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2＋CG2， ∴(2＋x)2＝42＋(6－x)2.∴x＝3. ∴GD＝FG＝3.∴CG＝3＝FG＝GD. 易证∠DFC＝90°.∴CF⊥DF. ∵AD＝AF，GD＝GF，∴AG⊥DF.∴FC∥AG. (2)判断FC与AG的位置关系，并说明理由． 数学　八年级下册 $第12课　菱形的判定 1.下列说法中，正确的是 ( ) A. 四边相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线相等的平行四边形是菱形 A 数学　八年级下册 2.(新教材P79T5改编)如图，AE∥BF，∠BAE的平分线交BF于点C，点D在AE上，AB＝AD，连接CD.求证：四边形ABCD是菱形． 证明：∵AE∥BF，∴∠DAC＝∠ACB. ∵AC平分∠BAE，∴∠DAC＝∠BAC. ∴∠ACB＝∠BAC.∴AB＝BC. ∵AB＝AD，∴AD＝BC. ∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形． 数学　八年级下册 3.如图，在△ABC中，已知AD为边BC上的中线，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接EC，请你从下列条件中选择一个补充，使得四边形ADCE是菱形． (1)你选择的补充条件是______________．可选条件： ①EC＝DC；②AC⊥DE；③∠ECD＝90°. (2)在(1)的条件下，求证：四边形ADCE是菱形． ①(答案不唯一) 数学　八年级下册 (2)证明：∵AD为边BC上的中线， ∴BD＝CD. ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AE＝BD，AE∥BD. ∴AE∥CD，AE＝CD. ∴四边形ADCE是平行四边形． 又∵EC＝DC，∴四边形ADCE是菱形． 数学　八年级下册 4.在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是___形． 菱 数学　八年级下册 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E，F在射线AD上，且DE＝DF.求证：四边形BECF是菱形． 证明：∵D是BC的中点，∴CD＝BD. ∵DE＝DF， ∴四边形BECF是平行四边形． ∵AB＝AC，∴AD⊥BC.即EF⊥BC. ∴四边形BECF是菱形． 数学　八年级下册 6.如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC延长线上的一个动点，以AD为边作等边△ADE，过点E作BC的平行线，分别交AB，AC的延长线于点F，G，连接BE. (1)求证：△AEB≌△ADC； 数学　八年级下册 (1)证明：∵△ABC和△AED都是等边三角形， ∴AB＝AC，AE＝AD， ∠BAE＋∠EAG＝∠CAD＋∠EAG＝60°. ∴∠BAE＝∠CAD. ∴△AEB≌△ADC(SAS). 在△AEB和△ADC中， 数学　八年级下册 (2)解：四边形BCGE是菱形．理由如下： 由(1)知△AEB≌△ADC， ∴∠AEB＝∠ADC，BE＝CD. ∴∠FBE＝∠BAE＋∠AEB＝∠CAD＋∠ADC ＝∠ACB. (2)如果BC＝CD，判断四边形BCGE的形状，并说明理由． 数学　八年级下册 又∵FG∥BC， ∴四边形BCGE是平行四边形． 又∵BC＝CD，BE＝CD，∴BE＝BC. ∴四边形BCGE是菱形． ∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB. ∴∠BAC＝∠FBE.∴BE∥AG. 数学　八年级下册 $第13课　正方形的性质 1.如图，四边形ABCD是正方形，O为坐标原点，对角线AC，BD分别位于x轴和y轴上，D(0，3)，则正方形ABCD的周长是 ( ) A. B. 12 C. D. D 数学　八年级下册 2.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE，则∠DAE的度数是 ( ) A A. 15° B. 20° C. 12.5° D. 10° 数学　八年级下册 3.如图，正方形ABCD的边长为1，点E在BC的延长线上．若BE＝BD，则CE＝_____． 数学　八年级下册 4.如图，过正方形ABCD的顶点C作直线l， 分别过点B，D作l的垂线，垂足分别为E，F. (1)求证：EF＝DF＋BE； (1)证明：∵BE⊥CE，DF⊥CF， ∴∠BEC＝∠CFD＝90°. ∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD,∠BCD＝90°. ∴∠BCE＋∠DCF＝180°－∠BCD＝90°. 又∵∠BCE＋∠CBE＝90°，∴∠DCF＝∠CBE. ∴△BCE≌△CDF(AAS). ∴BE＝CF，CE＝DF. ∴EF＝CE＋CF＝DF＋BE. 数学　八年级下册 (2)已知BE＝6 cm,DF＝4 cm,求正方形ABCD的面积. (2)解：由(1)知CF＝BE＝6 cm. 由勾股定理，得 CD2＝CF2＋DF2＝62＋42＝52， ∴正方形ABCD的面积为52 cm2. 数学　八年级下册 (1)证明：如图，连接AC交BD于点O. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO. ∵BE＝DF，∴OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF. ∴四边形AECF是平行四边形． 又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形． 5.如图，已知E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF. (1)求证：四边形AECF为菱形； 数学　八年级下册 (2)若AB＝ ，BE＝2，求四边形AECF的面积． (2)解：由(1)知四边形AECF是菱形． ∵BE＝DF＝2， ∴EF＝BD－BE－DF＝2. ∴S四边形AECF＝ AC·EF＝ ×6×2＝6. ∵AB＝ ，∴AC＝BD＝6. 数学　八年级下册 6.如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，过点F作FH⊥AD，垂足为H，连接AF. (1)求证：FH＝ED； 数学　八年级下册 (1)证明：∵四边形CEFG是正方形， ∴CE＝EF，∠FEH＋∠CED＝∠FEC＝90°. 在矩形ABCD中，∵∠D＝90°， ∴∠ECD＋∠CED＝90°. ∴∠FEH＝∠ECD. ∴△FEH≌△ECD(AAS).∴FH＝ED. 在△FEH和△ECD中， 数学　八年级下册 (2)解：在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5， ∴CD＝AB＝3. ∵AE＝1，∴DE＝4. ∵△FEH≌△ECD， ∴FH＝DE＝4，EH＝CD＝3. ∴AH＝4.∴AH＝FH. ∵∠FHE＝90°，∴∠FAD＝45°. (2)若AB＝3，AD＝5，AE＝1，求∠FAD的度数． 数学　八年级下册 $第11课　菱形的性质 1.如图，在菱形ABCD中，边AB的中点为M，对角线AC，BD相交于点O，OM＝3，那么菱形ABCD的周长为___. 24 数学　八年级下册 2.(2025·海珠区期末)如图，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝3，BD＝4，则此菱形的面积为____． 6 数学　八年级下册 3.菱形具有而矩形不具有的性质是 ( ) A.内角和等于360° B.对角相等 C.对边平行且相等 D.对角线互相垂直 D 数学　八年级下册 解：(1)∵四边形ABCD是边长为13的菱形， ∴AC⊥BD， ∴在Rt△ABE中， ∴BD＝2BE＝24. 4.如图，四边形ABCD是边长为13的菱形，对角线AC，BD相交于点E，其中对角线AC的长为10.求： (1)对角线BD的长； 且AE＝EC＝ AC＝ ×10＝5， BE＝DE＝ BD，AB＝13. 数学　八年级下册 (2)菱形ABCD的面积． ∴S菱形ABCD＝ AC·BD ＝ ×10×24＝120. 解：(2)∵AC＝10，BD＝24， 数学　八年级下册 证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C. 又∵∠ADM＝∠CDN， ∴△AMD≌△CND(ASA). ∴AM＝CN. ∴AB－AM＝BC－CN，即BM＝BN. 5.如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CB上，且∠ADM＝∠CDN.求证：BM＝BN. 数学　八年级下册 6.如图，在菱形ABCD中，E，F分别为CD，AC上的动点，连接DF，EF.若菱形ABCD的面积为24 ， AB＝8，则DF＋EF的最小值为______． 数学　八年级下册 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BCE＝∠DCE，BC＝CD，AB∥CD. ∴∠AFD＝∠CDE. ∴△BCE≌△DCE(SAS).∴∠CBE＝∠CDE. 又∵∠AFD＝∠CDE，∴∠AFD＝∠CBE. 7.如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于点E.求证：∠AFD＝∠CBE. 在△BCE和△DCE中， 数学　八年级下册 8.如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB. (1)求∠ABC的度数； 解：(1)∵E为AB的中点，DE⊥AB， ∴AD＝DB. ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AD∥BC. ∴AD＝DB＝AB，∠DAB＋∠ABC＝180°. ∴△ABD为等边三角形． ∴∠DAB＝60°. ∴∠ABC＝180°－∠DAB＝120°. 数学　八年级下册 (2)如果AC＝ ，求DE的长． 解：(2)∵四边形ABCD是菱形， 又∵DE⊥AB， ∴DE和AO都是等边△ABD的高， ∴BD⊥AC， ∴DE＝AO＝ 数学　八年级下册 $第9课　矩形的性质 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以下说法错误的是 ( ) A.∠ABC＝90° B. AC＝BD C. OA＝OB D. OA＝AD D 数学　八年级下册 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若AB＝2，∠AOB＝60°，则AC＝ ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 C 数学　八年级下册 3.(2025·海珠区期末)如图，在△ABC中，D是边AB的中点，∠ACB＝90°. (1)若BC＝5，AC＝12，则CD＝_____； (2)若∠A＝20°，则∠BDC的度数是_____． 40° 数学　八年级下册 4.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE＝CF.求证： (1)△ABE≌△DCF； 证明：(1)∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠DCF＝∠ABE. ∴△ABE≌△DCF(SAS). 在△ABE和△DCF中， 数学　八年级下册 证明：(2)∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC. ∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF. ∴AD＝EF. 又∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形． (2)四边形AEFD是平行四边形． 数学　八年级下册 5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC交BA的延长线于点E. (1)求证：DB＝DE； (1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴DB＝AC，AB∥CD. 又∵DE∥AC， ∴四边形ACDE是平行四边形． ∴DE＝AC.∴DB＝DE. 数学　八年级下册 (2)若∠AOB＝60°, BD＝4,求四边形BCDE的面积． (2)解:由(1)得四边形ACDE是平行四边形;∴AE＝CD. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AC＝BD＝4，AO＝CO， BO＝DO，∠BAD＝90°.∴AO＝BO＝2. 又∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形． ∴AE＝CD＝AB＝AO＝2. ∴四边形BCDE的面积＝S△ADE＋S矩形ABCD ∴AD 数学　八年级下册 6.(新教材P79T8)如图，将矩形纸片ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′，AD相交于点E，AD＝8，AB＝4.DE的长是多少？△BDE的面积呢？ 数学　八年级下册 解：由折叠的性质，得∠DBC′＝∠DBC. ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC. ∴∠ADB＝∠DBC. ∴∠ADB＝∠DBC′.∴DE＝BE. 设DE＝x，则BE＝x，AE＝8－x. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2＋AE2＝BE2， 即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5. ∴DE的长是5. ∴S△BDE＝ DE·AB＝ ×5×4＝10. 数学　八年级下册 $第8课　平行四边形的性质和判定习题课 1.在▱ABCD中，若∠B＝2∠A，则∠C＝_____. 60° 数学　八年级下册 2.如图,平行四边形ABCD的对角线AC的中点为O,直线EF过点O且与AB,CD分别交于点E,F.求证:AE＝CF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD. ∴∠EAO＝∠FCO. ∵O是AC的中点， ∴OA＝OC. ∴△AOE≌△COF(ASA).∴AE＝CF. 在△AOE和△COF中， 数学　八年级下册 3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，请你添加一个条件：___________________，使得四边形ABCD是平行四边形(只填一个即可)，并证明结论． AD＝BC(答案不唯一) 解：证明如下： ∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 数学　八年级下册 4.如图，在▱ABCD中，延长AB到点F，使得BF＝AB，连接DF交BC于点E.求证：E是边BC的中点． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，CD＝AB. ∴∠C＝∠EBF，∠CDE＝∠F. ∵BF＝AB，∴CD＝BF. ∴△DCE≌△FBE(ASA). ∴CE＝BE. ∴E是边BC的中点． 数学　八年级下册 5.在平面直角坐标系中，已知A(－2，3)，B(2，－1)，C(4，4)，如果以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标为______________________． (8, 0)或(－4, －2)或(0, 8) 数学　八年级下册 解：在Rt△ADO中， 又∵AC＝26， ∴CO＝AC－AO＝13＝AO. 又∵DO＝OB， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∴BD＝DO＋OB＝5＋5＝10. ∴S▱ABCD＝AD·BD＝12×10＝120. 6.如图,在四边形ABCD中, AD＝12, DO＝OB＝5, AC=26, ∠ADB＝90°,求BC的长和四边形ABCD的面积． 数学　八年级下册 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD∥BE. ∴∠DAE＝∠E. ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE. ∴∠BAE＝∠E.∴AB＝BE. 又∵AB＝CD，∴BE＝CD. 7.如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E. (1)求证：BE＝CD； 数学　八年级下册 (2)连接BF，若BF⊥AE，∠E＝60°，AB＝4，求▱ABCD的面积． (2)解：∵BE＝AB，∠E＝60°， ∴△ABE为等边三角形．∴AE＝AB＝4. 又∵BF⊥AE, ∴AF＝EF＝2. ∵∠DAF＝∠E，AF＝EF，∠AFD＝∠EFC， ∴△ADF≌△ECF(ASA).∴S△ADF＝S△CEF. ∴BF＝ ∴S▱ABCD＝S△ABE＝ AE·BF＝ 数学　八年级下册 $第4课　平行四边形的性质(2) 1.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若▱ABCD的面积为16,则图中阴影部分的面积为___. 4 数学　八年级下册 2.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，BD＝20，AD＝8. (1)点O到点D的距离为____； (2)点A到BC的距离为____； (3)AD与BC之间的距离为___； (4)▱ABCD的面积为___． 10 12 12 96 数学　八年级下册 3.如图，在▱ABCD中，AE＝CF.求证：AF＝CE. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D， AB＝CD，BC＝AD. ∵AE＝CF， ∴AB－AE＝CD－CF， 即BE＝DF. ∴△EBC≌△FDA(SAS).∴AF＝CE. 数学　八年级下册 4.如图，▱ABCD的对角线相交于点O，EF过点O分别与AD，BC相交于点E，F. (1)求证：△AOE≌△COF； (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AO＝CO. ∴∠EAO＝∠FCO. ∴△AOE≌△COF(ASA). 在△AOE和△COF中， 数学　八年级下册 (2)解:∵△AOE≌△COF, ∴OF＝OE＝3, AE＝CF. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝4, AD＝BC＝7. ∴四边形EFCD的周长为 EF＋FC＋CD＋DE＝(OE＋OF)＋(AE＋DE)＋CD ＝OE＋OF＋AD＋CD ＝3＋3＋7＋4＝17. (2)若AB＝4，BC＝7，OE＝3，试求四边形EFCD的周长． 数学　八年级下册 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC. ∴∠EAO＝∠FCO， ∠OEA＝∠OFC. ∵O为AC的中点，∴AO＝CO. ∴△AOE≌△COF(AAS).∴AE＝CF. ∴AD－AE＝BC－CF，即DE＝BF. 5.如图，O为▱ABCD对角线AC的中点，过点O的直线 与AD，BC分别相交于点E，F.求证：DE＝BF. 数学　八年级下册 6.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD， AD＝DC＝BC＝5，AB＝11. (1)求证：∠A＝∠B； (2)求AB与CD之间的距离． (1)证明：如图，分别过点D，C作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F. ∵DE，CF的长都是平行线DC，AB之间的距离， ∴DE＝CF. 又∵AD＝BC，∴Rt△AED≌Rt△BFC(HL). ∴∠A＝∠B. 数学　八年级下册 (2)求AB与CD之间的距离． (2)解：如图，连接DF. ∵AB∥CD，CF⊥AB，∴CF⊥CD. ∴Rt△DEF≌Rt△FCD(HL).∴EF＝CD＝5. 由(1)，得Rt△AED≌Rt△BFC，∴AE＝BF. ∴AB与CD之间的距离为4. 在Rt△DEF和Rt△FCD中， ∵AB＝11，∴AE＝BF＝ (AB－EF)＝3. ∴ 数学　八年级下册 7.写出以A(－2，2)，B(1，－2)，C(5，1)为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标． 解得xD＝－6，yD＝－1. ∴顶点D的坐标是(－6, －1). 同理可得，当AC为对角线时，顶点D的坐标是(2，5)； 当BC为对角线时，顶点D的坐标是(8，－3). 综上所述,顶点D的坐标为(－6, －1)或(2, 5)或(8, －3). 解：当AB为对角线时， 数学　八年级下册 $第16课　四边形单元复习 1.在▱ABCD中，AB:BC＝2 : 3，周长是40 cm，则 AB＝______． 8 cm 数学　八年级下册 2.如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF. (1)求证：AE∥BF； 证明：(1)∵AD＝BC， ∴AD＋CD＝BC＋CD， 即AC＝BD. ∵AE＝BF，CE＝DF， ∴△AEC≌△BFD(SSS). ∴∠A＝∠B.∴AE∥BF. 数学　八年级下册 (2)若DF＝FC，求证：四边形DECF是菱形． 证明：(2)∵△AEC≌△BFD， ∴∠ECA＝∠FDB.∴EC∥DF. 又∵EC＝DF， ∴四边形DECF是平行四边形． 又∵DF＝FC， ∴四边形DECF是菱形． 数学　八年级下册 3.如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接DE，EC，BD，DE交BC于点O. (1)求证：△ABD≌△BEC； 数学　八年级下册 证明：(1)在▱ABCD中， AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD， ∴BE∥CD. ∵AB＝BE，AB＝DC，∴BE＝DC. ∴四边形BECD是平行四边形． ∴BD＝EC. ∴△ABD≌△BEC(SSS). 在△ABD和△BEC中， 数学　八年级下册 证明：(2)由(1)知，四边形BECD是平行四边形， ∴OD＝OE，OC＝OB. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠BCD. 又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD＋∠ODC， ∴∠OCD＝∠ODC.∴OC＝OD. ∴OC＋OB＝OD＋OE，即BC＝ED. ∴四边形BECD是矩形． (2)若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形． 数学　八年级下册 4.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在AB上．将△DAP沿DP折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AP的长为 ( ) B A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 数学　八年级下册 5.如图，正方形ABCD的边长为 ，O是对角线BD上一动点(点O与端点B，D不重合)，OM⊥AD于点M，ON⊥AB于点N，连接MN，则MN长的最小值为___. 1 数学　八年级下册 6.(新教材P54探究与发现改编)某人到瓷砖商店购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是 ( ) C A. 正三角形 B. 长方形 C. 正八边形 D. 正六边形 数学　八年级下册 7.如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，B(5，2)，D是OA的中点，点P在BC上以每秒2个单位长度的速度由点C向点B运动，设动点P的运动时间为t秒． (1)t为何值时，四边形PODB是平行四边形？ 数学　八年级下册 解：(1)∵四边形OABC为矩形，B(5，2)， ∴BC＝OA＝5，AB＝OC＝2. ∵D是OA的中点， 依题意，得PC＝2t， ∴BP＝BC－PC＝5－2t. ∵四边形PODB是平行四边形， ∴PB＝OD＝2.5. ∴5－2t＝2.5.∴t＝1.25. ∴OD＝ OA＝2.5. 数学　八年级下册 (2)在直线CB上是否存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出t的值，并求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 数学　八年级下册 解：(2)存在．①当点Q在点P的右边时，如答图1. ∵四边形ODQP为菱形， ∴OD＝OP＝PQ＝2.5. 在Rt△OPC中，由勾股定理，得 ∴2t＝1.5.∴t＝0.75. ∴Q(4，2). 答图1 数学　八年级下册 ②当点Q在点P的左边且在线段BC上时，如答图2. 同①的方法得出t＝2， ∴Q(1.5，2). 答图2 数学　八年级下册 ③当点Q在点P的左边且在BC的延长线上时，如答图3. 同①的方法得出t＝0.5， ∴Q(－1.5，2). 综上所述，存在点Q使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标为(4，2)或(1.5，2)或(－1.5，2). 答图3 数学　八年级下册 $第3课　平行四边形的性质(1) 1.在▱ABCD中，∠A＋∠C＝120°，则∠B＝______. 120° 数学　八年级下册 2.如图，在▱ABCD中，AB＝AC，∠CAB＝40°，则∠D的度数是 ( ) D A．40° B．50° C．60° D．70° 数学　八年级下册 3.如图，将▱ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是(4，0)，点C的坐标是 (1，3)，则点B的坐标是______． (5，3) 数学　八年级下册 4.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，AC＝10，则这个平行四边形面积为 ( ) A A．24 B．40 C．20 D．12 数学　八年级下册 5.如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，BE＝DF，EF与对角线AC相交于点O.求证:OE＝OF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD. ∴∠AEO＝∠CFO. ∵BE＝DF，∴AB－BE＝CD－DF， 即AE＝CF. 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF(AAS).∴OE＝OF. 数学　八年级下册 6.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC上的点，且AE＝CF.求证：BE＝DF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠BAE＝∠DCF. 又∵AE＝CF， ∴△ABE≌△CDF(SAS). ∴BE＝DF. 数学　八年级下册 7.如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交边CD于点E，AD＝6，EC＝3，则AB＝____． 9 数学　八年级下册 8.(新教材P57T2改编)如图，在▱ABCD中，CD＝3 cm，AC＝4 cm，BD＝7 cm. (1)△AOB的周长是______； (2)△ABC比△ABD的周长短___cm. 3 数学　八年级下册 9.如图，E是▱ABCD内任意一点，若S▱ABCD＝18，则图中阴影部分的面积是 ( ) C A．6 B．8 C．9 D．10 数学　八年级下册 10.如图，在▱ABCD中，∠BCD的平分线交AD于点E，∠ABC的平分线交ED于点F.若∠A＝120°,BF＝8 ，EF＝3，则BC＝___． 13 数学　八年级下册 11.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AO : BO＝2 : 3. (1)求AC的长； (2)求▱ABCD的面积． 数学　八年级下册 解：(1)∵AC⊥AB，∴∠BAO＝90°. ∵AO : BO＝2 : 3， ∴设AO＝2a，BO＝3a. 在Rt△BAO中，由勾股定理，得AB2＋AO2＝BO2， 即22＋(2a)2＝(3a)2， ∵四边形ABCD是平行四边形， 解得a＝ (负值已舍去). ∴AC＝2AO＝4a＝ . 数学　八年级下册 (2)求▱ABCD的面积． ∴S▱ABCD＝AB·AC 解：(2)∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥AB， 数学　八年级下册 $第14课　正方形的判定 1.已知一个四边形是矩形，要使它成为一个正方形，在下列给出的条件中，可添加 ( ) C A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 一组邻边相等 D. 有一个角是直角 数学　八年级下册 2.已知一个四边形是菱形，要使它成为一个正方形，在下列给出的条件中，可添加 ( ) D A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 一组邻边相等 D. 有一个角是直角 数学　八年级下册 3.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，且∠1＝45°.求证：四边形ABCD是正方形． 证明：∵∠A＝∠ABC＝∠C＝90°， ∴四边形ABCD是矩形． ∴∠ADC＝90°. ∵∠1＝45°， ∴∠ABD＝∠ADC－∠1 ＝45°＝∠1. ∴四边形ABCD是正方形． 数学　八年级下册 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是两锐角平分线的交点，ED⊥BC，EF⊥AC，垂足分别为D，F.求证：四边形CDEF是正方形． 证明：如图，过点E作EM⊥AB于点M. ∵ED⊥BC，EF⊥AC，∠ACB＝90°， ∴∠CFE＝∠CDE＝∠FCD＝90°. ∴四边形CDEF是矩形． ∵AE平分∠CAB，∴EF＝EM. ∵BE平分∠CBA，∴ED＝EM. ∴EF＝ED. ∴四边形CDEF是正方形． 数学　八年级下册 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E. (1)求证：四边形ADCE为矩形． 数学　八年级下册 (1)证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC. ∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线， ∴∠MAE＝∠CAE. 又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC＝∠CEA＝90°＝∠DAE. ∴四边形ADCE为矩形． ∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝ ×180°＝90°. 数学　八年级下册 (2)解：当△ABC满足∠BAC＝90°时， 四边形ADCE是一个正方形．证明如下： ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ACB＝∠B＝45°. ∵AD⊥BC，∴∠CAD＝∠ACD＝45°.∴DC＝AD. 又∵四边形ADCE为矩形， ∴四边形ADCE是正方形． (2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明． 数学　八年级下册 6.如图，四边形ABCD为正方形，E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG. (1)求证：矩形DEFG是正方形； 数学　八年级下册 证明：(1)如图，过点E作EP⊥CD于点P，EQ⊥BC于点Q，则四边形CPEQ是矩形． ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠DCA＝∠BCA. ∴EQ＝EP. ∵∠QEF＋∠PEF＝90°，∠PED＋∠PEF＝90°， ∴∠QEF＝∠PED. ∴△EQF≌△EPD(ASA). ∴EF＝ED.∴矩形DEFG是正方形． 在△EQF和△EPD中， 数学　八年级下册 证明：(2)如图，连接AG. ∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∠CDG＋∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG. 由(1)得矩形DEFG是正方形，∴DE＝DG. 又∵AD＝CD， ∴△AED≌△CGD(SAS). ∴∠DAE＝∠DCG＝45°. ∴∠ACG＝∠ACD＋∠DCG＝90°. ∴△ACG是直角三角形．∴AC2＋CG2＝AG2. (2)连接AG，求证：AC2＋CG2＝AG2. 数学　八年级下册 $第2课　多边形及其内角和 1. 十边形的内角和为_______ ，外角和为_______ ． 2. n边形的内角和为_______________,外角和为______. 3. 正n边形每个外角的度数为_____,正多边形每个内角与每个外角的关系为_____． 1440° 360° (n－2)×180° 360° 互补 数学　八年级下册 4.若一个正多边形的每一个外角都为45°，则这个正多边形的边数是 ( ) B A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 数学　八年级下册 5.如图，∠1是五边形的一个外角．若∠1＝70°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D的度数为_____． 430° 数学　八年级下册 6.一个多边形的内角和等于720°，求它的边数． 解：设它的边数为n. 依题意，得(n－2)×180°＝720°， 解得n＝6. ∴它的边数为6. 数学　八年级下册 7.(新教材P52练习T1节选)求出下列图形中x的值： 解：(1)依题意，得 x＋2x＋120＋150＋90＝(5－2)×180， 解得x＝60. 数学　八年级下册 解：(2)∵AB∥CD， ∴∠B＋∠C＝180°. 依题意，得x＋135＋180＋150＝(5－2)×180， 解得x＝75. 数学　八年级下册 9.下列度数不可能是多边形的内角和的是 ( ) C A. 540° B. 1 080° C. 1 000° D. 3 600° 8.若一个多边形的每个内角都为108°，则它的边数为____． 5 数学　八年级下册 10.如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是 ( ) A A. 60° B. 65° C. 55° D. 50° 数学　八年级下册 11.一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180°，求这个多边形的边数． 解：设这个多边形的边数为n. 依题意，得(n－2)×180°＝4×360°＋180°， 解得n＝11. ∴这个多边形的边数是11. 数学　八年级下册 12.(新教材P53T6)如图，在n边形内任取一点O，连接点O与n边形的各个顶点，n边形被分成多少个三角形？请你利用这种方法推导n边形的内角和公式． 数学　八年级下册 解：n边形被分为n个三角形． n边形的内角和公式推导如下： ∵三角形的内角和是180°， ∠A1OA2＋∠A2OA3＋∠A3OA4＋∠A4OA5＋…＋∠An－1OAn＝360°， ∴n多边形的内角和为 180°×n－360°＝(n－2)×180°. 数学　八年级下册 13.如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝________. 540° 数学　八年级下册 $