第二十章　勾股定理 习题课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第4课　勾股定理的应用(3)——特殊直角三角形 1.求下列各图中未知的边的长度． 解：(1)∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4， 在Rt△ACB中,由勾股定理,得 ∴AC＝ AB＝2. BC= 数学　八年级下册 解：(2)设AB＝x. ∵∠B＝90°，∠C＝45°， ∴∠A＝45°. ∴BC＝AB＝x. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2＋BC2＝AC2，即x2＋x2＝42， ∴BC＝AB＝2 . 解得x＝ 或x＝ (舍去). 数学　八年级下册 2.如图，在四边形ABCD中,∠CBA＝∠CAD＝90°，∠BCA＝45°, ∠ACD＝60°, BC＝ ,求AD的长. 数学　八年级下册 解：∵∠ABC＝90°，∠BCA＝45°， ∴∠BAC＝45°. 在Rt△ABC中， ∵∠CAD＝90°，∠ACD＝60°， ∴∠D＝90°－60°＝30°.∴CD＝2AC＝4. 在Rt△ACD中，由勾股定理，得 ∴AB＝BC＝ . 由勾股定理，得 数学　八年级下册 3.如图，在离水面高度(AC)为2米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°，此人以每秒0.5米的速度收绳子．问： (1)未开始收绳子的时候,图中绳子BC的长度是多少米？ 解：(1)在Rt△ABC中,∠ABC＝30°, ∴BC＝2AC＝4(米). 答：图中绳子BC的长度是4米． 数学　八年级下册 (2)收绳2秒后船离岸边多少米？(结果保留根号) 解：(2)如图，设收绳2秒后，船到达点D的位置． 依题意，得CD＝4-2×0.5＝3(米). 在Rt△ACD中，由勾股定理，得 答：收绳2秒后船离岸边米． 数学　八年级下册 4.如图，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝2， CD＝1，求BC和AD的长． 数学　八年级下册 解：如图，延长AD与BC， 两延长线相交于点E. ∵∠B＝90°，∠A＝60°， ∴∠E＝30°. 在Rt△CDE中，CD＝1，∴CE＝2CD＝2. 在Rt△ABE中，AB＝2，∴AE＝2AB＝4. 由勾股定理，得 ∴BC＝BE－CE＝2 －2，AD＝AE－DE＝4－ . 由勾股定理，得 数学　八年级下册 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CB＝3，D是斜边AB上的一个动点，把△ACD沿直线CD翻折，使点A落在点A′处，当A′D平行于Rt△ABC的一条直角边时，AD的长为________． 3或 数学　八年级下册 6.(创新考法)(新教材P32T14改编)如图，在四边形ABCD中，E为AD上一点，且AB＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝90°. (1)从下面两个结论中选择一个进行证明： ①DE＋CD＝ BD；②DE2＋CD2＝CE2. (2)若∠ABE＝30° ，AB＝4，则四边形BCDE的面积 为____，四边形ABCD 的面积为_______． 8 数学　八年级下册 解：(1)选择①.证明如下： ∵AB＝BD，∠ABD＝90°， ∴在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD＝BD. ∵∠ABD＝∠EBC， ∴∠ABD－∠EBD＝∠EBC－∠EBD， 即∠ABE＝∠DBC. ∴△AEB≌△DCB(SAS).∴AE＝DC. ∴AD＝AE＋DE＝CD＋DE＝BD， ∴在△AEB和△DCB中， 即DE＋CD＝ BD. 数学　八年级下册 选择②.证明如下： ∵AB＝BD，∠ABD＝90°，∴∠A＝∠ADB＝45°. 同选择①可证△AEB≌△DCB， ∴∠BDC＝∠A＝45°. ∴∠BDC＋∠ADB＝90°，即∠EDC＝90°. ∴DE2＋CD2＝CE2. 数学　八年级下册 $1.(2025·番禺区期末)以下列各组数为边长能构成直角三角形的是 ( ) A. 5, 12, 13 B. C. D. 13, 14, 15 第7课　勾股定理单元复习 A 数学　八年级下册 2.下列命题中，逆命题是假命题的是 ( ) A. 两直线平行，同位角相等 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 等腰三角形的两个底角相等 D. 全等三角形的对应角相等 D 数学　八年级下册 3.如图，小明准备建一个鲜花大棚，棚宽BE＝4 m，高AE＝3 m，长AD＝10 m，棚的斜面用长方形玻璃ABCD遮盖，则阳光透过的最大面积是______m2. 50 数学　八年级下册 4.如图，数轴上有Rt△ABO，Rt△CDO，OA，OC是斜边，且OB＝1，AB＝1，CD＝1，OD＝2，分别以点O为圆心，OA，OC为半径画弧交数轴于点E，F，则EF的长度是________． 数学　八年级下册 5.如图，四边形ABCD是一块草坪，量得四边长AB＝ 3 m，BC＝4 m，DC＝12 m，AD＝13 m，∠B＝90°，求这块草坪的面积． 解：如图，连接AC. 在Rt△ABC中， AB＝3 m，BC＝4 m，∠B＝90°， 在△ADC中，AC＝5 m，DC＝12 m, AD＝13 m， ∴AC2＋DC2＝169＝AD2. ∴∠ACD＝90°. 由勾股定理，得 数学　八年级下册 答：这块草坪的面积是36 m2. ∴S四边形ABCD＝SRt△ABC＋SRt△ADC (m2) . 数学　八年级下册 6.图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图2中的实线)是____． 图1 图2 76 数学　八年级下册 7.(新教材P43T6)如图，在三角形支架中，AD⊥BC，垂足为D，AB＝2 m，AC＝1.5 m，DC＝0.9 m. (1)求BD的长； 解：(1)在Rt△ADC中，由勾股定理， 得AD2＝AC2－CD2＝1.52－0.92＝1.44， ∴AD＝1.2 m. 在Rt△ADB中，由勾股定理，得 (m) . 数学　八年级下册 解：(2)支架外框△ABC的形状为直角三角形． 理由如下： ∵BC＝BD＋CD＝1.6＋0.9＝2.5(m)， ∴BC2＝2.52＝6.25. 又∵AB2＋AC2＝22＋1.52＝6.25， ∴AB2＋AC2＝BC2. ∴△ABC是直角三角形． (2)判断支架外框△ABC的形状，并说明理由． 数学　八年级下册 8.(新教材P44T8)古希腊哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a，b，c为勾股数．你认为这种说法正确吗？如果正确，请给出证明，并利用这个结论写出一些勾股数． 数学　八年级下册 解：正确．证明如下： ∵m表示大于1的整数， ∴a，b，c都是正整数，且c是最大边． ∵(2m)2＋(m2－1)2＝m4＋2m2＋1＝(m2＋1)2， ∴a2＋b2＝c2，即a，b，c为勾股数． 当m＝2时，可得一组勾股数3，4，5(答案不唯一). 数学　八年级下册 $第3课　勾股定理的应用(2) 1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC与AB的和为8，则AC的长为____． 3 数学　八年级下册 2.(新教材P44T7改编)如图，一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度是____尺． 4 数学　八年级下册 3.(新教材P31T11改编)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6.将三角形沿直线DE折叠，使点A与点B重合，求CD的长． 数学　八年级下册 解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC2＝AB2－BC2＝102－62＝64， ∴AC＝8. 由折叠，得BD＝AD. 设CD的长为x， 则BD＝AD＝AC－CD＝8－x. 在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD2－CD2＝BC2， 即(8－x)2－x2＝62，解得x＝ . ∴CD的长为 . 数学　八年级下册 4.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，请你求出旗杆的高度．(滑轮上方的部分忽略不计) 数学　八年级下册 解：设旗杆高度为x m. 依题意，得AB⊥BC， AC＝AD＝x m， AB＝(x－2)m， BC＝8 m. 在Rt△ABC中， AB2＋BC2＝AC2，即(x－2)2＋82＝x2， 解得x＝17. 答：旗杆的高度为17 m. 数学　八年级下册 5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝3，BD＝5. (1)求点D到直线AB的距离； 解：(1)如图，过点D作DE⊥AB 于点E. ∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝3. ∴点D到直线AB的距离为3. 数学　八年级下册 (2)求线段AC的长． ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC＝AE. 在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2， 即(AC＋4)2＝AC2＋82，解得AC＝6. 解：(2)在Rt△ACD和Rt△AED中， 在Rt△DEB中，BE＝ ＝4， 数学　八年级下册 6.由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处．已知AB＝1米，BC＝5米，两棵树的水平距离为3米，请计算出这棵树原来的高度．(结果保留根号) 数学　八年级下册 解：如图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D. 依题意，得BC＝5米，CD＝3米． ∵AB＝1米，∴AD＝AB＋BD＝5(米). 在Rt△ACD中，由勾股定理，得 ∴这棵树原来的高度为 由勾股定理，得BD＝ ＝4(米). AB＋AC＝(1＋ )(米). 数学　八年级下册 $第2课　勾股定理的应用(1) 1.如图，A(6，0)，B(－4，0)，以点A为圆心，AB为半径画弧，交y轴正半轴于点C，则点C的坐标为 ( ) A A. (0，8) B. (8，0) C. (0，10) D. (10，0) 数学　八年级下册 2.如图，为了求出湖岸A，B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形，通过测量，得到AC＝15 m，BC＝12 m．问从点A穿过湖到点B有多远？ 答：从点A穿过湖到点B有9 m远． 解： 在Rt△ABC中， 数学　八年级下册 3.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠CBD＝90°， AB＝AD＝ ，CD＝6，求四边形ABCD的面积． 解：∵∠A＝∠CBD＝90°，AB＝AD＝ ，CD＝6， ∴DB＝ CB＝ ∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△CBD ＝ AB·AD＋ CB·BD 数学　八年级下册 4.在Rt△ABC中,斜边AB＝2,则AB2＋BC2＋AC2＝___． 8 5.(2025·惠州期末)如图，数轴上点O，A表示的数分别是0，3，过点A作AB⊥OA，且AB＝1，以点O为圆心、OB长为半径画弧交数轴上点A的左侧于点C，则点C表示的数是_____． 数学　八年级下册 6.如图，为了固定一根电线杆，在电线杆离地面4.8米高的A处系两条等长的钢丝拉绳，使拉绳在地面的固定点C，D与电线杆的底端点B在同一直线上．若要使C，D间的距离是7.2米，每条钢丝拉绳至少要多少米长？ 数学　八年级下册 解：依题意，得AC＝AD，AB⊥CD， AB＝4.8米，CD＝7.2米． 答：若要使C，D间的距离是7.2米，每条钢丝拉绳至少要6米长． ∴CB＝BD＝ CD＝3.6(米). 在Rt△ABC中，AC＝ ＝6(米). 数学　八年级下册 7.如图，设某人到岛上去寻宝，登陆后先往东走8 km，又往北走2 km，遇到障碍后又往西走3 km，再折向北走6 km，最后往东一拐仅1 km找到了宝藏，则登陆点到宝藏点的直线距离是____km. 10 数学　八年级下册 $A. 1，2，2 B. 1，2， C. 4，5，6 D. 1，1， 第5课　勾股定理的逆定理及其应用(1) 1.(2025·珠海期末)下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是 ( ) B 数学　八年级下册 2.如图，在△ABC中，AC＝2 ，BC＝2，AB＝2 .求证：△ABC是直角三角形． 证明：依题意，得 BC2＝22＝4， ∴AC2＋BC2＝AB2. ∴△ABC是直角三角形． AC2＝( )2＝20， AB2＝( )2＝24， 数学　八年级下册 3.如图，在△ABC中，已知AB＝AC，D是AC上的一点，CD＝9，BC＝15，BD＝12. (1)求证：△BCD是直角三角形； (2)求AD的长； (3)求△ABC的面积． 数学　八年级下册 (1)证明：∵CD＝9，BD＝12，BC＝15， ∴CD2＋BD2＝92＋122＝225，BC2＝152＝225. ∴CD2＋BD2＝BC2. ∴△BCD是直角三角形． (1)求证：△BCD是直角三角形； 数学　八年级下册 (2)求AD的长； (2)解：设AD＝x，则AC＝x＋9. ∵AB＝AC，∴AB＝x＋9. 由(1)可知∠BDC＝90°，∴∠ADB＝90°. ∴AB2＝AD2＋BD2， 即(x＋9)2＝x2＋122，解得x＝ . ∴AD的长为 . 数学　八年级下册 (3)求△ABC的面积． ∴S△ABC＝ AC·BD＝ (3)解：由(2)可得 数学　八年级下册 4.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1. (1)填空：AB＝____，CD＝____； (2)在图中画出一条线段EF，使得EF＝ ，判断以AB， CD，EF三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由． 数学　八年级下册 解：(2)线段EF如图所示． 以AB，CD，EF三条线段为边不能构成直角三角形． 理由如下： ∴以AB,CD,EF三条线段为边不能构成直角三角形． ∵AB2＋EF2＝ 数学　八年级下册 5.已知△ABC的三边长分别为5，12，13，则△ABC的面积为____． 30 数学　八年级下册 6.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2－EA2＝AC2. (1)求证：∠A＝90°； (2)若AC＝6，BD＝5，求AE的长． 数学　八年级下册 (1)证明：如图，连接CE. ∵D是BC的中点，DE⊥BC， ∴CE＝BE. ∵BE2－EA2＝AC2， ∴CE2－EA2＝AC2， 即EA2＋AC2＝CE2. ∴△ACE是直角三角形，且∠A＝90°. (1)求证：∠A＝90°； 数学　八年级下册 (2)若AC＝6，BD＝5，求AE的长． (2)解：∵D是BC的中点，BD＝5， ∴BC＝2BD＝10. ∵∠A＝90°，AC＝6， 在Rt△AEC中，AE2＋AC2＝CE2. ∴ ∵CE＝BE，∴62＋AE2＝(8－AE)2，解得AE＝ . 数学　八年级下册 $1.(1)下列几组数中,不能作为直角三角形三边长的是 ( ) A. 3，4，5 B. 5，7，8 C. 8，15，17 D. 1， 第6课　勾股定理的逆定理及其应用(2) B 数学　八年级下册 A．0.3，0.4，0.5 B．3，4，5 C．5，12，13 D．6，8，10 (2)下列各组数据不是勾股数的是 ( ) A 数学　八年级下册 2.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足 则此三角形是____________． 直角三角形 数学　八年级下册 3.根据图中信息证明△ABC是直角三角形． BC2＝22＝4，AC2＝1， ∴AB2＝BC2＋AC2. ∴△ABC是直角三角形． 证明：∵AB2＝( )2＝5， 数学　八年级下册 4.我县某中学有一块如图所示的四边形空地ABCD，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，CD＝3 m，AD＝4 m，AB＝13 m，BC＝12 m． 数学　八年级下册 (1)求空地ABCD的面积． 解：(1)如图，连接AC. 在Rt△ACD中， AC2＝CD2＋AD2＝32＋42＝52， ∴AC＝5 m. 在△ABC中，AB2＝132，BC2＝122， 而52＋122＝132，即AC2＋BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°. 数学　八年级下册 (2)若每种植1m2草皮需要200元,总共需投入多少元？ 解：(2)24×200＝4 800(元). 答：总共需投入4 800元． ∴S四边形ABCD＝S△ACB－S△ACD＝ AC·BC－ AD·CD ∴空地ABCD的面积为24 m2. 数学　八年级下册 A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 5.如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10. (1)点B到AC的距离是 ( ) A 数学　八年级下册 (2)点C到AB的距离是______． 数学　八年级下册 6.如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以30海里/时的速度向北偏东35°方向航行，乙船以40海里/时的速度向另一方向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距100海里，则乙船航行的角度是南偏东多少度？ 数学　八年级下册 解：依题意，得 AC＝30×2＝60(海里)， AB＝40×2＝80(海里)，BC＝100海里． ∵802＋602＝1002，∴AB2＋AC2＝BC2. ∴△BAC是直角三角形，且∠BAC＝90°. ∵甲船向北偏东35°方向航行，∠BAC＝90°， ∴∠DAB＝180°－90°－35°＝55°. ∴乙船航行的角度是南偏东55度． 数学　八年级下册 7.(生活情境题)图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得 AB＝CD＝6 dm，BC＝3 dm，AD＝9 dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接(即∠ABD＝90°).通过计算说明该车是否符合安全标准． 图1 图2 数学　八年级下册 解：在Rt△ABD中， BD2＝AD2－AB2＝92－62＝45， 在△BCD中，BC2＋CD2＝32＋62＝45， ∴BC2＋CD2＝BD2. ∴∠BCD＝90°，即BC⊥CD. 故该车符合安全标准． 数学　八年级下册 $第1课　勾股定理的证明及简单应用 1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13. 求：(1)AC的长； (2)△ABC的面积． 解：(1)在Rt△ABC中， 解：(2)S△ABC＝ AC·BC＝ ×12×5＝30. 数学　八年级下册 2.在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠A，∠B，∠C的对 边边长分别为a，b，c，则下列错误的是 ( ) A A. a2＋b2＝c2 B. b2＋c2＝a2 C. a2－b2＝c2 D. a2－c2＝b2 数学　八年级下册 3.如图，点B在正方形ADEC的内部，连接AB，BC， 若∠CBA＝90°，AB＝1，BC＝2，则正方形ADEC 的面积为_______. 5 数学　八年级下册 4.(2025·潮阳区期末)如图，分别以直角三角形的三边向外作正方形A，B，C，若正方形B，C的面积分别为5，11，则正方形A的面积是 ( ) C A. 6 B. 12 C. 16 D. 22 数学　八年级下册 5.如图，每个小正方形网格的边长均为1，图中阴影部分正方形的顶点都在格点上，则此正方形的边长为 ( ) A. B. C. D. C 数学　八年级下册 6.如图，P是平面直角坐标系中一点，则点P到原点O的距离是 ( ) A. 1 B. 2 C. D. D 数学　八年级下册 8.(新教材P30T3改编)如图，一个圆锥的高AO＝2.4，底面直径BC＝1.4，则AB＝_____． 2.5 7.若一个直角三角形的两边长分别是1，2，则其第三边长为________． 数学　八年级下册 9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ BC＝ 求： (1)Rt△ABC的面积； 解：(1)∵∠C＝90°， ∴SRt△ABC＝ 数学　八年级下册 (2)斜边AB上的高． 解：(2)设斜边AB上的高为h. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 依题意，得 AB·h＝4. ∴ ∴斜边AB上的高为 数学　八年级下册 $