精品解析：广东深圳市罗湖外语学校2025-2026学年高三下学期第四次月考数学试卷

2025-2026学年高三下学期数第四次月考数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设i为虚数单位，复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设， . 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别解不等式得到集合，再求并集即可． 【详解】由，解得或，则， 由，得，，解得，则， 所以． 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 90 B. 60 C. 30 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】根据这一项的生成过程，即可求解. 【详解】要生成这一项，相当于从5个含有的括号中，2个取出，1个取出，2个取出， 即，所以的系数为. 故选：A 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】，则或，不满足，如，不充分， 时，，满足，必要性满足． 应为必要不充分条件． 故选：B． 5. 在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量线性运算法则计算可得； 【详解】解：因为，所以， 所以. 故选：D 6. 已知a，b，c是空间中的三条直线，下列说法中错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若a与b垂直，b与c垂直，则a与c可能相交、平行或异面 C. 若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面 D. 若a与c相交，b与c异面，则a与b异面 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由平行的传递性知A正确； 对于B，如图①，在正方体中， 当，时，与相交； 当，时， ； 当，时，与异面； 所以由，可得a与c可能相交、平行或异面，故B正确； 对于C，若 a ，b 分别在两个相交平面内，如图所示， 可知这两条直线可能平行、相交或异面，故C正确； 对于D，如图①，在正方体中， 与相交，与异面，此时与平行； 与相交，与异面，此时与相交； 与相交，与异面，此时与异面； 所以a与c相交，b与c异面，则a与b可能相交、平行或异面，故D错误. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线，与的右支交于点，与轴交于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线定义及可判断是等边三角形，再结合在中根据求离心率. 【详解】由题意得点在第一象限，，由双曲线的定义得， 所以， 因为，所以，连接，则， 所以，即， 所以为等边三角形，即， 在中（为坐标原点），， 所以的离心率. 故选：B. 8. 函数，若对任意，都有，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先推得的单调性和，进而将目标转化为在上恒成立，求一元二次函数的最大值即得. 【详解】因为在上单调递增，所以在上单调递增， 又因， 所以等价于， 则在上恒成立，也即在上恒成立， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且，，所以，则， 故a的取值范围是. 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列结论正确的是（　　） A. 函数图象关于直线对称 B. 函数的最小正周期为 C. 函数图象可看作是把函数的图象向左平移个单位而得到 D. 函数在区间的最大值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过代入特殊值验证对称轴，计算周期，分析平移变换，结合定义域求最值，逐一判断选项正误. 【详解】 ，故A正确. ，故B正确. 向左平移个单位，得，故C错误. 当时，，，故 ，D正确. 10. 某企业根据市场调研得到研发投入x（亿元）与产品收益y（亿元）的数据如表，则下列叙述正确的是（　　） x 1 2 3 4 5 6 7 y 2 3 5 7 8 8 9 A. B. 变量x和y正相关 C. 用最小二乘法求得y关于x的经验回归方程为 D. 变量x每增加一个单位，y值一定增加个单位 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过计算样本均值验证选项，根据数据趋势判断相关性，再用最小二乘法求解回归方程，最后结合回归方程的统计意义分析选项. 【详解】，，故A正确. 由数据可知，y随x的增大而增大，变量x和y正相关，故B正确. ， ， 所以回归系数，， 经验回归方程为，故C正确. 变量每增加一个单位，的估计值平均增加个单位，并非一定增加，故D错误. 11. 如图，在正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与所成的角的大小为 B. 直线平面 C. 平面平面 D. 四面体外接球的体积与正方体的体积之比为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据异面直线所成角可判定A选项，根据线面平行的判定定理可判定B选项，根据面面垂直的性质定理可判定C选项，根据正方体的体积及外接球的体积公式可判定D选项. 【详解】解析：对于A：连接，如图，由正方体的结构特征知，， 即为正三角形．又因为分别为的中点，则， 因此直线与所成的角即为直线与所成的角，即或其补角， 又，所以直线与所成的角的大小为，A正确； 对于B：因为，所以平面平面， 故直线平面，B正确； 对于C：取的中点为，连接，显然的中点为，则， 假设平面平面，而平面平面， 于是平面，又平面，则，与矛盾，C错误； 对于D：不妨设正方体的棱长为，则正方体的体积为，又因为四面体 的三条侧棱两两垂直，则它的外接球即为以为棱的长方体的外接球， 于是球的直径， 体积为，于是，D正确， 故选：ABD． 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在处的切线斜率为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可得. 【详解】，所以曲线在处的切线斜率为. 故答案为:. 13. 已知正项等比数列中，，，用表示实数的小数部分，如，，记，则数列的前15项的和为______. 【答案】5 【解析】 【分析】通过和可计算出数列的通项公式，即，由二项式定理结合题意可得，进而可得结果. 【详解】设等比数列的公比为，由得，则， 由和，解得，，则. 由， ，则， 故答案为：5. 【点睛】本题主要考查了等比数列中基本量的计算，二项式定理的应用，对新定义的理解是解题的关键，属于中档题. 14. 若点 是圆 上的任一点，直线 与轴，轴分别相交于 两点，则最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作出几何图形，结合几何图形分析出和圆相切时，最小，利用几何关系求出，进而得解. 【详解】 如图，当过的直线和圆相切于如图所示的情形时，最小， 由题知，圆心，，则， 连接，由切线的性质，是直角三角形， 于是，则， 由于斜率为，结合图形可知，， 则 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若的面积为，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理边角互化即可求解， （2）根据面积公式，结合题中条件即可求解. 【小问1详解】 由可得， 故， 由于,故， 【小问2详解】 由，故， 又得，故， 故， 16. 已知函数． （1）求的极值； （2）若对任意，都有恒成立，求实数的最小值； （3）若过点的直线与曲线相切，求的方程． 【答案】（1）的极大值为；的极小值为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数研究单调性求极值即可求解； （2）由（1）的单调性求出函数的最值即可求解； （3）设切点，利用导数的几何意义求切线方程，代入，解出即可求解. 【小问1详解】 由题意得：，令，解得或， 由有：或，由有：， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极大值为， 的极小值为 【小问2详解】 由已知有：对任意，都有恒成立， 由（1）有在单调递增，在单调递减， 又， 所以， 所以， 所以实数的最小值为； 【小问3详解】 设切点为， 所以，， 所以切线方程为：， 所以， 又切线过点， 所以， 化简整理有：，即，解得， 所以直线的方程为：， 所以直线的方程为：. 17. 已知为抛物线的焦点，为在第一象限上的动点，当时，设的准线与轴交于点，与交于点，，，与交于点，与交于点. （1）求的方程； （2）求的轨迹方程； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）按抛物线的定义直接列式可得； （2）根据，，三点共线求得参数，然后根据，利用相关点法求解即可； （3）设，，表示出，可得，然后根据=，计算即可. 【小问1详解】 由题意得，，解得其中舍去， 所以的方程为； 【小问2详解】 由题意，知， 设，则， 因为，，三点共线，所以， 即， 设，由，得，， 所以，即， 所以的轨迹方程 ； 【小问3详解】 因为，所以， 因为， 所以，同理， 设，， 则， ， 所以，解得， 又，设，设直线：， 联立得，， 有，于是， 解得，即的取值范围是 . 18. 如图所示，在四棱锥中，底面为等腰梯形，其中，，． （1）求的长； （2）若， ①求平面与平面夹角的余弦值； ②空间中一动点满足，求的最小值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，进而得到，由勾股定理求解即可； （2）①建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量求解平面与平面夹角的余弦值即可； ②因为点满足，所以设点在的垂直平分面上，则的最小值即为点到平面的距离，利用向量求解即可. 【小问1详解】 如图： ， 在等腰梯形中，过点作于，过点作于， 因为，，则，所以， 连接， 在三角形中，由余弦定理得：， 所以，又，，所以， 所以，又，，且平面， 所以平面，又平面，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 ①在三角形中，由余弦定理得：， 所以，由于平面， 所以以为坐标原点，分别以，向量的方向为轴的正方向， 过点作垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， 设平面的一个法向量为， ，， ，所以，令，则，， 所以， 设平面的一个法向量为， ，， ，所以，令，则，， 所以， 设平面与平面的夹角为， 则. ②因为点满足，所以设点在的垂直平分面上， 则为平面的法向量， 则的最小值为点到平面的距离， 的中点为，， 所以点到平面的距离为， 所以的最小值为. 19. 某商场举行抽奖活动，箱子里装有标号为1到的张奖券，不同的奖券标号对应不同的奖品，标号越大，奖品越丰厚．规则如下：顾客从中有放回地抽取奖券次，每次抽取一张奖券，抽取结果中标号最大的奖券对应的奖品即为最终奖品，设最终获得的奖品对应的奖券标号为． （1）当时，求最终拿到标号为3的奖券的概率和拿到标号为2的奖券的概率． （2）若． ①求最终拿到标号不大于的奖券的概率； ②求随机变量的期望（用表示）． （3）当时，证明：． 【答案】（1）； （2）①；② （3）， 则随机变量 的期望为 . 设，， 当 时，，等号成立； 当 时，当时，， 单调递减； 当时， ， 单调递增， 所以. 设， 又因为， 所以，所以． 综上所述，. 【解析】 【分析】（1）利用对立事件和差事件求概率：，计算两次有放回抽取的结果概率； （2）①标号不大于 即每次抽取都不超过 ，用独立重复试验求概率；②用分布列或尾和公式求期望，化简得到结果； （3）先写出期望表达式，再构造对称和式，结合函数单调性放缩证明不等式. 【小问1详解】 表示最大标号为 ，等价于所有抽取结果都不超过 ，且至少有一次等于 ， 则两次都不超过2； 两次都不超过2两次都不超过1. 【小问2详解】 ①最终标号不大于 等价于次抽取的所有结果都不大于 ，每次抽到不大于 的概率为， 因此. ②由于， 随机变量 的期望得 . 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三下学期数第四次月考数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设i为虚数单位，复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 90 B. 60 C. 30 D. 20 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知a，b，c是空间中的三条直线，下列说法中错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若a与b垂直，b与c垂直，则a与c可能相交、平行或异面 C. 若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面 D. 若a与c相交，b与c异面，则a与b异面 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线，与的右支交于点，与轴交于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 函数，若对任意，都有，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列结论正确的是（　　） A. 函数图象关于直线对称 B. 函数的最小正周期为 C. 函数图象可看作是把函数的图象向左平移个单位而得到 D. 函数在区间的最大值为2 10. 某企业根据市场调研得到研发投入x（亿元）与产品收益y（亿元）的数据如表，则下列叙述正确的是（　　） x 1 2 3 4 5 6 7 y 2 3 5 7 8 8 9 A. B. 变量x和y正相关 C. 用最小二乘法求得y关于x的经验回归方程为 D. 变量x每增加一个单位，y值一定增加个单位 11. 如图，在正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与所成的角的大小为 B. 直线平面 C. 平面平面 D. 四面体外接球的体积与正方体的体积之比为 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在处的切线斜率为______. 13. 已知正项等比数列中，，，用表示实数的小数部分，如，，记，则数列的前15项的和为______. 14. 若点 是圆 上的任一点，直线 与轴，轴分别相交于 两点，则最小值为_____． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若的面积为，求的值； 16. 已知函数． （1）求的极值； （2）若对任意，都有恒成立，求实数的最小值； （3）若过点的直线与曲线相切，求的方程． 17. 已知为抛物线的焦点，为在第一象限上的动点，当时，设的准线与轴交于点，与交于点，，，与交于点，与交于点. （1）求的方程； （2）求的轨迹方程； （3）若，求的取值范围. 18. 如图所示，在四棱锥中，底面为等腰梯形，其中，，． （1）求的长； （2）若， ①求平面与平面夹角的余弦值； ②空间中一动点满足，求的最小值． 19. 某商场举行抽奖活动，箱子里装有标号为1到的张奖券，不同的奖券标号对应不同的奖品，标号越大，奖品越丰厚．规则如下：顾客从中有放回地抽取奖券次，每次抽取一张奖券，抽取结果中标号最大的奖券对应的奖品即为最终奖品，设最终获得的奖品对应的奖券标号为． （1）当时，求最终拿到标号为3的奖券的概率和拿到标号为2的奖券的概率． （2）若． ①求最终拿到标号不大于的奖券的概率； ②求随机变量的期望（用表示）． （3）当时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $