精品解析：2026 年河南省中招适应性考试第二次调研 数学

2026年河南省中招适应性考试第二次调研 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．请用蓝、黑色水笔或圆珠笔直接答在答题卡上． 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内． 1. 河南某地近几日的最低气温如下表所示，则气温最低的一天是（ ） 日期 周二 周三 周四 周五 最低温度 A. 周二 B. 周三 C. 周四 D. 周五 2. 将数据“1.5万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个几何体的两种视图，这个几何体是（ ） A. 圆锥 B. 三棱柱 C. 圆柱 D. 长方体 4. 如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时，且，若，则（ ） A. B. C. 53° D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 如图，是的直径，，则的度数是（ ） A. 10° B. C. 30° D. 40° 8. 2025年11月27日，国务院第73次常务会议通过了《全民阅读促进条例》．数学李老师响应国家号召，为班级推荐了以下四本数学读物，希望同学们从中任选一本作为本学期的数学课外阅读读物．小明和小红同时选择《从一到无穷大》的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 半径为4的扇形的圆弧和以为直径的半圆围成如图所示的阴影部分．已知，则阴影部分的面积为（ ） A. B. 8 C. D. 10. 在一次物理实验中，小华用一个固定电压的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电路中电流的大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）．已知串联电路中，电流与电阻间的关系为，通过实验得出如下数据： ．．． 1 3 4 6 ．．． ．．． 4 3 2.4 2 ．．． 结合函数图象，下列说法中不正确的是（ ） A. 固定电压的值为12 B. 是关于的反比例函数 C. 的值为的值为1.5 D. 随的增大而减小 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个一次函数，使它的函数图象经过点____________________ 12. 不等式组的解集为_______． 13. 观察代数式，，，，，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为________． 14. 如图，在中，，于，点为直角边的中点，过、作直线交的延长线于．若，，则的长度为_______． 15. 如图，将两个全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，顶点与边的中点重合，将绕点旋转，在旋转过程中，所在直线与的直角边交于点．当两个三角形纸片重叠所形成的三角形与相似时，的长度为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 按要求解答下列问题： （1）计算：； （2）化简：． 17. 《全民阅读促进条例》（以下简称《条例》）于2026年2月1日起施行．郑州市高新区某社区为改善市民阅读环境，准备购置图书自助借阅机，在预算范围内，收集了传统自助借阅机、AI自助借阅机2025年7月至12月期间的月销售量和网友对借阅机的外观造型、借阅速度、便捷借书、售后服务四项评分数据，并整理、描述、分析如下： 传统自助借阅机、AI自助借阅机网友评分数据统计表 传统自助借阅机 AI自助借阅机 外观造型 72 73 借阅速度 75 72 便捷借书 69 74 售后服务 68 67 2025年7月至12月传统自助借阅机与AI自助借阅机月销售量统计图 （1）AI自助借阅机在2025年7月至12月期间月销售量的中位数为 台． （2）若将借阅机的外观造型、借阅速度、便捷借书、售后服务四项评分数据按1：3：3：3的比例统计，分别求出传统自助借阅机和AI自助借阅机四项评分数据的平均分． （3）结合（2）传统自助借阅机和AI自助借阅机四项评分数据的平均分和图象信息，以此为依据建议社区购买哪种自助借阅机？说说你的理由． 18. 如图，为锐角三角形． （1）用无刻度的直尺和圆规作菱形，使为菱形的一个内角，点D、E、F分别在边上． （2）证明作法的正确性． 19. 小军将两个含有角的全等三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，已知三角板的顶点恰好在反比例函数的图象上，三角板的顶点在轴上，且点的坐标为． （1）求反比例函数的表达式和线段所在直线的表达式． （2）根据图象直接写出的解集． （3）把沿轴向右平移个单位长度，对应得到，当反比例函数的图象经过一边的中点时，求的值． 20. 冰糖葫芦是我国传统小吃，它种类丰富，常见的有经典的山楂款和创新的水果款．某班级为了筹备新年晚会，准备购买一些冰糖葫芦．已知买3串山楂款冰糖葫芦和2串水果款冰糖葫芦共需要27元，买5串山楂款冰糖葫芦和4串水果款冰糖葫芦共需要49元． （1）求山楂款冰糖葫芦和水果款冰糖葫芦的单价． （2）该班级计划购买山楂款和水果款冰糖葫芦共50串，且山楂款冰糖葫芦的数量不超过水果款冰糖葫芦数量的，求该班级最少需要花费多少元． 21. 如图，左、右并排有两棵大树，左低右高且底部相距为米．小华眼睛距水平地面米．当她走到处时，眼睛在处，发现此时刚好能看到低树的顶端，此时．当她到达处时，眼睛在处，刚好看不到高树的树顶，即、、在同一直线上，且，此时小华距离低树米，点、、、在同一条水平直线上，图中字母均在同一平面内，请你求出两棵树的高度，并求出小华从处至少前进多少米时，就看不到右边高树的顶端了.（，，，结果保留一位小数） 22. 在二次函数中，与的几组对应值如下所示． （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系（如图）中画出二次函数的图象． （3）当二次函数的自变量满足时，此函数的最大值为，最小值为，且，请直接写出的值． 23. 【综合与实践】折纸是一种以纸张折叠成各种形状的艺术活动，与数学之间存在深刻而广泛的联系．数学兴趣小组成员以“纸片的折叠”为主题开展数学活动． （1）【操作发现】如图1，长为，宽为的矩形纸片，将其上下对折，使得边和边重合，展开后得到折痕，称为“矩形的二等分线”，将矩形纸片的折叠，折痕过点，且的对应点落在矩形的二等分线上，折痕交于点，连接，，，则的面积为___________． （2）【迁移探究】如图2，长为，宽为的矩形纸片，点、、、分别是矩形纸片边和的三等分点，沿线段、折叠，得到折痕和，和称为“矩形的三等分线”，将矩形纸片的折叠，折痕过点，且的对应点落在矩形的三等分线上，折痕交于点，连接，，，求的面积． （3）【拓展应用】如图3，四边形是边长为的菱形，且，边和的三等分点分别是、、、，沿线段、折叠，得到折痕和，和称为“菱形的三等分线”，连接对角线，与菱形的三等分线交于点，折叠菱形的，使得点与点重合，折痕为，连接，，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南省中招适应性考试第二次调研 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．请用蓝、黑色水笔或圆珠笔直接答在答题卡上． 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内． 1. 河南某地近几日的最低气温如下表所示，则气温最低的一天是（ ） 日期 周二 周三 周四 周五 最低温度 A. 周二 B. 周三 C. 周四 D. 周五 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数大小比较规则找出最小的气温，对应得到日期即可． 【详解】解：∵ 四天的最低气温分别为 ，，，， 根据有理数大小比较规则：负数小于0，两个负数比较大小，绝对值大的数更小， 可得 ，，，， ∴ ， ∴ 最低气温为，对应日期为周五． 2. 将数据“1.5万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将1.5万亿化为1500000000000，再表示成科学记数法的形式，即科学记数法要求形式为，其中，n为正整数． 【详解】解：1.5万亿． 3. 如图是一个几何体的两种视图，这个几何体是（ ） A. 圆锥 B. 三棱柱 C. 圆柱 D. 长方体 【答案】B 【解析】 【分析】从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图． 【详解】解：三棱柱：若底面为三角形且正对观察方向，则主视图为三角形；俯视图为矩形（对应侧面投影），中间竖线表示棱柱的一条侧棱 ， 故B符合题意． 4. 如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时，且，若，则（ ） A. B. C. 53° D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，结合求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】需运用整式运算，幂的运算与二次根式加减的对应运算法则逐一验证选项． 【详解】解：选项A：，本选项运算错误； 选项B：，本选项运算错误； 选项C：，本选项运算正确； 选项D：，本选项运算错误． 6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先求出一元二次方程根的判别式的值，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程 ， ，，， ． ， ， 即， 方程有两个不相等的实数根． 7. 如图，是的直径，，则的度数是（ ） A. 10° B. C. 30° D. 40° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和，等弧对等角，直径对的角是直角，熟练掌握相关知识是解题的关键；先求出，再根据等弧对等角即可解答． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． 8. 2025年11月27日，国务院第73次常务会议通过了《全民阅读促进条例》．数学李老师响应国家号召，为班级推荐了以下四本数学读物，希望同学们从中任选一本作为本学期的数学课外阅读读物．小明和小红同时选择《从一到无穷大》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到同时选择《从一到无穷大》的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：用A、B、C、D分别表示《数学传奇》、《神奇的数学》、《啊哈，灵机一动》、《从一到无穷大》，列表如下： 由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中同时选择《从一到无穷大》的结果数有1种， ∴小明和小红同时选择《从一到无穷大》的概率为． 9. 半径为4的扇形的圆弧和以为直径的半圆围成如图所示的阴影部分．已知，则阴影部分的面积为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出中间空白部分（弓形）的面积，再用以为直径的半圆面积减去中间空白部分的面积即可． 【详解】解：，且， ， ， 中间空白部分的面积为 又， 以为直径的半圆面积为， 阴影部分的面积为． 10. 在一次物理实验中，小华用一个固定电压的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电路中电流的大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）．已知串联电路中，电流与电阻间的关系为，通过实验得出如下数据： ．．． 1 3 4 6 ．．． ．．． 4 3 2.4 2 ．．． 结合函数图象，下列说法中不正确的是（ ） A. 固定电压的值为12 B. 是关于的反比例函数 C. 的值为的值为1.5 D. 随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】先由待定系数法求解关于的函数解析式，即可判断A，B；再由函数解析式结合表格判断C；最后由函数图象即可判断D． 【详解】解：由题意得，， 当，时，， ∴关于的函数解析式为，但不是反比例函数，故A正确，B不正确； 当时，，解得；当时，，故C正确； 由函数图象可得，随的增大而减小，故D正确． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个一次函数，使它的函数图象经过点____________________ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设，该函数关系式为，再将坐标代入关系式得出答案． 【详解】设，该函数关系式为， 因为该函数经过点， 所以， 解得， 所以一次函数关系式为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 不等式组的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，再根据一元一次不等式组解集的确定方法得到最终解集． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为． 13. 观察代数式，，，，，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为________． 【答案】 【解析】 【分析】分别探究分子和分母随序号的变化规律，归纳总结即可得到第个式子的表达式． 【详解】将已知式子按顺序从1开始编号： 当时，第1个式子为， 当时，第2个式子为， 当时，第3个式子为， 当时，第4个式子为， ... 依此类推，可得第个式子为． 14. 如图，在中，，于，点为直角边的中点，过、作直线交的延长线于．若，，则的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，先在中求出，再通过相似三角形求出，再证明，可得，则，在中，可得，再证明，即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， ，，， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ，即， 解得， ， 为中点， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，将两个全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，顶点与边的中点重合，将绕点旋转，在旋转过程中，所在直线与的直角边交于点．当两个三角形纸片重叠所形成的三角形与相似时，的长度为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】分3种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：①当时，此时点在线段上，如图， 重叠部分为，此时， ∴， ∵为的中点， ∴； ②当点与点重合时，如图，此时点与点重合， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ③当时，如图，作， 此时，，， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，； 综上：或或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 按要求解答下列问题： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： 17. 《全民阅读促进条例》（以下简称《条例》）于2026年2月1日起施行．郑州市高新区某社区为改善市民阅读环境，准备购置图书自助借阅机，在预算范围内，收集了传统自助借阅机、AI自助借阅机2025年7月至12月期间的月销售量和网友对借阅机的外观造型、借阅速度、便捷借书、售后服务四项评分数据，并整理、描述、分析如下： 传统自助借阅机、AI自助借阅机网友评分数据统计表 传统自助借阅机 AI自助借阅机 外观造型 72 73 借阅速度 75 72 便捷借书 69 74 售后服务 68 67 2025年7月至12月传统自助借阅机与AI自助借阅机月销售量统计图 （1）AI自助借阅机在2025年7月至12月期间月销售量的中位数为 台． （2）若将借阅机的外观造型、借阅速度、便捷借书、售后服务四项评分数据按1：3：3：3的比例统计，分别求出传统自助借阅机和AI自助借阅机四项评分数据的平均分． （3）结合（2）传统自助借阅机和AI自助借阅机四项评分数据的平均分和图象信息，以此为依据建议社区购买哪种自助借阅机？说说你的理由． 【答案】（1）133 （2）传统自助借阅机的平均分为分，AI自助借阅机四项评分数据的平均分为分； （3） 解：选择AI自助借阅机．由（2）可得AI自助借阅机评分的平均分大于传统自助借阅机评分的平均分，且通过图象分析，AI自助借阅机销量整体呈上升趋势，12月份的销量超过传统自助借阅机的销量，因此选择AI自助借阅机． 【解析】 【分析】（1）将AI自助借阅机在2025年7月至12月期间月销售量由小到大排序，共6个数据，求最中间的两个数的平均数即可； （2）分别将传统和AI自助借阅机的各项评分乘以对应权重求和，再除以总权重，得到各自的平均分； （3）先对比问题（2）中两种借阅机的平均分，再结合折线统计图中月销售量的变化趋势，结合两方面信息阐述理由． 【小问1详解】 解：把AI自助借阅机在2025年7月至12月期间月销售量由小到大排序如下：100，105，131，135，140，165， 故中位数是． 【小问2详解】 解：传统自助借阅机平均分为：（分） AI自助借阅机平均分为：（分） 【小问3详解】 略 18. 如图，为锐角三角形． （1）用无刻度的直尺和圆规作菱形，使为菱形的一个内角，点D、E、F分别在边上． （2）证明作法的正确性． 【答案】（1） 由题意，作图如下： （2） 证明：平分， ． 是的垂直平分线， ， ， ， ． 同理． 四边形是平行四边形． 又， 平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）先作的角平分线，交于点，再作的中垂线，交于点，即可； （2）根据角平分线的定义，中垂线的性质，等边对等角，推出，，得到四边形是平行四边形，再根据，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 小军将两个含有角的全等三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，已知三角板的顶点恰好在反比例函数的图象上，三角板的顶点在轴上，且点的坐标为． （1）求反比例函数的表达式和线段所在直线的表达式． （2）根据图象直接写出的解集． （3）把沿轴向右平移个单位长度，对应得到，当反比例函数的图象经过一边的中点时，求的值． 【答案】（1）反比例函数的解析式为直线方程为 （2） （3）的值为4或6 【解析】 【分析】（1）先说明是等边三角形，结合点，可得，进而得出，再根据勾股定理得，可得点代入，可得反比例函数的解析式；然后将点代入得出答案即可； （2）结合直线与双曲线的交点，再根据双曲线在直线上方的部分对应的自变量得取值即为不等式的解集来解答； （3）分两种情况讨论：点是的中点，由（1）得可得，把代入，得．然后根据得出答案；点是的中点，作轴，由题意得，，再解直角三角形得，把代入，得，进而得出，最后根据得出答案． 【小问1详解】 解：， 是等边三角形， ． ， ， ． 在中，由勾股定理得． 把点代入，得． 反比例函数的解析式为； 直线过原点， ． 直线过点， 把点代入，得 ； 【小问2详解】 解：由图象得，当时，， ∴的解集是：； 【小问3详解】 解：分两种情况讨论： ①如图1，点是的中点，由（1）得 ， 把代入， 得． ． ②如图2，点是的中点，过点作轴于点． 由题意得，， 在Rt中，． 把代入， 得， ， 综上所述，的值为4或6． 20. 冰糖葫芦是我国传统小吃，它种类丰富，常见的有经典的山楂款和创新的水果款．某班级为了筹备新年晚会，准备购买一些冰糖葫芦．已知买3串山楂款冰糖葫芦和2串水果款冰糖葫芦共需要27元，买5串山楂款冰糖葫芦和4串水果款冰糖葫芦共需要49元． （1）求山楂款冰糖葫芦和水果款冰糖葫芦的单价． （2）该班级计划购买山楂款和水果款冰糖葫芦共50串，且山楂款冰糖葫芦的数量不超过水果款冰糖葫芦数量的，求该班级最少需要花费多少元． 【答案】（1）山楂款冰糖葫芦每串5元，水果款冰糖葫芦每串6元 （2）该班级至少需要花费280元 【解析】 【分析】（1）设山楂款冰糖葫芦每串元，水果款冰糖葫芦每串元，根据两次购买糖葫芦的费用列出方程组，求出解； （2）设买山楂款冰糖葫芦串，则水果款冰糖葫芦（）串，由题意得出不等式，求出解集，再列出总费用的一次函数，然后结合一次函数的性质讨论最值即可． 【小问1详解】 解：设山楂款冰糖葫芦每串元，水果款冰糖葫芦每串元．根据题意，得， 解得 答：山楂款冰糖葫芦每串5元，水果款冰糖葫芦每串6元； 【小问2详解】 解：设买山楂款冰糖葫芦串，则水果款冰糖葫芦（）串，由题意得， 解得． 设总花费为元，则 随的增大而减小， 当时，最小，（元）． 答：该班级至少需要花费280元． 21. 如图，左、右并排有两棵大树，左低右高且底部相距为米．小华眼睛距水平地面米．当她走到处时，眼睛在处，发现此时刚好能看到低树的顶端，此时．当她到达处时，眼睛在处，刚好看不到高树的树顶，即、、在同一直线上，且，此时小华距离低树米，点、、、在同一条水平直线上，图中字母均在同一平面内，请你求出两棵树的高度，并求出小华从处至少前进多少米时，就看不到右边高树的顶端了.（，，，结果保留一位小数） 【答案】低树高度约为米，高树高度约为米，小华至少前进米时，就看不到高树的顶端了 【解析】 【分析】先由、均垂直于地面直线得出，得到，再结合得出为等腰直角三角形，求出米，将和米代入相似比求出米，分别加上小华眼睛距地面的米得到低树高米、高树高米，接着在中利用求出米，最后用减去得到米，即小华从处至少前进米就看不到高树顶端了． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， 即， 解得， 在Rt中，， ∴， 即， 解得， 此时（米）， ，． 答：低树高度约为米，高树高度约为米，小华至少前进米时，就看不到高树的顶端了． 22. 在二次函数中，与的几组对应值如下所示． （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系（如图）中画出二次函数的图象． （3）当二次函数的自变量满足时，此函数的最大值为，最小值为，且，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2）顶点坐标为， 二次函数的图象如图所示： （3）的值或． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）先由，则二次函数的顶点坐标为，再通过画函数图象的方法即可画出函数图象； （）由二次函数，则对称轴为直线，然后分当时；当，即时；当，即时；当，即时，四种情况分析求解即可． 【小问1详解】 解：将和分别代入中，得 ，解得：， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为， 列表： 【小问3详解】解：由二次函数，则对称轴为直线， 当时，时，；时，， ∴， 解得（舍去）； 当，即时，时， ；当时，， ∴， 解得（舍去）； 当，即时，时，，当时，， ∴， 解得或（舍去）； 当，即时，时，；当时，， 则， 解得或（舍去）； 综上所述：的值或． 23. 【综合与实践】折纸是一种以纸张折叠成各种形状的艺术活动，与数学之间存在深刻而广泛的联系．数学兴趣小组成员以“纸片的折叠”为主题开展数学活动． （1）【操作发现】如图1，长为，宽为的矩形纸片，将其上下对折，使得边和边重合，展开后得到折痕，称为“矩形的二等分线”，将矩形纸片的折叠，折痕过点，且的对应点落在矩形的二等分线上，折痕交于点，连接，，，则的面积为___________． （2）【迁移探究】如图2，长为，宽为的矩形纸片，点、、、分别是矩形纸片边和的三等分点，沿线段、折叠，得到折痕和，和称为“矩形的三等分线”，将矩形纸片的折叠，折痕过点，且的对应点落在矩形的三等分线上，折痕交于点，连接，，，求的面积． （3）【拓展应用】如图3，四边形是边长为的菱形，且，边和的三等分点分别是、、、，沿线段、折叠，得到折痕和，和称为“菱形的三等分线”，连接对角线，与菱形的三等分线交于点，折叠菱形的，使得点与点重合，折痕为，连接，，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用折叠性质得，在中用勾股定理算出，再通过“一线三垂直”证明，用相似比求出，进而得到，最后以为底、为高，用三角形面积公式计算结果； （2）分两种情况讨论点的位置：①在上方三等分线上；②在下方三等分线上．每种情况均先利用勾股定理算出水平距离，再通过“一线三垂直”证三角形相似，求出，进而得到，最后以为底、到底边的垂直距离为高，计算面积； （3）先利用菱形性质判定为等边三角形，再分两种情况讨论点作为三等分点的位置：①靠近，②靠近，每种情况均通过折叠性质证，列方程求出，再用三角函数求出到底边的高，最后用三角形面积公式计算． 【小问1详解】 解：如图1，过点作的垂线，交于点，交于点， ∵， ∴， ，点是的中点， ， 根据题意可知，， 在中，， 则， ， ， ， ， ， ， ，，解得， ， ， 又， 的面积为． 【小问2详解】 解：①如图2，当点在上时，过点作的垂线，交于点，交于点，则于点，于点， ，点是的三等分点， ，， 在中，，， 由勾股定理得， ，， ， 又， ， ， ， 解得，， ， ， ， 的面积为． ②如图3，当点在上时，过点作的垂线，交于点，交于点，则于点，于点， ，点是的三等分点， ，， 在中，，， 由勾股定理得， ，， ， 又， ， ， ， 解得， ， ， 又， 的面积为， 综上所述，的面积为或． 【小问3详解】 解：在菱形中，，设为，则， ， , ∴为等边三角形， ∴， 由折叠知， ， ， ， ， ， ， 如图4，∵点E是的三等分点， ∴， ∵， ∴， ，， ∵， ∴， ， 则，， ，则， 得，解得， 过点作于点， ， ， 如图5， ∵点I是的三等分点， ∴， ∵， ∴， ，，， ， ，， ，则， 得，解得， 过点作于点， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $