精品解析：山西阳泉市盂县第二中学校等校2025—2026学年度第二学期期中质量监测卷 八年级数学

2025—2026学年度第二学期期中质量监测试卷 八年级数学 （注意事项：满分120分，答题时间120分钟，答案写在答题卡上．） 亲爱的同学，考试即将开始．请你放松心态，诚信应考，认真阅读题目，规范书写答案．愿你沉着应战，发挥最佳水平，在检验中收获成长，在努力中遇见更好的自己． 第一部分（选择题 共30分） 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件：1 被开方数不含分母；2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． B、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． D、是最简二次根式． 2. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ） A. 1，2， B. 1，2， C. 6，7，8 D. 3，4，5 【答案】C 【解析】 【分析】验证三边长是否满足两短边的平方和等于最长边的平方，即可得出结论． 【详解】解：A ．∵，，∴，能构成直角三角形，不符合题意； B ．∵，，∴，能构成直角三角形，不符合题意； C ．∵，，，∴，不能构成直角三角形，符合题意； D ．∵，，∴，能构成直角三角形，不符合题意． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则进行判断便可． 【详解】解：A、不是同类二次根式不能合并，选项错误； B、不是同类二次根式不能合并，选项错误； C、，选项正确； D、，选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟记法则是解题的关键． 4. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知，，，则的周长为　　 A. 13 B. 17 C. 20 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出，，，即可求出的周长． 【详解】四边形ABCD是平行四边形， ，，， 的周长． 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，并利用性质解题平行四边形基本性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分． 5. 要使代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，计算即可得出结果． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：． 6. 如图，在数轴上点A表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴与无理数的几何意义，解题的关键是利用勾股定理计算出线段长度，结合数轴确定点表示的实数． 【详解】解：由图可知，直角三角形的两条直角边长分别为和； 由勾股定理得，斜边长为； 数轴上点在原点右侧，且到原点的距离为， 则点表示的实数为； 故选：A． 7. 一个正多边形的每一个内角都等于，则这个正多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据正多边形的内角公式进行求解即可． 【详解】解：令该正多边形为边形， 由正多边形内角公式得， 解得， 故该正多边形的边数为． 8. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥DC于点E，连接OE，若BD＝6，OE的长为，则菱形的周长为（　　） A. 12 B. 16 C. 4 D. 24 【答案】B 【解析】 【详解】先根据菱形的性质得到BD⊥AC，OD＝OB＝BD＝3，OA＝OC，再根据斜边上的中线性质得到OA＝OC＝OE＝，则利用勾股定理可计算出CD＝4，然后根据菱形的性质计算菱形的周长． 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴BD⊥AC，OD＝OB＝BD＝3，OA＝OC， ∵AE⊥DC， ∴∠AEC＝90°， 而OA＝OC， ∴OA＝OC＝OE＝， 在Rt△OCD中，CD＝＝＝4， ∴菱形的周长为4×4＝16． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组内角；直角三角形斜边上中线等于斜边一半及勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 9. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和，熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵正六边形与正方形的两邻边相交， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，由勾股定理得再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为， 故选：A． 第二部分（非选择题 共90分） 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小：_________（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】通过比较平方的大小来判断平方根的大小，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴； 故答案为：． 12. 若代数式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据被开方数为非负数，以及分式的分母不为0，进行求解即可. 【详解】解：由题意，且， 解得且. 13. 如图，长方体的长为，宽为，高为．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点，蚂蚁爬行的最短路程是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为，斜边为，那么． 分两种情况画出图形，求出最短路径长度，然后再进行比较即可． 【详解】解：如图1，由勾股定理得：． 如图2，由勾股定理得：． 因为， 故蚂蚁爬行的最短路线为， 故答案为：． 14. 如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的周长，过点作于，于，由题意易得四边形是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得，即可得到四边形是菱形，再解可得，即可求解，得出四边形是菱形是解题的关键． 【详解】解：过点作于，于，则， ∵两张纸条的对边平行， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵两张纸条的宽度相等， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，，， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 15. 小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平．第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点，则线段的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质推出，进而得出，设，则，根据勾股定理可得：，列出方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得：，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， 即． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除运算法则和二次根式的化简进行计算，再进行加减计算． （2）先利用平方差和完全平方公式计算，再进行加减运算． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 已知，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．原式提公因式，再利用，，求代数式的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 18. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、； （3）如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求的度数． 【答案】（1）如图1即为所求； （2）如图2即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的定义画出图形即可； （2）利用数形结合的思想画出图形即可． （3）对图形进行点标注，连接，如图，由勾股定理可得，，由此可得是等腰直角三角形，继而得到结果． 【小问1详解】 解：如图1的正方形的边长是，面积是10； 【小问2详解】 如图2的三角形的边长分别为2，，； 【小问3详解】 如图3，连接， ，， ， ， 是等腰直角三角形， 即． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19. 如图，在中，对角线与相交于点，． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质与判定； （1）根据已知条件得出，即可证明平行四边形是菱形，根据菱形的性质，即可得证； （2）在中，勾股定理求得，进而根据菱形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，是菱形，， ， ， 在中，， ， ， ， ． 20. 图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状． （1）小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程； （2）当，时，求图2中空白部分的面积． 【答案】（1） 证明：图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积， 即， 也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积， 即， ∴，即． （2）13 【解析】 【分析】（1）根据图形可得，图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积；也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积；两种表示方法面积相等，即可求证； （2）根据图形可得空白部分面积等于以c为边的正方形的面积-两个直角三角形的面积，将，代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，， 由图可知，空白部分面积=以c为边的正方形的面积-两个直角三角形的面积， 即：空白部分面积为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键是根据图形，得出图形面积的两种不同表示方法． 21. 阅读与思考 下面是勤学小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“垂中四边形”的研究报告 研究对象：垂中四边形． 研究思路：类比特殊平行四边形的性质进行研究． 定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂中四边形． 例如，如图1，在四边形中，，则四边形叫做垂中四边形． 性质探究： 性质1：． 证明：如图5，记与交于点O， 则，． ∵，， ∴． 性质2： ． 证明：如图2，在中，． 任务： （1）根据垂中四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是垂中四边形的是______（从下列选项中选出两个）． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2）请你补全性质2的证明过程． （3）如图，已知，请你在图中作一个垂中四边形，且对角线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）C，D （2） 证明：在中， 在中，． 在中，． 在中，． ∴，． ∴． （3） 如图所示，四边形即为所求． 【解析】 【分析】题目主要考查菱形及正方的性质，勾股定理解三角形，作垂线及线段，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据菱形和正方形的性质即可得出结果； （2）结合图形，利用勾股定理即可证明； （3）利用垂线的作法及作一条线段等于已知线段即可． 【小问1详解】 解：因为菱形和正方形的对角线互相垂直，所以菱形和正方形一定是垂中四边形， 故选：C、D； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略． 22. 森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点， 且点 C与直线 AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m 以内可以受到洒水影响． （1）着火点C受洒水影响吗？为什么？ （2）若飞机的速度为10 m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 【答案】（1）着火点C受洒水影响， 理由如下， 如图，过点作，垂足为， ， 是直角三角形 着火点C受洒水影响 （2）如图，以点为圆心，500m为半径作圆，交于点 则 在中， 着火点C能被扑灭． 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与500进行比较即可求得答案； （2）以点为圆心，500m为半径作圆，交于点，勾股定理求得，进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题． 【详解】略 【点睛】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键． 23. 在正方形中，是边上一点（点不与点、重合），连接． 【感知】如图①，过点作交于点．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，取的中点，过点作交于点，交于点． （1）求证：． （2）连接，若，则的长为 ． （3）如图③，取的中点，连接．过点作交于点，连接、．若，则四边形的面积为 ． 【答案】（1）证明：过点作交于点． 由【感知】同理可得， ∴， ∵， ∴， ∵正方形中，，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作交于点，由【感知】同理可得，得到，再证明四边形是平行四边形，得到，即可得到； （2）由直角三角形斜边中线得到，由（1）得； （3）由直角三角形斜边中线得到，，由【感知】同理可得，则，如图，与交于点，最后根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵正方形， ∴， ∵的中点，， ∴， 由（1）得， ∴； 【小问3详解】 解：∵正方形， ∴， ∵的中点，， ∴，， ∵， 由【感知】同理可得， ∴， 如图，与交于点， ∵， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中质量监测试卷 八年级数学 （注意事项：满分120分，答题时间120分钟，答案写在答题卡上．） 亲爱的同学，考试即将开始．请你放松心态，诚信应考，认真阅读题目，规范书写答案．愿你沉着应战，发挥最佳水平，在检验中收获成长，在努力中遇见更好的自己． 第一部分（选择题 共30分） 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（   ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ） A. 1，2， B. 1，2， C. 6，7，8 D. 3，4，5 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知，，，则的周长为　　 A. 13 B. 17 C. 20 D. 26 5. 要使代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在数轴上点A表示的实数是（ ） A. B. C. D. 7. 一个正多边形的每一个内角都等于，则这个正多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥DC于点E，连接OE，若BD＝6，OE的长为，则菱形的周长为（　　） A. 12 B. 16 C. 4 D. 24 9. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 第二部分（非选择题 共90分） 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小：_________（填“”“ ”或“”）． 12. 若代数式有意义，则x的取值范围是________． 13. 如图，长方体的长为，宽为，高为．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点，蚂蚁爬行的最短路程是______． 14. 如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为______． 15. 小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平．第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点，则线段的长为___________． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知，，求代数式的值． 18. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、； （3）如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求的度数． 19. 如图，在中，对角线与相交于点，． （1）求证：； （2）若，求的面积． 20. 图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状． （1）小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程； （2）当，时，求图2中空白部分的面积． 21. 阅读与思考 下面是勤学小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“垂中四边形”的研究报告 研究对象：垂中四边形． 研究思路：类比特殊平行四边形的性质进行研究． 定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂中四边形． 例如，如图1，在四边形中，，则四边形叫做垂中四边形． 性质探究： 性质1：． 证明：如图5，记与交于点O， 则，． ∵，， ∴． 性质2： ． 证明：如图2，在中，． 任务： （1）根据垂中四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是垂中四边形的是______（从下列选项中选出两个）． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2）请你补全性质2的证明过程． （3）如图，已知，请你在图中作一个垂中四边形，且对角线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 22. 森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点， 且点 C与直线 AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m 以内可以受到洒水影响． （1）着火点C受洒水影响吗？为什么？ （2）若飞机的速度为10 m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 23. 在正方形中，是边上一点（点不与点、重合），连接． 【感知】如图①，过点作交于点．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，取的中点，过点作交于点，交于点． （1）求证：． （2）连接，若，则的长为 ． （3）如图③，取的中点，连接．过点作交于点，连接、．若，则四边形的面积为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $