精品解析：山西省阳泉市盂县多校联考2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

**基本信息** 这份八年级数学期中试卷融合赵爽弦图文化素材、交通安全检测生活情境及新定义运算等创新考法，通过基础巩固与能力提升的梯度设计，考查学生数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式意义、直角三角形判定、平行四边形性质|第6题结合面积考查勾股定理应用，体现几何直观| |填空题|5/15|最简二次根式、菱形判定、新定义运算|第14题赵爽弦图面积关系，渗透文化传承与数学思维| |解答题|8/75|二次根式计算、平行四边形证明、等面积法、实际应用|20题交通安全检测用勾股定理解决实际问题培养应用意识，21题等面积法任务驱动发展推理能力，23题垂直四边形新定义探究提升创新意识|

2024—2025学年度第二学期期中学情分析试题（卷） 八年级数学 （全卷共三大题，共5 页，满分 120 分，考试时间 120分钟） 第Ⅰ卷（选择题 共 30 分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，能使有意义的是（ ） A. 6 B. 0 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意可得，解不等式即可求解． 【详解】解：∵有意义 ∴， ∴，只有A选项正确， 故选：A． 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，熟练掌握这个逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理：，将各个选项逐一代数计算即可得出答案． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴1，1，能构成直角三角形，故本选项符合题意； C、∵， ∴6，8，11不能构成直角三角形，故本选项符合题意； D、∵， ∴5，12，23不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 使成立的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件可得，再解一元一次不等式组即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， 解得：． 故选：C． 4. 下列命题是假命题的是（ ） A. 平行四边形的对边相等 B. 四条边都相等的四边形是菱形 C. 矩形的两条对角线互相垂直 D. 正方形的对角线垂直平分且相等 【答案】C 【解析】 【分析】． 【详解】解：A、平行四边形的对边相等，是真命题，选项说法正确，不符合题意； B、四条边都相等的四边形是菱形，是真命题，选项说法正确，不符合题意； C、矩形的对角线不垂直，是假命题，选项说法错误，符合题意； D、正方形的对角线垂直平分且相等，是真命题，选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 5. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可逐一判断． 【详解】解：A、3和不能合并，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握基本的运算法则． 6. 如图，两个大正方形的面积分别为和，则小正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握以直角三角形的三边为边长的图形面积计算方法是解题的关键．利用两个大正方形的面积分别为和，得出，，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图， ∵两个大正方形的面积分别为和， ∴，， ∵， ∴， ∴小正方形的面积为， 故选：D． 7. 已知的三边分别为，且，则的面积为（ ） A. 9 B. C. D. 无法计算 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，算术平方根，平方，绝对值的非负性， 根据算术平方根，平方，绝对值的非负性求出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理判定直角三角形，求出面积即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得． ∵， ∴是直角三角形， ∴． 故选：B． 8. 如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法即可求解． 【详解】解：、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可判断，可以判定，符合题意； 、，邻边相等的四边形不一定是平行四边形，不可以判定，不符合题意； 、三边相等的四边形不一定是平行四边形，不可以判定，不符合题意； 、一次邻边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，不可以判定，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 9. 如图，在平行四边形中，，，分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点F，交于点E，则的周长是（ ） A. 7 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图（垂直平分线）和平行四边形性质，要熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角，作已知线段的垂直平分线，作已知角的角平分线，过一点作已知直线的垂线）的方法．利用垂直平分线的作法得垂直平分，则，利用等线段代换得到的周长，然后根据平行四边形的性质可确定周长的值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵由作法可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的周长． 故选B． 10. 已知长方形中，，，是边上一点，将长方形沿直线折叠，使点恰好落在对角线上，则的长为（ ） A. 5 B. 13 C. D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理，得到，，，继而得到，设，则，利用勾股定理解答即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握勾股定理，矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：矩形中，，， ∴，，， ∴， 根据折叠的性质，得，，， ∴， 设，则， ∴ 解得． ∴， 故选：C． 第Ⅱ卷﹙非选择题 共90 分﹚ 二、填空题：(本大题共 5 小题，每小题3 分，共 15 分)． 11. 与最简二次根式能合并，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 能合并就是同类二次根式，都化成最简二次根式后被开方数相同，据此求解即可． 【详解】解：， 与最简二次根式能合并， ， 解得： ， 故答案为： ． 12. 如图所示，四边形的对角线，互相平分，若要添加一个适当的条件使它成为菱形，则这个条件可以是_______________(只填一个即可)． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定求解即可． 【详解】解：∵四边形的对角线，互相平分， ∴当时，四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，实数新定义计算，熟练理解定义是解题的关键． 根据定义进行计算，即可作答． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的的面积分别为．若，则的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键掌握勾股定理． 根据面积加减关系求解减即可得到答案； 【详解】解：设这八个全等的直角三角形的面积都是， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 15. 如图所示，正方形的边长为，是上一点，且，是对角线上一动点，则的最小值是______． 【答案】##厘米 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形的三边关系，勾股定理，连接，交于点，连接，由正方形的性质可得关于对称，得到，进而得到，即得点和点重合时，最小，最小值等于的长，利用勾股定理求出的长即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接，交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴关于对称， ∴， ∴， 即点和点重合时，最小，最小值等于的长， ∵正方形的边长为， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题 8 小题，共 75 分） 16. 计算： （1）； （2） ． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算： （1）先把各二次根式化简，然后再进行合并即可； （2）原式根据二次根式的除法以及完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 在四边形中，，点为的中点，，下面是两位同学的对话．请你选择一位同学的说法，并进行证明． 小星：由题目的已知条件，若连接，则 小红：由题目的已知条件，求证：四边形为平行四边形 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，是解题的关键：选择小红的说法，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证；选择小星，中点结合，得到，进而得到四边形为平行四边形，即可得证． 【详解】证明：选择小红的说法，证明如下： ，， 四边形是平行四边形；- 选择小星的说法，证明如下： 连接， 点E为的中点，， ， ， 四边形为平行四边形， ． 18. 请按以下要求，画出一个格点多边形（要标注其它两个顶点字母）。 （1）在图甲中，画一个以为一边且面积为的格点平行四边形； （2）在图乙中，画一个以为一边的格点矩形． 【答案】（1） 解：如图，四边形为所求 （2） 如图，矩形为所求． 【解析】 【分析】本题考查网格−应用与设计，勾股定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识， （1）利用平行四边形及网格的特点即可解决问题； （2）根据网格的特点构造直角即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知：如图，平行四边形中，M、N 分别为和 的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当的边满足时，平行四边形是菱形吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质结合线段中点的定义证明即可； （2）根据直角三角形斜边中线的性质可得，再根据菱形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵M，N分别为和的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 四边形是菱形， ∵， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定以及直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 20. 学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是超速．如图，某校门前一条直线公路建成通车，在该路段限速，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观点C测得一小车从点A到达点B行驶了．若测得，，．此车超速了吗？请说明理由．（，） 【答案】没有超速，见解析 【解析】 【分析】本题考查了30度的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点C作于点H．结合，得，即，运用勾股定理列式得，再证明是等腰直角三角形，然后算出的长度，以及小车平均速度，再进行比较，即可作答． 【详解】解：没有超速，理由如下： 过点C作于点H． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴小车平均速度， ∵ ∴ ∴， ∴此车没有超速． 21. 【创新考法】阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记(部分)，请仔细阅读并完成相应任务 等面积法在解题中的应用 等面积法是初中几何中的重要解题方法，它一般是利用等面积把几何问题中的线段 关系或量与量之间的关系转化为面积关系来解决问题的一种方法，这种方法可以把问题 简捷化，提高学习效率.下面是我利用等面积法证明勾股定理的例子． 例：如图1，，点E在线段上，，记，，．求证：． 证明：连接，过点D作边上的高，则． 任务： （1）如图2，点O是内角平分线的交点，作，垂足为点D．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．，的周长为，则的面积为_______． （2）将两个全等的直角三角形按图3所示摆放，其中，参照阅读材料中例题的证明方法，求证：． （3）如图4，在菱形中，对角线交于点O，E是上一点，且．若，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】（1）图见解析， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，勾股定理的证明，角平分线的性质，矩形的判定与性质，菱形的性质，熟练掌握这些性质与判定，并掌握面积转换是解题的关键． （1）根据尺规作垂线的方法作，连接，利用角平分线的性质和分割法求三角形的面积即可； （2）延长交延长线于点，过点作于点，连接，，利用，，即可解决； （3）根据菱形的性质，求出的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 连接， ∵点O是内角平分线的交点，， ∴点到三边的距离相等均为的长， ∵，的周长为， ∴ ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，延长交延长线于点，过点作延长线于点，连接，， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，， ∴， ， ， ． ； 【小问3详解】 解：∵菱形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 22. 观察下面的变形规律： ， ， ， … 解答下面的问题： （1）计算： ； （2）若n为正整数，请你猜想 ； （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）根据平方差公式即二次根式混合运算法则计算即可求解； （2）根据平方差公式即二次根式混合运算法则计算即可求解； （3）根据平方差公式即二次根式混合运算法则计算即可求解； 【小问1详解】 解：； 故答案为： 【小问2详解】 解：； 故答案为： 【小问3详解】 解： 23. 我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形． （1）如图1，在四边形中，，，问四边形垂直四边形吗？请说明理由； （2）如图2，四边形是垂直四边形，求证：； （3）如图3，中，，分别以、为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求长． 【答案】（1）四边形是垂直四边形，见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得出直线是线段的垂直平分线，再结合垂直四边形的定义判断即可得解； （2）设、交于点E，由勾股定理得出，，即可得证； （3）连接、，由正方形的性质可得，，，，，证明，得出，证明四边形是垂直四边形，由（2）得，，求出，代入计算即可得解． 【小问1详解】 解：四边形是垂直四边形；理由如下： ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，即四边形是垂直四边形； 【小问2详解】 证明：设、交于点E，如图2所示： ∵， ∴， 由勾股定理得：，， ∴； 【小问3详解】 解：连接、，如图3所示： ∵正方形和正方形， ∴，，，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴四边形是垂直四边形，由（2）得，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期中学情分析试题（卷） 八年级数学 （全卷共三大题，共5 页，满分 120 分，考试时间 120分钟） 第Ⅰ卷（选择题 共 30 分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，能使有意义的是（ ） A. 6 B. 0 C. 3 D. 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 3. 使成立的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题是假命题的是（ ） A. 平行四边形的对边相等 B. 四条边都相等的四边形是菱形 C. 矩形的两条对角线互相垂直 D. 正方形的对角线垂直平分且相等 5. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，两个大正方形的面积分别为和，则小正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的三边分别为，且，则的面积为（ ） A. 9 B. C. D. 无法计算 8. 如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，，，分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点F，交于点E，则的周长是（ ） A. 7 B. 10 C. 11 D. 12 10. 已知长方形中，，，是边上一点，将长方形沿直线折叠，使点恰好落在对角线上，则的长为（ ） A. 5 B. 13 C. D. 15 第Ⅱ卷﹙非选择题 共90 分﹚ 二、填空题：(本大题共 5 小题，每小题3 分，共 15 分)． 11. 与最简二次根式能合并，则________． 12. 如图所示，四边形的对角线，互相平分，若要添加一个适当的条件使它成为菱形，则这个条件可以是_______________(只填一个即可)． 13. 对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么______． 14. 我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的的面积分别为．若，则的值为______． 15. 如图所示，正方形的边长为，是上一点，且，是对角线上一动点，则的最小值是______． 三、解答题（本大题 8 小题，共 75 分） 16. 计算： （1）； （2） ． 17. 在四边形中，，点为的中点，，下面是两位同学的对话．请你选择一位同学的说法，并进行证明． 小星：由题目的已知条件，若连接，则 小红：由题目的已知条件，求证：四边形为平行四边形 18. 请按以下要求，画出一个格点多边形（要标注其它两个顶点字母）。 （1）在图甲中，画一个以为一边且面积为的格点平行四边形； （2）在图乙中，画一个以为一边的格点矩形． 19. 已知：如图，平行四边形中，M、N 分别为和 的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当的边满足时，平行四边形是菱形吗？请说明理由． 20. 学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是超速．如图，某校门前一条直线公路建成通车，在该路段限速，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观点C测得一小车从点A到达点B行驶了．若测得，，．此车超速了吗？请说明理由．（，） 21. 【创新考法】阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记(部分)，请仔细阅读并完成相应任务 等面积法在解题中的应用 等面积法是初中几何中的重要解题方法，它一般是利用等面积把几何问题中的线段 关系或量与量之间的关系转化为面积关系来解决问题的一种方法，这种方法可以把问题 简捷化，提高学习效率.下面是我利用等面积法证明勾股定理的例子． 例：如图1，，点E在线段上，，记，，．求证：． 证明：连接，过点D作边上的高，则． 任务： （1）如图2，点O是内角平分线的交点，作，垂足为点D．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．，的周长为，则的面积为_______． （2）将两个全等的直角三角形按图3所示摆放，其中，参照阅读材料中例题的证明方法，求证：． （3）如图4，在菱形中，对角线交于点O，E是上一点，且．若，则图中阴影部分的面积为_______． 22. 观察下面的变形规律： ， ， ， … 解答下面的问题： （1）计算： ； （2）若n为正整数，请你猜想 ； （3）计算：． 23. 我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形． （1）如图1，在四边形中，，，问四边形垂直四边形吗？请说明理由； （2）如图2，四边形是垂直四边形，求证：； （3）如图3，中，，分别以、为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $