精品解析：新疆喀什地区英吉沙县实验中学等校2025-2026学年第二学期学科素养大赛高二数学测试卷

2025-2026学年第二学期学科素养大赛 高二数学 测试卷 （满分: 150分； 考试时间: 120分钟） 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷 （选择题 ） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列数公式可得出关于的二次方程，进而可解得正整数的值. 【详解】由排列数公式可得，即， ，解得. 故选：D. 【点睛】本题考查排列数方程的求解，考查排列数公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 2. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】， ， 当时，， 解得． 3. 将名世博会志愿者全部分配给个不同的地方服务，不同的分配方案有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】每名志愿者有种选择，利用分步乘法计数原理可得出分配方案的种数. 【详解】由题意可知，每名志愿者有种选择，将名世博会志愿者全部分配给个不同的地方服务，不同的分配方案种数为种. 故选：D. 【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题. 4. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数得出切线斜率，再结合直线垂直得出斜率关系列式求参. 【详解】因为曲线，所以 所以在点处的切线斜率为， 直线的斜率为，又因为两直线垂直，所以，所以. 故选：B. 5. 的展开式中，的系数为（ ） A. 12 B. 26 C. 30 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】由题意依次求出中，项的系数，求和即可 【详解】本题考查二项式定理．因为，所以的系数为26． 故选B. 6. 已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（ ） A. 在上为增函数 B. 的最小值为 C. 的极大值为，极小值为 D. 的极小值点为0，极大值点为1 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象先判断的单调性，然后逐项判断即可. 【详解】由图像可知，当时，，所以. 所以，所以在上为减函数，A错误； 当时，，所以. 所以，所以在上为增函数， 当时，，所以. 所以，所以在上为减函数，所以的最小值为或，B错误； 因为在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数， 所以的极大值为，极小值为，极大值点为1，极小值点为0，所以C错误D正确； 故选：D. 7. 如图，一个地区分为5个不同的行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法种数是（ ） A. 20 B. 24 C. 48 D. 72 【答案】D 【解析】 【详解】 如图所示，首先涂A，剩下BCDE只有3种颜色可供选择， 若BD不同色则CE必同色，反之亦然，即BD或CE同色， 以颜色为主分类计数，按颜色的多少分两类： 第一类：用3种不同颜色时，则区域BD必同色，区域CE也必同色，故共有种 ， 第二类：用4种不同颜色时，若区域BD同色有种，若区域CE同色有种 故用四种颜色有种 ， 由加法原理得不同的涂色方法数共有 种 ，D正确. 8. 已知函数，则在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据分段函数的定义求出，再求出时对应的表达式，然后求导由点斜式可得. 【详解】由题意可得， 当时，，此时， 所以， 求导可得， 所以， 所以切线方程为，即. 故选：D. 二、选择题，本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 9. （多选）下列关于的说法中正确的是（ ） A. 展开式中的各二项式系数之和为1024 B. 展开式中第6项的二项式系数最大 C. 展开式中第5项与第7项的二项式系数最大 D. 展开式中第6项的系数最小 【答案】AB 【解析】 【分析】由二项展开式的二项式系数之和为，可判断A； 二项式系数最大的项是中间一项即第6项，可判断B，C； 展开式中各项的系数与对应二项式系数相等，故第6项的系数最大，可判断D 【详解】根据二项式系数的性质 ，知的展开式中各二项式系数之和为，故A正确； 的展开式中，二项式系数最大的项是中间一项即第6项的二项式系数最大，故B正确，C错误； 易知展开式中各项的系数与对应二项式系数相等，故第6项的系数最大，故D错误． 故选：AB 10. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据基本初等函数求导公式、导数的四则运算法则及复合函数求导法则即可求解. 【详解】A选项，，故A错误； B选项，，故B错误； C选项，，故C正确； D选项，，故D正确. 故选：CD. 11. （多选题）某校要举办一次中外学生交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名志愿者从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作，则下列说法中正确的是（ ）. A. 若这五人每人任选一项工作，则不同的选法有种 B. 若每人安排其中一项工作，每项工作至少一人，则有240种不同的方案 C. 若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有60种不同的方案 D. 若安排A和B从事翻译、安保工作，其余三人中任选两人从事礼仪、服务工作，则有12种不同的方案 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理逐一进行计算即可. 【详解】若五人每人任选一项工作，则每人均有4种不同的选法，不同的选法有种，故A不正确. 若每项工作至少安排一人，则先将五人分成四组，再分配到四个岗位，故不同的方案有种.B正确. 若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人：则先从五人中任选两人安排在礼仪岗位， 其余三人安排在剩余三个岗位上全排列即可，因此不同的方案有种，C正确. 若安排A和B从事翻译、安保工作，其余三人中任选两人从事礼仪、服务工作，则不同的方案有种，D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷 （非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 二项式的展开式的常数项是________． 【答案】54． 【解析】 【分析】写出展开式通项公式，由的指数为0可得常数项的项数，从而得常数项． 【详解】由题意展开式通项公式为， 令，，所以常数项为． 故答案为：54． 【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项展开式通项公式是解题关键． 13. 已知函数在处取极值，且，则的值为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，求出、的值，再结合函数极值点的定义进行检验，即可得出的值. 【详解】因为，所以， 因为函数在处取极值，且， 所以，解得或， 当，时，，，此时函数有极值点； 当，时，，此时函数在上为增函数，无极值点. 所以，，故. 14. 曲线上的点到直线距离的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出曲线的斜率为的切线与曲线相切的切点坐标，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】的定义域为， 求导得，令得， 即，解得或（舍去）， 当时，，此时切点为， 所以曲线上的点到直线距离的最小值 即为切点到直线的距离， 即为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数的导数． （1）． （2）； （3）； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【详解】（1）. （2）， （3）令，则， ． 16. 已知的展开式中共有7项. （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求的展开式中含的项的系数. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据展开式的项数直接可得； （2）利用二项展开式的通项直接求解即可； （3）求得含有项的所有系数计算即可. 【小问1详解】 由，解得； 【小问2详解】 由（1）知展开式的通项为， 所以二项式系数最大的项为； 【小问3详解】 由（2）分析可知令，得，即； 令，可得. 综上：展开式中的系数为 17. 已知函数， （1）求函数在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值. 【答案】（1） （2）函数的减区间为，，增区间为，极小值，极大值. 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间、减区间以及极大值、极小值. 【小问1详解】 因为，则，所以， 因此，函数在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由，可得，列表如下： 减 极小值 增 极大值 减 所以，函数的减区间为、，增区间为， 该函数的极小值为，极大值为. 18. 为提高学生学习的数学的兴趣，南京港师范大学附属中学拟开设《数学史》《微积分先修课程》《数学探究》《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的. （1）求三位同学选择的课程互不相同的概率： （2）求甲、乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数； （3）若至少有两位同学选择《数学史》，求三人共有多少种不同的选课种数. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）先计算出三位同学选择课程的选法种数以及三位同学选择的课程互不相同的选法种数，利用古典概型的概率公式可求得结果； （2）考虑甲、乙两位同学不选同一门课程的选法种数，并求出丙选课程的选法种数，利用分步乘法计数原理可求得结果； （3）分两种情况讨论：①有两位同学选择《数学史》；②三位同学都选择《数学史》.分别计算出两种情况下不同的选课种数，利用分类加法计数原理可得结果. 【详解】（1）三位同学选择课程共有种情况； 三位同学选择的课程互不相同共有种情况，所求概率为； （2）甲、乙两位同学不选择同一门课程共有种情况，丙有种不同的选择， 所以甲、乙两位同学不能选择同一门课程共有种情况； （3）分两种情况讨论：①有两位同学选择《数学史》,共有种不同的情况； ②有三位同学选择《数学史》共有种情况. 综上所述，总共有种不同的选课种数. 【点睛】本题主要考查了等可能事件的概率，分步计数原理分类计数原理，排列组合的基本应用，属于中等题. 19. 已知：函数在处取得极值， 其中为常数. （1）试确定a、b的值； （2）讨论函数的单调区间； （3）若对任意， 不等式 恒成立，求c取值范围. 【答案】（1），； （2）递减区间为，递增区间为； （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再由导数在1处函数值为0求解并验证作答. （2）由（1）利用导数求出函数的单调区间作答. （3）由（2）求出的最小值，再解一元二次不等式作答. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 依题意，由，得，解得，由，得，解得， 此时，当时，；当时，，即在处取极小值， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的递减区间为，递增区间为. 【小问3详解】 由（2）知，在处取得最小值， 由，恒成立，得，解得或， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期学科素养大赛 高二数学 测试卷 （满分: 150分； 考试时间: 120分钟） 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷 （选择题 ） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 将名世博会志愿者全部分配给个不同的地方服务，不同的分配方案有（ ） A. B. C. D. 4. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. 2 D. 5. 的展开式中，的系数为（ ） A. 12 B. 26 C. 30 D. 40 6. 已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（ ） A. 在上为增函数 B. 的最小值为 C. 的极大值为，极小值为 D. 的极小值点为0，极大值点为1 7. 如图，一个地区分为5个不同的行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法种数是（ ） A. 20 B. 24 C. 48 D. 72 8. 已知函数，则在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题，本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 9. （多选）下列关于的说法中正确的是（ ） A. 展开式中的各二项式系数之和为1024 B. 展开式中第6项的二项式系数最大 C. 展开式中第5项与第7项的二项式系数最大 D. 展开式中第6项的系数最小 10. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 11. （多选题）某校要举办一次中外学生交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名志愿者从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作，则下列说法中正确的是（ ）. A. 若这五人每人任选一项工作，则不同的选法有种 B. 若每人安排其中一项工作，每项工作至少一人，则有240种不同的方案 C. 若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有60种不同的方案 D. 若安排A和B从事翻译、安保工作，其余三人中任选两人从事礼仪、服务工作，则有12种不同的方案 第Ⅱ卷 （非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 二项式的展开式的常数项是________． 13. 已知函数在处取极值，且，则的值为____. 14. 曲线上的点到直线距离的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数的导数． （1）． （2）； （3）； 16. 已知的展开式中共有7项. （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求的展开式中含的项的系数. 17. 已知函数， （1）求函数在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值. 18. 为提高学生学习的数学的兴趣，南京港师范大学附属中学拟开设《数学史》《微积分先修课程》《数学探究》《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的. （1）求三位同学选择的课程互不相同的概率： （2）求甲、乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数； （3）若至少有两位同学选择《数学史》，求三人共有多少种不同的选课种数. 19. 已知：函数在处取得极值， 其中为常数. （1）试确定a、b的值； （2）讨论函数的单调区间； （3）若对任意， 不等式 恒成立，求c取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $