精品解析：新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县2024-2025学年高二下学期5月期中数学试题

英吉沙县2024—2025学年第二学期高二年级期中考试 数学试卷 （卷面分值：150分；考试时长：120分钟） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若函数，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 2. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 3. 在数列中，，，若，则（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 4. 如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10cm，口径26cm，底径10cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列为等比数列，其中，为方程的两根．则（ ） A. B. C. D. 6. 在数列中，，，则等于（ ） A. B. 0 C. D. 4 7. 与直线垂直，且与曲线相切的直线l与两坐标轴围成三角形的面积为（ ） A B. 1 C. D. 2 8. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……第层有个球，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题5分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知双曲线，则（ ） A. C的离心率为 B. C的焦点到其渐近线的距离为1 C. 直线与C只有一个公共点 D. 若过C的焦点与x轴垂直的直线与C交于两点A，B，则 10. 记数列前项和为，且，则（ ） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. 数列的前项和为 D. 数列的前2025项的和为 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数的极大值为 B. 若函数在上单调递增，则或 C. 函数必有两个极值点 D. 函数必有三个零点 全部选对得5分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前 项和 满足 ，则 的通项公式为_____ 13. 已知椭圆的离心率为，则的长轴长为__________. 14. 已知函数，函数，若恒有，则的取值范围为_________． 四､解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的方程； （2）若直线与有且只有一个公共点，求的值． 16. 已知数列{}是首项＝，公差为的等差数列，数列{}是首项＝，公比为的正项等比数列，且公比等于公差，＋＝． （1）求数列{}，{}的通项公式； （2）若数列{}满足＝·（），求数列{}的前项和． 17. 已知抛物线：，过点倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点. （1）若，求值； （2）若，求面积的取值范围. 18. 已知，，等轴双曲线：的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，且．点为双曲线的左支上异于点的一个动点． （1）求双曲线的方程； （2）若，求点坐标； （3）设点，直线交双曲线的右支于点．试判断直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，请求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 19. 已知函数 （1）若，求曲线 在点处的切线方程; （2）当时，求函数的单调区间和极值； （3）若对于任意都有成立，求实数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 英吉沙县2024—2025学年第二学期高二年级期中考试 数学试卷 （卷面分值：150分；考试时长：120分钟） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若函数，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数运算求得正确答案. 【详解】由，得， 所以，解得. 故选：B 2. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线离心率及参数关系求得，再写出渐近线方程和焦点坐标，应用点线距离公式求焦点到渐近线的距离. 【详解】由题意，又，所以，故，所以， 所以双曲线，故渐近线方程为且焦点为， 则焦点到渐近线的距离为. 故选：B. 3. 在数列中，，，若，则（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的定义可得数列为等差数列，再由等差数列的通项公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以数列等差数列，公差为3， 因为，所以. 故选：. 4. 如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10cm，口径26cm，底径10cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，设出抛物线的标准方程，利用待定系数法求出参数值. 【详解】以该碗轴截面的对称轴为轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图， 设该抛物线的方程为（的单位均为cm），点纵坐标为（单位：cm）， 则，，于是，解得， 故该抛物线的焦点到准线的距离为． 故选：B 5. 已知数列为等比数列，其中，为方程的两根．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦达定理可得，利用等比数列的等比中项性质即可求解. 【详解】由题得，根据韦达定理可得，，则， 由等比数列的等比中项性质可得：. 因为等比数列的偶数项符号相同，都是负数，设公比为q，则, 所以. 故选：B. 6. 在数列中，，，则等于（ ） A. B. 0 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由得，即是周期为6的周期数列，利用对数的运算即可求解. 【详解】因为，所以，所以，所以是周期为6的周期数列， 所以 ， 又因为， 所以， 所以原式. 故选：B. 7. 与直线垂直，且与曲线相切的直线l与两坐标轴围成三角形的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求切线方程，再求所围成三角形的面积. 【详解】与直线垂直的直线的斜率为， 设直线与曲线相切于点，， 所以，得， 所以直线的方程为，即， 当时，，时，， 所以直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 故选：B 8. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……第层有个球，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出数列的递推公式，利用累加法计算数列的通项公式，通过裂项相消法可得数列的前项和. 【详解】由题意得，， 当时，， ∴， 经检验符合上式，∴， ∴， ∴数列的前项和为. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题5分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知双曲线，则（ ） A. C的离心率为 B. C的焦点到其渐近线的距离为1 C. 直线与C只有一个公共点 D. 若过C的焦点与x轴垂直的直线与C交于两点A，B，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据离心率公式计算判断A． 用点到直线距离公式，焦点到渐近线，代入公式算得距离为，判断B．  先求双曲线渐近线方程为，直线与渐近线平行，平行渐近线的直线和双曲线只有个公共点，判断C．  过焦点垂直轴直线与双曲线相交弦长用算，，，得，判断D． 【详解】双曲线中，，，，，A错误； 设C的一个焦点为，一条渐近线为，则F到直线的距离为，B正确； 直线与C的一条渐近线平行，与C只有1个公共点，C正确； 若过C的焦点与x轴垂直的直线与C交于两点A，B，则，D错误， 故选：BC． 10. 记数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. 数列的前项和为 D. 数列的前2025项的和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据前项和求，利用通项公式判断A，求出判断B，利用裂项相消法求和判断C，利用分组求和判断D. 【详解】数列的前项和， 当时，， 而满足上式，因此. 对于A，，A正确； 对于B，，， 则数列是公差为的等差数列，B错误； 对于C，， 数列的前项和为，C正确； 对于D，， 则数列的前2025项的和为，D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数的极大值为 B. 若函数在上单调递增，则或 C. 函数必有两个极值点 D. 函数必有三个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导即可判断A，将问题转化为恒成立即可判断BC，根据零点的定义即可判断D. 【详解】对于A，当时，，则，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，则函数极大值为， 故A正确； 对于B，函数在上单调递增，则恒成立，由，可得必有两根，且，则在单调递减，故B错误； 对于C，由B选项可知，在单调递减，在上单调递增，故函数必有两个极值点，故C正确； 对于D，，而，其中，则必有两相异实根，且不为0，故必有3个零点，故D正确； 故选：ACD 全部选对得5分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前 项和 满足 ，则 的通项公式为_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用数列的前  项和  与通项  的关系计算. 【详解】当  时，； 当  时，. , 代入通项公式：, 验证  时：若直接代入 ，得 ，与  矛盾，故需分段表示. 因此，通项公式为分段形式：. 故答案为：. 13. 已知椭圆的离心率为，则的长轴长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，利用离心率计算的值即可得到结果. 【详解】由题意得，， ∴， ∴椭圆离心率，解得， ∴， ∴的长轴长为. 故答案为：. 14. 已知函数，函数，若恒有，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，将问题转化成恒成立，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而求出的最大值，即可求解. 【详解】因为，即，即， 令，则， 当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 故答案为：. 四､解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的方程； （2）若直线与有且只有一个公共点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆上的点和离心率，列方程组求出，可得椭圆方程； （2）联立直线与椭圆的方程，利用方程有唯一解的条件即可求得的值. 【小问1详解】 椭圆的离心率为，且过点， 可得解得，， 故的方程为． 【小问2详解】 联立得． 由题可得， 解得，∴． 16. 已知数列{}是首项＝，公差为的等差数列，数列{}是首项＝，公比为的正项等比数列，且公比等于公差，＋＝． （1）求数列{}，{}的通项公式； （2）若数列{}满足＝·（），求数列{}的前项和． 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意求得公差与公比，从而可得出两数列的通项公式； （2）求出数列{}的通项，再利用错位相减法即可求得数列{}的前项和． 【详解】解：（1）由题意，可得， 因为，则，解得或， 因为等比数列各项为正项，所以， 则，； （2）因为，，故， ，① ，② 将①-②得： 即 有 所以. 17. 已知抛物线：，过点倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点. （1）若，求的值； （2）若，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设，， 当时，直线为，则直线的方程为， 由，得， 则， 所以. 【小问2详解】 设直线的方程为， 由，得， 因为，，， 所以. 又因为， 所以的面积， 因为，所以， 所以， 即的面积的取值范围是. 18. 已知，，等轴双曲线：的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，且．点为双曲线的左支上异于点的一个动点． （1）求双曲线的方程； （2）若，求点坐标； （3）设点，直线交双曲线的右支于点．试判断直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，请求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）直线与直线的交点在一条定直线上上. 【解析】 【分析】（1）根据等轴双曲线的概念，结合，可求的值，得双曲线的方程. （2）先判断点在圆上，列方程，解方程组可得点坐标. （3）设直线的方程为，与双曲线方程联立，消去，利用韦达定理表示出，，再表示出直线与，探索两直线交点的横坐标是不是定值即可. 【小问1详解】 由题意：. 所以双曲线的方程为：. 【小问2详解】 因为，所以在以为圆心，以为半径的圆上. 由或. 所以或. 【小问3详解】 如图： 因为与不重合，所以直线的斜率不为0， 故可设直线的方程为，，. 因为点在双曲线的左支上，故或. 联立得：. . 故，， 则，故. 易得，， 则，所以直线的方程为， ，所以直线的方程为：， 故点横坐标满足：，显然， 由题意得：，， 则， 则. 故点在定直线上. 19. 已知函数 （1）若，求曲线 在点处的切线方程; （2）当时，求函数的单调区间和极值； （3）若对于任意都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）答案见详解； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数求切线斜率，然后求出切点纵坐标，由点斜式可得切线方程； （2）求导，分和讨论即可得解； （3）参变分离，构造函数，利用导数即可最值可得. 【小问1详解】 函数定义域为， 当时，，则， 所以，， 由点斜式得切线方程为，即. 【小问2详解】 ，因为，所以， 当时，恒成立， 所以在单调递减，此时无极值； 当时，解得，解得， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极小值，无极大值. 综上，当时，在单调递减，无递增区间，无极值； 当时，在上单调递减，在上单调递增，有极小值，无极大值. 【小问3详解】 ， 因为，所以， 令，则， 易知单调递增，所以， 所以，所以在单调递增， 所以，当，， 要使对任意都有成立，则， 即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $