精品解析：新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县第一中学2025-2026学年高二下学期期中练习数学试题

巴楚县第一中学2025-2026学年第二学期 高二年级 期中练习 数学学科 时间：120分钟 一、单选题（每道题5分，共40分） 1. 在数列中，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 2. 已知，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在等差数列中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 在递增的正项等比数列中，和是方程的两个根，则（ ）. A. 4 B. C. D. 2 6. 设等比数列的公比，前项和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 集合，，从两个集合中各取一个元素作为点的横、纵坐标，则在第二象限内的点的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（    ） A. B. C. D. 二、填空题（每空6分，共18分） 9. 如图是导函数的图象，则下列说法错误的是（       ） A. 为函数的单调递增区间 B. 为函数的单调递减区间 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 10. 公比为的等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 11. 对于数列，定义：，称数列是的“倒和数列”．下列说法正确的有（ ） A. 若数列单调递增，则数列单调递增 B. 若，则数列有最小值2 C. 若，则数列有最小值 D. 若，且，则 三、计算题（每空5分，共15分） 12. 函数的导数为___________ 13. 在数列中，，，则的值为_________. 14. 已知函数，若，是方程的两不等实根，则的最小值是___________. 四、解答题（共77分） 15. 计算：（用数字作答） （1）； （2）. （3）已知，求 16. 已知点P和点Q是函数的图像上的两点，点P的横坐标是1，点Q的横坐标是4，求： （1）判断函数的单调性 （2）割线的斜率 （3）点P处的切线方程 17. 已知数列的前n项和，. （1）写出数列的通项公式. （2）证明：数列是等差数列； 18. （1）有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二（6）班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？ （2）12名选手参加校园歌手大奖比赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，共有多少种不同的获奖情况？ 19. 已知等差数列满足，正项等比数列满足首项为1，前3项和为7. （1）求与的通项公式； （2）求的前n项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴楚县第一中学2025-2026学年第二学期 高二年级 期中练习 数学学科 时间：120分钟 一、单选题（每道题5分，共40分） 1. 在数列中，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题设有. 2. 已知，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以由组合数性质得. 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由导数基本初等函数的求导公式计算即可判定. 【详解】A选项，,故错误； B选项，, 故错误； C选项，, 故错误； D选项, ,故正确. 故选：D. 【点睛】本题考查导数的运算，属于简单题. 4. 在等差数列中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等差中项的性质求出的值，再利用等差数列的基本性质可求得所求代数式的值. 【详解】在等差数列中，，可得， 所以， . 故选：C. 5. 在递增的正项等比数列中，和是方程的两个根，则（ ）. A. 4 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求出和，利用等比中项可求. 【详解】和是方程的两个根，故或. 因为为递增的正项等比数列，故，故. 又且，故， 故选：A. 6. 设等比数列的公比，前项和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用等比数列的通项公式与求和公式可求得的值. 【详解】由题意可得. 故选：D. 7. 集合，，从两个集合中各取一个元素作为点的横、纵坐标，则在第二象限内的点的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据第二象限坐标特征分类结合分类加法原理计算求解. 【详解】第二象限内的点的横坐标是负数，纵坐标是正数． 若集合M提供横坐标，集合N提供纵坐标，则符合题意的点有，，共2个； 若集合M提供纵坐标，集合N提供横坐标， 则符合题意的点有，，，，共4个． 综上，在第二象限内的点的个数为． 8. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数与函数的单调性之间的关系及导数的几何意义即可做出判断. 【详解】因为的图像经过与两点，即，， 由导数的几何意义可知在与处的切线的斜率为，故选项AD错误； 由的图象知，在上恒成立，故在上单调递增， 又在上越来越大，在上越来越小， 所以在上增长速度越来越快，在上增长速度越来越慢，故选项C错误，因此选项B正确. 故选：B. 二、填空题（每空6分，共18分） 9. 如图是导函数的图象，则下列说法错误的是（       ） A. 为函数的单调递增区间 B. 为函数的单调递减区间 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导函数函数值的正负与函数单调性的关系，以及函数极值点的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】由图可知，当时，，故单调递减；当，，故单调递增；当，，故单调递减；当，，故单调递增，且，，， 则该函数在和处取得极小值；在处取得极大值. 故选：BC 10. 公比为的等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式列方程，解方程可得首项与公比，进而判断个选项. 【详解】由已知等比数列的公比为，且，， 则，解得， 所以，， 故选：ABD. 11. 对于数列，定义：，称数列是的“倒和数列”．下列说法正确的有（ ） A. 若数列单调递增，则数列单调递增 B. 若，则数列有最小值2 C. 若，则数列有最小值 D. 若，且，则 【答案】CD 【解析】 【分析】结合对勾函数的性质分析判断ABC；作差变形计算判断D. 【详解】函数在上单调递增，在上单调递减， 对于A，由于函数在定义域上不单调，则由数列单调递增，无法判断数列单调性，A错误； 对于BC，，则数列有最小值，B错误，C正确； 对于D，由，得，， 整理得，而，因此，D正确. 故选：CD 【点睛】关键点点睛：涉及单调性的某些数列问题，数列是一类特殊的函数，准确构造相应的函数，判断其单调性是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件. 三、计算题（每空5分，共15分） 12. 函数的导数为___________ 【答案】31 【解析】 【分析】利用导数的运算法则运算即可. 【详解】由已知，，所以. 故答案为： 【点睛】本题考查导数的运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 13. 在数列中，，，则的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据递推关系式求出前四项，可归纳知数列的周期，求解即可. 【详解】在数列中，，， ，，， 数列是周期为3的周期数列， ， . 故答案为； 14. 已知函数，若，是方程的两不等实根，则的最小值是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】作出函数的图象，可得，且设，.将用表示出来，可得，借助导函数求出，的最小值即可. 【详解】与函数均是单调函数. 作出函数的图象，由图可知，当时，方程有两不等实根.不妨设，. 则，，即，. 则. 令，，则. 当时，有，单调递减； 当时，有，单调递增. 所以，在时，取得唯一极小值，也是最小值. 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 计算：（用数字作答） （1）； （2）. （3）已知，求 【答案】（1）28 （2）70 （3）7 【解析】 【分析】（1）根据排列数和组合数的公式即可求解； （2），再利用将原式化为，即可求出答案； （3）根据式子可得，再根据排列数列方程即可求出答案. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 由，得，即， 则， 整理得，所以. 16. 已知点P和点Q是函数的图像上的两点，点P的横坐标是1，点Q的横坐标是4，求： （1）判断函数的单调性 （2）割线的斜率 （3）点P处的切线方程 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增. （2）割线PQ的斜率是. （3）点P处的切线方程是. 【解析】 【分析】(1) 利用二次函数的图像及对称轴判断单调性 ； (2)先求出点P和点Q的坐标，再利用直线的斜率公式求解； (3)利用导数求出点P处的切线的斜率，再利用点斜式方程求出切线方程. 【小问1详解】 因为二次函数的对称轴是直线， 且函数的图像开口向上，所以函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 因为点P和点Q是函数的图像上的两点，点P的横坐标是1，点Q的横坐标是4， 所以点P的纵坐标是，点Q的纵坐标是，所以割线的斜率是. 【小问3详解】 因为函数，所以 ， 所以点P处的切线的斜率 ，从而点P处的切线方程是，即. 17. 已知数列的前n项和，. （1）写出数列的通项公式. （2）证明：数列是等差数列； 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，类，当时，求得并验证通项公式，从而确定数列通项公式. （2）根据（1）求得的通项公式，利用等差数列的定义证明即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，，满足， 即数列的通项公式． 【小问2详解】 ， 当时，为常数， 则数列是等差数列． 18. （1）有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二（6）班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？ （2）12名选手参加校园歌手大奖比赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，共有多少种不同的获奖情况？ 【答案】（1）60；（2）1320 【解析】 【分析】（1）5个元素中选出3的排列； （2）12个元素中选出3的排列. 【详解】（1）从5个不同的科研小课题中选出3个，由3个学习兴趣小组进行研究，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列. 因此不同的安排方法有(种). （2）从12名选手中选出3名获奖并安排奖次，共有 (种)不同的获奖情况. 19. 已知等差数列满足，正项等比数列满足首项为1，前3项和为7. （1）求与的通项公式； （2）求的前n项和. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式，可得首项和公差，可得；设正项等比数列的公比为q，q>0，由等比数列的通项公式，解方程可得q，进而得到； （2）由（1）可得，利用错位相减法求和，即可得答案. 【详解】解：（1）设等差数列的公差为d， 由，可得， 解得，则； 设正项等比数列的公比为q，q>0， 由首项为1，前3项和为7，可得，解得q=2， 则； （2）由（1）可得， 所以， 则， 两式相减可得=， 所以. 【点睛】解题的关键是熟练掌握等差、等比数列的公式、错位相减求和法，考查方程思想和运算能力，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $