2026年中考数学专题特训：圆综合

**基本信息** 聚焦圆的性质与综合应用，以多地区模拟题为载体，系统整合圆周角、切线、面积计算等核心方法，构建“性质-模型-应用”逻辑链条，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质应用|选择1-4、填空11-14|圆周角定理、垂径定理、四点共圆|从圆的基本性质（圆心角、弧长）到与四边形、三角形结合，形成“性质-判定-计算”推导链| |面积与动态问题|选择5-10、填空15-16|割补法、弧长公式、黄金比例模型|结合阴影面积、动态旋转、实际应用（水车），体现从静态计算到动态探究的拓展| |综合证明与计算|解答17-21|切线性质、相似/全等三角形、分类讨论|以圆为核心，融合几何变换与代数表达，培养逻辑推理与模型意识|

2026年中考数学专题特训：圆综合 一、单选题 1.(25-26九年级下·河南郑州月考)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AD=CD,连接BD 和0C.若∠ABD=25°，则∠OCD的度数是() B A.50° B.65 C.60° D.55° 2.(2026河南周口一模)如图，在扇形A0B中，∠AOB=120°，AO=6,点C为弧AB的中 点，连接OC,与AB交于点D,点E为OD的中点，连接BE,则图中阴影部分的面积为() D E A.12m-9 2 B.12x-9 4 C.6m-95 2 D.6m-9 4 3.(2026山东东营·一模)如图所示为一个物体的三视图，根据图示信息可得该物体侧面展 开图的面积为() 8cm 主视图 左视图 俯视图 A.32xcm2 B.16V5πcm2 C.32V3元cm2 D.64πcm 4.(2026湖南娄底模拟预测)如图，AB、CD是O0的两条弦，AB、CD交于点E, =() ABI CD,CEDE,连接AC、BC,若B=,则AC BC 试卷第1页，共3页 E B A.5 4 c D.2 5.(2026安徽马鞍山二模)如图，在正方形ABCD中，AB=4,E、F分别是AD、CD上 (不与端点重合)的动点，且满足AE=CF,O是BE中点，G为AF上异于A的一点，且 满足EG⊥BG,连接CG,OF,OC,下列说法错误的是() A.CG的最小值为2√2 B.0F的最小值为5 C.△OBC的面积不变 D.2N2<AG<4 6.(2026江苏泰州一模)如图，两个同心圆0中，AB为大圆的弦，AC与小圆相切于点 C,M为AB的中点，MC的延长线交小圆于点D.若小圆的半径已知，要求CD的长，只 要知道() B A.AB的长 B.MC与MD的积 C.AB与大圆半径的比 D.∠BMC的度数 7.(2026山西晋中.二模)如图，己知正八边形ABCDEFGH的边长为4，连接DA,CF交 于点O,以点O为圆心，OF的长为半径画弧，得AF,则AF的长为() 试卷第1页，共3页 D A.(2V2+4)π B.(2√2+2)π C.(W2+2)r D.N2+1)元 8.(2026海南·模拟预测)等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在 我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等.如图，分别 以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线 (图中阴影部分)，如果AB=1,那么这个等宽曲线的周长是() A B.2x C.刀 3 D.2π 9.(2026上海徐汇·二模)如图，已知∠ABC=60°，半径为1cm的⊙0与边BA、BC均相切， 如果⊙O与∠ABC的两边都相切，且与O0相交，那么⊙O,的半径长可以是() C A.1 B.2 C.3 D.4 10.(2026四川德阳·一模)水车是中国古代重要的灌溉工具，罗江太平廊桥旁也保留了几 座大水车，图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边 缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降.如图2，在水车顺时针转动时，其 中的1个水斗在点A处放空水，同时有1个水斗刚好在点B处接触水面，中间还有2个水斗， 已知外围轮盘半径OA为5m,点A到水面的距离为7m,则水面宽度CB为() 试卷第1页，共3页 图1 图2 A.6m B.7m C.6m或8m D.7m或8m 二、填空题 11.(2026吉林长春·二模)如图，AB是半圆O0的直径，点C,D将AB分成相等的三条 弧，点P在AC上.已知点Q在AB上，且∠APQ=115°，则点Q所在的弧是 0 12.(2026江苏泰州一模)如图，半径为5的00中，弦AB,CD所对的圆心角和为180°， AB+CD=14,则A0B的面积为· B 13.(2026河北一模)已知平面内一个角，有一个圆与这个角的两边都有两个交点，若此 圆在角的两边上截得的两条弦恰好都是一个正六边形的边，那么这个角的度数为 14.(2026陕西咸阳一模)如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙0经过点A、B、C,且 与CD边交于点E,连接AE.若∠BAD=108°，则∠AED的度数为°. B 0 试卷第1页，共3页 15.(2026四川广元二模)短边与长边之比等于5-1的矩形称为黄金矩形.如图，四边 2 形ABCD是黄金矩形，且4AB-5-」.以4B为边作正方形ABFE,点F,E分别在边 AD 2 BC,AD上，得到黄金矩形EFCD;以DE为边作正方形DEHG,点H,G分别在边EF,CD上， 得到黄金矩形HGCF,分别以F,H为圆心作BE,EG,则曲线BEG称为“黄金螺线”若 AD=4,则“黄金螺线”BEG的长为（结果保留π） B 16.(2026湖南娄底模拟预测)某羽毛球品牌1ogo(如图1)的画法大致如下：如图2，取 线段AB的中点C分别以4、B、C为圆心，B为半径作圆，04与0C交于点D,0C 与OB交于点E,延长DE交OB于点F,连接EC、FB;再分别以AC、CB的中点为圆心， 。B为半径作凰，到1ogD,若B=6N3cm时，则此9（阴影部分）的面积为 ·(结果保留和根号) 图1 图2 三、解答题 17.(2026陕西西安三模)如图，AB是⊙0的直径，点C,E在00上，连接AC,CE, EB,过点C作OO的切线，交EB的延长线于点D,己知∠ABE=2∠A. (I)求证：ED⊥CD; (2)若tanE= 2’AB=25,求CD的长 试卷第1页，共3页 18.(2026贵州遵义：一模)如图，PA与⊙0相切于点A,AC为00的直径，点B在⊙0上， 连接PB,PC,且PA=PB. (I)连接OB,求证：OB⊥PB；; (2)连接BC,若AP=√5，∠APB=60,求弦BC的长度； (3)在(2)的条件下计算图中阴影部分的面积. 19.(2026山东临沂一模)如图，ABC内接于⊙0，AB是⊙0的直径，弧BC=弧 BD,DE⊥AC于点E,DE交BF于点F,交AB于点G,LBOD=2LF,连接BD. B E (I)求证：BF是OO的切线： (2)判断△DGB的形状，并说明理由； (3)当BD=1时，求FG的长. 试卷第1页，共3页 20.(2026福建泉州三模)如图，ABC内接于⊙0，过A作∠BAC的角平分线，交⊙0于 点D,交BC于点E. (备用图) (I)求证：AB·AC=AE·AD; (2)若AE=3DE=3k时， ①求的值 BE ②作∠ACB的角平分线，交AD于点F,在圆上有一点G,若F和G恰好关于BA的中点对 称，请用含k的代数式表示ABC的面积，并说明理由， 21.(2026湖南永州二模)在矩形ABCD中，E是直线BC上一动点，连接AE,将AE绕 点A顺时针旋转90°得到AF,连接EF,取EF的中点M,连接DM,AM. B B B B 提示： A 图1 图2 图3 图4 按照设问条件补全图形，并解答. (1)问题初探：如图1，当AB=BC时： 试卷第1页，共3页 ①连接DF,求证：DF=BE; ②当点E在边BC上运动时（不与点B,C重合），∠ADM的大小会改变吗？若会改变，请 说明理由；若不改变，请直接写出∠ADM的度数； (2)深入探究：当AB≠BC时： ①如图2，若-、当WD⊥AD时， BE、: ②如图3，若BC=2AB,当MD上AD时，(2)①中结论还成立吗？若成立，请说明理由： 若不成立，请求出CE的值， BE (3)拓展探究：如图4，在菱形ABCD中，∠B=120°，E是直线BC上一动点，连接AE,将 AE绕点A顺时针旋转60°得到AF,连接EF,取EF的中点M,连接DM,AM,当 MD⊥AD时，求CE的值， BE 试卷第1页，共3页 《2026年中考数学专题特训：圆综合》参考答案 题号 1 2 4 5 6 8 9 10 答案 B 0 B D 1.B 【分析】先根据AD=CD,得出AD=CD,再得出LABD=∠CBD=25°，求出圆心角的度 数，再利用三角形内角和求解即可. 【详解】解：连接OD, :AD=CD, :AD=CD, .∠ABD=∠CBD=25°， .∠C0D=2∠CBD=50°， :0D=C0, ÷∠0CD=180°-∠C0D =65° 2 2.D 【分析】点C是弧AB的中点，OC平分∠AOB且垂直平分AB,利用等腰三角形性质或三 角函数求出OD、BD的长度；E是OD中点，可求OE长度，进而利用三角形面积公式求 BDE的面积；阴影部分面积用扇形AOC面积减去△AOD的面积再加上BDE的面积. 【详解】解：扇形AOB中，∠AOB=120°，C是弧AB中点， :OC平分∠A0B,∠A0C=LB0C=60°， :0A=0B=0C=6, .OC⊥AB,∠0DA=L0DB=90°， 在RtaA0D中，0A=6,∠A0D=60°， 1 0D=0Acos60°=6×。=3，AD=BD=0Asin60°=3V3, 2 E是0D中点， 答案第1页，共2页 DE=20D=3 3 S阴影=S息形40c-S.A0D+S,BDE 60 S角带40c=360 元62=6π， So=)AD.0D=5x3V5x3-95 2 2 2 5.E-DE.BD=xx33 13 2 22 4 E=6m-969v6 24 6r9w6 4 3.B 【分析】首先由主视图和左视图可以得到该物体为圆锥体且圆锥体的高为h=8cm,再由俯 视图得到圆锥体的底面圆的周长为8π(cm),由勾股定理求得圆锥的母线长，进而即可求解. 【详解】提示：该物体为圆锥，底面周长为π×8=8π(cm), 母线长为 82+ 8 =4V5(cm), 2 侧面展开图的面积为×45×8x=165x(cm2). 4.D 【分析】由题意易得圆心O在线段AB上，则有∠ACB=90°，然后可得△AEC∽△CEB,则 有即CB=BE:B,由0甸令CD=4B=5,设E==5x通 AB 5 而问题可求解， 【详解】解：：AB⊥CD,CE=DE, .圆心O在线段AB上， :LACB=90°， .∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠A=90°， :ZBCE ZA, .∠AEC=∠CEB=90°， .△AEC∽aCEB, CE AE ·BEC ,即CB=BEAB, 答案第1页，共2页 由CD-4可令CD=4,AB=5,设BE=xAE=5-x, AB 5 .CE=2, 22=x5-x, 解得：x1=1,2=4(不符合题意，舍去)， .BE=1,AE=4, tan∠A= CE BC 1 AE AC2' AC=2· :.B 5.A 【分析】如图所示，由四边形ABCD为正方形，∠BGF=90°可判断A、B、G、E四点共圆， 且以BE为直径，O为圆心的圆上，ABAE丝ABCF,中位线定理可知OM=EN,结合相关 知识点注意判断即可. 【详解】 B MN 选项A::四边形ABCD为正方形， AB=BC,∠BAE=∠BCF=90° :EG⊥BG .∠BGF=90° A、B、G、E四点共圆，且以BE为直径，O为圆心的圆上， :O是BE中点， .0G=0B=0A=r .CG≥0C-0G即最小值为0C-0B :E是AD上的动点，当运动到D时，O为正方形对角线的交点，此时OB=OC CG的最小值为0，不等于22，选项A错误，符合题意； 答案第1页，共2页 选项B:过F作FQ⊥AB于Q,根据题意可知，F为圆O外一点，AB为弦， :当0F取最小值时0F上4B(垂线段设知)，0Q-)4E=CF 连接BF,OM⊥BC于M,EN⊥BC于N,如图所示： .OM I EN .△OBM∽aEBN OB OM ·BEEN :O是BE中点， :.OB=IBE 2 :OM=1EN 2 :5x-方xBCxOM-分×BC×EN-×4xx4=4,所以话顶C正，确不符合题意： 1 1 2 21 2 2 :EN⊥BC ∠ENB=90° 四边形ABNE为矩形； :AB=EN =4, 在△BAE和BCF中， AB=BC ∠BAE=∠BCF AE=CF .△BAE≌aBCF(SAS) .AE CF, 以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系，则 B(0,0、C(4,0、A(0,4、D(4,4, 设AE=CF=x,则E(x,4),F(4,x,( 52 OF 4-+(-2 -8x+20 :当x=16时，0F有最小值为 16 4八5 8x 16 20=65 ,所以B正确，不符合题意。 选项D:当E在A时，由题意可知G是在以AB为直径的圆周上的点，且在正方形内，此时刚 答案第1页，共2页 好在正方形对角线交点，则AG=√AB+BC=xV4+4=22 E无限接近A时，AG>2√2 点G在线段AF上，根据两边之和大于第三边得到A0+OG>AG,所以AG<4,D正确， 不符合题意 【点晴】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定， 圆的性质，中位线定理，熟练运用相关知识点是解决问题的关键， 6.C 【分析】连接OA,OM,OC,过点O作OT⊥CD于点T,根据垂径定理以及RtACOT可得 CD=2CT=20C×sin∠1，然后证明∠1=∠3，即可求解. 【详解】解：连接OA,OM,OC,过点O作OT⊥CD于点T, 324 B 则CD=2CT=20C×sin∠1， :AC与小圆相切于点C, .∠0CA=90 .∠1=∠2=90°-∠4 :M为AB的中点，OM经过圆心， .OM⊥AB, .∠0CA=L0MA=90°， A,O,C,M四点共圆， ∠2=∠3 .∠1=∠3， .sin∠1=sin∠3， .CD=20 C x sin∠3 1 sm∠3-4M-210 OAOA 答案第1页，共2页 1 AB CD=20Cx248 OA OC.4B, OA :0C己知 :当AB 己知时，CD即可求解.故C符合题意. OA 7.C 【分析】过点E作EM⊥CF,垂足为M,求出OF,再利用弧长公式即可求出答案. 【详解】解：如图，过点E作EM⊥CF,垂足为M, D B A H 正八边形的每一个内角=8-2x180-135,∠DC0=∠CD0=∠EFM=∠FEM:45 8 由题意可得四边形DOME是矩形，△COD与△EFM均为等腰直角三角形， .C0=FM=2N2,OM=DE=4,∠A0F=90°， ..OF=MF+OM=22+4, 即所求弧的半径为2√2+4， :F的长为90xx25+④=2+2r. 180 8.C 【分析】根据等边三角形的性质得到∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，BC=AC=AB=1,再 根据孤长公式求解即可. 【详解】解：：ABC是等边三角形， .∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，BC=AC=AB=1, 1803 180=3元，Ac的长为60rx1=1 :B的长为60X1-,BC的长为60X1- 1803π， 、“这个等宽曲线的周长为π+五+1 +3+环=元 9.B 【分析】先证点O在∠ABC的角平分线上，再求出⊙O与⊙0外切时的半径，进而可得 答案第1页，共2页 ⊙O,半径的取值范围. 【详解】解：标记⊙O与边BA、BC的切点为E,H, 则OE⊥AB,OH⊥BC, OE=OH=1 在Rt△OEB与Rt△OHB中， OB=OB :Rt△OEB≌RtOHB(HL), 208E=∠0aH-548c-×60=30. 即点O在∠ABC的角平分线上， 作⊙O,⊙O'与O0外切，切点为M,N,且与边BA、BC均相切，⊙O与BA的切点为点 D,⊙O'与BA的切点为点F, 同理可得，点O与O'在∠ABC的角平分线上， 设⊙O,的半径为， :∠0BE=30°， :B0,=20,D=2r,B0=20E=2×1=2, BO +0M+OM=BO, :2r+r+1=2, 1 解得r=3' 同理可得⊙0'的半径为3， :⊙0与00相交， 1<r<3, 当r=1时，⊙0与00重合，不合题意， 观察四个选项可知，⊙O,的半径长可以是2. 故选B. 答案第1页，共2页 A BO 10.c 【分析】作OD⊥BC,AE⊥BC,OF⊥AG,设OD=xm,先说明四边形ODEF是矩形，得到 OD=EF,证明△DOB≌△FOA，,得到DB=AF,根据勾股定理列出方程，求出OD,BD, 最后根据垂径定理，计算即可求解 【详解】解：如图，作OD⊥BC、AE⊥BC交BC于点D、E,作OF⊥AG于点F, F BE 设0D=xm, :OD⊥BC,AE⊥BC,OF⊥AG, .LODE=∠DEA=L0FE=∠0FA=90°， .四边形ODEF是矩形， ∠DOF=90°，OD=EF=xm, :点A到水面的距离为7m, :AE =7m AF AE-EF =(7-x)m :圆形轮盘分布了12个水斗，水斗A和B中间还有2个水斗， 2408-音×360=90 ∠F0A+LB0F=90°， 又：∠D0F=90°，即∠D0B+∠B0F=90°， .∠D0B=∠F0A, 在△DOB和△FOA中， 答案第1页，共2页 ∠ODE=∠OFA ∠DOB=∠FOA, OB=OA △D0B≌△FOA(AAS), :DB=AF =(7-x m, 在RtaD0B中，OB=5m, 根据勾股定理得，DB2+OD2=OB2,即(7-x+x2=52, 整理得：2x2-14x+24=0, 解得：x1=3,x2=4, DB=7-x=3m或4m, :OD⊥BC, .点D是BC的中点，即BC=2DB, .BC=6m或8m, 则水面宽度CB为6m或8m. 11.BD 【分析】根据圆周角定理和弧角关系求解， 【详解】解：如图，连接AP,BP,PQ,OD,OQ, D :AB是半圆O0的直径，P在AC上， .∠APB=90°， :∠APQ=115°，∠APQ=∠APB+∠BPQ, .∠BPQ=25°， .∠BOQ=2∠BPQ=50°， :点C、D将AB分成相等的三段弧， .AC=CD=DB, 答案第1页，共2页 ∠BOD=二×180°=60°， 3 :∠BOQ<∠BOD, ∴Q在BD上 12.12 【分析】延长AO交OO于点T,连接BT,可得LBOT=LCOD,那么CD=BT,故 AB+CD=AB+BT=14,然后结合勾股定理以及完全平方公式求解即可. 【详解】解：延长AO交⊙0于点T,连接BT, 则AT是直径，∠A0B+∠B0T=180°， .∠ABT=90°， ∴AB2+BT2=AT2=102=100 由题意得，∠A0B+∠C0D=180°，AT=2×5=10, .ZBOT ZCOD, .CD =BT .AB+CD=AB+BT=14, .（AB+BT)2=AB2+BT2+2AB×BT=196, .AB×BT=48, 1 SAABT=AB×BT=24, 2 :0A=0T, 1 aS40s=2Sm=12. 13.60°或120° 【分析】分两种情况讨论，即角的顶点在圆上和角的顶点在圆外两种情况，利用正多边形内 角和、三角形内角和定理计算求解即可。 【详解】分两种情况讨论： 当角的顶点在圆上时，圆与角的两边截得的两条弦为圆内接正六边形的两条相邻边， 答案第1页，共2页 即该角为正六边形的内角，如图： D 正六边形的内角为6-2列×180 =120°，即此时该角度数为120°； 6 当角的顶点在圆外时，圆与角的两边各交于两点，截得的两条弦为该圆内接正六边形的两条 边（非相邻），如图： A E D 弦AB和CD均为正六边形的边，则∠ABC=∠BCD=120°， 故LPBC=∠PCB=60°， ∠P=180°-∠PBC-∠PCB=180°-60°-60°=60°； 综上，这个角的度数为60°或120°. 14.72 【分析】由平行四边形的性质可得∠BCD=∠BAD=108°，AB∥CD,由圆内接四边形的性 质可得∠BAE=72°，再由平行线的性质即可得出结果. 【详解】解：：四边形ABCD为平行四边形， .∠BCD=∠BAD=108°，AB∥CD, :四边形ABCE为OO的内接四边形， :∠BAE=180°-∠BCD=72°， :AB∥CD, .∠AED=∠BAE=72°. 15.2π 【分析】根据黄金矩形的性质求出各边的长度，再依据弧长公式分别计算两段弧的长度，最 后将两段弧长相加得到“黄金螺线”BEG的长. 答案第1页，共2页 【详解】解：：4B=5」，4D=4, AD 2 .AB=2V5-2, :BF=AB=AE=25-2, .DG=ED=GH=AD-AE=6-25, :“黄金螺线”BEG的长为90×2w5-2+6-25=2x 180 16.27V3-3元)cm2 【分析】过点E作EH⊥AB于点H,连接BE,由作图可知： CE=CB=AC=BE=AB=35,S=S,小圆半径为2AB=x65=5cm,然后可得 EH=CE.s血60-号，进而根摆扇形面积公式及制补法可进行求解。 9 【详解】解：过点E作EH⊥AB于点H,连接BE,如图所示： 由作图可知：CE=CB=4C=BE=方4B=35,:S,小圆半径为名AB=名x6N5=5cm △CBE是等边三角形， LECB=60°， EH=CE:sin60°=号3 ÷gcE=CB-EH=275。 22cm2,SgcE 60x×339r, 360 2 55,-Snawcm-Sawc 275-9rcm2, 2 :S影=2S+2×π×V5=27W5-9m+6m=(273-3元)cm2。 17.(1)见解析 (246 5 答案第1页，共2页 【分析】(1)连接圆心O与点C,根据圆周角定理可知，∠B0C=2LA,得到 ∠ABE=∠COB,由平行线判定定理，得到ED∥OC,因为CD是圆的切线，所以 OC⊥CD,再由平行线的性质，得到∠CDE=90°，即可证明； (2)连接BC,得到∠ACB=90°，求出BC=2,由OA=OC,得到∠BCD=∠A,由(1)知 ED⊥CD,得到an∠BCD=B CD 2,根据勾股定理计算即可得到答案 =tan4=1, 【详解】(1)证明：连接圆心O与点C,如下图： :∠A是劣弧BC所对的圆周角，∠COB是劣弧BC所对的圆心角， D ∴.∠COB=2∠A, :∠ABE=2∠A, :∠ABE=∠COB, :OC∥ED(内错角相等，两直线平行)， :CD是圆的切线， .0C⊥CD, .∠CDE=180°-90°=90°， :ED⊥CD. (2)解：如图，连接BC, AB是⊙0的直径， .∠ACB=90°， :∠A=∠E, 1 ,∴.tanA=tanE= :BC、1 AC=2' :AC=2BC, 在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2, 答案第1页，共2页 (25=4BC2+BC2, BC=2, :LBCD+∠BC0=LAC0+LBC0=90°， :∠BCD=∠ACO, :0A=0C, .∠A=∠AC0, :∠BCD=∠A, 由(1)知ED⊥CD, LCDE=90°， .tan∠BCD= BD CD 产anA=J 1 BD=CD. 在Rt△BCD中，BC2=BD2+CD2, 4=5cD, 4 CD=4 5 18.(1)见解析 (2)BC=1; 8 【分析】(1)利用切线性质得0APA,再通过SSS证明△AOP≌△B0P,从而推出 OB⊥PB; (2)先结合己知角度推出相关角的度数，确定△BOC为等边三角形，求出圆的半径，即可 求得BC=1: (3)根据平行线间面积关系，将阴影部分面积转化为扇形OCB的面积进行计算. 【详解】(1)证明：如图，连接OP,OB, B :PA与⊙0相切， 答案第1页，共2页 :OA L PA, ∠0AP=90°， 在△AOP和△BOP中， OA=OB PA=PB, OP=OP .aA0P≌△BOP(SSS), ∠0BP=∠0AP=90°， .OB⊥PB; (2)解：如图，连接BC, B .:∠OBP=∠OAP=90°，∠APB=60°， ∠A0B=120°， .∠C0B=60°， 0B=0C, .△BOC为等边三角形， .∠0CB=60°，BC=0B=0A, 由(1)可知：∠A0P=∠B0P=60°， ∠A0P=L0CB,OA= PA 5 =1； tan∠AOP√3 .BC=1; (3)解：：∠A0P=∠C0B=60°， OP∥BC, .S.PCB=S.0CB .S阴影都分=S扇形OCB三 60元×12_π 3606 19.(1)见解析 答案第1页，共2页 (②)等腰三角形，理由见解析 (3)2 【分析】(1)根据圆周角定理证明LBAC=∠DAB,求出∠OBD=∠ODB=90°-∠BOD, 证明∠BAC=∠F,在△BGF中，∠GBF=180°-（∠F+∠BGF)=90°，即可得到结论： (2)证明∠BGF=∠AGE,再根据∠BGF=∠DGB证明∠GBD=∠DGB,即可得到△DGB 是等腰三角形： (3)设LFGB=LABD=a,则LDBF=∠F=90°-a,得到DB=DF,即可得到答案. 【详解】(1)证明：：AB是⊙O的直径，连接AD, :∠ACB=90°， :∠BAC+∠ABC=90°， .BC BD, ∴.∠BAC=∠DAB, :0B=0D, ·∠OBD=∠ODB=180°-∠BOD 90°-1∠B0D, 0 :∠B0D=2∠F, .∠0BD=90°-∠F, :∠B0D=2∠DAB, ·∠DAB=∠BOD=∠F, :∠BAC=LF, :DE⊥AC, .∠AEG=90°， .LBAC+∠AGE=90°， :∠AGE=∠BGF, .∠F+∠BGF=90°， 在aBGF中，∠GBF=180°-（∠F+∠BGF)=90°， AB⊥BF, OB是O0的半径， :BF是OO的切线； 答案第1页，共2页 B (2)解：△DGB是等腰三角形，理由如下： 由(1)知，∠GBF=90°， ∠F+∠BGF=90°， :∠BAC=∠F,且∠BAC+∠AGE=90°， :ZBGF ZAGE ∠OBD=90°-∠F,∠BGF=90°-∠F, :ZOBD ZBGF :∠BGF=∠DGB, .∠OBD=∠DGB, :Z GBD ZDGB :DG=DB, :aDGB是等腰三角形； (3)解：∠FGB=∠ABD,AB⊥BF, 设∠FGB=∠ABD=a,则∠DBF=∠F=90°-Q, :DB=DF, .FG=2DG=2DB=2. 20.(1)见解析 (2)2;3V5k2 【分析】(I)连接CD,根据AD是∠BAC的角平分线，得到∠BAE=∠DAC,再根据同弧 所对的圆周角相等得到∠ABE=∠ADC,证明△ABE∽△ADC即可得到结论： (2)①由题意得到DE=k,AD=AE+DE=4k,证明△BDE∽AADB,求出BD=2k,即可 得到答案； ②取AB的中点H,连接FH并延长交OO于点G,连接AG,BG,BF,BD,F为∠ACB平分 线与AD的交点，即F为ABC的内心，F和G恰好关于BA的中点对称，且G在圆上， 答案第1页，共2页 ABC为等边三角形，求出AB=2√3k,即可得到答案. 【详解】(1)证明：连接CD, :AD是∠BAC的角平分线， LBAE=∠DAC, .AC=AC, :LABE=∠ADC, △ABE∽△ADC, .AB AE AD AC' AB·AC=AE·AD: O. D (2)解：①连接BD, AE =3DE =3k, B .DE =k,AD=AE+DE=4k :AD是∠BAC的角平分线， .BD=CD, .∠DBE=∠DAB :∠BDE=∠ADB,∠DBE=∠DAB, ∴△BDEn△ADB, BD=DE AB BD AD BD'BE DE 即BD2=AD·DE, .BD2=4kk=4k2, 答案第1页，共2页 :BD 2k AB_BD_2k-2: ·BEDE k ②取AB的中点H,连接FH并延长交OO于点G,连接AG,BG,BF,BD,如图： D :点F,G关于点H对称， :FH=GH, AH =BH .四边形AGBF是平行四边形， ∠AGB=∠AFB, :CF平分∠ACB,AD平分∠BAC .点F是BCA的内心，∠BAF=∠CAF, .BF平分∠ABC, .∠ABF=∠CBF, :∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°， .∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB, ∠BMF+∠ABF-180P-∠AC8=90P-2AC8, :∠AFB=180°-（∠BAF+∠ABF)=90°+∠ACB, :∠AGB=∠AFB=90°+∠ACB, :四边形GBCA是⊙O的内接四边形， .∠AGB+∠ACB=180°， :90°+∠ACB+∠ACB=180°， 解得LACB=60°， DB=LACB=60°，∠AFB=∠AGB=90°+号×60°克 答案第1页，共2页 :∠BFD=180°-∠AFB=60°， .∠D=∠BFD=LFBD=60°， .△BFD是等边三角形， .BF=BD =DF =2k, EF=k, .EF DE =k, .BE⊥AD, .∠AEB=∠AEC=90°， :AE=AE,∠BAD=∠CAE, .△AEB≌△AEC(ASA), .AB=AC, ABC为等边三角形， .AC=BC=- AE =2V3k, in∠ACB i.S.AWc BCx AE=x2xk=3k 21.(1)①见解析；②不改变，∠ADM的度数恒为45 (2)①；②不成立，CE-1 BE3 是2 【分析】(1)①先证明矩形ABCD为正方形，再证明△BAE≌△DAF,即可证明结论；② 由己知易得LAEF=∠AFE=45°，∠AMF=90°，根据△BAE≌△DAF,证明 ∠ADF=∠AMF=90°，得到A,M,D,F四点共圆，即可解答： (2)①依题意作图，当MD⊥AD时，此时点M落在CD上，设AB=4x,BC=3x,同理 (1)②得∠AEF=∠AFE=45°，∠AME=90°，证明△CME≌△DAM(AAS,得到 CM=AD=3x,CE=DM,求出CE=x,BE=2x,即可求解；②依题意作图，当 MD⊥AD时，此时点M落在CD的延长线上，设AB=CD=y,BC=AD=2y,同理(2) ①得∠CME+∠AMD=90°，EM=MA,∠MAD=∠CME,证明△CME≌△DAM(AAS), 求出CE=DM=y,BE=3y,即可解答； (3)依题意作图，如图，延长DM交BC于点G,过点A作AH⊥CB交CB的延长线于点 答案第1页，共2页 H,证明四边形AHGD为矩形，求出4 =tan60°=V3,证明MEG△AMD,设MG=a ME ，则AD=V3a,求出BH=4Bcos60°=5a 3 a,AH=AB.sin60°=a,进而求出BE,CE, 2 2 即可求解。 【详解】(1)①证明：“在矩形ABCD中，AB=BC, :矩形ABCD为正方形， :AB=AD,∠B=∠BAD=90°， .∠BAE+∠EAD=90°， :由旋转可知∠EAF=90°，AE=AF, .∠DAF+LEAD=90°， ∴.∠BAE=∠DAF, △BAE≌△DAF(SAS, :DF=BE ②解：不改变，∠ADM的度数恒为45°； :∠EAF=90°，AE=AF, .∠AEF=∠AFE=45°， :M为EF中点， .AM⊥EF, ∠AMF=90°， :△BAE≌△DAF, LADF=∠B=90°， :∠ADF=∠AMF=90°， A,M,D,F四点共圆， ∠ADM=∠AFE=45°. (2)解：①依题意作图如下， 答案第1页，共2页 B 当MD⊥AD时，此时点M落在CD上， 8 :设AB=4x,BC=3x, 同理(1)②得∠AEF=∠AFE=45°，∠AME=90°， ∠EAM=∠AEF=45°，LCME+∠AMD=90°， .EM MA, :四边形ABCD是矩形， ∠C=∠ADM=90°，AB=CD=4x,AD=BC=3x, :∠MAD+∠AMD=90°， :LMAD=∠CME △CME≌△DAM(AAS, .CM=AD =3x,CE DM .CE DM =4x-3x=x, :BE 3x-x=2x, CE 1 小BE2 ②不成立， 依题意作图，如图， 答案第1页，共2页 B M 当MD⊥AD时，此时点M落在CD的延长线上， BC=2AB, :设AB=CD=y,BC=AD=2y, MD⊥AD, ∠ADM=∠MCE=90°， ∠MAD+∠AMD=90°， 同理(2)①得∠CME+∠AMD=90°，EM=MA, :∠MAD=∠CME, △CME≌△DAM(AAS, .CM=AD=2y,CE=DM, .CE=DM=2y-y=y, ..BE=2y+y=3y, CE=1 BE-3 (3)解：依题意作图，如图，延长DM交BC于点G, 过点A作AH⊥CB交CB的延长线于点H, ■ 则∠H=90°， :四边形ABCD是菱形， 答案第1页，共2页 AD∥CB,AB=BC=CD=AD, :MD⊥AD, .MG⊥CB, :∠EGM=∠GDA=∠H=90°， :四边形AHGD为矩形， :AH=DG,AD=HG, :由旋转可知，∠EAF=60°，AE=AF,M为EF中点， AM⊥EF,∠AEF=∠AFE=60°， ∠AME=90°，则∠EMG+∠AMD=90°， :4M=tan60°=5， ME ∠EMG+∠MEG=90°， :∠MEG=∠AMD, △MEG∽△AMD, :4-40-MD-5, ME MG EG :设MG=a,则AD=√5a, .AB=HG=BC=3a, :∠ABC=120°， .∠ABH=60°， BH=4B.cos603 3 a,AH=AB.sin60°=三a, 2 2 ÷DG=AH=20, 3 MD=DG-MG= 3, .EG=MD 2 a3 6a' .BE=HG-BH-EG=3a-a-=3 6 3, CE=BC-BE =Ba-3g=2V3 3a, 答案第1页，共2页 2V3a .C 3 =2. 3 答案第1页，共2页