2026年中考数学专题特训：一次函数综合

**基本信息** 聚焦一次函数性质、图像与综合应用，以题载法构建“概念-图像-应用”逻辑链，强化抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|单选1-5|待定系数法、象限判定、增减性分析|从解析式到图像特征，构建性质与图像的对应关系| |图像综合|单选6-10、填空11-16|图像交点与方程解转化、对称变换|结合几何图形与函数图像，深化数形结合思想| |实际应用|解答17-19|函数建模、行程问题分段分析|从实际情境抽象数量关系，培养模型意识| |综合探究|解答20-21|相似判定、动态几何与函数综合|整合函数与几何知识，提升推理能力与创新意识|

2026年中考数学专题特训：一次函数综合 一、单选题 1．（2026·陕西西安·模拟预测）直线向上平移个单位长度后的直线经过第一、二、三象限，则的值可以是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知一次函数（），函数值随自变量的增大而增大，且，则函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 3．（2026·湖南长沙·模拟预测）若点，，在函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·贵州·模拟预测）如图，一次函数的图象经过点和，则关于x的方程的解是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西西安·三模）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河南安阳·一模）如图1，用弹簧测力计竖直向上拉一个正方体木块．在整个过程中，图2表示弹簧测力计的示数与时间的关系，图3表示木块运动的速度与时间的关系，请结合函数图象信息，判断下列说法错误的是（    ） A．前木块保持静止状态 B．拉力与时间的关系满足正比例函数关系，且当时， C．当时，速度随时间增大而增大 D．在整个过程中，速度随拉力增大而增大 7．（2026·甘肃白银·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点关于y轴的对称点Q落在内（不包括边），则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·安徽·二模）如图，为等边的边的中点，，分别在边，上，满足．设的中点为，线段，相交于点，若，则以下结论错误的是（） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 9．（2026·安徽六安·一模）为促进A县的经济发展，B市公交公司决定：在A，B两地增加一条快速公交线（即中途停站的站点少）．一辆快速公交车和一辆普通公交车恰好分别从A，B两地同时出发相向而行．快速公交车、普通公交车两车离A地的距离，（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示．已知两地相距，普通公交车的速度为．则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·江苏无锡·二模）规定：对于某个函数，若在自变量的取值范围为时，对应的函数值全部满足，其中是时对应的函数值，其中是时对应的函数值，则称为该函数的融值区间．下列结论正确的是（    ） ①是函数的融值区间；     ②函数不存在融值区间； ③是函数的融值区间；     ④若是函数的融值区间，则． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 二、填空题 11．（2026·天津武清·二模）直线（是常数，）的随的增大而增大，图象经过点，则直线的解析式可以是_____写出一个即可． 12．（2026·安徽宿州·二模）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，点在第一象限，与轴交于点，已知的面积为，则的面积为___________． 13．（2026·山东菏泽·一模）如图，反比例函数与直线交于点，点在反比例函数图象上，过点作直线轴，直线与交于点．若，则点的坐标为______． 14．（2010·湖北咸宁·中考真题）如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为____________． 15．（2026·四川南充·一模）如图，在平面直角坐标系中，一束光线经过点照射在x轴上的平面镜上的点处，反射光线经过点，则的值为____． 16．（2026·湖南益阳·二模）在平面直角坐标系中，若存在实数，使得，则称为点的“特定点值”．如图，矩形三个顶点的坐标分别为． （1）则点的“特定点值”等于__________． （2）若点是矩形边上的动点，则下列关于点的“特定点值”的结论正确的是__________．（填写序号） ①当点在边上时，随着的增大而增大； ②当点在边上时，则； ③在矩形边上有且只有一个点的“特定点值”为． 三、解答题 17．（2026·河南周口·一模）某网店销售甲、乙两种商品，已知甲商品每件进价元，售价元；乙商品每件进价元，售价元． (1)若该网店一次性购进甲、乙两种商品共件，总进价为元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)若该网店准备购进甲、乙两种商品共件，且甲商品的数量不少于乙商品数量的 ，设购进甲商品x件，总利润为y元，求y与x的函数关系式，并求最大利润． 18．（2026·河南商丘·二模）如图1，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆在水平位置处于平衡状态．已知弹簧测力计的拉力F（单位：N）与其到中点O的距离L（单位：）满足反比例关系． (1)求F与L之间的函数解析式；不必写出L的取值范围 (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为．弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图2所示． ①求L与x之间的函数解析式；并直接写出x的取值范围； ②在图3中画出①中函数的图象．（省略列表，直接描点画图） 19．（2026·河北沧州·模拟预测）图书馆和书店之间有一条笔直公路，小明从图书馆骑自行车沿公路匀速前往书店，同时小丽从书店步行沿公路匀速前往图书馆，小明到达书店后，逗留了5分钟再原路原速返回到图书馆．设小明、小丽与书店的距离分别为，米，小明与小丽之间的距离为s米，设小丽行走的时间为x分钟．，与x之间的函数图象如图所示． (1)分别求出线段，所在直线的函数表达式； (2)求小明、小丽第二次相遇时x的值； (3)当时，若，求x的值． 20．（2026·山东济南·一模）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点．一次函数的图象过点与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式 (2)求的面积； (3)连接，在直线上是否存在点，使以为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 21．（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点，直线（点不在上）和，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上，则称点是关于直线的映像点，称线段的长度为点与的映像距离． (1)如图，的半径为1，直线：． ①在点，，中，点_____是关于直线的映像点，该点与的映像距离为_____； ②点是关于直线的映像点，当点与的映像距离最大时，点的坐标为_____； (2)已知点，，点在轴的正半轴上且为等边三角形．点，的半径为．若上存在关于过定点的某一条直线的映像点，直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学专题特训：一次函数综合》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A A A D C D C B 1．D 【分析】先求出平移后直线的解析式，再根据直线经过第一、二、三象限的条件得到的取值范围，结合选项即可得到答案． 【详解】解：由平移规则可知，直线向上平移个单位长度后，解析式为． ∵平移后的直线经过第一、二、三象限，且一次项系数， ∴， 解得， 结合选项可知，只有D选项的7满足条件． 2．B 【分析】先根据一次函数的增减性判断的符号，再结合判断的符号，最后根据一次函数图象与系数的关系确定函数图象经过的象限． 【详解】解：∵一次函数的函数值随自变量的增大而增大 ∴ ∵ ∴ ∴函数的图象经过第一、三、四象限． 3．A 【分析】先根据一次函数解析式判断函数增减性，再比较三点横坐标大小，即可得到对应纵坐标的大小关系． 【详解】解：∵一次函数解析式为，其中一次项系数， ∴随的增大而增大． ∵点的横坐标分别为, 满足 ， ∴对应纵坐标满足，即 ． 4．A 【分析】利用待定系数法求解解析式为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和， ∴，解得：， ∴一次函数为， ∵即， 解得：， ∴方程的解是． 5．A 【分析】本题考查了正比例函数的性质，一次函数的性质． 根据、两种情况作答即可． 【详解】解：当时，经过二、四象限，经过一、二、三象限，A选项符合； 当时，经过一、三象限，经过一、三、四象限，无符合的选项； 故选：A． 6．D 【分析】由图2，图3的图象信息结合左图，对选项逐一分析即可得解． 【详解】解：A、由图3可知，前三秒木块的速度为0，所以前木块保持静止状态，故此选项正确； B、由图2可知，拉力与时间的图象是一条过原点的直线，设，由图2知，图象过点，代入得，解得，所以，当，，故此选项正确； C、由图3可知，当时，图象从左往右呈上升趋势，即速度随时间增大而增大，故此选项正确； D、由图3可知，前3秒内木块速度为0，此过程拉力随时间增大，但速度并没有增大；当木块开始运动后，速度随拉力增大而增大，所以并不是整个过程速度随拉力增大而增大，故此选项错误． 7．C 【分析】分别求出直线、直线的解析式，求出点Q的运动范围，再根据轴对称的性质即可求出a的取值范围． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入得： 解得： ∴直线的解析式为， 当时，； 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，； 即点Q在范围内运动， ∵点关于y轴的对称点Q， ∴． 8．D 【分析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过分别作，，垂足分别为，则，然后求出，，，，然后根据轴对称性质，两点之间线段最短，二次函数的性质等知识逐一排除即可． 【详解】解：∵为等边的边的中点， ∴，，，， ∴，， ∴，， 如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过分别作，，垂足分别为，则， ∴， 设，则， 在中，，， 同理可得：，， ∴，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴点在上运动， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， 、如图，作点关于对称点，连接，，则， ∴， ∴， ∴的最小值为，故该选项正确，不符合题意； 、要使最大，则需最大，最小， ∵点在上运动， ∴当在上时，则有最大， 此时，如图，与重合，为中点，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为，故该选项正确，不符合题意； 、由上得垂直平分， ∴， ∵， ∴当时，点的纵坐标有最小值为，此时， ∴最小值为， ∴的最小值为，故该选项正确，不符合题意； 、如图，当与重合，最大值为，与重合时，最小值为， ∴的最大值为，故该选项错误，符合题意． 9．C 【分析】根据图形分别表示出，的解析式，然后求这两条直线的交点坐标即可． 【详解】快速公交从A地出发，全程，用时， 因此快速公交速度为 ， ∴解析式为： ； 普通公交从B地出发，速度向A地行驶， 因此离A地的距离解析式为： ， 联立方程： ，解得 ， 代入，得， 因此P点坐标为． 10．B 【分析】明确融值区间的定义，对四个结论逐一验证，根据函数性质求出给定区间内的取值范围，对比定义要求的范围即可判断正误． 【详解】解：对于①，，函数， ∵ ， ， ∴要求满足 ，即， ∵在上单调递增， ∴的范围是，存在，不满足定义，故①错误； 对于②，假设存在融值区间 ，， ∵，在单调递减， ∴的范围是，要求满足， 整理得 ，左边分子分母都为正，故左边为正数，右边，正数不可能小于等于负数，假设不成立， 若，上式得，与假设矛盾； 故不存在融值区间，②正确； 对于③，，函数， ∵ ， ， ∴要求满足 ，即 ， ∵开口向上，对称轴为，在上单调递增，的范围是，全部满足 ，符合定义，故③正确； 对于④， ，函数， ，要求满足 ， ∵开口向上，顶点在， 当 时，最小值为，可得，解得， 当时，最小值为，要求得，矛盾无解， ∴的范围是，不是 ，故④错误； 综上，正确结论为②③． 11．（答案不唯一） 【分析】根据一次函数的性质，由y随x的增大而增大可得，将点代入得到k与b的关系，取一个大于0的k值，即可求出对应b，得到符合要求的解析式． 【详解】解：∵直线（）的y随x的增大而增大， ∴． 把点代入， 得． 令， 得， 解得． ∴直线的解析式为． 12．/ 【分析】设点的坐标为，利用一次函数的解析式求出点，利用的面积求出点，进而求出反比例函数的解析式为，联立方程求出点，最后求出的面积即可． 【详解】解：如图，设点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 联立一次函数与反比例函数，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， ∴． 13． 【分析】由点为反比例函数与直线的交点，可求出、的值，令点的坐标为，则点的坐标为，代入，即可解出的值，得出结果． 【详解】解：∵点为反比例函数与直线的交点， ∴，解得， 令点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， 可得， 化简得， 解得或（舍去）， ∴点B的坐标为． 14． 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，利用函数图象确定不等式的解集是解题的关键．先将交点代入直线：求出的值，再结合函数图象，找出直线在直线上方（含交点）时对应的的取值范围，进而得到不等式的解集． 【详解】解：将点坐标代入直线，得， 从图中直接看出，当时，， 故答案为：． 15．2 【分析】由入射角等于反射角得出，作点关于x轴对称点，连接，进一步得出点，点P和点B在一条直线上，通过待定系数法求出直线的解析式为，把点代入解析式，得出，然后将代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵入射角等于反射角， ∴， 作点关于x轴对称点，连接 ∴， ∴， ∴点，点P和点B在一条直线上， 设直线的解析式为， 把，代入， ∴， 解得， 则直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， ∴ ∴． 16． ①② 【分析】（1）根据新定义，代入，求得的值，即可求解； （2）将代入，根据正比例函数的性质即可判断①；②将，代入，即可判断②；根据题意得出，进而画出图形，得出存在两个点的“特定点值”为，即可判断③． 【详解】解：（1）∵， ∴ 解得： 即点的“特定点值”等于； （2）∵ ∴ ①当点在边上时，，即，则随着的增大而增大，故①正确 ②当点在边上时，，，则，故②正确； ③当，即 ∴ 如图， 当时， 解得，，此时在边上， 当， 此时在边上， 在矩形边上有2个点的“特定点值”为，故③不正确． 17．(1)购进甲件，乙件 (2)，最大利润元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用及一次函数的销售利润最值问题： （1）设购进甲种商品m件，乙种商品n件，根据数量与金额列方程组求解即可得到答案； （2）根据利润等于数量乘以单价列出解析式，再根据数量关系列出不等式求出范围，最后根据一次函数的性质求出最值即可得到答案； 【详解】（1）解：购进甲种商品m件，乙种商品n件，由题意可得， ， 解得：， 答：购进甲件，乙件； （2）解：由题意可得， ， 且有：，解得：， ∴y与x的函数关系式是：， ∵， ∴y随x增大而减小， ∴当时y最大，， ∴最大利润元． 18．(1) (2)①（）；②见解析 【分析】（1）根据题意，设，再将，代入求解即可； （2）①设F与x之间的解析式为，将图2中的点代入求解，得到，结合，可得，再根据及，即可求得x的取值范围； ②结合x的取值范围，用描点法画图即可． 【详解】（1）解：弹簧测力计的拉力F与其到中点O的距离L满足反比例关系 可设， 根据题意，得时，， ， ， 与L之间的函数解析式是． （2）解：①设F与x之间的解析式为， 由题图2得图象经过， ， ， 与x之间的解析式为， ， ， ， ， ， ， 又， ； ②画出图象如图所示． 19．(1)线段所在直线的函数表达式为，线段所在直线的函数表达式为 (2)22.5 (3)x的值为20.5或24.5 【分析】（1）根据图象及题干信息，可得出线段所在直线为正比例函数表达式，结合点G的坐标，可求出其函数表达式；根据题意，可得出线段对应的速度，即为一次函数中的k值，结合点C的坐标，可求出线段所在直线的函数表达式； （2）根据题意，小明、小丽第二次相遇即为点F时的状态，结合（1）中的函数表达式，可求出点F的横坐标，得其所对应的x值； （3）根据题意，可得出当时，恰好在线段所在范围内，故，解出对应的x值即可． 【详解】（1）解：观察图象，可得线段所在直线为正比例函数表达式，设线段的表达式为， ∵点， 将点代入， 得， 解得， ∴线段所在直线的函数表达式为， 根据题意，可观察出段的速度为， ∴段的速度也为， 根据题意可知，点， ∴设线段所在直线的函数表达式为， 将代入， 解得， ∴线段所在直线的函数表达式为． （2）解：小明、小丽第二次相遇时即为图中点F所对应的x值， ∴， ∴， 解得，即， ∴小明、小丽第二次相遇时x的值为22.5． （3）解：当时，得， ∴， ∴当时，恰好在线段所在范围内， 若，即， ∴， 解得，， ∴当时，若，x的值为20.5或24.5． 20．(1)，； (2)； (3)存在，或． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （）把点坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，则可求出点坐标，再把点和点坐标代入一次函数的解析式中求出一次函数的解析式； （）求出点的坐标，再利用三角形面积计算公式求解即可； （）利用对称性可得点坐标，利用两点距离计算公式和勾股定理的逆定理可证明，则只存在和这两种情况，当时，则，此时点D为的中点，利用中点坐标公式可得答案；当时，则，可求出，；设，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入到中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 把，代入到中得：，解得， ∴一次函数的表达式为， （2）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵直线经过原点， ∴由反比例函数的对称性可得点的坐标为，， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴与不垂直， ∵与相似， ∴只存在和这两种情况， 当时，则，， ∴，， ∴此时点D为的中点， ∴点D的坐标为； 当时，则，， ∴，， 设， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 21．(1)①，；② (2)或 【分析】（1）①根据新定义，计算判定求解即可； ②根据直径是圆中最大弦，故当点，，，四点共线，且点B是直线与交点中靠近外侧的点，点与的映像距离最大，求解即可； （2）根据题意，得点在以为圆心，以为半径的内圆上或为半径的外圆上，当外圆G与相切时，最小，此时最小，设此时的切点为H，连接， 解得．当内圆G过点E时，最大，此时最大，解得，继而得到，继而得到，然后分类化简取点绝对值，当时即时，得，解得；当时即时，得，解得． 【详解】（1）解：①设点O关于直线：的对称点为，且点， 根据题意，得， 整理，得， 设直线：与x轴交于点M，与y轴交于点N， 则，， ， ， 根据线段的垂直平分线性质，得，， ， 轴， 故点， 的半径为1， 上的点关于直线的映像点都应在以点为圆心，以1为半径的上， 此时点与重合，不符合题意， 点与的距离为：， 故不在上，不符合题意； 点与的距离为：， 故在上，符合题意； 故点是关于直线的映像点，设在上的映像点为， ， 轴， ， ， 故该点与的映像距离为； ②解：根据直径是圆中最大弦，故当点，，，四点共线，且点B是直线与交点中靠近外侧的点，如图，过点B作轴于点D， 根据， 得，且， 故， 故， 由点B在第二象限， 故点． （2）解：点P是关于过定点直线的映像点，关于过定点直线的对称圆为，由①可知，点P在上， 设定点为G，且，， 根据轴对称性质，得，且都在直线上， 故点T在以为圆心，以为半径的圆上， 的半径为，点P在上， 点在以为圆心，以为半径的内圆上或为半径的外圆上， 当外圆G与相切时，最小，此时最小， 设此时的切点为H，连接， ， ， 因为点，，， 轴，轴，且， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 解得． 当内圆G过点E时，最大，此时最大， ， ， 解得， 故， ， 当时即时，得，解得； 当时即时，得，解得； 综上所述，的取值范围为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $